Продолжаем разговор про решение уравнений . В этой статье мы подробно остановимся на рациональных уравнениях и принципах решения рациональных уравнений с одной переменной. Сначала разберемся, уравнения какого вида называются рациональными, дадим определение целых рациональных и дробных рациональных уравнений, приведем примеры. Дальше получим алгоритмы решения рациональных уравнений, и, конечно же, рассмотрим решения характерных примеров со всеми необходимыми пояснениями.
Навигация по странице.
Отталкиваясь от озвученных определений, приведем несколько примеров рациональных уравнений. Например, x=1 , 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0 , , - это все рациональные уравнения.
Из показанных примеров видно, что рациональные уравнения, как, впрочем, и уравнения других видов, могут быть как с одной переменной, так и с двумя, тремя и т.д. переменными. В следующих пунктах мы будем говорить о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большим числом заслуживают отдельного внимания.
Помимо деления рациональных уравнений по количеству неизвестных переменных, их еще разделяют на целые и дробные. Дадим соответствующие определения.
Определение.
Рациональное уравнение называют целым , если и левая, и правая его части являются целыми рациональными выражениями.
Определение.
Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно рациональным (или дробным рациональным).
Понятно, что целые уравнения не содержат деления на переменную, напротив, дробные рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную (или переменную в знаменателе). Так 3·x+2=0 и (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5 – это целые рациональные уравнения, обе их части являются целыми выражениями. А и x:(5·x 3 +y 2)=3:(x−1):5 – примеры дробных рациональных уравнений.
Завершая этот пункт, обратим внимание на то, что известные к этому моменту линейные уравнения и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.
Решение целых уравнений
Одним из основных подходов к решению целых уравнений является их сведение к равносильным алгебраическим уравнениям . Это можно сделать всегда, выполнив следующие равносильные преобразования уравнения :
- сначала выражение из правой части исходного целого уравнения переносят в левую часть с противоположным знаком, чтобы получить нуль в правой части;
- после этого в левой части уравнения образовавшееся стандартного вида.
В результате получается алгебраическое уравнение, которое равносильно исходному целому уравнению. Так в самых простых случаях решение целых уравнений сводятся к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае – к решению алгебраического уравнения степени n . Для наглядности разберем решение примера.
Пример.
Найдите корни целого уравнения 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3 .
Решение.
Сведем решение этого целого уравнения к решению равносильного ему алгебраического уравнения. Для этого, во-первых, перенесем выражение из правой части в левую, в результате приходим к уравнению 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0 . И, во-вторых, преобразуем выражение, образовавшееся в левой части, в многочлен стандартного вида, выполнив необходимые : 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3·x+3)·(x−3)−2·x 2 +x+3= 3·x 2 −9·x+3·x−9−2·x 2 +x+3=x 2 −5·x−6 . Таким образом, решение исходного целого уравнения сводится к решению квадратного уравнения x 2 −5·x−6=0 .
Вычисляем его дискриминант D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49
, он положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находим по формуле корней квадратного уравнения :
Для полной уверенности выполним проверку найденных корней уравнения . Сначала проверяем корень 6 , подставляем его вместо переменной x в исходное целое уравнение: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3 , что то же самое, 63=63 . Это верное числовое равенство, следовательно, x=6 действительно является корнем уравнения. Теперь проверяем корень −1 , имеем 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3 , откуда, 0=0 . При x=−1 исходное уравнение также обратилось в верное числовое равенство, следовательно, x=−1 тоже является корнем уравнения.
Ответ:
6 , −1 .
Здесь еще нужно заметить, что с представлением целого уравнения в виде алгебраического уравнения связан термин «степень целого уравнения». Дадим соответствующее определение:
Определение.
Степенью целого уравнения называют степень равносильного ему алгебраического уравнения.
Согласно этому определению целое уравнение из предыдущего примера имеет вторую степень.
На этом можно бы было закончить с решением целых рациональных уравнений, если бы ни одно но…. Как известно, решение алгебраических уравнений степени выше второй сопряжено со значительными сложностями, а для уравнений степени выше четвертой вообще не существует общих формул корней. Поэтому для решения целых уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней часто приходится прибегать к другим методам решения.
В таких случаях иногда выручает подход к решению целых рациональных уравнений, основанный на методе разложения на множители . При этом придерживаются следующего алгоритма:
- сначала добиваются, чтобы в правой части уравнения был нуль, для этого переносят выражение из правой части целого уравнения в левую;
- затем, полученное выражение в левой части представляют в виде произведения нескольких множителей, что позволяет перейти к совокупности нескольких более простых уравнений.
Приведенный алгоритм решения целого уравнения через разложение на множители требует детального разъяснения на примере.
Пример.
Решите целое уравнение (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2·x·(x 2 −10·x+13) .
Решение.
Сначала как обычно переносим выражение из правой части в левую часть уравнения, не забыв изменить знак, получаем (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2·x·(x 2 −10·x+13)=0 . Здесь достаточно очевидно, что не целесообразно преобразовывать левую часть полученного уравнения в многочлен стандартного вида, так как это даст алгебраическое уравнение четвертой степени вида x 4 −12·x 3 +32·x 2 −16·x−13=0 , решение которого сложно.
С другой стороны, очевидно, что в левой части полученного уравнения можно x 2 −10·x+13 , тем самым представив ее в виде произведения. Имеем (x 2 −10·x+13)·(x 2 −2·x−1)=0 . Полученное уравнение равносильно исходному целому уравнению, и его, в свою очередь, можно заменить совокупностью двух квадратных уравнений x 2 −10·x+13=0 и x 2 −2·x−1=0 . Нахождение их корней по известным формулам корней через дискриминант не составляет труда, корни равны . Они являются искомыми корнями исходного уравнения.
Ответ:
Для решения целых рациональных уравнений также бывает полезен метод введения новой переменной . В некоторых случаях он позволяет переходить к уравнениям, степень которых ниже, чем степень исходного целого уравнения.
Пример.
Найдите действительные корни рационального уравнения (x 2 +3·x+1) 2 +10=−2·(x 2 +3·x−4) .
Решение.
Сведение данного целого рационального уравнения к алгебраическому уравнению является, мягко говоря, не очень хорошей идеей, так как в этом случае мы придем к необходимости решения уравнения четвертой степени, не имеющего рациональных корней. Поэтому, придется поискать другой способ решения.
Здесь несложно заметить, что можно ввести новую переменную y , и заменить ею выражение x 2 +3·x . Такая замена приводит нас к целому уравнению (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , которое после переноса выражения −2·(y−4) в левую часть и последующего преобразования образовавшегося там выражения, сводится к квадратному уравнению y 2 +4·y+3=0 . Корни этого уравнения y=−1 и y=−3 легко находятся, например, их можно подобрать, основываясь на теореме, обратной теореме Виета .
Теперь переходим ко второй части метода введения новой переменной, то есть, к проведению обратной замены. Выполнив обратную замену, получаем два уравнения x 2 +3·x=−1 и x 2 +3·x=−3 , которые можно переписать как x 2 +3·x+1=0 и x 2 +3·x+3=0 . По формуле корней квадратного уравнения находим корни первого уравнения . А второе квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).
Ответ:
Вообще, когда мы имеем дело с целыми уравнениями высоких степеней, всегда надо быть готовым к поиску нестандартного метода или искусственного приема для их решения.
Решение дробно рациональных уравнений
Сначала будет полезно разобраться, как решать дробно рациональные уравнения вида , где p(x) и q(x) – целые рациональные выражения. А дальше мы покажем, как свести решение остальных дробно рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.
В основе одного из подходов к решению уравнения лежит следующее утверждение: числовая дробь u/v , где v – отличное от нуля число (иначе мы столкнемся с , которое не определено), равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, то есть, тогда и только тогда, когда u=0 . В силу этого утверждения, решение уравнения сводится к выполнению двух условий p(x)=0 и q(x)≠0 .
Этому заключению соответствует следующий алгоритм решения дробно рационального уравнения . Чтобы решить дробное рациональное уравнение вида , надо
- решить целое рациональное уравнение p(x)=0 ;
- и проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие q(x)≠0 , при этом
- если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
- если не выполняется, то этот корень – посторонний, то есть, не является корнем исходного уравнения.
Разберем пример применения озвученного алгоритма при решении дробного рационального уравнения.
Пример.
Найдите корни уравнения .
Решение.
Это дробно рациональное уравнение, причем вида , где p(x)=3·x−2 , q(x)=5·x 2 −2=0 .
Согласно алгоритму решения дробно рациональных уравнений этого вида, нам сначала надо решить уравнение 3·x−2=0 . Это линейное уравнение, корнем которого является x=2/3 .
Осталось выполнить проверку для этого корня, то есть проверить, удовлетворяет ли он условию 5·x 2 −2≠0 . Подставляем в выражение 5·x 2 −2 вместо x число 2/3 , получаем . Условие выполнено, поэтому x=2/3 является корнем исходного уравнения.
Ответ:
2/3 .
К решению дробного рационального уравнения можно подходить с немного другой позиции. Это уравнение равносильно целому уравнению p(x)=0 на переменной x исходного уравнения. То есть, можно придерживаться такого алгоритма решения дробно рационального уравнения :
- решить уравнение p(x)=0 ;
- найти ОДЗ переменной x ;
- взять корни, принадлежащие области допустимых значений, - они являются искомыми корнями исходного дробного рационального уравнения.
Для примера решим дробное рациональное уравнение по этому алгоритму.
Пример.
Решите уравнение .
Решение.
Во-первых, решаем квадратное уравнение x 2 −2·x−11=0 . Его корни можно вычислить, используя формулу корней для четного второго коэффициента , имеем D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12 , и .
Во-вторых, находим ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Ее составляют все числа, для которых x 2 +3·x≠0 , что то же самое x·(x+3)≠0 , откуда x≠0 , x≠−3 .
Остается проверить, входят ли найденные на первом шаге корни в ОДЗ. Очевидно, да. Следовательно, исходное дробно рациональное уравнение имеет два корня .
Ответ:
Отметим, что такой подход выгоднее первого, если легко находится ОДЗ, и особенно выгоден, если еще при этом корни уравнения p(x)=0 иррациональные, например, , или рациональные, но с довольно большим числителем и/или знаменателем, к примеру, 127/1101 и −31/59 . Это связано с тем, что в таких случаях проверка условия q(x)≠0 потребует значительных вычислительных усилий, и проще исключить посторонние корни по ОДЗ.
В остальных случаях при решении уравнения , особенно когда корни уравнения p(x)=0 целые, выгоднее использовать первый из приведенных алгоритмов. То есть, целесообразно сразу находить корни целого уравнения p(x)=0 , после чего проверять, выполняется ли для них условие q(x)≠0 , а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p(x)=0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.
Рассмотрим решение двух примеров для иллюстрации оговоренных нюансов.
Пример.
Найдите корни уравнения .
Решение.
Сначала найдем корни целого уравнения (2·x−1)·(x−6)·(x 2 −5·x+14)·(x+1)=0 , составленного с использованием числителя дроби. Левая часть этого уравнения – произведение, а правая – нуль, поэтому, согласно методу решения уравнений через разложение на множители, это уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2·x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5·x+14=0 , x+1=0 . Три из этих уравнений линейные и одно – квадратное, их мы умеем решать. Из первого уравнения находим x=1/2 , из второго – x=6 , из третьего – x=7 , x=−2 , из четвертого – x=−1 .
С найденными корнями достаточно легко выполнить их проверку на предмет того, не обращается ли при них в нуль знаменатель дроби, находящейся в левой части исходного уравнения, а определить ОДЗ, напротив, не так просто, так как для этого придется решать алгебраическое уравнение пятой степени. Поэтому, откажемся от нахождения ОДЗ в пользу проверки корней. Для этого по очереди подставляем их вместо переменной x
в выражение x 5 −15·x 4 +57·x 3 −13·x 2 +26·x+112
, получающихся после подстановки, и сравниваем их с нулем:
(1/2) 5 −15·(1/2) 4 +
57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112=
1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112=
448≠0
;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0
;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 +
26·(−2)+112=−720≠0
;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 +
26·(−1)+112=0
.
Таким образом, 1/2 , 6 и −2 являются искомыми корнями исходного дробно рационального уравнения, а 7 и −1 – посторонние корни.
Ответ:
1/2 , 6 , −2 .
Пример.
Найдите корни дробного рационального уравнения .
Решение.
Сначала найдем корни уравнения (5·x 2 −7·x−1)·(x−2)=0 . Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: квадратного 5·x 2 −7·x−1=0 и линейного x−2=0 . По формуле корней квадратного уравнения находим два корня , а из второго уравнения имеем x=2 .
Проверять, не обращается ли в нуль знаменатель при найденных значениях x , достаточно неприятно. А определить область допустимых значений переменной x в исходном уравнении достаточно просто. Поэтому, будем действовать через ОДЗ.
В нашем случае ОДЗ переменной x исходного дробно рационального уравнения составляют все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 +5·x−14=0 . Корнями этого квадратного уравнения являются x=−7 и x=2 , откуда делаем вывод про ОДЗ: ее составляют все такие x , что .
Остается проверить, принадлежат ли найденные корни и x=2 области допустимых значений. Корни - принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x=2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.
Ответ:
Еще полезным будет отдельно остановиться на случаях, когда в дробном рациональном уравнении вида в числителе находится число, то есть, когда p(x) представлено каким-либо числом. При этом
- если это число отлично от нуля, то уравнение не имеет корней, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю;
- если это число нуль, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ.
Пример.
Решение.
Так как в числителе дроби, находящейся в левой части уравнения, отличное от нуля число, то ни при каких x значение этой дроби не может равняться нулю. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Ответ:
нет корней.
Пример.
Решите уравнение .
Решение.
В числителе дроби, находящейся в левой части данного дробного рационального уравнения, находится нуль, поэтому значение этой дроби равно нулю для любого x , при котором она имеет смысл. Другими словами, решением этого уравнения является любое значение x из ОДЗ этой переменной.
Осталось определить эту область допустимых значений. Она включает все такие значения x , при которых x 4 +5·x 3 ≠0 . Решениями уравнения x 4 +5·x 3 =0 являются 0 и −5 , так как, это уравнение равносильно уравнению x 3 ·(x+5)=0 , а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x 3 =0 и x+5=0 , откуда и видны эти корни. Следовательно, искомой областью допустимых значений являются любые x , кроме x=0 и x=−5 .
Таким образом, дробно рациональное уравнение имеет бесконечно много решений, которыми являются любые числа, кроме нуля и минус пяти.
Ответ:
Наконец, пришло время поговорить о решении дробных рациональных уравнений произвольного вида. Их можно записать как r(x)=s(x) , где r(x) и s(x) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Забегая вперед, скажем, что их решение сводится к решению уравнений уже знакомого нам вида .
Известно, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком приводит к равносильному уравнению, поэтому уравнению r(x)=s(x) равносильно уравнение r(x)−s(x)=0 .
Также мы знаем, что можно любое , тождественно равную этому выражению. Таким образом, рациональное выражение в левой части уравнения r(x)−s(x)=0 мы всегда можем преобразовать в тождественно равную рациональную дробь вида .
Так мы от исходного дробного рационального уравнения r(x)=s(x) переходим к уравнению , а его решение, как мы выяснили выше, сводится к решению уравнения p(x)=0 .
Но здесь обязательно надо учитывать тот факт, что при замене r(x)−s(x)=0 на , и дальше на p(x)=0 , может произойти расширение области допустимых значений переменной x .
Следовательно, исходное уравнение r(x)=s(x) и уравнение p(x)=0 , к которому мы пришли, могут оказаться неравносильными, и, решив уравнение p(x)=0 , мы можем получить корни, которые будут посторонними корнями исходного уравнения r(x)=s(x) . Выявить и не включать в ответ посторонние корни можно, либо выполнив проверку, либо проверив их принадлежность ОДЗ исходного уравнения.
Обобщим эту информацию в алгоритм решения дробного рационального уравнения r(x)=s(x) . Чтобы решить дробное рациональное уравнение r(x)=s(x) , надо
- Получить справа нуль с помощью переноса выражения из правой части с противоположным знаком.
- Выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав ее в рациональную дробь вида .
- Решить уравнение p(x)=0 .
- Выявить и исключить посторонние корни, что делается посредством их подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.
Для большей наглядности покажем всю цепочку решения дробных рациональных уравнений:
.
Давайте рассмотрим решения нескольких примеров с подробным пояснением хода решения, чтобы прояснить приведенный блок информации.
Пример.
Решите дробное рациональное уравнение .
Решение.
Будем действовать в соответствии с только что полученным алгоритмом решения. И сначала перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую, в результате переходим к уравнению .
На втором шаге нам нужно преобразовать дробное рациональное выражение в левой части полученного уравнения к виду дроби . Для этого выполняем приведение рациональных дробей к общему знаменателю и упрощаем полученное выражение: . Так мы приходим к уравнению .
На следующем этапе нам нужно решить уравнение −2·x−1=0 . Находим x=−1/2 .
Остается проверить, не является ли найденное число −1/2 посторонним корнем исходного уравнения. Для этого можно сделать проверку или найти ОДЗ переменной x исходного уравнения. Продемонстрируем оба подхода.
Начнем с проверки. Подставляем в исходное уравнение вместо переменной x число −1/2 , получаем , что то же самое, −1=−1 . Подстановка дает верное числовое равенство, поэтому, x=−1/2 является корнем исходного уравнения.
Теперь покажем, как последний пункт алгоритма выполняется через ОДЗ. Областью допустимых значений исходного уравнения является множество всех чисел, кроме −1 и 0 (при x=−1 и x=0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Найденный на предыдущем шаге корень x=−1/2 принадлежит ОДЗ, следовательно, x=−1/2 является корнем исходного уравнения.
Ответ:
−1/2 .
Рассмотрим еще пример.
Пример.
Найдите корни уравнения .
Решение.
Нам требуется решить дробно рациональное уравнение, пройдем все шаги алгоритма.
Во-первых, переносим слагаемое из правой части в левую, получаем .
Во-вторых, преобразуем выражение, образовавшееся в левой части: . В результате приходим к уравнению x=0 .
Его корень очевиден – это нуль.
На четвертом шаге остается выяснить, не является ли найденный корень посторонним для исходного дробно рационального уравнения. При его подстановке в исходное уравнение получается выражение . Очевидно, оно не имеет смысла, так как содержит деление на нуль. Откуда заключаем, что 0 является посторонним корнем. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
7 , что приводит к уравнению . Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно из правой части, то есть, . Теперь вычитаем из обеих частей тройки: . По аналогии , откуда , и дальше .
Проверка показывает, что оба найденных корня являются корнями исходного дробного рационального уравнения.
Ответ:
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:
Приведя дроби к общему знаменателю
Используя основное свойство пропорции
Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.
1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.
Пример 1
$\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}$
Решение:
1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую
\[\frac{2x+3}{2x-1}-\frac{x-5}{x+3}=0\]
Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.
2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$
Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.
\[\frac{(2x+3)(х+3)}{(2x-1)(х+3)}-\frac{(x-5)(2х-1)}{(x+3)(2х-1)}=0\]
Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним, что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9\]
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9=\] \[{=2х}^2+9х+9\]
Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов
$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1={2х}^2-х-10х+5={2х}^2-11х+5$
Тогда уравнение примет вид:
\[\frac{{2х}^2+9х+9}{(2x-1)(х+3)}-\frac{{2х}^2-11х+5}{(x+3)(2х-1)}=0\]
Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание. Вспомним, что при вычитании дробей с одинаковым знаменателем из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить прежним
\[\frac{{2х}^2+9х+9-({2х}^2-11х+5)}{(2x-1)(х+3)}=0\]
Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» надо изменить все знаки перед слагаемыми, стоящими в скобках на противоположные
\[{2х}^2+9х+9-\left({2х}^2-11х+5\right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5\]
Приведем подобные слагаемые
${2х}^2+9х+9-\left({2х}^2-11х+5\right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5=20х+4$
Тогда дробь примет вид
\[\frac{{\rm 20х+4}}{(2x-1)(х+3)}=0\]
3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.
\[{\rm 20х+4=0}\]
Решим линейное уравнение:
4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.
Поставим условие, что знаменатели не равны $0$
х$\ne 0,5$ х$\ne -3$
Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.
Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и,конечно, не был бы включен в ответ.
Ответ: $-0,2.$
Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе
Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе
Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные
Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.
Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.
Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.
2 способ. Используем основное свойство пропорции
Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.
Пример 2
Используем данное свойство для решения этого задания
\[\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}\]
1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.
$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$
\[{2х}^2+3х+6х+9={2х}^2-10х-х+5\]
Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного
2.Найдем допустимые значения переменной.
Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли, что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.
Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.
"Решение дробных рациональных уравнений"
Цели урока:
Обучающая:
- формирование понятия дробных рационального уравнения; рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений; рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю; обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму; проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
Развивающая:
- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить; развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение; развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом; развитие критического мышления; развитие навыков исследовательской работы.
Воспитывающая:
- воспитание познавательного интереса к предмету; воспитание самостоятельности при решении учебных задач; воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.
Тип урока : урок – объяснение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?
Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
2. Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
3. Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)
4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)
3. Объяснение нового материала.
Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.
Ответ : 10.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).
(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)
х2-4х-2х+8 = х2+3х+2х+6
х2-6х-х2-5х = 6-8
Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.
Ответ : 1,5.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).
D=1›0, х1=3, х2=4.
Ответ : 3;4.
Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.
(х2-2х-5)х(х-5)=х(х-5)(х+5) |
|
||
(х2-2х-5)х(х-5)-х(х-5)(х+5)=0 | |||
х(х-5)(х2-2х-5-(х+5))=0 | х2-2х-5-х-5=0 |
||
х(х-5)(х2-3х-10)=0 | |||
х=0 х-5=0 х2-3х-10=0 | |||
х1=0 х2=5 D=49 | |||
Ответ : 0;5;-2. | Ответ : 5;-2. |
Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?
До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.
- Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной
.) Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство
.) Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку
.)
При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.
х2-3х-10=0 , D=49 , х1=5 , х2=-2.
Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.
Если х=-2, то х(х-5)≠0.
Ответ : -2.
Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:
1. Перенести все в левую часть.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Решить уравнение.
5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
6. Записать ответ.
Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).
4. Первичное осмысление нового материала.
Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8»,2007: № 000(б, в,и); № 000(а, д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.
б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.
в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.
а) Ответ: -12,5.
ж) Ответ: 1;1,5.
5. Постановка домашнего задания.
2. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
3. Решить в тетрадях № 000(а, г,д); № 000(г, з).
4. Попробовать решить № 000(а)(по желанию).
6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.
Работа выполняется на листочках.
Пример задания:
А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?
Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .
В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?
Г) Решить уравнение №7.
Критерии оценивания задания:
- «5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания. «4» - 75%-89% «3» - 50%-74% «2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания. Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.
7. Рефлексия.
На листочках с самостоятельной работой поставьте:
- 1 – если на уроке вам было интересно и понятно; 2 – интересно, но не понятно; 3 – не интересно, но понятно; 4 – не интересно, не понятно.
8. Подведение итогов урока.
Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.
Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?
Всем спасибо, урок окончен.
Решение уравнений с дробями
рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, .
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.
Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.
Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.
Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25
Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:
Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.
Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:
- значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
- нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.
Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.
Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.
Например, требуется решить дробное уравнение:
Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.
Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х
И решаем обычное уравнение
5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3
Ответ: х = 1/3
Решим уравнение посложнее:
Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.
Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.
Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую - на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):
Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше
Запишем это же уравнение, но несколько по-другому
Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:
х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ
Ответ: х = 2.
Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями , то отписывайтесь в комментариях.