Видеоурок «Функция у = cos х, ее свойства и график» представляет наглядный материал для изучения данной темы. В пособии представлены особенности функции, ее свойства, а также описания решения задач, в которых применяются знания о свойства косинуса. С помощью видеоурока учителю легче предоставить требуемые знания и сформировать умения учеников. Наглядное пособие может помочь повысить эффективность урока, обеспечив более глубокое понимание материала и лучшее запоминание, а также освободив время урока для проведения индивидуальной работы.
Использование видеоурока дает учителю преимущество для более эффективной подачи материала. Пособие может применяться только для наглядности, сопровождая объяснение учителя или в качестве самостоятельной части урока, давая возможность учителю улучшить индивидуальную работу с учениками. Демонстрируемые построения графиков, преобразования в помощью анимационных эффектов становятся более понятными для учеников, помогают освоить навыки решения задач с использованием данного материала. Выделение и озвучивание свойств функции инструментами видеоурока помогает лучше их запомнить.
Демонстрация начинается с представления названия темы. Для построения графика функции у = cos х ученикам напоминается формула приведения cos х= sin (х+π/2), которая свидетельствует о том, что графики функций у= cos х и у= sin (х+π/2) являются тождественно равными. Для построения графика функции у= sin (х+π/2) стоится координатная плоскость, на оси абсцисс которой отмечается точка -π/2. Если взять эту точку за начало координат для построения графика sin х, то этот график является и графиком функции у= sin (х+π/2) для начала координат. То есть график функции у = cos х является на π/2 сдвинутым по оси абсцисс графика функции у= sin х. очевидно, что графиком функции у = cos х также является синусоида. Ее расположение позволяет сделать выводы о свойствах функции.
Первое свойство функции - об области определения. Очевидно, что областью определения функции будет вся числовая прямая, то есть D(f)=(- ∞;+∞).
Во втором свойстве функции отмечается четность функции. Ученикам напоминается изученный в 9 классе материал, в котором было указано условие четности функции. Для четной функции является справедливым равенство f(-x)=f(x). Говоря о четности функции косинуса, нужно отметить, что график этой функции симметричен относительно оси ординат. Продемонстрировать свойства функции можно на рисунке, где изображена на координатной плоскости единичная окружность. В первой и четвертой четвертях отмечены точки, симметричные относительно оси абсцисс. Косинус определяется абсциссой точки, поэтому для двух точек L(t) и N(-t) абсциссы одинаковые. Поэтому cos (-t)= cos t.
Третье свойство отмечает промежутки убывания и возрастания функции. В свойстве указано, что функция убывает на отрезке , а на отрезке [π;2π] косинус возрастает. На рисунке продемонстрирован график функции, на котором хорошо видно область убывания и возрастания функции.
Очевидно, что функция у = cos х возрастает на каждом отрезке [π+2πk;2π+2πk]. Отрезки убывания в общем виде выглядят так , где k - целое число.
В четвертом свойстве отмечается ограниченность функции косинуса сверху и снизу. Аналогично синусу, можно отметить ограниченность значений косинуса -1<= cos х<=1. Поэтому функция является ограниченной.
В пятом свойстве указано наименьшее и наибольшее значения функции. При этом наименьшее значение -1 достигается в любой точке х= π+2πk, а наибольшее значение 1 достигается в любой точке х=2πk.
Шестое свойство указывает на непрерывность функции у = cos х. На рисунке, где изображен график, видно, что данная функция не имеет разрывов на всей области определения.
В седьмом свойстве функции указано, множество значений у = cos х располагается на отрезке [-1;1].
Далее рассматриваются примеры, в которых необходимо использовать знания о свойствах функции у = cos х. В первом примере необходимо решить уравнение cos х=1-х 2 . Решением данного уравнения будут точки пересечения графиков функций, которые представлены выражениями правой и левой части уравнения, то есть у = cos х и у=1-х 2 . Очевидно, что график первого уравнения - синусоида, продемонстрированная в теме ранее. График второй функции - парабола, вершина которой располагается в точке (0;1). Построив графики каждой функции, на рисунке к данной задаче видно, что единственной точкой пересечения двух графиков будет точка В(0;1).
Во втором примере необходимо построить и прочитать график функции, которая определяется на отрезке х<π/2 выражением sinx, а на отрезке х>=π/2 выражением cosx. На рисунке, сопровождающем решение примера, строится график функции у=sinx на отрезке [-3π/2; π/2]. При этом в точке π/2 функция не принимает значение. На отрезке [π/2; 3π/2] строится фрагмент функции у = cos х. Очевидно, построенные фрагменты будут повторяться по всей области определения. Далее описывается, как читается функция. Отмечается, что это означает описать ее свойства. Перечисляются свойства данной функции - область определения (-∞;+∞), отсутствие признаков четности или нечетности для всей области определения, ограниченность функции и сверху, и снизу. Наибольшим значением функции будет 1, а наименьшим -1. Также отмечается наличие разрыва в точке х=π/2, множество значений функции (-1;1).
Видеоурок «Функция у = cos х, ее свойства и график» применяется на уроке математики по данной теме в качестве наглядного материала. Также данное видео может быть полезным для формирования необходимых умений у учеников учителю, который проводит обучение дистанционно. Материал может быть рекомендован для самостоятельного рассмотрения ученикам, которые недостаточно хорошо освоили тему и требуют дополнительных занятий.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Прежде чем построить график функции у = cos x, вспомним формулу приведения, по которой cos x = sin(x + 14ПЂ2)"> (косинус аргумента икс равен синусу аргумента икс плюс пи на два). Это значит, что функции у = cos x и
у = sin(x + 14ПЂ2)"> тождественно равны, следовательно их графики совпадают.
Для построения графика функции у = sin(x + 14ПЂ2)"> нам понадобится вспомогательная система координат с началом в точке В(- 14ПЂ2"> ; 0) (в точке бэ с координатами минус пи на два, ноль).Если в новой системе координат построить график функции у = sin x, то получим график функции
у = sin(x + 14ПЂ2)"> или же график функции у = cos x, так как их графики совпадают(смотри рис.1).
Поскольку график функции у = cos x получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние 14ПЂ2"> в отрицательном направлении, то график этой функции также является синусоидой.
Изображение графика функции у = cos x дает наглядное представление о свойствах этой функции.
СВОЙСТВО 1. Область определения - множество всех действительных чисел или D (f) = (- 14в€ћ"> ; + 14в€ћ">) (дэ от эф равно промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности).
СВОЙСТВО 2. Функция у = cos x четная.
На уроках в 9 классе мы изучили, что функция у = f (x), х ϵХ (игрек равно эф от икс, где икс принадлежит множеству икс большое) называется четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство
f (- x) = f (x)(эф от минус икс равно эф от икс).
СВОЙСТВО 3.На отрезке [ 0 ; π ](от нуля до пи) функция убывает, возрастает на отрезке [ π ; 2π ] (от пи до двух пи) и так далее.
Можно сделать общий вывод: функция у = cos x возрастает на отрезке
[π 14+2ПЂk "> ; 142ПЂ+2ПЂk"> ] (от пи плюс два пи ка до двух пи плюс два пи ка), а убывает на отрезке [ 14 2ПЂk"> ; 14ПЂ+2ПЂk]"> (от двух пи ка до пи плюс два пи ка), где (ка принадлежит множеству целых чисел).
СВОЙСТВО 4.Функция ограничена сверху и снизу.
СВОЙСТВО 5. Наименьшее значение функции равно минус единице и достигается в любой точке вида х = 14ПЂ+2ПЂk"> (или можно записать у наим. = - 1); наибольшее значение равно 1 и достигается в любой точке вида х = 142ПЂk">
(или можно записать у наиб. = 1).
СВОЙСТВО 6.Функция у = cos x является непрерывной.
СВОЙСТВО 7. Множество значений функции - отрезок от минус одного до одного(или можно записать Е(f) = [ - 1; 1]).
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1.Решить уравнение cos x= 1 - х 2 (косинус икс равно один минус икс в квадрате).
Решение. Решим это уравнение графически. В одной системе координат построим два графика функций: у = cos x и у = 1 - х 2 . Графиком функции
у = 1 - х 2 является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при икс в квадрате отрицателен. (см. рис.2) У построенных графиков только одна общая точка - это точка В(0; 1)(бэ с координатами ноль, один).
Решение. Строить график будем «по кусочкам». Сначала построим часть графика функции у = sin x на открытом луче (- 14в€ћ"> ; 14ПЂ2">) , затем в этой же системе координат на луче [ 14 ПЂ2"> ; + 14в€ћ">) построим часть графика функции у = cos x. Получим график функции у = f(x).
Прочитаем график этой функции (это значит перечислим свойства функции):
- Область определения - множество всех действительных чисел, т.е.
D(f) = (- 14в€ћ ; + в€ћ)"> (т.е. дэ от эф равно промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности).
- Функция не является ни четной, ни нечетной.
- Функция и снизу, и сверху ограничена.
- Наименьшее значение функции равно минус один (таких точек бесконечно много) , наибольшее значение функции равно единице(таких точек тоже бесконечно много) .
- Функция имеет разрыв в точке х = 14ПЂ 2"> .
- Множеством значений функции является отрезок от минус единицы до единицы.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тема урока: “Функция у=cosx”
Урок №1
Цели урока: Ознакомить учащихся со свойствами функции
Задачи урока.
Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.
Ход урока
| № | Этап урока | Демонстрация слайдов | Время |
| 1 | Организационный момент. Приветствие | ||
| 2 | Объявление темы и цели урока | ||
| 3 | Актуализация опорных знаний
Выполнение устных упражнений. |
Фронтальный опрос |
|
| 4 | Изложение нового материала
Задача на построение графика у =cosx на отрезке Обсуждение свойств функции у =cosx на отрезке Задача на построение эскиза графика функции у = cosх Обсуждение свойств функции у = cosx |
Занесение свойств в таблицу |
|
| 5 | Решение задач по учебнику №708, №709 |
Решение проходит в сопровождении cлайда №4 | |
| 6 | Задача на построение графика
функции со сдвигом вдоль оси ординат и вдоль оси
абсцисс.
Обсуждение свойств функции |
||
| 7 | Самостоятельная работа по учебнику | №710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3) |
|
| Подведение итогов.
Итоги урока. Выставление оценок. |
|||
| 9 | Домашнее задание | §40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4).
Построить графики функций у =cosx на и описать свойства этой
функции. Дополнительно №717 (1) |
Цель урока: Ознакомить учащихся со свойствами функцииу=cosx, обучение построению графика функции у=cosx, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.
2. Объявление темы и цели урока сопровождается слайдом №2
3. Актуализация опорных знаний
Выполнение устных упражнений.
- Повторить определение тригонометрических функций и знаки значений этих функций.
- Обратить внимание учащихся на то, что для любого действительного числа можно указать соответствующую точку на единичной окружности, а следовательно ее абсциссу и ординату, т.е. косинус и синус числа х: у = cosx и у = sinx, область определения которых – все действительные числа.
Затем учащиеся отвечают на вопросы:
- При каких значениях х функция у=cosx принимает значение, равное 0? 1? -1?
- Может ли функция у=cosx принимать значение больше 1, меньше -1?
- При каких значениях х функция у=cosx принимает наибольшее (наименьшее) значение?
- Каково множество значений функции у=cosx?
Ответы на эти и следующие вопросы сопровождаются иллюстрацией на единичной окружности.
Повторив знаки значений тригонометрических функций в каждой четверти координатной плоскости, учащимся предлагается показать несколько точек единичной окружности, соответствующих числам, косинус которых положительное (отрицательное) число. Затем ответить на вопросы:
1) Какой знак имеет значение функции у=cosx, если х=, х=,
0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?
2) Укажите несколько значений х, при которых значения функции у = cosx положительны, отрицательны.
3) Можно ли назвать все значения числа , косинус которых положителен, отрицателен?
4) Можно ли назвать все значения аргумента х, при которых значения функции у = cosx положительны, отрицательны?
5) Четная или нечетная функция у= cosx.
6) Чему равен период этой функции?
4. Изложение нового материала.
Обобщение и конкретизация знаний полученных ранее: исследование области определения, множества значений, четности, периодичности позволяет построить график сначала на отрезке, затем на отрезке , а затем на всей числовой прямой. Объяснение сопровождается слайдом №3.
Затем учащиеся учатся изображать эскиз графика функции у= cosx по точкам (0;1), (;0),
(:-1), (;0), (;1) и обобщают свойства функции, записывая их в таблицу.
Проверяем с помощью слайда №4.
(На этом этапе выдаются опорные конспекты (приложение 1))
5. Закрепление первичных знаний.
С помощью эскиза графика функции у=cosx учащиеся отвечают на вопросы №708, с помощью таблицы свойств функции у=cosх отвечают на вопросы №709
6. Задача на построение графика функции со сдвигом вдоль оси ординат и вдоль оси абсцисс.
1. Слайд №5, 6
В ходе беседы обсуждаются свойства этих функций.
7. Самостоятельная работа по учебнику
№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710
Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция у = cosx возрастала, а на другом убывала:
Убывает; - возрастает
Убывает; - возрастает
Используя свойство возрастания или убывания функции у = cosx, сравнить числа:
На отрезке функция у = cosx убывает; , следовательно, .
На отрезке функция у = cosx возрастает;
<, следовательно, cos < cos
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку :
1) cosx = х = ±+2n, n Z
Ответ: ; ; .
2) cosx = - х = ±
8. Подведение итогов.
Выставление оценок.
На уроке научились строить график функции у = cosx, читать свойства этого графика, строить эскиз графика, решать задачи связанные с использованием графика и свойств функции у = cosx.
9. Домашнее задание.
§40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4). Построить графики функций у =cosx на и описать свойства этой функции.
Дополнительно №717(1).
Тема: “Функция у=cosx”
Урок №2
Цели урока: Повторить правила построения графика функцииу=cosx, научиться применять приемы преобразования графика, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.
Задачи урока.
Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx при различных преобразованиях, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.
Развивающая – формирование способности анализировать, обобщать полученные знания. Формирование логического мышления.
Воспитательная – активизировать интерес к получению новых знаний, воспитание графической культуры, формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей.
Оснащене: мультимедийный проектор, экран, операционная система Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, программа MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.
Ход урока
| № | Этап урока | Демонстрация слайдов | Время |
| 1 | Организационный момент. Приветствие | 1 | |
| 2 | Объявление темы и цели урока | 2 | |
| 3 | Проверка домашнего задания | №717(1), Слайд №7 |
5 |
| 4 | Изложение нового материала
Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к оси ОХ Обсуждение свойств функции у =k·cosx при k>1 и
0 Задача на построение графика путем сжатия и
растяжения к ори ОУ Обсуждение свойств функции у = cos(k·x) при k>1 и
0 |
Слайд №8, 9 |
12 |
| 5 | Закрепление первичных знаний.
Решение
задач по учебнику №713(1;3), №715(1) №716(1) |
№717(2) учебник стр. 208. При решении №715(1), №716(1) использовать построенный график функции у = cos2x. Слайд №10 | 5 |
| 6 | Задача на построение графика
функции симметричного относительно оси абсцисс.
1. Организационный момент. Приветствие. 2. Объявление темы и цели урока сопровождается слайдом №2. 3. Проверка домашнего задания 4. Изложение нового материала 1. Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к оси ОХ. Обсуждение свойств функции у =k·cosx при k>1 и
0 Слайд № 8 2. Задача на построение графика путем сжатия и
растяжения к оси ОУ. Обсуждение свойств функции у = cos(kx) при k>1 и
0 Слайд № 9 5. Закрепление первичных знаний Решение задач по учебнику №713(1;3), №715(1) №716(1) Задание №715(1) №716(1) проверяем с помощью слайда
№10 6. Задача на построение графика функции
симметричного относительно оси абсцисс Обсуждение свойств функции.
Слайд №11
(использовать опорный конспект (приложение
1)) 7. Самостоятельная работа Решение тестовых задач.
(Половина учащихся
решает тесты в XL (приложение 2), за
компьютерами,вторая половина на раздаточном
материале (приложение 3). Затем
учащиеся меняются местами.) 8. Итоги урока. В результате изучения темы учащиеся научились
строить график функции у = cosх, читать свойства
функции, строить графики функции используя
различные преобразования, читать свойства
графиков с преобразованиями, решать простейшие
задачи используя графики и свойства функции у =
cosх. Выставление оценок. 9. Домашнее задание. §40 №717(3), №713(4), №715(4), №716(2). Дополнительно №719(2)
(Проверка слайд №13) В начале следующего урока можно предложить
учащимся выполнить работу по построению
графиков на готовых раздаточных материалах ( |
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = cos х, ее основные свойства и график.В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = cost на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=cost, её основные свойства и график
Функцией называется закон, по которому каждому значению независимого аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
Вспомним определение функции Пусть t - любое действительное число. Ему соответствует единственная точка M на числовой окружности. У точки M есть единственная абсцисса. Она и называется косинусом числа t. Каждому значению аргумента t соответствует только одно значение функции (рис. 1).
Центральный угол численно равен величине дуги в радианах, т.е. числу Поэтому аргументом может быть и действительное число, и угол в радианах.
Если мы умеем для каждого значения определить то можем построить график функции
Можно получить график функции и другим способом. По формулам приведения 
поэтому график косинуса - это синусоида, сдвинутая по оси x
на влево (рис.2).
Свойства функции
1) Область определения:
2) Область значений: 
3) Функция четная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения с осью абсцисс:
6) Координаты точки пересечения с осью ординат:
7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:
8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Промежутки возрастания:
10) Промежутки убывания:
11) Точки минимума: 
12) Минимум функции: .
13) Точки максимума: 
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели основные свойства и график функции Далее они будут использоваться при решении задач.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.6, 16.7, 16.9.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().