Как понять что функция возрастает. Возрастание, убывание и экстремумы функции

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика . К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.

Навигация по странице.

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

На первом шаге нужно найти область определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x=0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

Функция возрастает при , убывает на интервале (0;2] .

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Другими словами:

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

Находим область определения функции.
Находим производную функции на области определения.
Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .

Находим производную:

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5 , знаменатель обращается в ноль при x=2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .

Графическая иллюстрация.

Ответ:

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .

Пример.

Найдите точки экстремума и экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:

Найдем производную функции:

В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:

В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите раздел исследование функции на непрерывность):

Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:

Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6 .

То есть,

Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются , точками максимума являются .

Вычисляем соответствующие минимумы функции

Вычисляем соответствующие максимумы функции

Графическая иллюстрация.

Ответ:

Второй признак экстремума функции.

Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .

"Возрастание и убывание функции"

Цели урока:

1. Научить находить промежутки монотонности.

2. Развитие мыслительных способностей, обеспечивающих анализ ситуации и разработку адекватных способов действия (анализ, синтез, сравнение).

3. Формирование интереса к предмету.

Ход урока

Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применениик исследованию функций. Фронтальная работа

А теперь дадим некоторые определения свойствам функции “Мозговой штурм”

1. Что называют функцией?

2. Как называется переменная Х?

3. Как называется переменная Y?

4. Что называется областью определения функции?

5. Что называется множеством значения функции?

6. Какая функция называется чётной?

7. Какая функция называется нечётной?

8. Что можно сказать о графике чётной функции?

9. Что можно сказать о графике нечётной функции?

10. Какая функция называется возрастающей?

11. Какая функция называется убывающей?

12. Какая функция называется периодической?

Математика изучает математические модели. Одной из главнейших математических моделей является функция. Существуют разные способы описания функций. Какой самый наглядный?

– Графический.

– Как построить график?

– По точкам.

Этот способ подойдет, если заранее известно, как примерно выглядит график. Например, что является графиком квадратичной функции, линейной функции, обратной пропорциональности, функции y = sinx? (Демонстрируются соответствующие формулы, учащиеся называют кривые, являющиеся графиками.)

А что если требуется построить график функции или еще более сложной? Можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими точками?

Поставить на доске две точки, попросить учеников показать, как может выглядеть график “между ними”:

Выяснить, как ведет себя функция, помогает ее производная.

Откройте тетради, запишите число, классная работа.

Цель урока: узнать, как связан график функции с графиком ее производной, и научиться решать задачи двух видов:

1. По графику производной находить промежутки возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции;

2. По схеме знаков производной на промежутках находить интервалы возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции.

Подобные задания отсутствуют в наших учебниках, но встречаются в тестах единого государственного экзамена (часть А и В).

Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности

Для решения поставленной задачи, нам необходимо вспомнить некоторые вопросы, рассмотренные ранее.

Итак, запишем тему сегодняшнего урока: Признаки возрастания и убывания функции.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в), т.е.f"(x) > 0, то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f"(x) < 0, то функция в этом интервале убывает

Порядок нахождения промежутков монотонности:

Найти область определения функции.

1. Найти первую производную функции.

2. решать самой на доске

Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции. Найти промежутки монотонности функций:

а) область определения,

б) найдем первую производную:,

в)найдем критические точки: ; , и

3. Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

указатьна точки экстремума

Рассмотрим несколько примеровисследования функции на возрастание и убывание.

Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет

1. Найти Д(f).

2. Найти f"(x).

3. Найти стационарные точки, т.е. точки, где f"(x) = 0 или f"(x) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.

5. Определить знаки производной на каждом из интервалов

6. Применить признаки.

7. Записать ответ.

Закрепление нового материала.

Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.

а) у = х³ - 6 х² + 9 х - 9;

б) у = 3 х² - 5х + 4.

Двое работают у доски.

а) у = 2 х³ – 3 х² – 36 х + 40

б) у = х4-2 х³

3.Итог урока

Домашнее задание: тест (дифференцированный)

Производной. Если производная функции положительна для любой точки интервала, то функция возрастает, если отрицательна – убывает.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти область ее определения, производную, решить неравенства вида F’(x) > 0 и F’(x)

Решение.

3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³

Решение.
1. Найдем область определения функции. Очевидно, что выражение, стоящее в знаменателе, должно всегда быть отличным от нуля. Поэтому 0 исключается из области определения: функция определена при x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Вычислим производную функции:
y’(x) = ((3·x² + 2·x - 4)’ ·x² – (3·x² + 2·x - 4) · (x²)’)/x^4 = ((6·x + 2) ·x² – (3·x² + 2·x - 4) ·2·x)/x^4 = (6·x³ + 2·x² – 6·x³ – 4·x² + 8·x)/x^4 = (8·x – 2·x²)/x^4 = 2· (4 - x)/x³.

3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³

4. Левая часть неравенства имеет один действительный х = 4 и обращается в при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток , и в промежуток убывания, а точка 0 не включается .
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Источники:

как найти на функции промежутки убывания

Функция представляет собой строгую зависимость одного числа от другого, или значения функции (y) от аргумента (х). Каждый процесс (не только в математике), может быть описан своей функцией, которая будет иметь характерные особенности: промежутки убывания и возрастания, точки минимумов и максимумов и так далее.

Вам понадобится

- бумага;
- ручка.

Инструкция

Пример 2.
Найти промежутки убывания f(x)=sinx +x.
Производная данной функции будет равна: f’(x)=cosx+1.
Решая неравенство cosx+1

Интервалом монотонности функции можно назвать промежуток, в котором функция либо только возрастает, либо только убывает. Ряд определенных действий поможет найти такие диапазоны для функции, что нередко требуется в алгебраических задачах подобного рода.

Инструкция

Первым шагом в решении задачи по определению интервалов, в которых функция монотонно возрастает или убывает, станет вычисление данной функции. Для этого узнайте все значения аргументов (значения по оси абсцисс), для которых можно найти значение функции. Отметьте точки, в которых наблюдаются разрывы. Найдите производную функции. Определив выражение, которое представляет собой производную, приравняйте его к нулю. После этого следует найти корни получившегося . Не про область допустимых .

Точки, в которых функция либо в которых ее производная равна нулю, представляют собой границы интервалов монотонности . Эти диапазоны, а также точки, их разделяющие, следует последовательно внести в таблицу. Найдите знак производной функции в полученных промежутках. Для этого подставьте в выражение, соответствующее производной, любой аргумент из интервала. Если результат положительный, функция в данном диапазоне возрастает, в обратном случае - убывает. Результаты вносятся в таблицу.

В строку, обозначающую производную функции f’(x), записывается соответствующий значениям аргументов : «+» - если производная положительна,«-» - отрицательна или «0» – равна нулю. В следующей строке отметьте монотонность самого исходного выражения. Стрелка вверх соответствует возрастанию, вниз – убыванию. Отметьте функции. Это точки, в которых производная равна нулю. Экстремум может быть либо точкой максимума, либо точкой минимума. Если предыдущий участок функции возрастал, а текущий убывает, это точка максимума. В случае, когда до данной точки функция убывала, а теперь возрастает – это точка минимума. Внесите в таблицу значения функции в точках экстремума.

Источники:

что такое определение монотонность

Исследование поведения функции, имеющей сложную зависимость от аргумента, проводится с помощью производной. По характеру изменения производной можно найти критические точки и участки роста или убывания функции.

Пусть на некоторой плоскости задана прямоугольная система координат. Графиком некоторой функции , (X- область определения) называется множество точек этой плоскости с координатами, где .

Для построения графика нужно изобразить на плоскости множество точек, координаты которых (x;y) связаны соотношением .

Чаще всего графиком функции является некоторая кривая.

Самый простой способ построения графика - построение по точкам.

Составляется таблица, в которой в одной ячейке стоит значение аргумента, а в противоположной ей значение функции от этого аргумента. Затем полученные точки отмечаются на плоскости, и через них проводится кривая.

Пример построения по точкам графика функции :

Построим таблицу.

Теперь строим график.

Но таким способом не всегда возможно построить достаточно точный график - для точности нужно брать очень много точек. Поэтому используют различные методы исследования функции.

С полной схемой исследования функции знакомятся в высших учебных заведениях. Одним из пунктов исследования функции является нахождение промежутков возрастания (убывания) функции.

Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если , для любых x 2 и x 1 из этого промежутка, таких, что x 2 >x 1 .

Например, функция, график которой изображен на следующем рисунке, на промежутках возрастает, а на промежутке (-5;3) убывает. То есть, на промежутках график идет «в гору». А на промежутке (-5;3) «под гору».

Еще одним из пунктов исследования функции является исследование функции на периодичность.

Функция называется периодичной, если существует такое число T, что .

Число T называют периодом функции. Например, функция периодична, здесь период равен 2П, так

Примеры графиков периодичных функций:

Период первой функции равен 3, а второй – 4.

Функция называется четной, если Пример четной функции y=x 2 .

Функция называется нечетной, если Пример нечетной функции y=x 3 .

График четной функции симметричен относительно оси ОУ (осевая симметрия).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия).

Примеры графиков четной (слева) и нечетной (справа) функции.

Экстремумы функции

Определение 2

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.

Определение 3

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

Определение 4

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Теорема 2

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f"(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) >0$ или производная $f"\left(x\right)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

Правило исследования функции на экстремум

2) Найти производную $f"(x)$;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f"(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f"\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f"(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f"\left(x\right)0$ функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения - все действительные числа;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

Рисунок 3.

6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом промежутке:

\ \}