К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.
Виды числовых промежутков
| Название | Изображение | Неравенство | Обозначение |
|---|---|---|---|
| Открытый луч | x > a | (a ; +∞) | |
| x < a | (-∞; a ) | ||
| Замкнутый луч | x ⩾ a | [a ; +∞) | |
| x ⩽ a | (-∞; a ] | ||
| Отрезок | a ⩽ x ⩽ b | [a ; b ] | |
| Интервал | a < x < b | (a ; b ) | |
| Полуинтервал | a < x ⩽ b | (a ; b ] | |
| a ⩽ x < b | [a ; b ) |
В таблице a и b - это граничные точки, а x - переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.
Граничная точка - это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие - закрашенным кругом.
Открытый и замкнутый луч
Открытый луч - это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.
Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а значит расположенных правее точки 2:
Такое множество можно задать неравенством x > 2. Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок - (2; +∞), данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.
Множество, которому соответствует неравенство x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
Замкнутый луч - это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.
Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства x ⩾ 2 и x ⩽ 2 можно изобразить так:
Обозначаются данные замкнутые лучи так: , читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.
Отрезок
Отрезок - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.
Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:
Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством -2 ⩽ x ⩽ 3 или обозначить [-2; 3], такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.
Интервал и полуинтервал
Интервал - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.
Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:
Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством -2 < x < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.
Полуинтервал - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:
Обозначаются данные полуинтервалы так: (-2; 3] и [-2; 3), читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3 , и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.
Ответ - Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число - точкой этой прямой. Пусть a - произвольная точка числовой прямой и δ
Положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.
Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.
Числовым промежутком называется связанное множество действительных чисел, то есть такое, что если 2 числа принадлежат этому множеству, то все числа заключенные между ними также принадлежат этому множеству. Существует несколько в некотором смысле различных типов непустых числовых промежутков: Прямая, открытый луч, замкнутый луч, отрезок, полуинтервал, интервал
Числовая прямая
Множество всех действительных чиселназывают ещё числовой прямой. Пишут.
На практике нет необходимости различать понятие координатной или числовой прямойв геометрическом смысле и понятие числовой прямой, введённое настоящим определением. Поэтому эти разные понятия обозначаются одним и тем же термином.
Открытый луч
Множество
чисел таких,
чтоилиназывают открытым
числовым лучом. Пишут
или
соответственно:
.
Замкнутый луч
Множество
чисел таких,
чтоилиназывают замкнутым
числовым лучом. Пишут
или
соответственно:.
Множество чисел таких, чтоназывают числовым отрезком.
Замечание. В определении не оговаривается, что . Предполагается, что случайвозможен. Тогда числовой промежуток превращается в точку.
Интервал
Множество чисел , таких чтоназывают числовым интервалом.
Замечание. Совпадение обозначений открытого луча, прямой и интервала не случайно. Открытый луч можно понимать как интервал, один из концов которого удалён в бесконечность, а числовую прямую - как интервал, оба конца которого удалены в бесконечность.
Полуинтервал
Множество чисел , таких чтоилиназывают числовым полуинтервалом.
Пишут или, соответственно,
3.Функция.График функции. Способы задания функции.
Ответ - Если даны две переменные х и y, то говорят, что переменная y является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого значения ходнозначно определить значение у.
Запись F = у(х) означает, что рассматривается функция, позволяющая для любого значения независимой переменной х (из числа тех, которые аргумент х вообще может принимать) находить соответствующее значение зависимой переменной у.
Способы задания функции.
Функция может быть задана формулой, например:
у = 3х2 – 2.
Функция может быть задана графиком. С помощью графика можно установить, какое значение функции соответствует указанному значению аргумента. Обычно это приближённое значение функции.
4.Основные характеристики функции: монотонность, четность, периодичность.
Ответ -
Периодичность
Определение.
Функция f называется периодичной,
если существует такое число 
,
что f(x+
)=f(x), для
всех x
D(f).
Естественно,
что таких чисел существует бесчисленное
множество. Наименьшее положительное
число ^ Т называется периодом
функции.
Примеры.
А. у = соs х,
Т = 2
.
В.
у = tg х, Т =
.
С.
у = {х}, Т = 1.
D. у =
, эта
функция не является
периодической.
Четность
Определение.
Функция f называется четной, если
для всех х из D(f) выполняется
свойство f(-х) = f(х).
Если f(-х)
= -f(х), то функция называется нечетной.
Если
ни одно из указанных соотношений не
выполняется, то функция называется
функцией общего вида.
Примеры.
А.
у = соs (х) - четная;
В. у = tg (х) -
нечетная;
С. у = {х}; y=sin(x+1) –
функции общего вида.
Монотонность
Определение.
Функция f: X -> R называется
возрастающей (убывающей), если для
любых
выполняется
условие:
Определение.
Функция Х ->R называется монотонной
на X, если она на X возрастающая
или убывающая.
Если f монотонна
на некоторых подмножествах из X, то
она называется кусочно-монотонной.
Пример. у
= cos х - кусочно-монотонная
функция.
По данной аналитической модели назовите соответствующий числовой промежуток, для этого сделай клик по цифре, стоящей рядом. х>12 х 12 ВЕРНО! Проверка ОТКРЫТЫЙ ЛУЧ 12 х 12 ВЕРНО! Проверка 1 2 4 3 ОТКРЫТЫЙ ЛУЧ"> 12 х 12 ВЕРНО! Проверка 1 2 4 3 ОТКРЫТЫЙ ЛУЧ"> 12 х 12 ВЕРНО! Проверка 1 2 4 3 ОТКРЫТЫЙ ЛУЧ" title="По данной аналитической модели назовите соответствующий числовой промежуток, для этого сделай клик по цифре, стоящей рядом. х>12 х 12 ВЕРНО! Проверка 1 2 4 3 ОТКРЫТЫЙ ЛУЧ"> title="По данной аналитической модели назовите соответствующий числовой промежуток, для этого сделай клик по цифре, стоящей рядом. х>12 х 12 ВЕРНО! Проверка 1 2 4 3 ОТКРЫТЫЙ ЛУЧ">
По данной аналитической модели назовите соответствующий числовой промежуток, для этого сделай клик по цифре, стоящей рядом. х х -7 ВЕРНО! Проверка ЛУЧ
По данной геометрической модели назовите соответствующий числовой промежуток, для этого сделай клик по цифре, стоящей рядом. х -3 ВЕРНО! Проверка ЛУЧ
По данной геометрической модели назовите соответствующий числовой промежуток, для этого сделай клик мышью по цифре, стоящей рядом ВЕРНО! Проверка х ПОЛУИНТЕРВАЛ
Х 17 ВЕРНО! Проверка По данной геометрической модели назовите соответствующий числовой промежуток, для этого сделай клик мышью по цифре, стоящей рядом. ОТКРЫТЫЙ ЛУЧ
По данному обозначению назовите соответствующую геометрическую модель, для этого сделай клик по цифре, стоящей рядом. ВЕРНО! х 7 9 х 7 9 х 9 7 х ПОЛУИНТЕРВАЛ
ВЕРНО! По данному обозначению назовите соответствующую геометрическую модель, для этого сделай клик по цифре, стоящей рядом х 8 х 8 х 8 х ОТРЕЗОК
ВЕРНО! По данному обозначению назовите соответствующую геометрическую модель, для этого сделай клик по цифре, стоящей рядом. -8 х х х х ОТКРЫТЫЙ ЛУЧ
3 х -10-3, Выберите числа, принадлежащие данному промежутку, для этого сделай клик на числе.
8 19 х Выберите числа, принадлежащие данному промежутку, для этого сделай клик на числе. 8 19 х Выберите числа, принадлежащие данному промежутку, для этого сделай клик на числе.
Геометрическая модель ОбозначениеНазвание числового промежутка Аналитическая модель Заполните таблицу 2 х х х 3 ? Отрезок? ? ? Луч?? х 25 ?? Интервал? х -3 ??? ? Полуинтервал?? 2 х???
Числовой интервал
Промежуток , открытый промежуток , интервал - множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b , то есть множество чисел x , удовлетворяющих условию: a < x < b . Промежуток не включает концов и обозначается (a ,b ) (иногда ]a ,b [ ), в отличие от отрезка [a ,b ] (замкнутого промежутка), включающего концы, то есть состоящего из точек .
В записи (a ,b ) , числа a и b называют концами промежутка. Промежуток включает все вещественные числа , промежуток - все числа меньшие a и промежуток - все числа большие a .
Термин промежуток используется в составе сложных терминов:
- при интегрировании - промежуток интегрирования ,
- при уточнении корней уравнения - промежуток изоляции
- при определении сходимости степенных рядов - промежуток сходимости степенного ряда .
Кстати, в английском языке словом interval называется отрезок . А для обозначения понятия интервала используется термин open interval .
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: «Астрель», «АСТ», 2002
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Числовой интервал" в других словарях:
От лат. intervallum промежуток, расстояние: В музыке: Интервал отношение высот двух тонов; отношение звуковых частот этих тонов. В математике: Интервал (геометрия) множество точек прямой, заключённых между точками А и В,… … Википедия
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Промежуток, открытый промежуток, интервал множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b, то есть множество чисел x, удовлетворяющих условию: a < x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение… … Википедия
Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если, то множество называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через, то есть В случае отрезок … Википедия
Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия
МИКРОСКОП - (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия
ГОСТ Р 53187-2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий - Терминология ГОСТ Р 53187 2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий оригинал документа: 1 Дневной оценочный уровень звука. 2 Вечерний оценочный максимальный уровень звука. 3 Ночной оценочный уровень звукового давления … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе. Отрезок множество точек, к … Википедия
Коэффициент корреляции - (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора
Числовые промежутки. Контекст. Определение
Равенство (уравнение) имеет одну точку на числовой прямой (хотя это точка зависит от проделанных преобразований и выбранного корня). Само решение уравнения будет числовым множеством (иногда состоящим из одного числа). Однако, всё это на числовой прямой (визуализации множества вещественных чисел) будет отображаться лишь точечно, но существуют также более обобщённые типы отношений между двумя числами - неравенства . В них числовая прямая разделяется некоторым числом и от неё отсекается определённая часть - значения выражения или числовой промежуток.
Тему числовых промежутков логично обсуждать вместе с неравенствами, но это отнюдь не означает, что она связана лишь с ними. Числовые промежутки (интервалы, отрезки, лучи) являются множеством значений переменной, удовлетворяющих некоему неравенству. То есть, по сути, это множество всех точек на числовой прямой, ограниченной какими-то рамками. Поэтому наиболее тесно связана тема числовых промежутков с понятием переменной . Там, где есть переменная, или произвольная точка x на числовой прямой, и её применяют, используют, есть и числовые промежутки, интервалы - значения x. Часто значение может быть любым, но это тоже числовой промежуток, охватывающий всю числовую прямую.
Введём понятие числового промежутка . Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства. Тогда как множеством решения уравнения будет не числовой промежуток, а просто несколько чисел на числовой прямой, с неравенствами, иначе говоря, любыми ограничениями значения переменной появляются числовые промежутки.
Числовой промежуток - это множество всех точек числовой прямой, ограниченное данным числом или числами (точками на числовой прямой).
Числовой промежуток любого вида (множество значений x, заключённых между некоторыми числами) всегда можно представить тремя видами математических обозначений: специальными обозначениями промежутков, цепочками неравенств (одним неравенством или двойным неравенством) или геометрически на числовой прямой. По сути, все эти обозначения имеют один смысл. Они дают ограничение(-я) для значений какого-то математического объекта, переменной величины (некоторой переменной, любого выражения с переменной, функции и т.д.).
Из вышесказанного можно понять, что так как можно по-разному ограничить область числовой прямой (есть разные типы неравенств), то и типы числовых промежутков бывают разные.
Виды числовых промежутков
Каждый тип числового промежутка имеет собственное название, особое обозначение. Для обозначения числовых промежутков используют круглую и квадратную скобку. Круглая скобка означает, что конечная, определяющая границу, точка на числовой прямой (конец) у этой скобки не входит во множество точек данного промежутка. Квадратная скобка означает, что конец входит в промежуток. С бесконечностью (с этой стороны промежуток не ограничен) используют круглую скобку. Иногда вместо круглых скобок можно писать квадратные, повёрнутые в обратную сторону: (a;b) ⇔]a;b[
| Вид промежутка (название) | Геометрическое изображение (на числовой прямой) | Обозначение | Запись с помощью неравенств (для краткости всегда цепочками) |
|---|---|---|---|
| Интервал (открытый) | (a;b) | a < x < b | |
| Сегмент (отрезок) | a ≤ x ≤ b | ||
| Полуинтервал (полусегмент) | a < x ≤ b | ||
| Луч | x ≤ b | ||
| Открытый луч | (a;+∞) | x > a | |
| Открытый луч | (-∞;b) | x < b | |
| Множество всех чисел (на координатной прямой) | (-∞;+∞) , хотя здесь следует указать конкретное множество-носитель алгебры, с которым производится работа; пример: ℝ | x ∈ ℝ (обычно говорят о множестве вещественных чисел, для представления комплексных чисел используют уже комплексную плоскость, а не прямую) | |
| Равенство | или x=a | x = a (частный случай нестрогого неравенства: a ≤ x ≤ a - интервал длины 1, где оба конца совпадают - отрезок, состоящий из одной точки) | |
| Пустое множество | ∅ | Пустое множество тоже является промежутком - у переменной x нет значений (пустое множество). Обозначение: x∈∅⇔x∈{ } . |
С названиями промежутков может возникнуть путаница: есть огромное количество вариантов. Поэтому лучше всегда точно их указывать. В англоязычной литературе используется только термин интервал ("interval" ) - открытый, замкнутый, полуоткрытый (полузамкнутый). Вариаций много.
С помощью промежутков в математике обозначается очень большое количество вещей: есть промежутки изоляции при решении уравнений, промежутки интегрирования, промежутки сходимости рядов. Промежутками принято всегда обозначать при при исследовании функции её область значений и область определения. Промежутки очень важны, например, есть теорема Больцано - Коши (можно узнать больше в "Википедии").
Системы и совокупности неравенств
Система неравенств
Итак, переменную x или значение некоторого выражения можно сравнить с какой-то постоянной величиной - это неравенство, но можно сравнивать это выражение с несколькими величинами - двойное неравенство, цепочка неравенств и т. д. Именно это было показано выше - как интервал и отрезок. И то, и то является системой неравенств .
Итак, если ставится задача найти множество общих решений двух или больше неравенств, то можно говорить о решении системы неравенств (также как с уравнениями — хотя можно сказать, что уравнения - это частный случай).
Тогда очевидно, что значение переменной, использованной в неравенствах, при котором каждое из них обращается в верное, называется решение системы неравенств.
Все неравенства, входящие в систему объединяют фигурной скобкой - "{". Иногда их записывают в виде двойного неравенства (как показано выше) или даже цепочкой неравенств . Пример типичной записи: f x ≤ 30 g x ≥ 5 .
Решение систем линейных неравенств с одной переменной в общем случае сводится к вот этим 4 видам: x > a x > b (1) x > a x < b (2) x < a x > b (3) x < a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a .
Любую систему можно решать графически с использованием числовой прямой. Там, где решения составляющих систему неравенств пересекаются и будет решение самой системы.
Представим для каждого случая графическое решение.
(1) x>b (2) aДалее, системы неравенств можно классифицировать как равносильные, если они имеют общее множество решений. Отсюда (как можно видеть выше) следует, что более сложные системы можно упрощать (например, используя геометрическое решение).
Фигурную скобку можно условно, грубо говоря, назвать эквивалентом союза "И " для неравенств
Совокупность неравенств
Однако, бывают и другие случаи. Так кроме пересечения множеств решений бывает их объединение: если ставится задача найти множество всех таких значений переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств, то говорят, что надо решить совокупность неравенств.
Итак, все неравенства в совокупности объединяют скобкой совокупности "[". Если значение переменной удовлетворяет хотя бы одному неравенству из совокупности, то оно принадлежит множеству решений всей совокупности. Также и с уравнениями (опять же их можно назвать частным случаем).
Если фигурная скобка - и , то скобка совокупности - это, условно, говоря простым языком, эквивалент союза "ИЛИ " для неравенств (хотя это, конечно, будет логическое или, включающее случай, удовлетворяющий обоим условиям).
Итак, решение совокупности неравенств - это значение переменной, при котором хотя бы одно неравенство, обращается в верное.
Множество решений, как совокупности, так и системы неравенств, можно определить через две основные бинарные операции для работы с множествами - пересечение и объединение. Множество решений системы неравенств - это пересечение множеств решений неравенств, её составляющих. Множество решений совокупности неравенств - это объединение множеств решений неравенств, её составляющих. Это тоже можно проиллюстрировать. Допустим у нас есть система и совокупность из двух неравенств. Множество решений первого обозначим A , а множество решений второго обозначим B . Прекрасной иллюстрацией будет диаграмма Эйлера-Венна.
A ∪ B - решение системы неравенств A ∩ B - решение совокупности неравенств