Прямоугольник – это частный случай четырехугольника. Это значит, что у прямоугольника четыре стороны. Его противоположные стороны равны: так например, если одна из его сторон равна 10 см, то противоположная ей будет так же равны 10 см. Частным случаем прямоугольника является квадрат. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади квадрата можно пользоваться тем же алгоритмом, что и для вычисления площади прямоугольника.
Как узнать площадь прямоугольника по двум сторонам
Для того чтобы найти площадь прямоугольника, надо умножить его длину на ширину: Площадь = Длина × Ширина. В случае, указанном ниже: Площадь = AB × BC.
Как узнать площадь прямоугольника по стороне и длине диагонали
В некоторых задачах необходимо найти площадь прямоугольника, используя длину диагонали и одну из сторон. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Следовательно, можно определить вторую сторону прямоугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора. После этого задача сводится к предыдущему пункту.
Как узнать площадь прямоугольника по периметру и стороне
Периметр прямоугольника – это сумма всех его сторон. Если известен периметр прямоугольника и одна сторона (например ширина), можно вычислить площадь прямоугольника, воспользовавшись следующей формулой:
Площадь = (Периметр×ширина – ширина^2)/2.
Площадь прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и длину диагонали
Диагонали в прямоугольнике равны, поэтому, чтобы вычислить площадь на основании длины диагонали и синуса острого угла между ними, следует воспользоваться следующей формулой: Площадь = Диагональ^2 × sin(острого угла между диагоналями)/2.
Инструкция
Например, вам , что длина одной из сторон (а) равна 7 см, а периметр прямоугольника (P) равен 20 см. Так как периметр любой фигуры равен сумме длин ее сторон, а у прямоугольника противоположные стороны равны, то его периметр а будет выглядеть следующим образом: P = 2 x (a + b), или P = 2a + 2b. Из этой формулы следует, что найти длину второй стороны (b) можно с помощью несложной операции: b = (P – 2a) : 2. Так, в нашем случае сторона b будет равна (20 – 2 х 7) : 2 = 3 см.
Теперь, зная длины обеих смежных сторон (a и b), вы сможете подставить их в формулу площади S = ab. В данном случае прямоугольника будет равна 7х3 = 21. Обратите на то, что единицами измерения будут уже не , а сантиметры квадратные, так как длин двух сторон единицы их измерения (сантиметры) вы тоже умножали друг на друга.
Источники:
- как находится периметр прямоугольника
Плоская фигура, состоящая из четырех сторон и четырех прямых углов. Из всех фигур площадь прямоугольника приходится вычислять чаще других. Это и площадь квартиры, и площадь садового участка, и площадь поверхности стола или полки. Например, чтобы просто оклеить комнату обоями, вычисляют площадь ее прямоугольных стен.
Инструкция
Кстати, из прямоугольника можно легко вычислить площадь . Достаточно достроить прямоугольный до прямоугольника так, чтобы гипотенуза стала диагональю прямоугольника . Тогда будет очевидно, что площадь такого прямоугольника равна произведению катетов треугольника, а площадь самого треугольника, соответственно, равна половине произведения катетов.
Видео по теме
Частный случай параллелограмма - прямоугольник – известен только в геометрии Евклида. У прямоугольника равны все углы, и каждый из них по отдельности составляет 90 градусов. Исходя из частных свойств прямоугольника , а также из свойств параллелограмма о параллельности противолежащих сторон можно найти стороны фигуры по заданным диагоналям и углу от их пересечения. Вычисление сторон прямоугольника основывается на дополнительных построениях и применении свойств получаемых фигур.
Инструкция
Буквой А отметьте точку пересечения диагоналей. Рассмотрите образованный построениями EFА. Согласно свойству прямоугольника его диагонали равны и пополам точкой пересечения А. Вычислите значения FА и EА. Так как треугольник EFА равнобедренным и его стороны EА и FА равны между собой и соответственно равны половине диагонали EG.
Далее вычислите первую EF прямоугольника . Данная сторона является третьей неизвестной стороной рассматриваемого треугольника EFА. Согласно теореме косинусов по соответствующей формуле найдите сторону EF. Для этого подставьте в формулу косинусов полученные ранее значения сторон FА EА и косинус известного угла между ними α. Вычислите и запишите полученное значение EF.
Найдите вторую сторону прямоугольника FG. Для этого рассмотрите другой треугольник EFG. Он является прямоугольным, где известны гипотенуза EG и катет EF. Согласно теореме Пифагора найдите второй катет FG по соответствующей формуле.
Относится к простейшим плоским геометрическим фигурам и является одним из частных случаев параллелограмма. Отличительная черта такого параллелограмма - прямые углы во всех четырех вершинах. Ограниченную сторонами прямоугольника площадь можно вычислить несколькими способами, используя размеры его сторон, диагонали и углы между ними, радиус вписанной окружности и т.д.
Инструкция
Если известна величина угла (α), который составляет диагональ прямоугольника с одной из его сторон, а также длина (С) этой диагонали, то для вычисления площади можно задействовать определения тригонометрических в прямоугольном . Прямоугольный треугольник здесь образуют две стороны четырехугольника и его диагональ. Из определения косинуса вытекает, что длина одной из сторон будет равна произведению длины диагонали на угла, величина известна. Из определения синуса можно вывести формулу длины другой стороны - она равна произведению длины диагонали на синус все того же угла. Подставьте эти тождества в формулу из предыдущего шага, и получится, что для нахождения площади надо перемножить синус и косинус известного угла, а также длины диагонали прямоугольника : S=sin(α)*cos(α)*С².
Если кроме длины диагонали (С) прямоугольника известна величина угла (β), который образуют диагонали, то для вычисления площади фигуры можно тоже задействовать одну из тригонометрических функций - синус. Возведите в квадрат длину диагонали и умножьте полученный результат на половину синуса известного угла: S=С²*sin(β)/2.
Если известен (r) вписанной в прямоугольник окружности, то для вычисления площади возведите эту величину во вторую степень и увеличьте результат в четыре раза: S=4*r². Четырехугольник, в который можно , будет являться квадратом, а длина его стороны равна диаметру вписанной окружности, то есть удвоенному радиусу. Формула получена подстановкой длин сторон, выраженных через радиус в тождество из первого шага.
Если известны длины (P) и одной из сторон (A) прямоугольника , то для нахождения площади внутри этого периметра вычислите половину произведения длины стороны на разницу между длиной периметра и двумя длинами этой стороны: S=A*(P-2*A)/2.
Видео по теме
С задачей найти периметр или площадь многоугольника сталкиваются не только ученики на уроках геометрии. Порой ее случается решать и взрослому человеку. Приходилось ли вам рассчитывать необходимое количество обоев для комнаты? Или, может быть, вы измеряли протяженность дачного участка, чтобы огородить его забором? Так знания основ геометрии иногда незаменимы для осуществления важных проектов.
Инструкция
Длину прямоугольника можно найти несколькими способами. Все зависит от исходных данных.
Вариант первый, пожалуй, самый простой.
Если известны ширина прямоугольника и его площадь, воспользуемся формулой площади. Известно, что площадь прямоугольника произведению ширины и длины прямоугольника .
Периметр прямоугольника возможно найти сложив величины ширины и длины и помножив полученное число на два. Находим неизвестную сторону.
Периметр делим на два и от полученного отнимаем ширину.
Если известна только ширина прямоугольника и длина диагонали, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Разделим прямоугольник на два равных прямоугольных .
Следующий способ: известен угол меж диагоналями прямоугольника и диагональ. Рассмотрим треугольник, образованный прямоугольника и половинками диагоналей. По теореме косинусов вы и найдете эту сторону прямоугольника .
Источники:
- найти ширину прямоугольника
- Какова длина прямоугольника, если известна его ширина
О том, что такое периметр, каждый из нас узнал еще в младших классах. нахождением сторон квадрата при известном периметре проблем обычно не возникает даже у тех, кто закончил школу давно и успел забыть курс математики. Однако решить аналогичную задачу в отношении прямоугольника или прямоугольного треугольника удается без подсказки не всем.
Инструкция
Предположим, что имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c, у которого один из углов равен 30 , а второй 60. На рисунке видно, что a = c*sin?, а b = c*cos?. Зная, что периметр любой фигуры, в и треугольника, равен сумме всех его сторон, получаем:a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pИз этого выражения можно найти неизвестную сторону c, которая является гипотенузой для треугольника. Так как угол? = 30, после преобразования получим:c*sin ?+c*cos ?+c=c/2+c*sqrt(3)/2+c=pОтсюда следует, что с=2p/Соответственно a = c*sin ?=p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/
Как уже сказано выше, диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30 и 60 градусов. Поскольку равен p=2(a + b), ширину
a и длину
b прямоугольника можно найти, исходя из того, что диагональ является гипотенузой прямоугольных треугольников:a = p-2b/2=p/2
b= p-2a/2=p/2Эти два уравнения прямоугольника. По ним вычисляются длина и ширина этого прямоугольника с учетом получившихся углов при проведении его диагонали.
Видео по теме
Обратите внимание
Как найти длину прямоугольника,если известен периметр и ширина? Вычесть из периметра удвоенную ширину, тогда получим удвоенную длину. Потом делим её пополам, чтобы найти длину.
Полезный совет
Еще из начальной школы многие помнят, как найти периметр любой геометрической фигуры: достаточно узнать длину всех ее сторон и найти их сумму. Известно, что в такой фигуре, как прямоугольник, длины сторон равны попарно. Если ширина и высота прямоугольника имеют одинаковую длину, то он называется квадратом. Обычно длиной прямоугольника называют наибольшую из сторон, а шириной – наименьшую.
Источники:
- что такое ширина периметра в 2019
Совет 3: Как найти площади треугольника и прямоугольника
Треугольник и прямоугольник - две простейшие плоские геометрические фигуры в Евклидовой геометрии. Внутри периметров, образованных сторонами этих многоугольников, заключен некоторый участок плоскости, площадь которого можно определить многими способами. Выбор способа в каждом конкретном случае будет зависеть от известных параметров фигур.
Инструкция
Применяйте для нахождения площади треугольника одну из формул, использующих тригонометрические , если известны величины одного или нескольких углов в . Например, при известной величине угла (α) и длинам сторон, его составляющих (В и С), площадь (S) можно по формуле S=В*С*sin(α)/2. А при величинах всех углов (α, β и γ) и длине одной стороны в придачу (А) можно использовать формулу S=А²*sin(β)*sin(γ)/(2*sin(α)). Если кроме всех углов известен (R) описанной окружности, то воспользуйтесь формулой S=2*R²*sin(α)*sin(β)*sin(γ).
Если величины углов не известны, то для нахождения площади треугольника можно использовать без тригонометрических функций. Например, если (Н), проведенная из стороны, которой тоже известна (А), то воспользуйтесь формулой S=А*H/2. А если даны длины каждой из сторон (А, В и С), то сначала найдите полупериметр p=(А+В+С)/2, а затем вычислите площадь треугольника по формуле S=√(p*(p-А)*(p-В)*(p-С)). Если кроме (А, В и С) известен радиус (R) описанной окружности, то применяйте формулу S=А*В*С/(4*R).
Для нахождения площади прямоугольника тоже можно задействовать тригонометрические функции - например, если известна длина его диагонали (С) и величина угла, который она с одной из сторон (α). В этом случае воспользуйтесь формулой S=С²*sin(α)*cos(α). А если известны длины диагоналей (С) и величина угла, который они составляют (α), то применяйте формулу S=С²*sin(α)/2.
Без тригонометрических функций при нахождении площади прямоугольника можно обойтись, если известны длины его перпендикулярных сторон (А и В) - можно применить формулу S=А*В. А если дана длина периметра (P) и одной стороны (А), то воспользуйтесь формулой S=А*(P-2*А)/2.
Видео по теме
Деление является одним из основных арифметических действий. Оно противоположно умножению. В результате этого действия можно узнать, сколько раз одно из заданных чисел содержится в другом. При этом делением можно заменить бесконечное количество вычитаний одного и того же числа. В задачниках регулярно встречается задание найти неизвестное делимое.
Вам понадобится
- - калькулятор;
- - лист бумаги и карандаш.
Инструкция
Обозначьте неизвестное делимое как х. Известные данные запишите либо заданными числами, либо буквенными символами. Например, задание может выглядеть так: х:а=b. При этом а и b могут быть любыми числами, как , так и . Частное в виде целого числа означает, что деление произведено без остатка. Для того чтобы найти делимое, умножьте частное на делитель. Формула будет выглядеть так: х=а*b.
Если делитель или частное не являются целыми, вспомните особенности умножения простых и десятичных дробей. В первом случае числители и знаменатели перемножаются. Если же одно число целое, а другое представляет собой простую дробь, на первое умножается числитель второго. Десятичные дроби умножаются точно так же, как и целые числа, но количество разрядов справа от запятой суммируется, причем конечный ноль при этом учитывается.
Допустим, что две стороны прямоугольника, имеющие одну общую точку (т.е. его длина ) заданы координатами трех точек A(X₁,Y₁), B(X₂,Y₂) и C(X₃,Y₃). Четвертую точку можно не рассматривать - ее координаты никак не влияют на . Длина проекции стороны AB на ось абсцисс будет равна разности соответствующих координат этих точек (X₂-X₁). Аналогично определяется и длина проекции на ось ординат: Y₂-Y₁. Значит длина самой стороны, согласно теореме Пифагора, может быть найдена, как квадратный корень
Вспоминаем школьную геометрию:
Периметр прямоугольника - это будет сумма длин всех сторон, а площадь прямоугольника - это уже произведение двух смежных его сторон (длину на ширину).
В данном случае нам известны и Площадь и Периметр прямоугольника. Они равны 56 см^2 и 30 см соответственно.
Итак, решение:
S - площадь = а x b;
Р - периметр = а + b + a + b = 2a + 2b;
30 = 2 (а + b);
Делаем подставление:
56 = (15 - b) x b;
56 = 15 b - b^2;
b^2 - 15b + 56 = 0.
Получили квадратное уравнение, решая которое получаем: b1 = 8, b2 = 7.
Находим и другую сторону прямоугольника:
a1 = 15 - 8 = 7;
a2 = 15 - 7 = 8.
Ответ: стороны прямоугольника равны 8 и 7 см или же 7 и 8 см.
Если периметр прямоугольника Р = 30 см, а его площадь S = 56 см, то его стороны будут равны:
а - одна сторона, в - другая сторона прямоугольника.
Решив эту систему, приходим к тому, что сторона а будет равна 7 см, а сторона в будет равна 8 см.
а = 7 см в = 8 см.
Дано: S = 56 см
Р = 30 см
Стороны=?
Решение:
Пусть стороны прямоугольника a и b.
Тогда: площадь S = a * b , периметр Р=2*(a + b),
Получим систему уравнений:
{a*b=56 ? {ab=56
{2(a+b)=30, {a+b=15 ,выражая b через а получим квадратное уравнение:
b=15-a, a^2 -15a +56 =0 ,решая которое,получим:
b1=8, b2=7. То есть стороны прямоугольника: a=7,b=8 ,или наоборот:a=8,b=7.
Итак, для начала рассмотрим формулы для нахождения площади и периметра:
1) S = a * b = 56 см2;
2) Р = 2а + 2b = 30 см.
Ведь мы знаем, что прямоугольник имеет по две одинаковых стороны.
Таким образом нам требуется решить систему из двух уравнений:
Отсюда получаем, что одна сторона равна 7, а другая 8.
Зная формулы периметра прямоугольника и его площади, стороны ищутся в виде решения системы двух уравнений. Для начала выражаем значение одной стороны через другую и например площадь.Это выглядит так А=S/В=56/В
Затем подставляем это выражение вместо буквы А в уравнении для периметра:
Р=2(56/В + В)=30
Получаем что 56/В+В=15
В этом уравнении даже решать его не надо - любому человеку знакомому с таблицей умножения сразу видно, что 56 это произведение 7 и 8, а поскольку и сумма этих цифр как раз 15, то они и есть нужные нам значения сторон прямоугольника.
Можно попробовать решить данную задачу, составив систему уравнений.
Периметр прямоугольника равен: p=2a+2b;
Площадь прямоугольника равна: s=a*b;
Так как мы знаем периметр и площадь, то сразу подставляем числа:
Выражаем b через a во втором уравнении:
И подставляем 56/a вместо b в первое уравнение:
Домножаем обе части на a:
Получаем квадратное уравнение:
Находим корни этого квадратного уравнения:
(15(15-4*1*56))/2*1 = (15(225-224))/2 = (151)/2 = (151)/2
Получилось, что корни этого уравнения:
a1=(15+1)/2=16/2=8;
a2=(15-1)/2=14/2=7;
Получается, что у нас 2 возможных варианта прямоугольников.
Вспомним, что мы выразили: b=56/a;
Отсюда находим возможные b:
b1=56/a1=56/8=7;
b2=56/a2=56/7=8;
Как оказалось эти два разных прямоугольника - это один и тот же, просто достигнуть периметра в 30 при площади в 56 можно:
Если a=7 и b=8.
Либо наоборот: a=8 и b=7.
То есть в сущности у нас один и тот же прямоугольник, просто в одном варианте вертикальная сторона больше горизонтальной, а в другом наоборот - горизонтальная больше вертикальной.
Ответ: одна сторона 7 сантиметров, а вторая 8 сантиметров.
Чтобы решить поставленную задачу, нужно составить систему уравнений и решить ее
получим квадратное уравнение, которое легко решается, если подставить в него значения периметра и площади
Дискриминант равен 1 и уравнение имеет два корня 7 и 8, следовательно одна из сторон равна 7 см, другая 8 см или наоборот.
Я специально выписал здесь дискриминант, так как по нему очень хорошо ориентироваться
если в условии задачи на нахождение сторон прямоугольника значение периметра и площади заданы так, что этот дискриминант больше ноля , тогда мы имеем прямоугольник ;
если дискриминант равен нолю - тогда имеем квадрат (P=30, S=56,25, квадрат со стороной 7,5);
если дискриминант меньше ноля , то тогда такой прямоугольник не существует (P=20, S=56 - решения нет)
Периметр 30, площадь 56. Назовем стороны прямоугольника а и с. Тогда можем составить такие уравнения:
Обозначим одну сторону буквой Х, другую - буквой Y.
Площадь прямоугольника вычисляется умножением длин сторон, следовательно, мы можем составить первое уравнение:
Периметр - это сумма длин сторон, следовательно, второе уравнение такое:
Получаем систему двух уравнений.
По первому уравнению выделяем Х: Х=56:Y, подставляем это во второе уравнение:
2*56:Y+2Y=30 Отсюда уже легко найти значение Y: Y=7, тогда Х=8.
Нашла еще такое решение,
Известно, что периметр прямоугольника 30 а площадь 56, далее:
периметр = 2*(длина + ширина) или 2L + 2W
площадь= длина * ширина или L * W
2L + 2W = 30 (делим обе части на 2)
L * (15 - L) = 56
Честно говоря, не совсем поняла решение, но думаю, тот, кто не совсем подзабыл математику, разберется.
Сторона А=7, сторона В=8
Площадь прямоугольника, как не будет дерзко звучать, но это важное понятие. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с ним. Узнать размер полей, огородов, рассчитать количество краски, необходимой для побелки потолка, сколько понадобится обоев для оклейки ко
мнаты и другое.
Геометрическая фигура
Для начала поговорим о прямоугольнике. Это фигура на плоскости, которая имеет четыре прямых угла, а ее противоположные стороны равны. Стороны его привыкли называть длиной и шириной. Измеряют их в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т. д. Теперь ответим на вопрос: «Как найти площадь прямоугольника?» Для этого необходимо длину умножить на ширину.
Площадь=длина*ширина
Но еще одна оговорка: длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах измерения, то есть метр и метр, а не метр и сантиметр. Записывается площадь латинской буквой S. Для удобства обозначим длину латинской буквой b, а ширину латинской буквой a, как показано на рисунке. Отсюда мы делаем вывод, что единицей измерения площади является мм 2 , см 2 , м 2 и т. д.
Рассмотрим на конкретном примере, как найти площадь прямоугольника. Длина b=10 ед. Ширина a=6 ед. Решение: S=a*b, S=10 ед.*6 ед., S=60 ед 2 . Задача. Как узнать площадь прямоугольника, если длина в 2 раза больше ширины и составляет 18 м? Решение: если b=18 м, тогда а=b/2, a=9 м. Как найти площадь прямоугольника, если известны обе стороны? Правильно, подставить в формулу. S=a*b, S=18*9, S=162 м 2 . Ответ: 162 м 2 . Задача. Сколько необходимо купить рулонов обоев для комнаты, если ее размеры составляют: длина 5,5 м ширина 3,5, а высота 3 м? Размеры рулона обоев: длина 10 м, ширина 50 см. Решение: сделаем рисунок комнаты.
Площади противоположных сторон равны. Вычислим площадь стены с размерами 5,5 м и 3 м. S стены 1 =5,5*3,
S стены 1 =16,5 м 2 . Следовательно, противоположная стена имеет площадь равную 16,5 м 2 . Найдем площади следующих двух стен. Стороны их, соответственно, равны 3,5 м и 3 м. S стены 2 =3,5*3, S стены 2 =10,5 м 2 . Значит, и противоположная сторона равна 10,5 м 2 . Сложим все результаты. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 м 2 . Как вычислить площадь прямоугольника, если стороны выражены в разных единицах измерения. Ранее мы вычисляли площади в м 2 , то и в этом случае будем использовать метры. Тогда ширина рулона обоев будет равна 0,5 м. S рулона =10*0,5, S рулона =5 м 2 . Теперь узнаем, сколько рулонов необходимо для оклейки комнаты. 54:5=10,8 (рулонов). Так как они измеряются целыми числами, то нужно купить 11 рулонов обоев. Ответ: 11 рулонов обоев. Задача. Как вычислить площадь прямоугольника, если известно, что ширина на 3 см короче длины, а сумма сторон прямоугольника составляет 14 см? Решение: пусть длина х см, тогда ширина (х-3) см. х+(х-3)+х+(х-3)=14, 4х-6=14, 4х=20, х=5 см - длина прямоугольника, 5-3=2 см - ширина прямоугольника, S=5*2, S=10 см 2 Ответ: 10 см 2 .
Резюме
Рассмотрев примеры, надеюсь, стало понятно, как найти площадь прямоугольника. Напомню, что единицы измерения длины и ширины должны совпадать, иначе получится неправильный результат, чтобы не допустить ошибок, читайте задание внимательно. Иногда сторона может быть выражена через другую сторону, не стоит бояться. Обратитесь к нашим решенным задачам, вполне возможно, они могут помочь. Но хоть раз в жизни мы сталкиваемся с нахождением площади прямоугольника.