Инструкция

Длину прямоугольника можно найти несколькими способами. Все зависит от исходных данных.

Вариант первый, пожалуй, самый простой.

Если известны ширина прямоугольника и его площадь, воспользуемся формулой площади. Известно, что площадь прямоугольника произведению ширины и длины прямоугольника .

Периметр прямоугольника возможно найти сложив величины ширины и длины и помножив полученное число на два. Находим неизвестную сторону.

Периметр делим на два и от полученного отнимаем ширину.

Если известна только ширина прямоугольника и длина диагонали, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Разделим прямоугольник на два равных прямоугольных .

Следующий способ: известен угол меж диагоналями прямоугольника и диагональ. Рассмотрим треугольник, образованный прямоугольника и половинками диагоналей. По теореме косинусов вы и найдете эту сторону прямоугольника .

Источники:

• найти ширину прямоугольника
• Какова длина прямоугольника, если известна его ширина

О том, что такое периметр, каждый из нас узнал еще в младших классах. нахождением сторон квадрата при известном периметре проблем обычно не возникает даже у тех, кто закончил школу давно и успел забыть курс математики. Однако решить аналогичную задачу в отношении прямоугольника или прямоугольного треугольника удается без подсказки не всем.

Инструкция

Предположим, что имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c, у которого один из углов равен 30 , а второй 60. На рисунке видно, что a = c*sin?, а b = c*cos?. Зная, что периметр любой фигуры, в и треугольника, равен сумме всех его сторон, получаем:a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pИз этого выражения можно найти неизвестную сторону c, которая является гипотенузой для треугольника. Так как угол? = 30, после преобразования получим:c*sin ?+c*cos ?+c=c/2+c*sqrt(3)/2+c=pОтсюда следует, что с=2p/Соответственно a = c*sin ?=p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

Как уже сказано выше, диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30 и 60 градусов. Поскольку равен p=2(a + b), ширину a и длину b прямоугольника можно найти, исходя из того, что диагональ является гипотенузой прямоугольных треугольников:a = p-2b/2=p/2
b= p-2a/2=p/2Эти два уравнения прямоугольника. По ним вычисляются длина и ширина этого прямоугольника с учетом получившихся углов при проведении его диагонали.

Видео по теме

Обратите внимание

Как найти длину прямоугольника,если известен периметр и ширина? Вычесть из периметра удвоенную ширину, тогда получим удвоенную длину. Потом делим её пополам, чтобы найти длину.

Полезный совет

Еще из начальной школы многие помнят, как найти периметр любой геометрической фигуры: достаточно узнать длину всех ее сторон и найти их сумму. Известно, что в такой фигуре, как прямоугольник, длины сторон равны попарно. Если ширина и высота прямоугольника имеют одинаковую длину, то он называется квадратом. Обычно длиной прямоугольника называют наибольшую из сторон, а шириной – наименьшую.

Источники:

• что такое ширина периметра в 2019

Совет 3: Как найти площади треугольника и прямоугольника

Треугольник и прямоугольник - две простейшие плоские геометрические фигуры в Евклидовой геометрии. Внутри периметров, образованных сторонами этих многоугольников, заключен некоторый участок плоскости, площадь которого можно определить многими способами. Выбор способа в каждом конкретном случае будет зависеть от известных параметров фигур.

Инструкция

Применяйте для нахождения площади треугольника одну из формул, использующих тригонометрические , если известны величины одного или нескольких углов в . Например, при известной величине угла (α) и длинам сторон, его составляющих (В и С), площадь (S) можно по формуле S=В*С*sin(α)/2. А при величинах всех углов (α, β и γ) и длине одной стороны в придачу (А) можно использовать формулу S=А²*sin(β)*sin(γ)/(2*sin(α)). Если кроме всех углов известен (R) описанной окружности, то воспользуйтесь формулой S=2*R²*sin(α)*sin(β)*sin(γ).

Если величины углов не известны, то для нахождения площади треугольника можно использовать без тригонометрических функций. Например, если (Н), проведенная из стороны, которой тоже известна (А), то воспользуйтесь формулой S=А*H/2. А если даны длины каждой из сторон (А, В и С), то сначала найдите полупериметр p=(А+В+С)/2, а затем вычислите площадь треугольника по формуле S=√(p*(p-А)*(p-В)*(p-С)). Если кроме (А, В и С) известен радиус (R) описанной окружности, то применяйте формулу S=А*В*С/(4*R).

Для нахождения площади прямоугольника тоже можно задействовать тригонометрические функции - например, если известна длина его диагонали (С) и величина угла, который она с одной из сторон (α). В этом случае воспользуйтесь формулой S=С²*sin(α)*cos(α). А если известны длины диагоналей (С) и величина угла, который они составляют (α), то применяйте формулу S=С²*sin(α)/2.

Без тригонометрических функций при нахождении площади прямоугольника можно обойтись, если известны длины его перпендикулярных сторон (А и В) - можно применить формулу S=А*В. А если дана длина периметра (P) и одной стороны (А), то воспользуйтесь формулой S=А*(P-2*А)/2.

Видео по теме

Деление является одним из основных арифметических действий. Оно противоположно умножению. В результате этого действия можно узнать, сколько раз одно из заданных чисел содержится в другом. При этом делением можно заменить бесконечное количество вычитаний одного и того же числа. В задачниках регулярно встречается задание найти неизвестное делимое.

Вам понадобится

• - калькулятор;
• - лист бумаги и карандаш.

Инструкция

Обозначьте неизвестное делимое как х. Известные данные запишите либо заданными числами, либо буквенными символами. Например, задание может выглядеть так: х:а=b. При этом а и b могут быть любыми числами, как , так и . Частное в виде целого числа означает, что деление произведено без остатка. Для того чтобы найти делимое, умножьте частное на делитель. Формула будет выглядеть так: х=а*b.

Если делитель или частное не являются целыми, вспомните особенности умножения простых и десятичных дробей. В первом случае числители и знаменатели перемножаются. Если же одно число целое, а другое представляет собой простую дробь, на первое умножается числитель второго. Десятичные дроби умножаются точно так же, как и целые числа, но количество разрядов справа от запятой суммируется, причем конечный ноль при этом учитывается.

Допустим, что две стороны прямоугольника, имеющие одну общую точку (т.е. его длина ) заданы координатами трех точек A(X₁,Y₁), B(X₂,Y₂) и C(X₃,Y₃). Четвертую точку можно не рассматривать - ее координаты никак не влияют на . Длина проекции стороны AB на ось абсцисс будет равна разности соответствующих координат этих точек (X₂-X₁). Аналогично определяется и длина проекции на ось ординат: Y₂-Y₁. Значит длина самой стороны, согласно теореме Пифагора, может быть найдена, как квадратный корень

Определение.

Прямоугольник - это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.

Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника , а короткую - шириной прямоугольника .

Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.

Основные свойства прямоугольника

Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.

1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:

3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Все четыре угла прямоугольника прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:

7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.

9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

		AO = BO = CO = DO =	d
			2

10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности

11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности

12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника - квадрат).

Стороны прямоугольника

Определение.

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.

Формулы определения длин сторон прямоугольника

1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

a = √d 2 - b 2

b = √d 2 - a 2

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:

b = d cos	β
	2

Диагональ прямоугольника

Определение.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.

Формулы определения длины диагонали прямоугольника

1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):

d = √a 2 + b 2

2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:

4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:

d = 2R

5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:

d = D о

6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:

8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника

d = √2S: sin β

Периметр прямоугольника

Определение.

Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.

Формулы определения длины периметру прямоугольника

1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b )

2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:

P =	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:

P = 2(a + √d 2 - a 2 ) = 2(b + √d 2 - b 2 )

4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √4R 2 - a 2 ) = 2(b + √4R 2 - b 2 )

5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √D o 2 - a 2 ) = 2(b + √D o 2 - b 2 )

Площадь прямоугольника

Определение.

Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.

Формулы определения площади прямоугольника

1. Формула площади прямоугольника через две стороны:

S = a · b

2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:

5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

S = a √4R 2 - a 2 = b √4R 2 - b 2

6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

S = a √D o 2 - a 2 = b √D o 2 - b 2

Окружность описанная вокруг прямоугольника

Определение.

Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:

4. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диагональ квадрата :

5. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диаметр окружности (описанной):

6. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:

7. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны у этого угла:

8. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника.

Формулы для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника:

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника.

Формулы для определения угла меж диагоналей прямоугольника:

1. Формула определения угла меж диагоналей прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ.

Итак, для начала рассмотрим формулы для нахождения площади и периметра:

1) S = a * b = 56 см2;

2) Р = 2а + 2b = 30 см.

Ведь мы знаем, что прямоугольник имеет по две одинаковых стороны.

Таким образом нам требуется решить систему из двух уравнений:

Отсюда получаем, что одна сторона равна 7, а другая 8.

Зная формулы периметра прямоугольника и его площади, стороны ищутся в виде решения системы двух уравнений. Для начала выражаем значение одной стороны через другую и например площадь.Это выглядит так А=S/В=56/В

Затем подставляем это выражение вместо буквы А в уравнении для периметра:

Р=2(56/В + В)=30

Получаем что 56/В+В=15

В этом уравнении даже решать его не надо - любому человеку знакомому с таблицей умножения сразу видно, что 56 это произведение 7 и 8, а поскольку и сумма этих цифр как раз 15, то они и есть нужные нам значения сторон прямоугольника.

Можно попробовать решить данную задачу, составив систему уравнений.

Периметр прямоугольника равен: p=2a+2b;

Площадь прямоугольника равна: s=a*b;

Так как мы знаем периметр и площадь, то сразу подставляем числа:

Выражаем b через a во втором уравнении:

И подставляем 56/a вместо b в первое уравнение:

Домножаем обе части на a:

Получаем квадратное уравнение:

Находим корни этого квадратного уравнения:

(15(15-4*1*56))/2*1 = (15(225-224))/2 = (151)/2 = (151)/2

Получилось, что корни этого уравнения:

a1=(15+1)/2=16/2=8;

a2=(15-1)/2=14/2=7;

Получается, что у нас 2 возможных варианта прямоугольников.

Вспомним, что мы выразили: b=56/a;

Отсюда находим возможные b:

b1=56/a1=56/8=7;

b2=56/a2=56/7=8;

Как оказалось эти два разных прямоугольника - это один и тот же, просто достигнуть периметра в 30 при площади в 56 можно:

Если a=7 и b=8.

Либо наоборот: a=8 и b=7.

То есть в сущности у нас один и тот же прямоугольник, просто в одном варианте вертикальная сторона больше горизонтальной, а в другом наоборот - горизонтальная больше вертикальной.

Ответ: одна сторона 7 сантиметров, а вторая 8 сантиметров.

• Вспоминаем школьную геометрию:

  Периметр прямоугольника - это будет сумма длин всех сторон, а площадь прямоугольника - это уже произведение двух смежных его сторон (длину на ширину).

  В данном случае нам известны и Площадь и Периметр прямоугольника. Они равны 56 см^2 и 30 см соответственно.

  Итак, решение:

  S - площадь = а x b;

  Р - периметр = а + b + a + b = 2a + 2b;

  30 = 2 (а + b);

  Делаем подставление:

  56 = (15 - b) x b;

  56 = 15 b - b^2;

  b^2 - 15b + 56 = 0.

  Получили квадратное уравнение, решая которое получаем: b1 = 8, b2 = 7.

  Находим и другую сторону прямоугольника:

  a1 = 15 - 8 = 7;

  a2 = 15 - 7 = 8.

  Ответ: стороны прямоугольника равны 8 и 7 см или же 7 и 8 см.

  Если периметр прямоугольника Р = 30 см, а его площадь S = 56 см, то его стороны будут равны:

  а - одна сторона, в - другая сторона прямоугольника.

  Решив эту систему, приходим к тому, что сторона а будет равна 7 см, а сторона в будет равна 8 см.

  а = 7 см в = 8 см.

• Дано: S = 56 см

  Р = 30 см

  Стороны=?

  Решение:

  Пусть стороны прямоугольника a и b.

  Тогда: площадь S = a * b , периметр Р=2*(a + b),

  Получим систему уравнений:

  {a*b=56 ? {ab=56

  {2(a+b)=30, {a+b=15 ,выражая b через а получим квадратное уравнение:

  b=15-a, a^2 -15a +56 =0 ,решая которое,получим:

  b1=8, b2=7. То есть стороны прямоугольника: a=7,b=8 ,или наоборот:a=8,b=7.

Чтобы решить поставленную задачу, нужно составить систему уравнений и решить ее

получим квадратное уравнение, которое легко решается, если подставить в него значения периметра и площади

Дискриминант равен 1 и уравнение имеет два корня 7 и 8, следовательно одна из сторон равна 7 см, другая 8 см или наоборот.

Я специально выписал здесь дискриминант, так как по нему очень хорошо ориентироваться

если в условии задачи на нахождение сторон прямоугольника значение периметра и площади заданы так, что этот дискриминант больше ноля , тогда мы имеем прямоугольник ;

если дискриминант равен нолю - тогда имеем квадрат (P=30, S=56,25, квадрат со стороной 7,5);

если дискриминант меньше ноля , то тогда такой прямоугольник не существует (P=20, S=56 - решения нет)

Периметр 30, площадь 56. Назовем стороны прямоугольника а и с. Тогда можем составить такие уравнения:

Обозначим одну сторону буквой Х, другую - буквой Y.

Площадь прямоугольника вычисляется умножением длин сторон, следовательно, мы можем составить первое уравнение:

Периметр - это сумма длин сторон, следовательно, второе уравнение такое:

Получаем систему двух уравнений.

По первому уравнению выделяем Х: Х=56:Y, подставляем это во второе уравнение:

2*56:Y+2Y=30 Отсюда уже легко найти значение Y: Y=7, тогда Х=8.

Нашла еще такое решение,

Известно, что периметр прямоугольника 30 а площадь 56, далее:

периметр = 2*(длина + ширина) или 2L + 2W

площадь= длина * ширина или L * W

2L + 2W = 30 (делим обе части на 2)

L * (15 - L) = 56

Честно говоря, не совсем поняла решение, но думаю, тот, кто не совсем подзабыл математику, разберется.

Сторона А=7, сторона В=8

Прямоугольник – это частный случай четырехугольника. Это значит, что у прямоугольника четыре стороны. Его противоположные стороны равны: так например, если одна из его сторон равна 10 см, то противоположная ей будет так же равны 10 см. Частным случаем прямоугольника является квадрат. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади квадрата можно пользоваться тем же алгоритмом, что и для вычисления площади прямоугольника.

Как узнать площадь прямоугольника по двум сторонам

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, надо умножить его длину на ширину: Площадь = Длина × Ширина. В случае, указанном ниже: Площадь = AB × BC.

Как узнать площадь прямоугольника по стороне и длине диагонали

В некоторых задачах необходимо найти площадь прямоугольника, используя длину диагонали и одну из сторон. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Следовательно, можно определить вторую сторону прямоугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора. После этого задача сводится к предыдущему пункту.

Как узнать площадь прямоугольника по периметру и стороне

Периметр прямоугольника – это сумма всех его сторон. Если известен периметр прямоугольника и одна сторона (например ширина), можно вычислить площадь прямоугольника, воспользовавшись следующей формулой:
Площадь = (Периметр×ширина – ширина^2)/2.

Площадь прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и длину диагонали

Диагонали в прямоугольнике равны, поэтому, чтобы вычислить площадь на основании длины диагонали и синуса острого угла между ними, следует воспользоваться следующей формулой: Площадь = Диагональ^2 × sin(острого угла между диагоналями)/2.