Каких только задачек нам не приходится решать, фантазия составителей учебников по математике поистине неистощима. Например, как найти периметр трапеции? Для начала разберемся, что же такое трапеция. Не стоит бояться этой фигуры. Это всего-навсего прямоугольник, у которого две стороны всегда параллельны друг другу и называются основаниями, а остальные называются боковыми, и они могут быть разными. Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной. Также есть понятие прямоугольной трапеции, у которой одна из боковых сторон соединена с основанием трапеции под прямым углом.

Как находить периметр трапеции

Что такое периметр? Периметр - это сумма длин всех сторон прямоугольника, к коим трапеция также имеет непосредственное отношение. Все остальные задачи, где неизвестны некоторые величины, сводятся также к суммированию сторон после того, как все неизвестные будут найдены.

А, если все стороны равны? Если вам дана для решения задача, где даны все сторону трапеции a b c d, то их просто нужно сложить все вместе, полученный результат и будет периметром. Периметр прямоугольной трапеции. Предположим, что нам дана прямоугольная трапеция, где известно нижнее основание AD=a, неперпендикулярная сторона CD=d, а также угол Альфа.

Как решать? Проводим из вершины С высоту, которая сразу разделяет нашу трапецию на прямоугольник ABCE и треугольник ECD. Этот треугольник у нас прямой, мы знаем его гипотенузу CD, которая равна d. Теперь находим катеты треугольника по формуле CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC). Теперь мы знаем практически все. ВС = АD-ЕD, а сторона АВ соответственно равна найденному ранее катету СЕ. Теперь осталось только сложить все найденные стороны, и ответ готов.

Периметр равнобедренной трапеции

1. Известны боковые стороны и средняя линия. Как найти периметр равнобедренной трапеции, если вам известны лишь боковые равные стороны AB и CD и средняя линия EF? Средняя линия трапеции, как известно, параллельна основаниям, и к тому же равна полусумме этих оснований. И чтобы найти длину оснований, нам нужно лишь удвоить длину средней линии. Исходя из этих данных решение таково: Р=2EF+2AB
2. Известны основания и высота. В задаче могут быть известны только длины оснований и высота трапеции. Высота образует прямоугольный треугольник, причем их получается два равных. Нижний катет находится очень просто: (АD-ВС)/2. Теперь нам известны оба катета, остается лишь найти гипотенузу, применив теорему Пифагора. Гипотенуза у нас равна корню из суммы квадратов катетов.
3. Итак, мы нашли боковую сторону трапеции, их у нас две и они равны, основания нам известны изначально, поэтому нам теперь остается все только сложить, и мы получим искомый периметр. Таким образом, находить периметр трапеции совершенно несложно. Главное и первостепенное в этом деле, знать ее свойства, и тогда у вас никогда не будет проблем с решением задач по трапециям. Поэтому, прежде чем приниматься за вычисления, не помешает немного теории.

Трапеция – это двухмерная геометрическая фигура, имеющая четыре вершины и лишь две параллельные стороны. Если длина 2-х ее непараллельных сторон идентична, то трапеция именуется равнобедренной либо равнобокой. Рубеж такого многоугольника, составленную из его сторон, принято обозначать греческим словом «периметр». В зависимости от комплекта начальных данных вычислять длину периметра надобно по различным формулам.

Инструкция

1. Если знамениты длины обоих оснований (a и b) и длина боковой стороны (c), то периметр (P) этой геометрической фигуры рассчитывается дюже примитивно. Потому что трапеция равнобедренна, то ее боковые стороны имеют идентичную длину, а это значит, что вам знамениты длины всех сторон – примитивно сложите их: P = a+b+2*c.

2. Если длины обоих оснований трапеции незнакомы, но дана длина средней линии (l) и боковой стороны (c), то и этих данных довольно для вычисления периметра (P). Средняя линия параллельна обоим основаниям и по длине равна их полусумме. Удвойте это значение и добавьте к нему тоже удвоенную длину боковой стороны – это и будет периметром равнобедренной трапеции: P = 2*l+2*c.

3. Если из условий задачи знамениты длины обоих оснований (a и b) и высота (h) равнобедренной трапеции, то с подмогой этих данных дозволено восстановить длину недостающей боковой стороны. Сделать это дозволено разглядев прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет незнакомая сторона, а катетами – высота и короткий отрезок, тот, что она отсекает от длинного основания трапеции. Длину этого отрезка дозволено вычислить, поделив напополам разность между длинами большего и меньшего оснований: (a-b)/2. Длина гипотенузы (боковой стороны трапеции), согласно теореме Пифагора, будет равна квадратному корню из суммы возведенных в квадрат длин обоих вестимых катетов. Замените в формуле из первого шага длину боковой стороны полученным выражением, и вы получите такую формулу периметра: P = a+b+2*?(h?+(a-b)?/4).

4. Если в условиях задачи даны длины меньшего основания (b) и боковой стороны (c), а также высота равнобедренной трапеции (h), то рассматривая тот же вспомогательный треугольник, что и в предыдущем шаге, вам придется вычислять длину катета. Опять воспользуйтесь теоремой Пифагора – желанная величина будет равна корню из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны (гипотенузы) и высотой (катетом): ?(c?-h?). По этому отрезку незнакомого основания трапеции дозволено восстановить его длину – удвойте это выражение и добавьте к итогу длину короткого основания: b+2*?(c?-h?). Подставьте это выражение в формулу из первого шага и обнаружьте периметр равнобедренной трапеции: P = b+2*?(c?-h?)+b+2*c = 2*(?(c?-h?)+b+c).

Совет 2: Как обнаружить боковые стороны равнобедренной трапеции

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Эти стороны именуются основаниями. Их финальные точки объединены отрезками, которые именуются боковыми сторонами. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Вам понадобится

• – равнобедренная трапеция;
• – длины оснований трапеции;
• – высота трапеции;
• – лист бумаги;
• – карандаш;
• – линейка.

Инструкция

1. Постройте трапецию согласно условиям задачи. Вам обязаны быть даны несколько параметров. Как водится, это оба основания и высота. Но допустимы и другие данные - одно из оснований, его наклона к нему боковой стороны и высота. Обозначьте трапецию как АBCD, основания пускай будут a и b, высоту обозначьте как h, а боковые стороны - х. От того что трапеция равнобедренная, боковые стороны у нее равны.

2. Из вершин B и С проведите высоты к нижнему основанию. Точки пересечения обозначьте как M и N. К вас получилось два прямоугольных треугольника - AМВ и СND. Они равны, от того что по условиям задачи равны их гипотенузы АВ и CD, а также катеты ВМ и СN. Соответственно, отрезки АМ и DN также равны между собой. Обозначьте их длину как y.

3. Для того, дабы обнаружить длину суммы этих отрезков, нужно из длины основания a вычесть длину основания b. 2у=a-b. Соответственно, один такой отрезок будет равен разности оснований, деленной на 2. y=(a-b)/2.

4. Обнаружьте длину боковой стороны трапеции, которая единовременно является и гипотенузой прямоугольного треугольника с вестимыми вам катетами. Вычислите ее по теореме Пифагора. Она будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и разности оснований, деленной на 2. То есть x=?y2+h2=?(a-b)2/4+h2.

5. Зная высоту и угол наклона боковой стороны к основанию, сделайте те же самые построения. Разность оснований в этом случае вычислять не надобно. Воспользуйтесь теоремой синусов. Гипотенуза равна длине катета, умноженной на синус противолежащего ему угла. В данном случае x=h*sinCDN либо x=h*sinBAM.

6. Если вам дан угол наклона боковой стороны трапеции не к нижнему, а к верхнему основанию, обнаружьте необходимый угол, исходя из свойства параллельных прямых. Припомните одно из свойств равнобедренной трапеции, согласно которому углы между одним из оснований и боковыми сторонами равны.

Обратите внимание!
Повторите свойства равнобедренной трапеции. Если поделить оба ее основания напополам и повести через эти точки линию, то она будет осью этой геометрической фигуры.Если опустить высоту из одной вершины верхнего основания на нижнее, то на этом последнем получатся два отрезка. Скажем, в данном случае это отрезки АМ и DМ. Один из них равен полусумме оснований а и b, а иной - половине их разности.

Совет 3: Как обнаружить среднюю линию равнобедренной трапеции

Трапецией считают четырехугольник, имеющий лишь две параллельные стороны – они именуются основаниями этой фигуры. Если при этом длины 2-х других – боковых – сторон идентичны, трапеция именуется равнобедренной либо равнобокой. Линия, которая соединяет середины боковых сторон, именуется средней линией трапеции и может быть рассчитана несколькими методами.

Инструкция

1. Если знамениты длины обоих оснований (А и В), для вычисления длины средней линии (L) используйте основное качество этого элемента равнобедренной трапеции – она равна полусумме длин оснований: L = ?*(А+В). Скажем, в трапеции с основаниями, имеющими длины 10см и 20см, средняя линия должна быть равна?*(10+20) = 15см.

2. Средняя линия (L) совместно с высотой (h) равнобокой трапеции является сомножителем в формуле вычисления площади (S) этой фигуры. Если эти два параметра даны в начальных условиях задачи, для вычисления длины средней линии разделяете площадь на высоту: L = S/h. Скажем, при площади в 75 см? равнобедренная трапеция высотой в 15см должна иметь среднюю линию длиной в 75/15 = 5см.

3. При вестимых периметре (Р) и длине боковой стороны (С) равнобедренной трапеции рассчитать среднюю линию (L) фигуры тоже нетрудно. Отнимите от периметра две длины боковых сторон, а оставшаяся величина будет суммой длин оснований – поделите ее напополам, и задача будет решена: L = (P-2*С)/2. Скажем, при периметре, равном 150см, и боковой стороне длиной в 25см длина средней линии должна составить (150-2*25)/2 = 50см.

4. Зная длины периметра (P) и высоты (h), а также величину одного из острых углов (?) равнобедренной трапеции, тоже дозволено вычислить длину ее средней линии (L). В треугольнике, составленном высотой, боковой стороной и частью основания, один из углов является прямым, а величина иного вестима. Это дозволит вычислить длину боковой стороны по теореме синусов – поделите высоту на синус вестимого угла: h/sin(?). После этого подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага и вы получите такое равенство: L = (P-2*h/sin(?))/2 = P/2-h/sin(?). Скажем, если вестимый угол имеет величину в 30°, высота равна 10см, а периметр составляет 150см, длина средней линии должна быть рассчитана так: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55см.

Совет 4: Как обнаружить периметр равнобедренного треугольника

Периметр - это сумма всех сторон многоугольника. В верных многоугольниках сурово определенная связанность между сторонами разрешает упростить нахождение периметра.

Инструкция

1. В произвольной фигуре, ограниченной различными отрезками ломаной линии, периметр определяется последовательным измерением сторон и суммированием итогов измерения. Для положительных многоугольников нахождение периметра допустимо вычислением по формулам, рассматривающим связи между сторонами фигуры.

2. В произвольном треугольнике со сторонами а, b, с периметр Р вычисляется по формуле: Р=а+b+с. У равнобедренного треугольника две стороны равны между собой: а=b, и формула нахождения периметра упрощается до Р=2*а+с.

3. Если в равнобедренном треугольнике по условию даны размеры не всех сторон, то для нахождения периметра дозволено применять другие вестимые параметры, скажем площадь треугольника, его углы, высоты, биссектрисы и медианы. Скажем, если знамениты только две равные стороны равнобедренного треугольника и всякий из его углов, то третью сторону обнаружьте по теореме синусов, из которой следует, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть величина непрерывная для данного треугольника. Тогда незнакомая сторона может быть выражена через знаменитую: a=b*SinА/SinВ, где А – угол супротив неведомой стороны а, В – угол вопреки знаменитой стороны b.

4. Если знаменита площадь S равнобедренного треугольника и его основание b, то из формулы для определения площади треугольника S=b*h/2 обнаружьте высоту h: h=2*S/b. Эта высота, опущенная на основание b, делит данный равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Боковые стороны a начального равнобедренного треугольника являются гипотенузами прямоугольных треугольников. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов b и h. Тогда периметр P равнобедренного треугольника вычисляется по формуле:P=b+2*?(b?/4) +4*S?/b?).

Совет 5: Как обнаружить основание равнобедренной трапеции

Трапецией называют четырехугольник, основания которого лежат на 2-х параллельных прямых, при этом две другие стороны параллельными не являются. Нахождение основания равнобедренной трапеции требуется как при сдаче теории и решении задач в учебных заведениях, так и в ряде профессий (инженерных, архитектурных, дизайнерских).

Инструкция

1. У равнобедренной (либо равнобокой) трапеции непараллельные стороны как и углы, которые образуются при пересечении нижнего основания, равны.

2. Трапеция имеет два основания, и дабы их обнаружить, надобно вначале обозначить фигуру. Пускай дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. При этом вестимы все параметры, помимо оснований. Боковая сторона AB=CD=a, высота BH=h и площадь равна S.

3. Для решения задачи об основании трапеции проще каждого будет составить систему уравнений, дабы через взаимосвязанные величины обнаружить надобные основания.

4. Обозначьте отрезок BC за x, а AD за y, дабы в будущем было комфортно обращаться с формулами и понимать их. Если не сделать этого сразу, дозволено запутаться.

5. Выпишите все формулы, которые сгодятся при решении поставленной задачи, применяя знаменитые данные. Формула площади равнобедренной трапеции: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Пифагора: a*a = h*h +AH*AH .

6. Припомните качество равнобедренной трапеции: высоты, выходящие из вершины трапеции, отсекают равные отрезки на большом основании. Отсель следует, что два основания дозволено связать по формуле, вытекающей из этого свойства: AD=BC+2AH либо y=x+2AH

7. Обнаружьте катет AH, следуя теореме Пифагора, которую вы теснее записали. Пускай он будет равен некому числу k. Тогда формула, вытекающая из свойства равнобедренной трапеции будет выглядеть так: y=x+2k.

8. Выразите через площадь трапеции неведомую величину. У вас должно получиться: AD=2*S/h-BC либо y=2*S/h-x.

9. Позже этого подставьте данные числовые значения в полученную систему уравнений и решите ее. Решение всякий системы уравнений дозволено обнаружить механически в программе MathCAD.

Полезный совет
Усердствуйте неизменно при решении задач максимально упростить обозначения и формулы. Так решение найдется значительно стремительней.

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными и двумя не параллельными сторонами. Дабы вычислить ее периметр, необходимо знать размеры всех сторон трапеции. При этом данные в задачах могут быть различными.

Вам понадобится

• – калькулятор;
• – таблицы синусов, косинусов и тангенсов;
• – бумага;
• – чертежные принадлежности.

Инструкция

1. Самый примитивный вариант задачи – когда даны все стороны трапеции. В этом случае их надобно примитивно сложить. Дозволено воспользоваться дальнейшей формулой: p=a+b+c+d, где p – периметр, а буквами a, b, c и d обозначены стороны, противолежащие углам, обозначенным соответствующими прописными буквами.

2. Есть дана равнобедренная трапеция, довольно сложить два ее основания и прибавить к ним удвоенный размер стороны. То есть периметр в этом случае вычисляется по формуле: p=a+c+2b, где b – сторона трапеции, а и с – основания.

3. Расчеты будут несколько больше долгими, если какую-то из сторон нужно вычислить. Скажем, знаменито длинное основание, прилежащие к нему углы и высота. Вам надобно вычислить короткое основание и сторону. Для этого начертите трапецию ABCD, из верхнего угла B проведите высоту BE. У вас получится треугольник АВЕ. Вам знаменит угол А, соответственно, вы знаете его синус. В данных задачи указана также высота BE, которая единовременно является катетом прямоугольного треугольника, противолежащим знаменитому вам углу. Дабы обнаружить гипотенузу АВ которая единовременно является стороной трапеции, довольно BE поделить на sinA. Верно так же обнаружьте длину 2-й стороны. Для этого необходимо провести высоту из иного верхнего угла, то есть CF. Сейчас вам знамениты большее основание и стороны. Для вычисления периметра этого немного, надобен еще размер меньшего основания. Соответственно, в 2-х образовавшихся внутри трапеции треугольниках нужно обнаружить размеры отрезков AE и DF. Это дозволено сделать, скажем, через косинусы вестимых вам углов А и D. Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Дабы обнаружить катет, надобно гипотенузу умножить на косинус. Дальше периметр вычислите по той же формуле, что и в первом шаге, то есть сложив все стороны.

4. Еще один вариант: даны два основания, высота и одна из сторон, надобно обнаружить вторую сторону. Это также отличнее делать с применением тригонометрических функций. Для этого начертите трапецию. Возможен, вам знамениты основания АD и ВС, а также сторона АВ и высота BF. По этим данным вы можете обнаружить угол A (через синус, то есть отношение высоты к знаменитой стороне), отрезок АF (через косинус либо тангенс, от того что угол вам теснее вестим. Припомните также свойства углов трапеции – сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет 180°. Проведите высоту CF. У вас получился еще один прямоугольный треугольник, в котором вам надобно обнаружить гипотенузу CD и катет DF. Начните с катета. Вычтите из длины нижнего основания длину верхнего, а из полученного итога – длину теснее вестимого вам отрезка АF. Сейчас в прямоугольном треугольнике СFD вам знамениты два катета, то есть вы можете обнаружить тангенс угла D, а по нему – и сам угол. Позже этого останется через синус этого же угла вычислить сторону CD, как теснее было описано выше.

Видео по теме

Инструкция

Если известны длины обоих оснований (a и b) и длина боковой стороны (c), то периметр (P) этой геометрической фигуры рассчитывается очень просто. Так как трапеция равнобедренна, то ее боковые стороны имеют одинаковую длину, а , что вам известны длины всех сторон - просто сложите их: P = a+b+2*c.

Если длины обоих оснований неизвестны, но дана длина линии (l) и боковой стороны (c), то и этих данных достаточно для вычисления периметра (P). Средняя линия параллельна обоим основаниям и по длине равна их полусумме. Удвойте это и добавьте к нему тоже удвоенную длину боковой стороны - это и будет периметром равнобедренной трапеции: P = 2*l+2*c.

Если из условий задачи известны длины обоих оснований (a и b) и высота (h) равнобедренной трапеции, то с этих данных можно восстановить длину недостающей боковой стороны. Сделать это можно рассмотрев треугольник, в котором гипотенузой будет неизвестная сторона, а катетами - высота и короткий отрезок, который она отсекает от длинного основания трапеции. Длину этого отрезка можно вычислить, поделив пополам разность между длинами большего и меньшего оснований: (a-b)/2. Длина гипотенузы (боковой стороны трапеции), согласно теореме Пифагора, будет равна квадратному корню из суммы возведенных в длин обоих известных катетов. Замените в формуле из первого шага длину боковой стороны полученным выражением, и вы получите такую формулу периметра: P = a+b+2*√(h²+(a-b)²/4).

Если в задачи даны длины меньшего основания (b) и боковой стороны (c), а также высота равнобедренной трапеции (h), то рассматривая тот же вспомогательный треугольник, что и в предыдущем шаге, вам придется вычислять длину катета. Вновь воспользуйтесь теоремой Пифагора - искомая величина будет равна корню из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны (гипотенузы) и высотой (): √(c²-h²). По этому неизвестного основания трапеции можно восстановить его длину - удвойте это выражение и добавьте к результату длину короткого основания: b+2*√(c²-h²). Подставьте это выражение в формулу из первого шага и найдите периметр равнобедренной трапеции: P = b+2*√(c²-h²)+b+2*c = 2*(√(c²-h²)+b+c).

Источники:

• периметр трапеции

Совет 2: Как найти боковые стороны равнобедренной трапеции

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Эти стороны называются основаниями. Их конечные точки соединены отрезками, которые называются боковыми сторонами. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Вам понадобится

• - равнобедренная трапеция;
• - длины оснований трапеции;
• - высота трапеции;
• - лист бумаги;
• - карандаш;
• - линейка.

Инструкция

Постройте согласно условиям задачи. Вам должны быть даны несколько параметров. Как , это оба и высота. Но возможны и другие условия - одно из оснований, его наклона к нему боковой стороны и высота. Обозначьте трапецию как АBCD, основания пусть будут a и b, высоту обозначьте как h, а боковые стороны - х. Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны у нее равны.

Из вершин B и С проведите высоты к нижнему основанию. Точки обозначьте как M и N. К вас получилось два прямоугольных треугольника - AМВ и СND. Они равны, поскольку по условиям задачи равны их гипотенузы АВ и CD, а также катеты ВМ и СN. Соответственно, отрезки АМ и DN также равны между собой. Обозначьте их длину как y.

Для того, чтобы найти длину суммы этих отрезков, необходимо из длины основания a вычесть длину основания b. 2у=a-b. Соответственно, один такой отрезок будет оснований, деленной на 2. y=(a-b)/2.

Найдите длину боковой стороны трапеции, которая одновременно является и гипотенузой треугольника с известными вам катетами. Вычислите ее по теореме Пифагора. Она будет квадратному корню из суммы квадратов высоты и разности оснований, деленной на 2. То есть x=√y2+h2=√(a-b)2/4+h2.

Зная высоту и угол наклона боковой стороны к основанию, сделайте те же самые построения. Разность оснований в этом случае вычислять не нужно. Воспользуйтесь теоремой синусов. Гипотенуза равна длине катета, умноженной на синус противолежащего ему угла. В данном случае x=h*sinCDN или x=h*sinBAM.

Если вам дан угол наклона боковой стороны трапеции не к нижнему, а к верхнему основанию, найдите нужный угол, исходя из параллельных прямых. Вспомните одно из свойств трапеции, согласно которому углы между одним из оснований и боковыми сторонами равны.

Обратите внимание

Повторите свойства равнобедренной трапеции. Если разделить оба ее основания пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью этой геометрической фигуры.

Если опустить высоту из одной вершины верхнего основания на нижнее, то на этом последнем получатся два отрезка. Например, в данном случае это отрезки АМ и DМ. Один из них равен полусумме оснований а и b, а другой - половине их разности.

Источники:

• в равнобедренной трапеции основания найти боковые стороны

Совет 3: Как найти среднюю линию равнобедренной трапеции

Трапецией считают четырехугольник, имеющий лишь две параллельные стороны - они называются основаниями этой фигуры. Если при этом длины двух других - боковых - сторон одинаковы, трапеция называется равнобедренной или равнобокой. Линия, которая соединяет середины боковых сторон, называется средней линией трапеции и может быть рассчитана несколькими способами.

Инструкция

Если известны длины обоих оснований (А и В), для вычисления длины (L) используйте свойство этого элемента трапеции - она равна полусумме длин оснований: L = ½*(А+В). Например, с , имеющими длины 10см и 20см, средняя линия должна быть равна ½*(10+20) = 15см.

Средняя линия (L) вместе с высотой (h) равнобокой трапеции является сомножителем в формуле вычисления площади (S) этой фигуры. Если эти два параметра даны в исходных задачи, для вычисления длины средней линии делите площадь на высоту: L = S/h. Например, при площади в 75 см² равнобедренная трапеция высотой в 15см должна иметь среднюю длиной в 75/15 = 5см.

При известных периметре (Р) и длине боковой стороны (С) равнобедренной трапеции рассчитать среднюю линию (L) фигуры тоже несложно. Отнимите от периметра две длины боковых сторон, а оставшаяся величина будет суммой длин оснований - поделите ее пополам, и задача будет решена: L = (P-2*С)/2. Например, при периметре, равном 150см, и боковой длиной в 25см длина средней линии должна (150-2*25)/2 = 50см.

Зная длины периметра (P) и высоты (h), а также величину одного из острых углов (α) равнобедренной трапеции, тоже можно вычислить длину ее средней линии (L). В треугольнике, составленном высотой, боковой стороной и частью основания, один из углов является прямым, а величина другого известна. Это позволит вычислить длину боковой стороны по теореме синусов - разделите высоту на синус известного угла: h/sin(α). Затем подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага и вы получите равенство: L = (P-2*h/sin(α))/2 = P/2-h/sin(α). Например, если известный угол имеет величину в 30°, высота равна 10см, а периметр составляет 150см, длина средней линии должна быть рассчитана так: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55см.

Совет 4: Как найти периметр равнобедренного треугольника

Периметр - это сумма всех сторон многоугольника. В правильных многоугольниках строго определенная зависимость между сторонами позволяет упростить нахождение периметра.

Инструкция

В произвольной фигуре, ограниченной разными отрезками ломаной линии, периметр определяется последовательным измерением сторон и суммированием результатов измерения. Для правильных многоугольников возможно вычислением по формулам, учитывающим связи между сторонами фигуры.

В произвольном треугольнике со сторонами а, b, с периметр Р вычисляется по формуле: Р=а+b+с. У равнобедренного треугольника две стороны равны между собой: а=b, и нахождения периметра упрощается до Р=2*а+с.

Если в равнобедренном треугольнике по условию даны размеры не всех сторон, то для нахождения периметра можно использовать другие известные параметры, например площадь треугольника, его углы, высоты, биссектрисы и медианы. Например, если известны только две равные стороны равнобедренного треугольника и любой из его углов, то третью сторону найдите по теореме синусов, из которой следует, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная для данного треугольника. Тогда неизвестная сторона может быть выражена через известную: a=b*SinА/SinВ, где А - угол против неизвестной стороны а, В - угол против известной стороны b.

Если известна площадь S равнобедренного треугольника и его основание b, то из формулы для определения площади треугольника S=b*h/2 найдите высоту h: h=2*S/b. Эта высота, опущенная на основание b, делит заданный равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Боковые стороны a исходного равнобедренного гипотенузами прямоугольных треугольников. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов b и h. Тогда периметр P равнобедренного треугольника вычисляется по формуле:
P=b+2*√(b²/4) +4*S²/b²).

Трапецией называют четырехугольник, основания которого лежат на двух параллельных прямых, при этом две другие стороны параллельными не являются. Нахождение основания равнобедренной трапеции требуется как при сдаче теории и решении задач в учебных заведениях, так и в ряде профессий (инженерных, архитектурных, дизайнерских).

Инструкция

У равнобедренной (или равнобокой) трапеции непараллельные стороны как и углы, которые образуются при пересечении нижнего основания, равны.

Трапеция имеет два основания, и чтобы их найти, нужно сначала обозначить фигуру. Пусть дана равнобедренная ABCD с основаниями AD и BC. При этом известны все параметры, кроме оснований. Боковая сторона AB=CD=a, высота BH=h и площадь равна S.

Для решения задачи об основании трапеции проще всего будет составить систему уравнений, чтобы через взаимосвязанные величины найти нужные основания.

Обозначьте отрезок BC за x, а AD за y, чтобы в дальнейшем было удобно обращаться с формулами и понимать их. Если не сделать этого сразу, можно запутаться.

Выпишите , которые пригодятся при решении поставленной задачи, используя известные данные. Формула площади равнобедренной трапеции: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Пифагора: a*a = h*h +AH*AH .

Вспомните свойство равнобедренной трапеции: высоты, выходящие из вершины трапеции, отсекают равные отрезки на большом основании. Отсюда следует, что два основания можно связать по формуле, вытекающей из этого свойства: AD=BC+2AH или y=x+2AH

Трапеция – четырехугольник с двумя параллельными основаниями и не параллельными боковыми сторонами. Прямоугольная трапеция имеет прямой угол при одной боковой стороне.

Инструкция

1. Периметр прямоугольной трапеции равен сумме длин сторон 2-х оснований и 2-х боковых сторон. Задача 1. Обнаружьте периметр прямоугольной трапеции , если вестимы длины всех его сторон. Для этого сложите все четыре значения: P (периметр) = a + b + c + d.Это самый примитивный вариант нахождения периметра, задачи с другими исходными данными, в финальном выводе, сводятся к ней. Разглядим варианты.

2. Задача 2.Обнаружьте периметр прямоугольной трапеции , если знаменито нижнее основание AD = a, не перпендикулярная ему боковая сторона CD = d, а угол при этой боковой стороне ADC равен Альфа.Решение.Проведите высоту трапеции из вершины C на большее основание, получим отрезок CE, трапеция разделилась на две фигуры – прямоугольник ABCE и прямоугольный треугольник ECD. Гипотенуза треугольника – это вестимая нам боковая сторона трапеции CD, один из катетов равен перпендикулярной боковой стороне трапеции (по правилу прямоугольника две параллельные стороны равны – AB = CE), а иной – отрезок, длина которого равна разности оснований трапеции ED = AD – BC.

3. Обнаружьте катеты треугольника: по присутствующим формулам CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC).Сейчас вычислите верхнее основание – BC = AD – ED = a – CD*cos(ADC) = a – d*cos(Альфа).Узнайте длину перпендикулярной боковой стороны – AB = CE = d*sin(Альфа).Выходит, вы получили длины всех сторон прямоугольной трапеции .

4. Сложите полученные значения, это и будет периметр прямоугольной трапеции 😛 = AB + BC + CD + AD = d*sin(Альфа) + (a – d*cos(Альфа)) + d + a = 2*a + d*(sin(Альфа) – cos(Альфа) + 1).

5. Задача 3.Обнаружьте периметр прямоугольной трапеции , если вестимы длины его оснований AD = a, BC = c, длина перпендикулярной боковой стороны AB = b и острый угол при иной боковой стороне ADC = Альфа.Решение.Проведите перпендикуляр CE, получите прямоугольник ABCE и треугольник CED.Сейчас обнаружьте длину гипотенузы треугольника CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа).Выходит, вы получили длины всех сторон.

6. Сложите полученные значения:P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Альфа) + a = a + b*(1+1/sin(Альфа) + с.

О том, что такое периметр, всякий из нас узнал еще в младших классах. нахождением сторон квадрата при вестимом периметре задач обыкновенно не появляется даже у тех, кто завершил школу давным-давно и поспел позабыть курс математики. Впрочем решить аналогичную задачу в отношении прямоугольника либо прямоугольного треугольника получается без подсказки не каждом.

Инструкция

1. Как решить задачу по геометрии, в условии которой приведены только периметр и углы? Безусловно, если речь идет о остроугольном треугольнике либо многоугольнике, то такую задачу без умения длины одной из сторон решить нереально. Впрочем, если речь идет о прямоугольном треугольнике либо прямоугольнике, то по заданному периметру дозволено обнаружить его стороны. Прямоугольник имеет длину и ширину . Если провести диагональ прямоугольника, дозволено найти, что она разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Диагональ является гипотенузой, а длина и ширина – катетами этих треугольников. У квадрата, являющегося частным случаем прямоугольника, диагональ является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника.

2. Представим, что имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c, у которого один из углов равен 30 , а 2-й 60. На рисунке видно, что a = c*sin?, а b = c*cos?. Зная, что периметр всякий фигуры, в том числе и треугольника, равен сумме всех его сторон, получаем:a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pИз этого выражения дозволено обнаружить незнакомую сторону c, которая является гипотенузой для треугольника. Потому что угол? = 30, позже реформирования получим:c*sin ?+c*cos ?+c=c/2+c*sqrt(3)/2+c=pОтсюда следует, что с=2p/Соответственно a = c*sin ?=p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

3. Как теснее сказано выше, диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30 и 60 градусов. От того что периметр прямоугольника равен p=2(a + b), ширину a и длину b прямоугольника дозволено обнаружить, исходя из того, что диагональ является гипотенузой прямоугольных треугольников:a = p-2b/2=p/2b= p-2a/2=p/2Эти два уравнения выражены через периметр прямоугольника. По ним вычисляются длина и ширина этого прямоугольника с учетом получившихся углов при проведении его диагонали.

Видео по теме

Обратите внимание!
Как обнаружить длину прямоугольника,если знаменит периметр и ширина? Вычесть из периметра удвоенную ширину, тогда получим удвоенную длину. Потом разделяем её напополам, дабы обнаружить длину.

Полезный совет
Еще из исходной школы многие помнят, как обнаружить периметр всякий геометрической фигуры: довольно узнать длину всех ее сторон и обнаружить их сумму. Вестимо, что в такой фигуре, как прямоугольник, длины сторон равны попарно. Если ширина и высота прямоугольника имеют идентичную длину, то он именуется квадратом. Обыкновенно длиной прямоугольника называют крупнейшую из сторон, а шириной – наименьшую.

Периметр (Р) – сумма длин всех сторон фигуры, а у четырехугольника их четыре. Значит, дабы обнаружить периметр четырехугольника, необходимо легко сложить длины всех его сторон. Но вестимы такие фигуры, как прямоугольник, квадрат, ромб, то есть положительные четырехугольники. Их периметры определяются специальными методами.

Инструкция

1. Если данная фигура – прямоугольник (либо параллелограмм) АВСД, то он владеет следующими свойствами: параллельные стороны попарно равны (см. рисунок). АВ = СД и АС = ВД. Зная такое отношение сторон в этой фигуре, дозволено вывести периметр прямоугольника (и параллелограмма): Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пускай одни стороны будут равны числу а, другие – числу в, тогда Р = а + а + в + в = 2*а = 2* в = 2*(а + в). Пример 1. В прямоугольнике АВСД стороны равны АВ = СД = 7 см и АС = ВД = 3 см. Обнаружить периметр такого прямоугольника. Решение: Р = 2*(а + в). Р = 2*(7 +3) = 20 см.

2. Решая задачи на сумму длин сторон с фигурой, называемой квадрат либо ромб, следует использовать несколько видоизмененную формулу периметра. Квадрат и ромб – фигуры, имеющие идентичные четыре стороны. Исходя из определения периметра, Р = АВ + СД + АС+ ВД и допуская обозначение длины буквой а, то Р = а + а + а + а = 4*а. Пример 2. Ромб имеет длину стороны 2 см. Обнаружить его периметр. Решение: 4*2 см = 8 см.

3. Если данный четырехугольник является трапецией, то в этом случае легко необходимо сложить длины четырех ее сторон. Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пример 3. Обнаружить периметр трапеции АВСД, если ее стороны равны: АВ = 1 см, СД = 3 см, АС = 4 см, ВД = 2 см. Решение: Р = АВ + СД + АС+ ВД = 1 см + 3 см + 4 см + 2 см = 10 см. Может случиться такое, что трапеция окажется равнобокой (у нее две боковые стороны равны), тогда ее периметр может свестись к формуле: Р = АВ + СД + АС+ ВД = а + в +а + с = 2*а + в + с. Пример 4. Обнаружить периметр равнобокой трапеции, если ее боковые грани равны 4 см, а основания – 2 см и 6 см. Решение: Р = 2*а + в + с = 2 *4см + 2 см + 6 см = 16 см.

Видео по теме

Полезный совет
Никто не мешает находить периметр четырехугольника (и всякий иной фигуры), как сумму длин сторон, не применяя выведенные формулы. Они даны для комфорта и облегчения вычисления. Не является оплошностью способ решения, значим верный результат и умение математической терминологии.

Совет 4: Как обнаружить основания прямоугольной трапеции

Математическая фигура с четырьмя углами именуется трапецией, если пара противоположных ее сторон параллельна, а иная пара – нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции , две другие – боковыми. В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне – прямой.

Инструкция

1. Задача 1.Обнаружьте основания BC и AD прямоугольной трапеции , если вестима длина диагонали AC = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = ?.Решение:Разглядите прямоугольный треугольник CED. Знамениты гипотенуза c и угол между гипотенузой и катетом EDC. Обнаружьте длины сторон CE и ED: по формуле угла CE = CD*sin(ADC); ED = CD*cos(ADC). Выходит: CE = c*sin?; ED=c*cos?.

2. Разглядите прямоугольный треугольник ACE. Гипотенуза AC и катет CE вам вестимы, обнаружьте сторону AE по правилу прямоугольного треугольника: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Выходит: AE(2) = AC(2) – CE(2) = f(2) – c*sin?. Вычислите квадратный корень из правой части равенства. Вы обнаружили верхнее основание прямоугольной трапеции .

3. Длина основания AD является суммой длин 2-х отрезков AE и ED. AE = квадратный корень(f(2) – c*sin?); ED = c*cos?).Выходит: AD = квадратный корень(f(2) – c*sin?) + c*cos?.Вы обнаружили нижнее основание прямоугольной трапеции .

4. Задача 2.Обнаружьте основания BC и AD прямоугольной трапеции , если вестима длина диагонали BD = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = ?.Решение:Разглядите прямоугольный треугольник CED. Обнаружьте длины сторон CE и ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sin?; ED = CD*cos(ADC) = c*cos?.

5. Разглядите прямоугольник ABCE. По свойству прямоугольника AB = CE = c*sin?.Разглядите прямоугольный треугольник ABD. По свойству прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следственно AD(2) = BD(2) – AB(2) = f(2) – c*sin?.Вы обнаружили нижнее основание прямоугольной трапеции AD = квадратный корень(f(2) – c*sin?).

6. По правилу прямоугольника BC = AE = AD – ED = квадратный корень(f(2) – c*sin?) – с*cos?.Вы обнаружили верхнее основание прямоугольной трапеции .

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными и двумя не параллельными сторонами. Дабы вычислить ее периметр, надобно знать размеры всех сторон трапеции. При этом данные в задачах могут быть различными.

Вам понадобится

• – калькулятор;
• – таблицы синусов, косинусов и тангенсов;
• – бумага;
• – чертежные принадлежности.

Инструкция

1. Самый примитивный вариант задачи – когда даны все стороны трапеции. В этом случае их надобно легко сложить. Дозволено воспользоваться дальнейшей формулой: p=a+b+c+d, где p – периметр, а буквами a, b, c и d обозначены стороны, противолежащие углам, обозначенным соответствующими прописными буквами.

2. Есть дана равнобедренная трапеция, довольно сложить два ее основания и прибавить к ним удвоенный размер стороны. То есть периметр в этом случае вычисляется по формуле: p=a+c+2b, где b – сторона трапеции, а и с – основания.

3. Расчеты будут несколько больше долгими, если какую-то из сторон нужно вычислить. Скажем, вестимо длинное основание, прилежащие к нему углы и высота. Вам надобно вычислить короткое основание и сторону. Для этого начертите трапецию ABCD, из верхнего угла B проведите высоту BE. У вас получится треугольник АВЕ. Вам вестим угол А, соответственно, вы знаете его синус. В данных задачи указана также высота BE, которая единовременно является катетом прямоугольного треугольника, противолежащим знаменитому вам углу. Дабы обнаружить гипотенузу АВ которая единовременно является стороной трапеции, довольно BE поделить на sinA. Верно так же обнаружьте длину 2-й стороны. Для этого надобно провести высоту из иного верхнего угла, то есть CF. Сейчас вам вестимы большее основание и стороны. Для вычисления периметра этого немного, надобен еще размер меньшего основания. Соответственно, в 2-х образовавшихся внутри трапеции треугольниках нужно обнаружить размеры отрезков AE и DF. Это дозволено сделать, скажем, через косинусы вестимых вам углов А и D. Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Дабы обнаружить катет, необходимо гипотенузу умножить на косинус. Дальше периметр вычислите по той же формуле, что и в первом шаге, то есть сложив все стороны.

4. Еще один вариант: даны два основания, высота и одна из сторон, необходимо обнаружить вторую сторону. Это также отличнее делать с применением тригонометрических функций. Для этого начертите трапецию. Возможен, вам вестимы основания АD и ВС, а также сторона АВ и высота BF. По этим данным вы можете обнаружить угол A (через синус, то есть отношение высоты к знаменитой стороне), отрезок АF (через косинус либо тангенс, от того что угол вам теснее знаменит. Припомните также свойства углов трапеции – сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет 180°. Проведите высоту CF. У вас получился еще один прямоугольный треугольник, в котором вам надобно обнаружить гипотенузу CD и катет DF. Начните с катета. Вычтите из длины нижнего основания длину верхнего, а из полученного итога – длину теснее вестимого вам отрезка АF. Сейчас в прямоугольном треугольнике СFD вам знамениты два катета, то есть вы можете обнаружить тангенс угла D, а по нему – и сам угол. Позже этого останется через синус этого же угла вычислить сторону CD, как теснее было описано выше.

Видео по теме

Трапеция - это такой четырехугольник, у которого 2 параллельных основания, а остальные стороны не параллельны друг другу. У прямоугольной трапеции один угол прямой, как вы уже наверняка догадались.

Шаг 1. Формула вычисления периметра прямоугольной трапеции

Периметр прямоугольной трапеции вычисляется с помощью суммирования длин всех сторон, что весьма логично. Тут она от остальных фигур ну ничем не отличается:

Шаг 2. Решение задач на тему определения периметра прямоугольной трапеции

Задача №1

Нужно найти периметр прямоугольной трапеции, когда даны длины всех сторон. Тут всё просто. Складываем все 4 значения , и готово. Это самый лёгкий вариант нахождения периметра. Остальные задачи в итоге всё равно сводятся к нему, но нужно рассмотреть и остальные варианты, интересно же!

Задача №2

Нужно найти периметр всё той же прямоугольной трапеции, но в этом случае мы знаем длину нижнего основания AD , которая равна a . Одна из боковых сторон CD , которая не перпендикулярна ему, равна d . Угол между этим основанием и стороной равен Альфа .

Решение задачи №2

Катеты находятся по таким формулам: CE = CD*sin(ADC) , в свою очередь ED = CD*cos(ADC) . Верхнее основание вычисляется так: BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d*cos(Альфа) . Длина перпендикулярной стороны считается по формуле: AB = CE = d*sin(Альфа) . После этих действий вы будете обладать драгоценными знаниями о длине всех сторон трапеции.

Задача №3

Требуется найти периметр трапеции, когда даны длины его оснований. AD = a , BC=c . Также мы знаем длину перпендикулярной стороны AB , которая равна b . Острый угол при неперпендикулярной стороне равен Альфа .

Решение задачи №3

Для начала проведите высоту трапеции на большее основание, начало которой будет лежать в вершине С . После этого восхитительного действия мы получаем отрезок CE и делим трапецию на 2 фигуры: прямоугольник ABCE , а также треугольник ECD (прямоугольный). Гипотенузой треугольника в нашем случае будет известная нам сторона CD , один из катетов будет равен перпендикулярной боковой стороне нашей трапеции (опираемся на правило прямоугольника, по которому параллельные стороны равны). Длина другого отрезка будет равна разности оснований трапеции. И опять вроде всё просто.

Для начала снова проводим перпендикуляр CE и так же получаем прямоугольник ABCE вместе с треугольником CED . Осталось найти длину гипотенузы того треугольника, который мы получили, мы с уверенностью можем сказать, что CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа) . Мы снова нашли все длины сторон. Осталось только их сложить. Надеемся, вы сможете сделать это без нас.