При математическом описании вращательного движения важно знать момент инерции системы относительно оси. В общем случае процедура нахождения этой величины предполагает реализацию процесса интегрирования. Облегчить вычисления позволяет так называемая теорема Штейнера. Рассмотрим ее подробнее в статье.
Что такое момент инерции?
До того как привести формулировку теоремы Штейнера, следует разобраться с самим понятием момента инерции. Допустим, имеется некоторое тело определенной массы и произвольной формы. Этим телом может быть, как материальная точка, так и любой двумерный и трехмерный объект (стержень, цилиндр, шар и т.д.). Если рассматриваемый объект совершает круговое движение вокруг некоторой оси с постоянным угловым ускорением α, тогда можно записать следующее уравнение:
Здесь величина M представляет суммарный момент сил, который придает ускорение α всей системе. Коэффициент пропорциональности между ними - I, называется моментом инерции. Эта физическая величина рассчитывается по следующей общей формуле:
Здесь r - это дистанция между элементом с массой dm и осью вращения. Это выражение означает, что необходимо найти сумму произведений квадратов расстояний r 2 на элементарную массу dm. То есть момент инерции не является чистой характеристикой тела, что его отличает от линейной инерции. Он зависит от распределения массы по всему объекту, который вращается, а также от расстояния до оси и от ориентации тела относительно нее. Например, стержень будет иметь разный I, если его вращать относительно центра масс и относительно конца.
Момент инерции и теорема Штейнера
Известный швейцарский математик, Якоб Штейнер, доказал теорему о параллельных осях и моменте инерции, которая теперь носит его фамилию. Эта теорема постулирует, что момент инерции для абсолютно любого твердого тела произвольной геометрии относительно некоторой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси, которая пересекает центр масс тела и параллельна первой, и произведения массы тела на квадрат дистанции между этими осями. Математически эта формулировка записывается так:
I Z и I O - моменты инерции относительно оси Z и параллельной ей оси O, которая проходит через центр масс тела, l - расстояние между прямыми Z и O.
Теорема позволяет, зная величину I O , рассчитать любой другой момент I Z относительно оси, которая параллельна O.
Доказательство теоремы
Формулу теоремы Штейнера можно легко получить самостоятельно. Для этого рассмотрим произвольное тело на плоскости xy. Пусть начало координат проходит через центр масс этого тела. Рассчитаем момент инерции I O которая проходит через начало координат перпендикулярно плоскости xy. Поскольку расстояние до любой точки тела выражается формулой r = √ (x 2 + y 2), тогда получаем интеграл:
I O = ∫ m (r 2 *dm) = ∫ m ((x 2 +y 2) *dm)
Теперь переместим параллельно ось вдоль оси x на расстояние l, например, в положительном направлении, тогда расчет для новой оси момента инерции будет выглядеть следующим образом:
I Z = ∫ m (((x+l) 2 +y 2)*dm)
Раскроем полный квадрат в скобках и разделим подынтегральные суммы, получим:
I Z = ∫ m ((x 2 +l 2 +2*x*l+y 2)*dm) = ∫ m ((x 2 +y 2)*dm) + 2*l*∫ m (x*dm) + l 2 *∫ m dm
Первое из этих слагаемых является величиной I O , третье слагаемое, после проведения интегрирования, дает член l 2 *m, а вот второе слагаемое равно нулю. Обнуление указанного интеграла связано с тем, что он берется от произведения иксов на элементы массы dm, что в среднем дает ноль, так как центр масс находится в начале координат. В итоге, получается формула теоремы Штейнера.
Рассмотренный случай на плоскости можно обобщить на объемное тело.
Проверка формулы Штейнера на примере стержня
Приведем простой пример, на котором продемонстрируем, как пользоваться рассмотренной теоремой.
Известно, что для стержня длиной L и массой m момент инерции I O (ось проходит через центр масс) равен m*L 2 /12, а момент I Z (ось проходит через конец стержня) равен m*L 2 /3. Проверим эти данные, воспользовавшись теоремой Штейнера. Поскольку расстояние между двумя осями равно L/2, тогда получаем момент I Z:
I Z = I O + m*(L/2) 2 = m*L 2 /12 + m*L 2 /4 = 4*m*L 2 /12 = m*L 2 /3
То есть мы проверили формулу Штейнера и получили такое же значение для I Z , что и в источнике.
Аналогичные вычисления можно проводить и для других тел (цилиндра, шара, диска), получая при этом необходимые моменты инерции, и не производя интегрирования.
Момент инерции и перпендикулярные оси
Рассмотренная теорема касается параллельных осей. Для полноты информации полезно также привести теорему для перпендикулярных осей. Она формулируется так: для плоского объекта произвольной формы момент инерции относительно перпендикулярной ему оси будет равен сумме двух моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных и лежащих в плоскости объекта осей, при этом все три оси должны проходить через одну точку. Математически это записывается так:
Здесь z, x, y - три взаимно перпендикулярные оси вращения.
Существенное отличие этой теоремы от теоремы Штейнера заключается в том, что она применима только к плоским (двумерным) твердым объектам. Тем не менее на практике ее достаточно широко используют, мысленно разрезая тело на отдельные слои, а затем, складывая полученные моменты инерции.
Существует ряд геометрических задач, которые околдовывают каждого, кто по воле случая сталкивается с ними. По-видимому, это было характерно для геометрии даже в древнее время. Стоит только вспомнить три знаменитые задачи древности — удвоение куба, трисекцию угла и квадратуру круга. Попытки решить эти задачи привели к развитию новых ветвей математики. Даже сейчас существуют псевдоматематики, которые присылают в редакции «решения» этих задач и требуют публикации или доказательства ложности своих «решений».
Одна всегда возбуждавшая интерес теорема может быть сформулирована следующим образом:
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то этот треугольник является равнобедренным.
Это с виду простое утверждение не имеет простого классического доказательства. Этот факт тем более удивителен, что заменив слово "биссектрисы" на "медианы" или "высоты", получаем утверждения, доказательства которых элементарны.
Эта теорема была послана великому шведскому геометру, члену Берлинской академии наук, Якобу Штейнеру в 1840 году Кристианом Лудольфом Лемусом, немецким математиком, профессором Берлинского университете, с просьбой дать чисто геометрическое доказательство.
Якоб Штейнер
(1796-1863 )
Штейнер дал довольно сложное доказательство, которое вдохновило многих других на поиски более простых методов. Работы по теореме Штейнера - Лемуса появлялись в различных журналах в 1842, 1844, 1848 годах и почти каждый год с 1854 года по 1864 год, а также в большом количестве и в течение следующего столетия.
Доказательство теоремы Штейнера - Лемуса
Одно из простейших доказательств опирается на следующие две леммы:
Лемма 1.
Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.
Доказательство.
Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно, меньший острый угол с вершиной на окружности.
Лемма 2.
В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой .
Доказательство.
Пусть ABC — треугольник, в котором угол B меньше угла C , как на рисунке выше; пусть отрезки BM и CN делят пополам углы B и C . Мы хотим доказать, что BM < CN . Возьмем точку M′ на отрезке BM так, чтобы
∠M′CN = 1 / 2 ∠B .
Так как этот угол равен углу M′BN , то четыре точки N, B, C, М′ лежат на одной окружности. Поскольку
∠B < 1 / 2 (∠B + ∠C) < 1 / 2 (∠A + ∠B + ∠C) ,
то
∠CBN < ∠M′CB < 90° .
По лемме 1: CN < M′B . Следовательно, BM > BM′ > CN .
Вернёмся теперь непосредственно к доказательству теоремы Штейнера - Лемуса. Часто случается, что теорема может быть выражена в форме "противоположной к обратной" - эквивалентной первоначальной. Например, вместо того, чтобы сказать: " Все люди смертны" , мы можем также сказать " Бессмертные не есть люди" . Вместо доказательства самой теоремы Штейнера - Лемуса для нас будет достаточно доказать, что
если в треугольнике ABC ∠B ≠ ∠C , то BM ≠ CN .
Но это есть прямое следствие леммы 2.
Лирико-математическое отступление
Вышеприведенное доказательство этой леммы имеет занятную историю. Оно было придумано двумя английскими инженерами Г. Джильбертом и Д. Мак-Доннеллом и опубликовано в 1963 году в журнале American Mathematical Monthly со следующим редакционным примечанием:
Мартин Гарднер в своем обзоре книги Коксетера "Введение в геометрию" описал эту знаменитую теорему столь интересно, что сотни читателей прислали ему свои доказательства. Он взял на себя труд по обработке этого громадного материала и совершенствовал его до тех пор, пока не заблистала, очищенная от наслоений, жемчужина, которую мы приводим здесь.
Некоторые читатели могут испытать чувство неудовлетворенности потому, что "воздушное" доказательство Джильберта и Мак-Доннелла является косвенным: вместо самой теоремы Штейнера - Лемуса они доказывают теорему, противоположную к обратной (лемма 2).
Было предложено несколько якобы прямых доказательств; но каждое из них в действительности является в скрытой форме косвенным. Это несложно понять, если вспомнить, что практически только самые элементарные теоремы доказываются полностью. Все остальные доказываются с помощью других, уже известных теорем, которые выстраиваются в ряд, ведущий к аксиомам. Нельзя, строго говоря, утверждать, что некое доказательство - прямое, если хоть одна из этих вспомогательных теорем имеет косвенное доказательство. Более того, некоторые из самых простых и самых основных теорем имеют косвенные доказательства; следовательно, если бы мы настаивали на абсолютно прямом доказательстве, то существующее великое множество теорем свелось бы к небольшому числу тривиальных.
Стоит ли об этом сожалеть? Великий английский математик Годфри Харольд Харди (1877-1947) говорил по этому поводу:
Reductio ad absurdum (лат. приведение к абсурду), столь любимое Евклидом , является тончайшим инструментом математика. Оно является намного более тонким гамбитом, чем любой шахматный гамбит: шахматист может предложить в жертву пешку или другую фигуру, а математик предлагает в жертву всю игру.
Алгебраическое доказательство теоремы Штейнера - Лемуса
Приведем полное прямое, хотя и несколько тяжеловесное, доказательство теоремы Штейнера - Лемуса. Для этого воспользуемся следующей теоремой:
Пусть Х - точка на стороне АС треугольника АВС, причём АВ = с , ВС = а , АС = b , ВХ = р , АХ = m , XC = n . Тогда
b (p 2 + mn) = a 2 m + c 2 n .
Этот результат называется теоремой Стюарта в честь английского математика М. Стюарта, который сформулировал её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Роберт Симсон (1687-1768) который опубликовал и доказал эту теорему лишь в 1749 году (по другим сведениям, - в 1751 году).
Доказательство.
По теореме косинусов из треугольников АВХ и ВСХ имеем:
c 2 = р 2 + m 2 - 2рm · cos α ,
а 2 = р 2 + n 2 - 2рn · cos (π - α ) = р 2 + n 2 + 2рn · cos α .
Тогда
c 2 n = р 2 n + m 2 n - 2рmn · cos α ,
а 2 m = р 2 m + n 2 m + 2рmn · cos α
c 2 n + а 2 m = р 2 (m + n) + mn (m + n) ,
c 2 n + а 2 m = (m + n) (р 2 + mn) ,
c 2 n + а 2 m = b (р 2 + mn) ,
что и требовалось доказать.
Продолжим рассуждения. Если р - биссектриса, то легко получить, что
| m = | bc | и n = | ab | . |
| a + c | a + c |
Тогда по теореме Стюарта
| c 2 · ab | + | а 2 · bc |
= b (р 2 + | ab 2 c | ) , |
| a + c | a + c | (a + c) 2 |
| ac 2 + а 2 c | = р 2 + | ab 2 c | , |
| a + c | (a + c) 2 |
| ac (c + a ) | = р 2 + | ab 2 c | , |
| a + c | (a + c) 2 |
| р 2 = ac (1 - | b 2 | ) . (*) |
| (a + c) 2 |
Приступим к непосредственному доказательству теоремы Штейнера - Лемуса.
Пусть k и l - равные биссектрисы треугольника АВС , проведённые к сторонам АВ = с и ВС = а . Тогда
k 2 = l 2
и, согласно полученному выше равенству (*), имеем:
| bc (1 - | a 2 | ) = ab (1 - | c 2 | ) , |
| (b + c ) 2 | (a + b ) 2 |
| c ( 1 - | a | ) (1 + | a | ) = a (1 - | c | ) (1 + | c | ) , |
| b + c | b + c | a + b | a + b |
| c (b + c - a ) (a +b + c ) | = | a (a + b - c ) (a +b + c ) | , |
| (b + c ) 2 | (a + b ) 2 |
| c (b + c - a ) | = | a (a + b - c ) | , |
| (b + c ) 2 | (a + b ) 2 |
a ((a - c ) + b ) (b + c ) 2 + c ((a - c ) - b ) (a + b ) 2 = 0 ,
a (a - c ) (b + c ) 2 + ab (b + c ) 2 + c (a - c ) (a + b ) 2 - bc (a + b ) 2 = 0 ,
(a - c ) (a (b + c ) 2 + c (a + b ) 2 ) + (ab (b + c ) 2 - bc (a + b ) 2 ) = 0 ,
(a - c ) (b 2 (a + c ) + ac (a + c ) + 4abc ) + b 3 (a - c ) - abc (a - c ) = 0 ,
(a - c ) ((a + c ) (b 2 + ab ) + 3abc + b 3 ) = 0 ,
откуда
a - c = 0
и, следовательно,
а = с ,
что и требовалось доказать.
P. S.
1. Ещё с одним прямым доказательством теоремы Штейнера - Лемуса можно познакомиться на сайте Математика, которая мне нравится .
2. В советской и российской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников:
если сторона, противолежащий этой стороне угол и биссектриса этого угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны .
Использованные источники: Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер "Новые встречи с геометрией" (Москва, "Наука" ГРФМЛ, 1978) и Википедия.
Найдем связь между моментами инерции относительно двух различных параллельных осей. Она устанавливается теоремой Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси проходящей через центр масс, параллельно данной и произведения массы на квадрат расстояния между осями .
Докажем эту теорему.
Пусть S сечение тела. Будем предполагать,
что центр масс находится в точке О и
оси, проходящие через точки О и А,
перпендикулярны к рисунку. Мысленно
разобьем тело на элементарные массы
.
Момент инерции тела найдем, проинтегрировав
по всем элементарным массам. Радиус-вектор
элементарной массы
относительно оси А
,
где
- ее радиус-вектор относительно оси О,
- радиус-вектор
,
его модуль равен расстоянию между осями.
Таким образом
. (5.11)
Умножая
обе части равенства (5.11) на
и интегрируя по всему объему, получим:
Так как ось О проходит через центр масс, последний интеграл в (5.12) обращается в нуль.
.
Интеграл слева дает момент инерции относительно оси А, первый интеграл справа - момент инерции относительно оси О, второй интеграл справа дает полную массу тела. Откуда
. (5.13)
Это и есть аналитическое выражение теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Примеры вычисления моментов инерции
1. Определим момент инерции тонкого однородного стержня длиною L и массой m относительно оси, проходящей через один из его концов. (см.рис.)
Направим
ось Х вдоль стержня. Стержень будем
считать тонким. Выделим элементарную
массу
,
имеющую длину
и расположенную на расстоянии Х от оси
вращения. Причем, поскольку стержень
однородный масса этого элемента
Проинтегрировав по всей длине стержня получим:
Момент инерции этого же стержня относительно оси, проходящей через центр масс определяется как:
2. Определим момент инерции однородного диска, расположенного
.
(см.рис.)Масса
этого элемента
,
где
- площадь поперечного сечения диска или
поверхностная плотность диска,
- площадь кольца. Тогда
.
Интегрируя в пределах от 0 доR,
получим.
т.е. момент инерции тела относительно
произвольной оси OZ равен моменту инерции
тела относительно оси OZq, проходящей через
центр масс тела параллельно оси OZ, плюс
произведение массы тела на квадрат расстояния
между осями OZ и OZq. Это утверждение иногда
называют теоремой о параллельных осях
или
теоремой Штейнера.
Именно поэтому, очень
важно знать (или уметь вычислять) моменты
инерции различных тел относительно осей OZq,
проходящих через центр масс тела.
Расчет момента инерции
производится на практике следующим образом:
если твердое тело сплошное, то его можно
разбить на бесконечно большое количество
бесконечно малых частей массы dm = pdV, где
р - плотность тела в данном месте, a dV - объем
кусочка dm, и суммирование заменить на
интегрирование по объему тела V, т.е.
где Rq - расстояние от кусочка dm до оси OZo.
В качестве примера вычислим момент инерции
тонкого однородного стержня (длиной L и массой
М) относительно перпендикулярной ему оси,
проходящей через его середину (центр масс
тонкого однородного стержня находится в его
середине). Направим ось ОХ вдоль стержня и
поместим начало координат в середине стержня
Укажем еще для примера, что момент инерции
полого цилиндра массой М и радиусом R
относительно оси цилиндра равен MR 2 . Если же
цилиндр сплошной, то его момент инерции
Рассмотренные выше простейшие виды
движения твердого тела - поступательное
движение и вращение - особенно важны потому,
что любое произвольное движение твердого тела
сводится к ним. Можно строго доказать, что
произвольное движение твердого тела можно
представить в виде совокупности поступательного
движения всего тела со скоростью какой -либо
его точки О и вращения вокруг оси, проходящей
через эту точку. При этом скорость
поступательного движения v 0 зависит от того,
какую именно точку мы выбрали.
сказать, что угловая скорость имеет "абсолютный"
характер, то есть можно говорить об угловой
скорости вращения твердого тела, не указывая
при этом, через какую именно точку проходит ось
вращения. Поступательная же скорость v 0 такого
"абсолютного" характера не имеет. Обычно в
качестве точки О выбирают центр масс тела.
Преимущества такого выбора выяснятся ниже.
5. Плоское движение
Рассмотрим наиболее простой вид
произвольного движения твердого тела, так
называемое плоское движение,
когда все точки
тела движутся в параллельных плоскостях,
ориентация которых в пространстве остается
неизменной, а тело вращается вокруг оси,
перпендикулярной этим плоскостям.
Будем рассматривать плоское движение в
неподвижной ИСО XYZ, причем плоскость XOY
совместим с плоскостью движения частиц, в
которой находится центр масс тела, скорость
которого v 0 = у цм относительно неподвижной
системы будем считать скоростью
поступательного движения тела (скорость v 0 ,
естественно, расположена в плоскости XOY).
Далее будем считать, что все силы f k ,
действующие на тело, параллельны плоскости
XOY. Тогда уравнение поступательного движения
тела можно записать в виде:
центра масс тела. Уравнение (3.12) проектируется
на оси ОХ и OY.
Уравнение вращательного движения тела
вокруг оси OZq,
проходящей через центр масс
тела перпендикулярно неподвижной плоскости
XOY, совпадает по форме с уравнением
вращательного движения тела вокруг
закрепленной оси (3.9):
Последнее утверждение (его можно строго
доказать!) выглядит довольно странным, так как
уравнение (3.9) было написано относительно ИСО,
система же отсчета (ось OZo), в которой
происходит вращение тела, не является
инерциальной, так как центр масс тела движется с
ускорением а 0 . Тем не менее это так, и связан
этот факт именно с тем, что мы выбрали в
качестве точки О при рассмотрении
поступательного движения центр масс тела. При
решении конкретных задач уравнения (3.12) и
(3.13) следует еще дополнить кинематическими