Задачи для решения на закрепление нового материала
Задача № 1 . Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального
забега на 5-ти беговых дорожках?
Решение : Р 5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.
Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая
цифра входит в изображение числа только один раз?
Решение : Число всех перестановок из трех элементов равно Р 3 =3!, где 3!=1 * 2 * 3=6
Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.
Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести
девушек на танец?
Решение : два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И
варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,
считаются разными, поэтому:
Задача № 4 . Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только
один раз?
Решение : В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из
трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок
расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)
и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти
элементов по три.
По формуле числа размещений находим:
Ответ:504 трехзначных чисел.
Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3
Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все
возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7
человек. Искомое число способов равно
Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов
распределения призовых (1, 2, 3) мест?
Решение : А 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.
Ответ: 1320 вариантов.
Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из
10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них
побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?
Решение:
Выбор из 10 по 4 с учётом порядка:
способов.
Ответ: 5040 способов.
Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и
зеленый шарики?
Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на
второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из
оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.
Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.
Р 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.
Задача № 9 . Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во
время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Решение:
Выбор 6 из 10 без учёта порядка:
способов.
Ответ: 210 способов.
Задача № 10 . В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для
работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,
трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора
учащихся для работы на пришкольном участке?
Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из
первой совокупности (С 7 2) может сочетаться с каждым вариантом выбора из
второй (С 9 3)) и с каждым вариантом выбора третьей (С 8 1) по правилу
умножения получаем:
Ответ: 14 112 способов.
Задача № 11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на
перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими
способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять
очередь для игры в настольный теннис?
Решение : Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из
оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –
девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По
правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4321=120 способов
Методы решения комбинаторных задач
Перебор возможных вариантов
Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.
Задача 1.
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.
Задача 2.
В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.
Ответ:
Вариант1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.
Вариант2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.
Вариант3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.
Вариант4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.
Вариант5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.
Вариант6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.
Задача 3.
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?
Ответ:
1) Таня - Петя, 2) Таня - Коля, 3) Таня - Витя, 4) Таня - Олег, 5) Оля - Петя, 6) Оля - Коля, 7) Оля - Витя, 8) Оля - Олег, 9) Наташа - Петя, 10) Наташа - Коля, 11) Наташа - Витя, 12) Наташа - Олег, 13) Света - Петя, 14) Света - Коля, 15) Света - Витя, 16) Света - Олег.
Дерево возможных вариантов
Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода - дерево возможных вариантов.
Задача 4.
Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?
Решение.
Построим дерево возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть первой цифрой в числе.
Ответ: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.
Задача 5.
Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап - на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути - пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на поезде П, на автобусе - А, на байдарках - Б, велосипедах - В, пешком - Х, на канатной дороге - К.
Ответ: На рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия школьных туристов.
Задача 6.
Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком.
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив М - математика, Р - русский язык, И - история, А - английский язык, Ф - физкультура.
Ответ: Всего 24 возможных варианта:
|
Р |
Р |
Р |
Р |
Р |
Р |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
А |
А |
А |
А |
А |
А |
Ф |
Ф |
Ф |
Ф |
Ф |
Ф |
Задача 7.
Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки.
а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?
б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?
в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив Б - брюки, Д - джинсы, С - серая рубашка, Г - голубая рубашка, З - зеленая рубашка, Р - рубашка в клетку, Т - туфли, К - кроссовки.
Ответ: а) 16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня.
Составление таблиц
Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.
Задача 8.
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?
Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - первые цифры искомых чисел, вверху первая строка - вторые цифры.
Ответ: 28.
Задача 9.
Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.
Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - имена девочек, вверху первая строка - имена мальчиков.
Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.
Правило умножения
Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос - сколько их существует.
Задача 10.
В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий и зеленый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире?
Решение.
Трусы могут быть белого, красного, синего или зеленого цвета, т.е. существует 4 варианта. Каждый из этих вариантов имеет 4 варианта цвета майки.
4 х 4 = 16.
Ответ: 16 команд.
Задача 11.
6 учеников сдают зачет по математатике. Сколькими способами их можно расположить в списке?
Решение.
Первым в списке может оказаться любой из 6 учеников,
вторым в списке может быть любой из оставшихся 5 учеников,
третьим - любой из оставшихся 4 учеников,
четвертым - любой из оставшихся 3 учеников,
пятым - любой из оставшихся 2 учеников,
шестым - последний 1 ученик.
6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720.
Ответ: 720 способами.
Задача 12.
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7?
Решение.
Первой в двузначном числе может быть 5 цифр (цифра 0 не может быть первой в числе), второй в двузначном числе может быть 4 цифры (0, 2, 4, 6, т.к. число должно быть четным).
5 х 4 = 20.
Ответ: 20 чисел.
Основные понятия комбинаторики
В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3, …, 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 345, 534, 1036, 45 и т. п.
Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 345 и 534), другие входящими в них цифрами (например, 1036 и 5671), третьи различаются и числом цифр (например, 345 и 45).
Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Рассмотрим их отдельно. Однако предварительно познакомиться с понятием факториала.
1. Понятие факториала
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n.
Пример 1. Вычислить:
а) 3!; б) 7! – 5!; в)
Решение. а) 3! = 1 · 2 · 3 = 6.
б) Так как 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 и 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5, то можно вынести за скобки 5!. Тогда получим 5! (6 · 7 – 1) = 5! · 41 = 120 · 41 = 4920.
в) 
Пример 2. Упростить:
Решение. а) Учитывая, что (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · … · n · (n + 1), а n! = 1 · 2 · 3 ... · n, сократим дробь;
б) Так как (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n · (n + 1), то после сокращения получим
(n + 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · n · (n + 1), n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.
Приведем дробь к общему знаменателю, за который примем (n + 1)!. Тогда получим
1 – 3. Вычислите:
1. 2. 3.
4 – 9. Упростите выражения:
4. 6. 8.
5. 7. 9. -
2. Перестановки
Пусть даны три буквы А, В, С. Составим все возможные комбинации из этих букв: АВС, АСВ, ВСА, ВАС, САВ, СВА (всего 6 комбинаций). Мы видим, что они отличаются друг от друга только порядком расположения букв.
Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
Перестановки обозначаются символом Рn, где n – число элементов, входящих в каждую перестановку.
Число перестановок можно вычислить по формуле
Рn = n (n – 1) (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 (1)
или с помощью факториала:
Pn = n!. (2)
Так, число перестановок из трех элементов согласно формуле (2) составляет
Р3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6, что совпадает с результатом рассмотренного выше примера.
Действительно, на первое место в комбинации (перестановке) можно поставить три буквы. На второе место уже можно поставить только две буквы из трех (одна заняла первое место), а на третьем окажется только одна из оставшихся. Значит, 3 · 2 · 1 = 6 = Р3.
10. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?
11. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?
12 – 14. Вычислите:
12. 13. 14.
3.Размещения
Пусть имеются четыре буквы А, В, С, D. Составив все комбинации только из двух букв, получим:
Мы видим, что все полученные комбинации отличаются или буквами, или их порядком (комбинации ВА и АВ считаются различными).
Комбинации из m элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, называются размещениями.
Размещения обозначаются символом А, где m – число всех имеющихся элементов, n – число элементов в каждой комбинации. При этом полагают, что n m. Число размещений можно вычислить по формуле
n множителей
А = 
(3)
т. е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведено n последовательных целых чисел, из которых большее есть m.
Так, А = 4 · 3 = 12, что совпадает с результатом приведенного примера: поскольку число строк соответствует числу всех имеющихся букв, т. е. m = 4, а число столбцов равно 3, всего имеется 12 различных комбинаций.
Пример 3. Вычислить: а) А; б)
Решение. а) А = 6 · 5 · 4 = 120.
б) Так как А = 15 · 14 · 13, А = 15 · 14 · 13 · 12, А = 15 · 14 · 13 · 12 · 11, то
Пример 4. Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них не повторяется?
Решение. Так как двузначные числа отличаются друг от друга или самими цифрами, или их порядком, то искомое количество равно числу размещений из пяти элементов по два: А = 5 · 4 = 20. Итак, можно составить 20 различных двузначных чисел.
При нахождении числа размещений мы перемножаем n последовательно убывающих целых чисел, т. е. до полного факториала не хватает (m – n) последовательно убывающих целых множителей.
m множителей
Поэтому формулу числа размещений можно записать в виде
А = 
Отсюда, учитывая, что числитель равен m!, а знаменатель равен (m – n)!, запишем эту формулу в факториальной форме:
А = (4)
Пример 5. Вычислить в факториальной форме А.
Решение. А = 
15-20. Вычислите любым способом:
15. А; 16. А; 17. А; 18. А; 19. А; 20.
21. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?
22. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, …, 8, 9?
23. Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписание на день могут быть включены только три из них?
24. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?
4. Сочетания
Сочетаниями называются все комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n – натуральные числа, причем n m).
Так, из четырех различных букв А, В, С, D можно составить следующие комбинации, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом: АВ, АС, AD, ВС, ВD, СD. Значит, число сочетаний из четырех элементов по два равно 6. Это кратко записывается так: С = 6.
В каждой комбинации сделаем перестановки элементов:
АВ, АС, AD, BC, BD, CD;
BA, CA, DA, CB, DB, DC.
В результате мы получили размещения из четырех элементов по два. Следовательно, СР2 = А, откуда С =
Задача 12. Из числа учащихся, посещающих математический кружок, в котором занимаются 5 девушек и 3 юноши, нужно направить на олимпиаду двоих: одну девушку и одного юношу. Сколько существует различных пар, которые можно направить на олимпиаду?
Решение: Девушку из состава кружка можно выбрать пятью способами, а юношу - тремя. Пару (девушка с юношей) можно выбрать пятнадцатью различными способами
5 3 = 15 способов.
Ответ: 15 способов.
Задача 13. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест?
Решение : А 12 3 = 12 11 10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.
Ответ: 1320 вариантов.
Задача 14. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?
Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.
Ответ: 5040 способов.
Задача 15. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?
Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на второе - любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место - любой из оставшихся двух (2 способа), на четвертое место - оставшийся последний шар. Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.
Р 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
Ответ: 24 способа.
Задача 16 . Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.
Ответ: 210 способов.
Задача 17 . Володя идёт на день рождения к одноклассникам, двойняшкам Юле и Ире. Он хочет подарить каждой из них по мячу. В магазине остались для продажи только 3 мяча разных цветов: белый, чёрный и в полоску. Сколькими способами, купив 2 мяча, Володя может сделать подарки сестрам?
Решение: По условию задачи предусмотрены два последовательных выбора: сначала Володя выбирает 2 мяча из трёх, имеющихся в магазине, а потом решает, какому из братьев-двойняшек подать каждый из купленных мячей. Два мяча из трёх можно выбрать тремя способами. После этого каждую выбранную пару можно подарить двумя способами (способа) (порядок важен). Тогда по правилу умножения искомое число способов равно способов.
Ответ: 6 способов.
Задача 18 . В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса, трех - из 10, и одного - из 11. Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?
Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из первой совокупности (С 7 2) может сочетаться с каждым вариантом выбора из второй (С 9 3) и с каждым вариантом выбора третьей (С 8 1) по правилу умножения получаем:
С 7 2 · С 9 3 · С 8 1 =------ · -------- · ---- = 14 112 способов выбора учащихся.
Ответ: 14 112 способов.
Задача 19. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?
Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым - любой из оставшихся троих, третьим - любой из оставшихся двоих и четвёртым - девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым - последний. По правилу умножения у пяти учащихся существует
5· 4321=120 способов занять очередь.
Ответ: 120 способов.
Комбинаторика1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?
2. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?
3. Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?
4. Решить уравнения
5. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
6. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?
7. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?
8. Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.
9. Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?
10. Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?
11. Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.
12. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?
13. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?
14. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?
Теория вероятностей
1. В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?
2. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).
3. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.
4. из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.
5. Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».
6. В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?
7. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?
Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины
1. Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.
2. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.
3. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.
4. Найти математическое ожидание случайной величины X , если закон ее распределения задан таблицей:
5. На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.