Вариант 1
1. Закончите предложения
а) Прямоугольный параллелепипед - это (плоская, объемная) фигура.
б) У параллелепипеда_____вершин, ________ребер,______ граней.
в) Каждое ребро параллелепипеда - это_______________.
г) Вершины прямоугольного параллелепипеда_________________.
д) ребра прямоугольного параллелепипеда____________________.
е) грани прямоугольного параллелепипеда____________________.
ж) Чтобы вычислить объем куба, нужно______________________.
2. Выпишите те фигуры, которые м огут иметь форму прямоугольного параллелепипеда:
а = 60 см, в = 70 см, с = 4 см. Вычислите:
2 требуется 3 г?
5. Из фигур, изображенных
на рисунке, выберите те, которые являются развертками куба. Если
да, то выберите верхнюю грань и закрасьте ее синим
цветом.
Тест «Прямоугольный параллелепипед»
Вариант 2
1. Закончите предложения
а)Каждая грань параллелепипеда - это__________________.
б)Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются______.
в) У параллелепипеда_______измерения.
г) МА - общее ребро граней______________________________.
д)Точка Р - общая вершина ребер_________________________.
е)Точка____общая вершина ребер МА, MN и_____________________.
ж) Если два куба имеют одинаковые ребра, то их объемы___________.
2.
а) арбуз; б) ящик; в) торт; г) карандаш; д) мяч; е) дом; ж) кусок сыра; з) стакан
3. Отметьте синим карандашом все вершины куба, красным карандашом все грани куба.
4. Измерения прямоугольного параллелепипеда: а = 20 см, в = 30 см, с = 9 см. Вычислите:
а) длину всех ребер параллелепипеда;
б) площадь полной поверхности;
в) объем прямоугольного параллелепипеда.
г) Сколько краски было израсходовано, если известно, что на 1 дм 2 требуется 3 г?
5. Из фигур, изображенных
на рисунке, выберите те, которые являются развертками куба. Если
да, то выберите верхнюю грань и закрасьте ее красным
цветом.
Тест «Прямоугольный параллелепипед»
Вариант 3
1. Закончите предложения
а) Прямоугольный
параллелепипед, у которого все измерения равны
называется________.
б) Гранями куба являются равные ______________.
в) Каждая вершина куба принадлежит_________ребрам.
г) Ребра, равные ребру MN _________________________________.
д) ребра, равные ребру МР__________________________________.
е) грани, равные грани DPKC _______________________________.
ж) Если фигуру разделить на части, то ее объем равен______________.
2. Выпишите те фигуры, которые НЕ м огут иметь форму прямоугольного параллелепипеда:
а) арбуз; б) ящик; в) торт; г) карандаш; д) мяч; е) дом; ж) кусок сыра; з) стакан
3. Раскрасьте зеленым цветом верхнюю и нижнюю грани куба, синим цветом - правую и левую грани куба.
Тип урока: формирование новых знаний.
Цели:
- ознакомить учащихся с многообразием геометрических тел, какие фигуры называются многоугольниками, какая фигура называется прямоугольным параллелепипедом;
- систематизация знаний о прямоугольнике, кубе;
- развитие пространственного воображения и пространственного представления;
- научить анализировать полученные данные и делать выводы;
- повысить мотивацию к изучаемому предмету.
Методы обучения:
- Беседа (с элементами проблемной ситуации).
- Фронтальная лабораторная работа (исследовательский метод).
Оборудование: проектор, слайды с изображением многогранников; модели геометрических тел (картонные и каркасные). Для каждого ученика: набор цветной бумаги; клей; ножницы; фломастеры; пластилин; деревянные палочки (по 12 штук – 3 группы разной длины); спичечный коробок или коробочка, обклеенные белой бумагой.
Структура урока:
- Организационный момент, постановка цели урока (1 мин.)
- Историческая справка – вводная беседа (2 мин.)
- Ознакомление с новым материалом (26 мин.)
- Первичное закрепление изученного материала (5 мин.)
- Домашнее задание (3 мин.)
- Подведение итога урока (3 мин.)
ХОД УРОКА
I. Постановка цели урока
II. Небольшая историческая справка
Нас окружает множество предметов. Они отличаются формой, размерами, материалом, из которого изготовлены, окраской, …. Людей интересуют разные качества этих предметов. Математиков интересуют их форма и размеры.
Мячи, которыми вы много раз играли, имеют форму шара, хотя все они разных размеров. Многие небесные тела имеют форму, близкую к форме шара, включая и нашу планету. Стакан и карандаш имеют форму цилиндра.
Заметьте, что формы предметов очень разнообразны и не для всякой формы имеется специальное название.
Так как математики изучают не сами предметы, а их формы, то вместо предметов она рассматривают геометрические тела: цилиндр, шар, куб и т.д. (образцы фигур на столе учителя). Названия многих геометрических тел идут из глубокой древности, причем произошли они от соответствующих предметов. Например, из Древней Греции пришли термины “конус” (предмет которым затыкали бочку), “пирамида” (огонь, костер), “цилиндр” (валик), “прямоугольный параллелепипед” (прямоугольные плоскости).
Среди множества разнообразных геометрических тел есть большая группа многогранников. Данные фигуры (преподаватель показывает фигуры) являются многогранниками. А на вопрос: “Почему эти тела называются многогранниками?”, мы с вами ответим во время нашего урока.
III. Ознакомление с новым материалом
В гости к ребятам пришли веселые человечки: Буратино, Карандаш, Незнайка, Самоделкин.
Учитель: Давненько мы с вами не виделись! Ну, что интересного происходило с вами за это время? Что нового узнали? Чему научились?
Человечки принялись наперебой рассказывать о том, что они знают и умеют в геометрии: что такое треугольник, четырехугольник, многоугольник, как измерить длину и площадь.
Учитель: Какие молодцы! Как много узнали! Можно сказать, что вы теперь с геометрией на “ты”. Даже не все мои ученики так интересуются ею.
Буратино: А мы интересуемся, очень!
Потом он вдруг выскочил к доске и запел песенку, которую только что придумал:
Мы с Геометрией на “ты”:
Умеем складывать плоты,
Умеем площадь измерять
И периметр вычислять.
Про круг умеем песни петь …
Нам очень нравиться уметь!
Учитель: Я вижу, что ты, Буратино, умеешь складывать не только плоты, но и песенки. А домики из кубиков и брусочков тебе приходилось складывать?
Карандаш: Нет, мы этим ещё не занимались. Мы знакомились только с плоскими фигурами.
Незнайка: А что такое “плоские”? Ты нам не говорил такого слова, Карандаш.
Карандаш: Слово “плоские” я и, правда, не говорил. Но именно с такими фигурами мы имели дело до сих пор. Треугольник, четырехугольник, многоугольник, круг – все это плоские фигуры. Каждую такую фигуру можно вырезать из листа бумаги, целиком уложить на столе или приложить к доске.
Учитель: Задание всему классу: вырежьте из цветной бумаги и положите на стол какую-нибудь плоскую фигуру.
Самоделкин: А кубик ведь не плоская фигура? Его целиком на стол не уложишь? Как не клади – он обязательно над столом возвышаться будет.
Учитель: Да, кубик, конечно, не плоский. Только его не называют фигурой. В геометрии есть специальное название – тело. Куб – это геометрическое тело.
Карандаш: Шар – тоже геометрическое тело.
Незнайка: А какие еще бывают геометрические тела?
Учитель: Ребята помогите Незнайке, назовите геометрические тела. (Ученики называют сами, если возникает трудность им помогают весёлые человечки.)
Незнайка: Как интересно! Куб, шар, цилиндр, прямоугольный параллелепипед. Давайте поговорим о прямоугольном параллелепипеде подробнее.
Буратино: Что о нем говорить? Как его не клади, он со всех сторон одинаковый. У него все стороны – прямоугольники.
Учитель: Про прямоугольники ты заметил правильно. Только каждый такой прямоугольник называют не стороной, а гранью прямоугольного параллелепипеда. Скажи-ка, Буратино, сколько всего граней у прямоугольного параллелепипеда?
Буратино: Четыре.
Учитель: Ответьте и вы ребята на этот вопрос. Согласны вы с Буратино? (Ученики отвечают.) Только, Буратино, опять поторопился. И ответил неправильно. На самом деле у прямоугольного параллелепипеда шесть граней. Считай: на одной грани он лежит, другая грань – сверху, да еще четыре по бокам.
Квадрат: Причем все грани расположены парами. Посмотрите – противоположные грани – равные прямоугольники.
Самоделкин: Посмотрите, как я разрисовал свой прямоугольный параллелепипед.
Учитель: У каждого из вас есть прямоугольный параллелепипед – это коробочка или спичечный коробок, обклеенные белой бумагой. Раскрасьте их. Равные грани – одним цветом. Скажите: “Сколько потребуется фломастеров разных цветов для этого? (Ответ: 3, ученики выполняют задание, под контролем и с помощью, если необходимо, учителя и веселых человечков.)
– Мы сосчитали, сколько у прямоугольного параллелепипеда граней. Скажи, Карандаш, что еще можно подсчитать у прямоугольного параллелепипеда?
Карандаш: Ребра и вершины. Грани прямоугольного параллелепипеда – это прямоугольники, а их стороны называют ребрами прямоугольного параллелепипеда.
Незнайка: А сколько у куба ребер?
Карандаш: Сосчитайте сами, ребята.
Учитель: Сначала фломастером (того цвета, который не был использован) выделите у своей модели ребра, а затем, сосчитайте их количество.
Самоделкин заключает: У прямоугольного параллелепипеда двенадцать ребер.
Незнайка: Как это ты так быстро сосчитал?
Самоделкин: Я представил себе, что прямоугольный параллелепипед это наш класс. Пол него – прямоугольник. Вот уже четыре ребра есть. Потолок – тоже прямоугольник. Ещё четыре ребра. Уже восемь ребер получилось. Да ещё четыре в углах стен. Всего получается двенадцать!
Учитель: Самоделкин очень удачно заметил, что наша классная комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Назовите и вы ребята предметы, которые имеют ту же форму (ученики приводят примеры).
Одновременно веселые человечки взяли двенадцать железных (деревянных) прутиков и смастерили из них прямоугольный параллелепипед.
Учитель: Попробуйте и вы ребята смастерить прямоугольный параллелепипед из двенадцати палочек, лежащие перед каждым из вас. (Ученики мастерят, а учитель и веселые человечки помогают тем, у кого возникли трудности.)
Карандаш: Мы еще не сосчитали, сколько у прямоугольного параллелепипеда вершин.
Незнайка: А где у прямоугольного параллелепипеда вершины?
Карандаш: Там, где сходятся три ребра.
Учитель: Задание всему классу: найти на своей модели вершины и сосчитать сколько их у прямоугольного параллелепипеда.
Самоделкин: Всего у прямоугольного параллелепипеда восемь вершин. Посмотрите, я нарисовал прямоугольный параллелепипед и у всех вершин поставил номера.
Учитель:
Молодец, Самоделкин, хороший
чертеж. Ты представил, что прямоугольный
параллелепипед прозрачный. Теперь мы видим все
его грани, ребра, вершины. Но изображать
многогранник прозрачным не очень удобно.
Получается набор линий, в котором трудно
разобраться. Глядя на этот рисунок, невозможно
понять, как линии расположены в пространстве.
В геометрии для облегчения восприятия линии,
которые скрыты от глаз наблюдателя, изображать
не сплошным, а штрихованными. Тогда наш
многогранник мы будем изображать так, как
показано на доске.
IV. Первичное закрепление изученного материала
– Перенесите этот чертеж себе в тетрадь и на нем выделите, показав на чертеже ребро, грань, вершину.
| Г – грань Р – ребро В – вершина |
|
Г – 6 Р – 12 В – 8 |
V. Задание на дом
Пока ребята обобщали знания нового материала, Буратино что-то вырезал из бумаги.
Учитель: Что ты делаешь, Буратино?
Буратино: Хочу склеить прямоугольный параллелепипед из бумаги. Вот, уже вырезал шесть его граней (показывает) . Сейчас начну их склеивать.
Учитель: Отдельно вырезанные грани трудно склеить друг с другом так чтобы получился прямоугольный параллелепипед. Есть более удобный способ. Можно вырезать из бумаги вот такую фигуру.
– Здесь все грани соединены между собой.
Буратино: Это же плот из шести прямоугольников!
Учитель: Можно представить, что это плот, но в математике это называется разверткой. Если его согнуть вот так, то сложится прямоугольный параллелепипед. А для того, чтобы можно было склеить его, удобно вырезать наш плод с дополнительными “язычками” для приклеивания.
(Равные прямоугольники отмечены одинаковыми буквами.)
Домашнее задание:
1. Вырежьте из бумаги похожий плот (размером побольше) с “язычками” и постарайтесь склеить из него прямоугольный параллелепипед. А чтобы лучше запомнить слово параллелограмм, следующее домашнее задание:
2. Из данного слова (параллелограмм) составить как можно больше новых слов, состоящих из букв данного слова (причем каждую букву, в новом слове, можно использовать единожды)
VI. Подведение итогов
Учитель: Вот и подошло к концу наше путешествие.
Буратино: Разве мы уже все знаем про геометрию?
Учитель: Что ты, Буратино! Конечно, нет. Геометрия – это очень большая наука и изучать её нужно долго-долго.
Незнайка: Карандаш, а мы будем ещё когда-нибудь заниматься геометрией?
Карандаш: Обязательно будем! А сейчас подведем итоги.
Учитель: Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы. С каким геометрическим телом познакомились сегодня мы на уроке? (Прямоугольный параллелепипед.)
Буратино:
А какие фигуры называются
многогранниками? (Геометрическое тело,
ограниченное со всех сторон плоскими
многоугольниками.)
Приведите примеры этих фигур (Шар, цилиндр,
конус, пирамида, куб, …)
Незнайка: Я так и не понял, как из всех многогранников выбрать прямоугольный параллелепипед? (Это многогранник, у которого все грани прямоугольники и попарно параллельны.)
Самоделкин: Покажите, на своей каркасной модели грани, ребра, вершины прямоугольного параллелепипеда.
Карандаш: Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней, ребер, вершин?
Веселые человечки прощаются с ребятами, предварительно оказав помощь в выставлении отметок учащимся за урок.
Программа курса
|
№ газеты |
Учебный материал |
|
Лекция 1. Проблема пропедевтики изучения геометрии и анализ путей ее решения в прошлом и настоящем |
|
|
Лекция 2. Особенности психического развития детей 10–12 лет в связи с обучением геометрии |
|
|
Лекция 3. Содержание курса наглядной геометрии и
основа методики его изучения |
|
|
Лекция 4. Геометрическая деятельность: учим наблюдать и развиваем пространственное воображение |
|
| Лекция 5. Геометрическая деятельность: обучаем графическим действиям, навыкам конструирования, формируем метрические представления | |
|
Лекция 6. Методика организации геометрической
деятельности учащихся на примере формирования представлений о симметрии |
|
|
Лекция 7. Приоритетные формы организации учебной работы и формы контроля учебных достижений |
|
|
Лекция 8. Компьютерные технологии при изучении
наглядной геометрии |
Лекция 4
Геометрическая деятельность: учим наблюдать и развиваем пространственное воображение
Изучение геометрических фигур и пространственных отношений основывается на определенных действиях, которыми учащиеся должны овладеть. Это действия наблюдения, воображения, измерения, конструирования и графические действия. В этой лекции мы остановимся на первых двух, а остальные рассмотрим в дальнейшем.
Наблюдение
Существует глубокое заблуждение, что наблюдению учить не надо, достаточно лишь сказать: «Смотри!», и все необходимое сделают глаза. Почему тогда одни учащиеся легко «считывают» с геометрического чертежа нужную им информацию, а другие смотрят, но ничего не видят? К сожалению, все не так просто, и восприятие также как и, например, мышление, требует внимания к своему развитию. Развитие умения наблюдать происходит в процессе осмысленной деятельности по восприятию, рассматриванию геометрических объектов, через формирование зрительных эталонов, отражающих основные геометрические конфигурации, через знакомство с некоторыми специальными приемами, облегчающими восприятие.
Хотите узнать больше?
Наблюдение является осмысливающим, интерпретирующим и целенаправленным восприятием.
Наблюдательность - способность человека, проявляющаяся в умении подмечать существенные, характерные, в том числе и малозаметные, свойства предметов и явлений. Развитие Н. - важная задача формирования познавательной установки и адекватного восприятия действительности. Психология. Словарь / Под общ. ред. А.В. Петровского, М.Г. Ярошевского. - М.: Политиздат, 1990.
Действия наблюдения составляют основное содержание задач, целью которых является:
- создание мысленного образа геометрического объекта;
- распознавание заданных конфигураций или фигур;
- сравнение непосредственно воспринимаемых объектов или групп объектов.
Создание мысленного образа геометрического объекта - это, пожалуй, ключевой момент для формирования геометрических представлений, для изучения свойств геометрических фигур. И здесь исключительно важным является то, что происходить создание образа должно в процессе правильно организованной, разнообразной деятельности по всестороннему обследованию объекта. Покажем это на следующем примере.
П р и м е р 1. Формирование представления о прямоугольном параллелепипеде .
Может показаться, что такие представления формируются еще в дошкольном детстве, ведь это самая распространенная геометрическая фигура в окружающем мире. Но это не так. Чтобы убедиться в этом, достаточно попросить пятиклассников ответить на вопрос, сколько у куба граней. А на вопрос о числе ребер ответы будут самые разные, даже если при этом куб будет находиться у каждого в руках. Вы увидите, что даже пересчитать ребра не всем удается!
Чтобы создать образ параллелепипеда, учащимся необходимо осуществить разнообразные практические действия с моделями параллелепипеда, причем под руководством учителя, который руководил бы процессом обследования и направлял его: указанием, какие особенности необходимо выделить, называнием их и т.п. Учащимся следует, взяв модель параллелепипеда в руки (это может быть деревянный брусок, спичечный коробок, бумажная модель, склеенная из развертки, и пр.), выполнить следующие действия:
1) провести ладонью по его поверхности и ощутить, что она состоит из плоских частей;
2) рассмотреть отдельные плоские части - грани параллелепипеда, определить их форму;
3) зафиксировав противоположные грани, например, пальцами, зрительно установить их равенство;
4) зафиксировав каждую грань пальцами (тремя пальцами одной руки и тремя пальцами другой), определить число граней;
5) провести ладонью по поверхности параллелепипеда, выделив линию излома - ребро параллелепипеда; выделить грани, границам которых принадлежит это ребро; выделить и другие ребра, принадлежащие этим же граням; выделить еще несколько ребер параллелепипеда;
6) выделить группы равных ребер параллелепипеда и определить их число; обвести равные ребра карандашом одного цвета;
7) выделить вершины параллелепипеда; поместив его между ладонями, определить особенности расположения вершин;
8) зафиксировав каждую вершину одним пальцем, подсчитать их число;
9) выбрав одну из вершин, определить число ребер, сходящихся в этой вершине; сравнить длины этих ребер (на глаз; проведя по ним пальцем; измерением); проделать это для других вершин; заметить, что в каждой вершине сходятся три ребра разной длины;
10) зафиксировать внимание на гранях, сходящихся в одной вершине: их число, размеры.
В чем отличие мысленного образа, созданного в результате такого всестороннего и подробного исследования, от образа, который возникает при обычной наглядной демонстрации? Точно такое же, как между представлениями об автомобиле, одно из которых создается после просмотра фотографии, а другое - после тест-драйва и возможности «покопаться в моторе». Образ, который создается в результате самостоятельно производимых действий, наполнен знаниями о свойствах объекта, в противном случае – это просто фотография.
В описанном исследовании используются очень разные действия. И простые тактильные действия и движения, которые «в ходу» у каждого ребенка с младенчества (например, движения руки, фиксирующие тот или иной выделяемый в данный момент элемент изучаемого объекта, акцентирующие на нем внимание; при этом способы фиксирования учащиеся могут придумывать сами). Они помогают осуществлять, направляют более сложные действия, сочетающие в себе зрительное сопоставление, сравнение и анализ отдельных элементов, определение их количественных характеристик, синтез этих элементов в единое целое и выделение ключевых особенностей исследуемого объекта.
По сути, наблюдение здесь выступает и методом исследования, так как предложенный набор действий представляет собой план систематического наблюдения. Предложите учащимся провести описанное исследование, а затем попросите рассказать о том, что они знают о параллелепипеде.
Решение задачи сравнения непосредственно воспринимаемых объектов требует от учащихся умения подмечать в рассматриваемых объектах общие черты и различия, находить среди них существенные, и служит, тем самым, формированию понятий.
П р и м е р 2. На рисунке 1 изображены две группы линий. Чем отличаются линии одной группы от линий другой?
Задача сравнения в этом задании сформулирована прямо. Сравнивая линии каждой группы, учащиеся должны увидеть, что линии первой группы не имеют самопересечений, а линии второй группы - самопересекающиеся.
П р и м е р 3. На рисунке 2 изображены два параллелограмма. Покажите, что эти параллелограммы равновелики .
Здесь задача сравнения в явном виде не сформулирована, но является сутью задачи, так как для ее решения учащимся необходимо заметить, что оба данных параллелограмма могут быть перекроены в один и тот же прямоугольник. Это и будет означать, что параллелограммы равновелики. Есть и другое решение, которое заключается в том, что один из данных параллелограммов можно перекроить в другой. Это тоже можно «увидеть» на рисунке: мысленно «отрезав» от первого параллелограмма треугольник и «приложив» его к противолежащей стороне, мы получим второй параллелограмм.
Когда мы ставим перед учащимися задачу распознавания геометрических объектов, мы преследуем две цели - формирование законченного образа объекта изучения, его узнавание и различение в различных пространственных положениях, в более сложных конфигурациях, а также развитие у учащихся геометрической зоркости и наблюдательности.
П р и м е р 4. Найдите на рисунке 3 прямоугольники .
Особенность рисунка заключается в том, что он содержит две фигуры, не являющиеся прямоугольниками, а также два квадрата. Чтобы справиться с этим заданием, учащиеся должны, во-первых, помнить, что квадрат является прямоугольником, а во-вторых, увидеть квадрат, расположенный в непривычном для них положении. Особенность восприятия геометрических объектов такова, что фигура 4 воспринимается как ромб, если учащиеся знакомы с ромбом, в противном случае - как четырехугольник, не являющийся квадратом. Если учащиеся не выделяют эту фигуру как квадрат, необходимо предложить им мысленно, а в случае затруднения и практически, повернуть ее так, чтобы квадрат принял более привычное для распознавания горизонтально-вертикальное расположение.
П р и м е р 5. Сколько треугольников изображено на рисунке 4?
Это упражнение направлено на отработку умения распознавать треугольник в более сложной конфигурации, а в данном случае и как составную часть другой фигуры, и как объединение других фигур.
Приемы, помогающие восприятию
Поговорим теперь о приемах, которые могут помочь учащимся при решении рассмотренных задач. Один из приемов заключается в предметном моделировании конфигурации . Его можно применить при выполнении упражнения, описанного в примере 5. Для того чтобы учитель мог руководить восприятием учащихся, акцентируя их внимание на том или ином треугольнике, научить их переключать свой взор с «большого» треугольника на «маленькие» треугольники, которые его составляют, он может предложить учащимся модель, изготовленную из цветной бумаги. Тренировка восприятия заключается в том, что складывая два треугольника вместе, учащиеся видят один треугольник, разъединяя их, снова видят два исходных треугольника.
Другим приемом является выделение элементов конфигурации цветом. Это может быть или раскрашивание фигуры, входящей в конфигурацию, или обведение ее контура. Так, например, при анализе рисунка из примера 3 учащиеся могут выделить цветом один из данных параллелограммов. При определенном уровне владения приемом, при его самостоятельном применении некоторые учащиеся закрашивают один из параллелограммов, другие выделяют лишь его контур, третьи - контуры двух параллелограммов карандашами двух разных цветов. Творческое использование освоенного приема играет существенную роль при решении задач.
П р и м е р 6. Сколько диагоналей у выпуклого пятиугольника?
Статья опубликована при поддержке веб-студии SAIT.UA . Компания предлагает Вам услуги по разработке корпоративных сайтов, интернет-каталогов, интернет-магазинов, а также проектирование и поддержка сайтов, графический дизайн, медиапланирование, хостинг, создание эксклюзивных программных продуктов на заказ и другое. Узнать подробную информацию о веб-агенстве и контакты Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: sait.ua.
Пусть из некоторой вершины пятиугольника учащиеся проведут карандашом одного цвета две выходящие из нее диагонали. И так для всех вершин, каждый раз, переходя к новой вершине, меняя цвет карандаша. Таким образом, они используют карандаши пяти разных цветов и проведут 10 отрезков. Далее они обратят внимание на то, что каждая диагональ была проведена ими дважды (отрезки двух разных цветов). Следовательно, у пятиугольника 5 диагоналей. Описанный способ решения позволяет учителю поставить перед учащимися вопрос о количестве диагоналей у шестиугольника, семиугольника, стоугольника. Найденный способ легко может быть перенесен ими на любой многоугольник: число диагоналей равно половине (каждую диагональ провели дважды) произведения числа вершин (число использованных карандашей) на число диагоналей, выходящих из одной вершины (их на три меньше числа вершин).
Еще один прием восприятия сложных конфигураций заключается в определении логики перебора . Этот прием (наряду с выделением цветом) имеет место, например, при выполнении задания из примера 6. Логика перебора заключается здесь в последовательном проведении всех диагоналей, выходящих из каждой вершины пятиугольника. Но рассмотрим еще один пример.
П р и м е р 7. На рисунке 5 найдите все 35 треугольников .
Это пример одного из наиболее сложных заданий для учащихся 5–6-х классов, поэтому в формулировке число треугольников уже задано; кроме того, оно будет стимулировать действия самоконтроля. Успешное выполнение задания зависит в большей степени от того, как будет организован перебор треугольников, входящих в данную конфигурацию, а не от уровня развития восприятия. Здесь учитель должен помочь учащимся, вооружив их логикой перебора, последовательно открывающей перед их взорами все треугольники. Предварительный этап решения задачи состоит в выделении цветом фигур, составляющих пятиугольник: учащимся предлагается раскрасить сначала внутренний пятиугольник, затем карандашами двух других цветов две группы равных «маленьких» треугольников.
Опишем один из вариантов решения. Зафиксируем вершину В в качестве начала отсчета, направление обхода - по часовой стрелке. Подсчитаем число маленьких треугольников - пять треугольников, равных треугольнику АВО , и пять треугольников, равных OBF . (Если равные треугольники предварительно были раскрашены, например, красным и синим цветом, то вместо использования буквенных обозначений удобнее «обозначать» треугольники цветом - пять красных треугольников и пять синих.) Число треугольников, составленных из двух маленьких треугольников (одного красного и одного синего), равно десяти - по два у каждой вершины пятиугольника. Число треугольников, составленных из трех маленьких треугольников (двух красных и одного синего), равно пяти - по одному у каждой вершины пятиугольника. Теперь подсчитаем число треугольников, в которые входит маленький пятиугольник. Число треугольников, составленных из пятиугольника и двух синих треугольников, равно пяти - по одному у каждой вершины маленького пятиугольника. И наконец, число треугольников, составленных из пятиугольника, трех синих и одного красного треугольника, их пять - по числу вершин пятиугольника. Итого, 35 треугольников.
Воображение
Под воображением мы будем понимать операции по мысленному оперированию геометрическими образами и по созданию новых образов. Это не есть творческое воображение, создающее принципиально новые объекты, новыми эти объекты являются для учащихся, так как рождаются ими самостоятельно на основе преобразования уже известных объектов. Это воссоздающее воображение - представление новых объектов в соответствии с их описанием, чертежом, схемой.
Формируется воображение на основе восприятия, поэтому обогащая опыт восприятия, наблюдения, побуждая учащихся к созданию образов, учитель развивает их воображение. Любое сложное действие, прежде чем стать достоянием разума, должно быть реализовано вовне. Овладение действиями воображения происходит в процессе перехода практических действий во внутренний план.Хотите узнать больше?
Воображение - это создание образов таких предметов и явлений, которые никогда не воспринимались человеком ранее. Развитию воображения способствуют ситуации незавершенности, поощрение множества вопросов, стимулирование независимости, самостоятельных разработок. Крутецкий В.А. Психология. - М.: Просвещение, 1980.
Хотите узнать больше?
Интериоризация - преобразование структуры предметной деятельности в структуру внутреннего плана сознания. Психология. Словарь / Под общ. ред. А.В. Петровского, М.Г. Ярошевского. - М.: Политиздат, 1990.
Действия воображения являются содержанием задач, целью которых является:
- создание мысленного образа геометрического объекта по его описанию;
- создание мысленного объемного образа объекта на основе рисунка
- ространственного тела или проекционного чертежа;
- мысленное оперирование образом.
Говоря о создании мысленного образа по его описанию , будем рассматривать два случая: во-первых, когда в ходе решения задачи учащимся необходимо мысленно конструировать новый образ из знакомых образов как из элементов конструктора, во-вторых, как речь идет о геометрическом месте точек.
Приведем примеры двух заданий, где в качестве «элементов конструктора» выступают параллелепипеды.
П р и м е р 8. Из четырех кубиков выложить параллелепипед можно двумя способами. Одинаковой ли будет площадь поверхности параллелепипеда в первом и втором случаях?
Сложить из четырех кубиков параллелепипед учащиеся должны мысленно, а вот проверить, что таких возможностей только две, мысленно довольно сложно. Сделать это необходимо, прибегнув к кубикам реальным.
П р и м е р 9. Объем параллелепипеда равен 64 см 3 , ширина - 4 см, высота - 2 см. Длину этого параллелепипеда уменьшили на 3 см. Определите объем получившегося параллелепипеда.
Здесь мысленное воспроизведение ситуации позволяет найти более рациональный путь, чем последовательное вычисление длины большого параллелепипеда, уменьшение ее на 3 см и вычисление объема нового параллелепипеда. Во время поиска и обсуждения способов решения задачи учитель предлагает учащимся представить, что заданный в условии параллелепипед разрезают на два параллелепипеда, при этом длина «отрезаемого» параллелепипеда равна 3 см. Отсюда, чтобы решить задачу, необходимо объем исходного параллелепипеда уменьшить на объем «отрезанной» части.
В результате выполнения заданий на ГМТ учащиеся должны именно «увидеть» фигуру как множество точек, обладающих определенным свойством, как бы заставить точки слиться в единую фигуру.
П р и м е р 10. Начертите какую-нибудь прямую и обозначьте ее буквой а. Постройте несколько точек, находящихся от прямой а на расстоянии 2 см. Где расположены все такие точки?
Выполняя построение точек, удаленных от прямой на 2 см, учащиеся сначала должны «увидеть», что точки образуют прямую, параллельную прямой а , после чего понять, что прямых, удовлетворяющих условию, две.
Задача создания мысленного образа пространственного тела на основе графического изображения решается, прежде всего, для пространственных фигур. Прежде чем познакомиться с проекционным чертежом, который используется в стереометрии, в курсе наглядной геометрии изучение пространственных фигур полезно начать с рисунков стеклянных, каркасных моделей, а также сплошных тел, сложенных из кубиков или параллелепипедов, постепенно абстрагируя изображения материальных тел и заменяя их проекционным чертежом.
П р и м е р 11. Сколько вершин, ребер и граней у многогранника (рис. 6)?
Материальный объект представить легче. Использование изображения стеклянной модели на начальном этапе овладения действиями по созданию мысленных пространственных образов и терминологией, связанной с многогранниками, позволяет учащимся «увидеть» все элементы многогранника, определить их число, особенности расположения, форму граней. На стеклянной модели видны и ребра, и грани.
П р и м е р 12. На рисунке 7 изображена каркасная модель куба. Назовите ребра, выходящие из вершины М.
Изображение каркасной модели имеет более абстрактный характер, поэтому его использование носит переходный характер от изображения стеклянной модели к проекционному чертежу. На каркасной модели видны ребра, а грани как бы прозрачны, реально не видимы.
П р и м е р 13. Заштрихуйте видимые грани куба (рис. 8), используя для каждой грани свой цвет.
Проекционный чертеж – это уже условное изображение, которое надо уметь читать. Учитель фиксирует внимание учащихся на том, что у видимой грани все ребра являются также видимыми. Учащиеся последовательно выделяют контуры, ограниченные сплошными («видимыми») линиями. Перед их взорами появляется куб с тремя видимыми гранями разного цвета.
П р и м е р 14. На рисунке 9 изображен прямоугольный параллелепипед, повернутый на зрителя ребром LN. Обведите видимые ребра сплошными, невидимые - штриховыми линиями .
Учитель предлагает учащимся определить, какие грани имеют ребро LN и будут ли они видимыми. Затем они определяют, какие ребра этих граней видимы, и обводят их карандашом. Далее, чтобы увидеть, какие еще ребра являются видимыми, они могут воспользоваться предметной моделью параллелепипеда, расположив ее перед собой так, как изображено на рисунке.
Чтобы мысленно перекатить куб с одной грани на другую, необходимо иметь практический опыт выполнения этих действий. Чтобы учащиеся овладели действиями по мысленному оперированию образом и его преобразованию, они должны научиться переводить практические действия с предметными моделями во внутренний план. Наиболее простым среди таких действий является изменение пространственного положения объекта, например, перемещение в заданном направлении, поворот. Характерно оно и на плоскости, и в пространстве.
П р и м е р 15. Пирамиду ABCD поставили на лист бумаги гранью ABC. Затем перекатили на грань BCD. Затем покатили дальше. Каждая грань оставляет на листе свой след (рис. 10). Обозначьте на нем буквами следы соответствующих вершин.
Учитель может предложить каждому ученику выполнить описанные действия с моделью пирамиды следующим образом: ученик располагает пирамиду на листе бумаги и обводит очертание грани карандашом; перекатывает пирамиду на другую грань и снова обводит ее, следя при этом, чтобы пирамида оставляла такой же след, как на рисунке; проставляет на своем рисунке обозначения вершин. По ходу выполнения задания (например, после второго перекатывания) учитель может предложить учащимся следующий раз перекатить пирамиду мысленно, а затем проверить себя. Далее каждый продолжает свою «змейку» самостоятельно, сначала стараясь выполнить действие мысленно, а затем практически.
Следующий пример относится к графическим действиям по построению фигуры.
П р и м е р 16. На рисунке 11 показан способ построения прямоугольника. Опишите словами предложенный способ и выполните построения.
Рисунок задает лишь конечную конфигурацию, полученную при выполнении построений, этапы построения скрыты от учащихся. Вычленить способ построения конфигурации учащиеся могут лишь работой воображения, основываясь на своих наблюдениях и знаниях свойств входящих в нее фигур.
Учитель должен направить мысленное преобразование ситуации в нужном направлении, стараясь от конечного результата построений привести учащихся к его начальному этапу, здесь придется двигаться в обратном направлении, решать «обратным ходом». Он может предложить учащимся мысленно убрать с данного рисунка прямоугольник - ведь он появился на чертеже последним. Теперь на нем осталась лишь окружность и два ее диаметра. (До этого момента учащиеся могут и не видеть, что диагонали прямоугольника являются также и диаметрами окружности.) Учитель обращает внимание учащихся на то, что прямоугольник появился, когда были последовательно соединены концы диаметров. И здесь становится очевидным, что начинать построение надо с проведения окружности и ее диаметров.
Наиболее сложными для учащихся являются операции по преобразованию исходного образа, в котором он претерпевает изменения не только в плане пространственного расположения, но и изменения структурного характера. Примером такого действия является мысленное сворачивание развертки куба.
П р и м е р 17. Какие точки совместятся при склеивании развертки, изображенной на рисунке 12.
Выполнению этого задания должно обязательно предшествовать изготовление учащимися данной развертки из листа бумаги. Надо предложить учащимся зафиксировать одну из граней куба как нижнюю и не спеша сворачивать развертку, обращая внимание на расположение граней: какой из квадратов развертки образует верхнюю грань, какие - боковые. Затем снова надо повторить выполненные действия, но теперь фиксировать внимание на том, какие при этом совмещаются точки и какие отрезки.
Сворачивая куб из разных разверток, учащиеся приходят к некоторому приему мысленного сворачивания куба, который заключается в том, что четыре расположенных в ряд квадрата удобно представить в качестве его боковых граней.
Приведем пример задачи другого типа, также требующей при оперировании образом перехода из плоскости в пространство и обратно.
Пример 18. По поверхности стеклянного куба (рис. 13) проходит ломаная линия, сделанная из проволоки. Нанесите эту ломаную на изображение куба спереди, сверху и слева.
Важной особенностью этого задания является то, что выполнить его можно не только мысленно разворачивая куб в нужном ракурсе, но и изменяя мысленно свое положение относительно куба - взглянуть на куб сверху, «зайти» справа и т.д.
Приемы, помогающие воображению
При овладении действиями воображения, как и при овладении действиями наблюдения, существенную помощь оказывают описанные выше приемы, облегчающие восприятие: использование предметной модели, раскрашивание. Это видно из примеров 13 и 14. В примере 15 также может быть использован прием раскрашивания - каждую грань пирамиды можно «окрасить» в свой цвет; перекатываясь по листу бумаги, такая пирамида будет оставлять на ней «цветной след». Приведем пример, показывающий целесообразность использования при анализе рисунка в некоторых случаях и логики перебора.
П р и м е р 19. Сколько нужно кубиков, чтобы сложить башню, изображенную на рисунке 14?
При подсчете кубиков учащиеся часто забывают о тех из них, которые не видимы. Чтобы этого не произошло, учитель должен обсудить с учащимися логику пересчета, обращая их внимание на особенности конструкции, например, на симметрию. Логика пересчета всегда опирается на некоторые мысленные преобразования заданной конфигурации (перекладывание кубиков, разборка и т.д.). Очень полезно для проверки найденного решения предложить учащимся сложить конструкцию из кубиков практически.
Методический практикум
1. Подберите в литературе или составьте самостоятельно несколько задач, направленных на формирование действий наблюдения и развитие воображения.
2. Проведите небольшое исследование. Разбейте учащихся на две приблизительно равные по силам группы. Первой группе предложите классифицировать некоторый набор геометрических фигур по их графическому изображению, второй – те же фигуры, но вырезанные из бумаги. Учащиеся должны отобрать сходные фигуры, объяснить, чем они похожи и чем остальные фигуры не похожи на них. В исследуемый набор могут, например, входить: выпуклые и невыпуклые многоугольники; фигуры, граница которых состоит из отрезков и дуг окружностей. Учащиеся могут предложить несколько оснований для классификации, например, для описанного выше набора - выделить многоугольники или выделить выпуклые фигуры. Сравните результаты работы первой и второй групп.
Литература
1. Венгер Л.А. Восприятие и обучение. - М.: Просвещение, 1968.
2. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся / Под ред. И.С. Якиманской. - М.: Педагогика, 1980.
3. Восприятие и действие / Под. ред. А.В. Запорожца. - М.: Просвещение, 1967.
4. Гальперин П.Я., Талызина Н.Ф. Формирование начальных геометрических понятий на основе организованного действия учащегося // Вопросы психологии, 1957, № 1.
5. Зинченко В.П. Продуктивное восприятие // Вопросы психологии, 1971, № 6.