ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

«Графические методы решения уравнений и неравенств с параметрами»

Выполнил

учитель математики

МОУ СОШ №62

Липецк 2008

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................... 3

х ;у ) 4

1.1. Параллельный перенос........................................................................... 5

1.2. Поворот................................................................................................... 9

1.3. Гомотетия. Сжатие к прямой................................................................ 13

1.4. Две прямые на плоскости..................................................................... 15

2. ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ (х ;а ) 17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................................... 20

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................................ 22

ВВЕДЕНИЕ

Проблемы, возникающие у школьников при решении нестандартных уравнений и неравенств, вызваны как относительной сложностью этих задач, так и тем, что в школе, как правило, основное внимание уделяется решению стандартных задач.

Многие школьники воспринимают параметр как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать посто­янной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения! Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возмож­ных значениях этой постоянной величины. В других задачах бывает удобно искусственно объявить параметром одну из неизвестных.

Иные школьники относятся к параметру как к неизвестной величине и, не смущаясь, могут выразить в ответе параметр через переменную х.

На выпускных и вступительных экзаменах встречаются, в осно­вном, два типа задач с параметрами. Вы сразу отличите их по формулировке. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.

Решением уравнения с параметром для данного фиксированного зна­чения параметра называется такое значение неизвестной, при подста­новке которого в уравнение, последнее обращается в верное числовое ра­венство. Аналогично определяется решение неравенства с параметром. Решить уравнение (неравенство) с параметром - это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения (не­равенства).

1. ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ (х ;у )

Наряду с основными аналитическими при­емами и методами решений задач с параметрами существуют способы обраще­ния к наглядно-графическим интерпретациям.

В зависимости от того какая роль параметру отводится в задаче (неравноправная или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приема: первый – построение графического образа на коорди­натной плоскости (х ; у), второй – на (х ; а).

На плоскости (х; у) функция у = f (х ; а) задает семейство кривых, зависящих от параметра а. Понятно, что каждое семейство f обладает определенными свойствами. Нас же в первую очередь будет интересовать, с помощью какого преобра­зования плоскости (параллельный перенос, поворот и т. д.) можно перейти от одной кривой семейства к какой-либо другой. Каждому из таких преобразований будет посвящен отдельный пункт. Как нам кажется, подобная классификация облегчает решающему поиск необходимого графического образа. Отметим, что при таком подходе идейная часть решения не зависит от того, какая фигура (прямая, окружность, парабола и т. п.) будет являться членом семейства кривых.

Разумеется, не всегда графический образ семейства у = f (х ; а) описывается простым преобразованием. Поэтому в подобных ситуациях полезно сосредоточить внимание не на том, как связаны кривые одного семейства, а на самих кривых. Иными словами можно выделить еще один тип задач, в которых идея решения прежде всего основана на свойствах конкретных геометрических фигур, а не семейства в целом. Какие же фигуры (точнее семейства этих фигур) нас будут интересовать в первую очередь? Это прямые и параболы. Такой выбор обусловлен особым (основным) положением линейной и квадратичной функций в школьной математике.

Говоря о графических методах, невозможно обойти одну проблему, «рожденную» практикой конкурсного экзамена. Мы имеем в виду вопрос о строгости, а следовательно, о законности решения, основанного на графических соображениях. Несомнен­но, с формальной точки зрения результат, снятый с «картинки», не подкрепленный аналитически, получен нестрого. Однако кем, когда и где определен уровень строгости, которого следует придерживаться старшекласснику? По нашему мнению, требования к уровню математической строгости для школьника должны определяться здравым смыслом. Мы понимаем степень субъек­тивности такой точки зрения. Более того, графический метод – всего лишь одно из средств наглядности. А наглядность может быть обманчивой..gif" width="232" height="28"> имеет единственное решение.

Решение. Для удобства обоз­начим lg b = а. Запишем урав­нение, равносильное исходному: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Строим график функции с областью определе­ния и (рис. 1). Полученный график семейство прямых у = а должно пересекать только в одной точке. Из рисунка видно, что это требование выполняется лишь при а > 2, т. е. lg b > 2, b > 100.

Ответ. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> определить число решений уравнения .

Решение . Построим график функции 102" height="37" style="vertical-align:top">

Рассмотрим . Это прямая параллельна оси ОХ.

Ответ ..gif" width="41" height="20">, то 3 решения;

если , то 2 решения;

если , 4 решения.

Перейдем к новой серии задач..gif" width="107" height="27 src=">.

Решение. Построим прямую у = х +1 (рис. 3)..gif" width="92" height="57">

иметь одно решение, что равносильно для уравнения (х +1)2 = х + а иметь один корень..gif" width="44 height=47" height="47"> исходное неравенство решений не имеет. Заметим, что тот, кто знаком с произ­водной, может получить этот результат иначе.

Далее, смещая «полупараболу» влево, зафиксируем послед­ний момент, когда графики у = х + 1 и имеют две общие точки (положение III). Такое расположение обеспечива­ется требованием а = 1.

Ясно, что при отрезок [х 1; х 2], где х 1 и х 2 – абсциссы точек пересечения графиков, будет решением исходно­го неравенства..gif" width="68 height=47" height="47">, то

Когда «полупарабола» и прямая пересекаются только в одной точке (это соответствует случаю а > 1), то решением будет отрезок [-а ; х 2"], где х 2" – больший из корней х 1 и х 2 (положение IV).

Пример 4 ..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Отсюда получаем .

Рассмотрим функции и . Среди них лишь одна задает семейство кривых. Теперь мы видим, что произведенная замена приносит несомненную пользу. Парал­лельно отметим, что в предыдущей задаче аналогичной заменой можно заставить двигаться не «полупараболу», а прямую. Обратимся к рис. 4. Очевидно, если абсцисса вершины «полупараболы» больше единицы, т. е. –3а > 1, , то уравнение корней не имеет..gif" width="89" height="29"> и име­ют разный характер моно­тонности.

Ответ. Если то уравнение имеет один корень; если https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

имеет решения.

Решение. Ясно, что прямые семейства https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155">

Значение k1 найдем, подставив в первое уравнение системы пару (0;0). Отсюда k 1 =-1/4. Значение k 2 получим, потребовав от системы

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> при k > 0 иметь один корень. Отсюда k2 = 1/4.

Ответ. .

Сделаем одно замечание. В некоторых примерах этого пункта нам придется решать стандартную задачу: для прямой семейства находить ее угловой коэффициент, соответствующий моменту касания с кривой. Покажем, как это сделать в общем виде при помощи производной.

Если (х0 ; y 0) = центр поворота, то координаты (х 1; у 1) точки касания с кривой у = f (х) можно найти, решив систему

Искомый угловой коэффициент k равен .

Пример 6 . При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Решение ..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, дуга АВ.

Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекают дугу АВ в одной точке, также в одной точке пересекают дугу АВ ОВ и ОМ (касательная)..gif" width="16" height="48 src=">. Угловой коэффициент касательной равен . Легко находится из системы

Итак, прямые семейства https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Ответ . .

Пример 7 ..gif" width="160" height="25 src="> имеет решение?

Решение ..gif" width="61" height="24 src="> и убывает на . Точка - является точкой максимума.

Функция же - это семейство прямых, проходящих через точку https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> является дуга АВ. Прямые , которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи..gif" width="17" height="47 src=">.

Ответ ..gif" width="15" height="20">решений нет.

1.3. Гомотетия. Сжатие к прямой.

Пример 8. Сколько решений имеет система

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> система решений не имеет. При фиксированном а > 0 графиком первого уравнения является квадрат с вершинами (а ; 0), (0;-а ), (-a ;0), (0;а). Таким образом, членами семейства являются гомотетичные квадраты (центр гомотетии – точка О(0; 0)).

Обратимся к рис. 8..gif" width="80" height="25"> каж­дая сторона квадрата име­ет две общие точки с ок­ружностью, а значит, сис­тема будет иметь восемь решений. При окружность окажется вписанной в квадрат, т. е. решений станет опять четыре. Очевидно при система решений не имеет.

Ответ. Если а < 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, то решений четыре; если , то решений восемь.

Пример 9 . Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Рассмотрим функцию ..jpg" width="195" height="162">

Число корней будет соответствовать числу 8 тогда, когда радиус полуокружности будет больше и меньше , то есть . Заметим, что есть .

Ответ . или .

1.4. Две прямые на плоскости

По существу, в основе идеи решения задач настоящего пункта лежит вопрос об исследовании взаимного расположения двух прямых: и . Несложно показать решение этой задачи в общем виде. Мы же обратимся непосредственно к конкретным характерным примерам, что, на наш взгляд, не нанесет ущерба общей стороне вопроса.

Пример 10. При каких a и b система

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src=">, т..gif" width="116" height="55">

Неравенство системы задает полуплоскость с границей у = 2х – 1 (рис. 10). Легко сооб­разить, что полученная система имеет решение, если прямая ах + by = 5 пересекает границу полуплоскости или, будучи па­раллельной ей, лежит в полупло­скости у – 2х + 1 < 0.

Начнем со случая b = 0. Тогда, казалось бы, урав­нение ах + by = 5 задает верти­кальную прямую, которая оче­видно пересекает прямую у = 2х – 1. Однако это утверж­дение справедливо лишь при ..gif" width="43" height="20 src="> система имеет решения..gif" width="99" height="48">. В этом случае условие пересечения прямых достигается при , т. е. ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> и , или и , или и https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− В координатной плоскости xOa строим график функции .

− Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси Oa, на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24"> в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.

− Если поставлена задача найти значения x, то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах..jpg" width="242" height="182">

Ответ. а = 0 или а = 1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы надеемся, что разобранные задачи достаточно убедитель­но демонстрируют эффективность предложенных методов. Одна­ко, к сожалению, сфера применения этих методов ограничена трудностями, с которыми можно столкнуться при построении графического образа. А так ли это плохо? По-видимому, нет. Ведь при таком подходе в большой степени теряется главная дидактическая ценность задач с параметрами как модели миниатюрного исследования. Впрочем, приведенные соображения адресованы учителям, а для абитуриентов вполне приемлема формула: цель оправдывает средства. Более того возьмем на себя смелость сказать, что в немалом числе вузов составители конкурсных задач с параметрами идут по пути от картинки к условию.

В этих задачах обсуждались те возможности решения задач с пара­метром, которые открываются нам при изображении на листе бумаге графиков функций, входящих в левую и правую части уравнений или неравенств. В связи с тем, что параметр может принимать произ­вольные значения, один или оба из изображаемых графиков движутся определенным образом на плоскости. Можно говорить о том, что получается целое семейство графиков, соответствующих различным значениям параметра.

Решительно подчеркнем две детали.

Во-первых, речь не идет о «графическом» решении. Все значения, координаты, корни вычисляются строго, аналитически, как решения соответствующих уравнений, систем. Это же относится к случаям касания или пересечения графиков. Они определяются не на глазок, а с помощью дискриминантов, производных и других доступных Вам инструментов. Картинка лишь дает путь решения.

Во-вторых, даже если Вы не найдете никакого пути решения задачи, связанного изображенными графиками, Ваше представление о задаче значительно расширится, Вы получите информацию для самопроверки и шансы на успех значительно возрастут. Точно представляя себе, что происходит в задаче при различных значениях параметра, Вы, возможно, найдет правильный алгоритм решения.

Поэтому эти слова завершим настоятельным предло­жением: если в хоть мало-мальски сложной задаче встречаются функции, графики которых Вы рисовать умеете, обязательно сделайте это, не пожалеете.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Черкасов, : Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы [Текст] / , . – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. – 576 с.

2. Горштейн, с параметрами [Текст]: 3-е издание, дополненное и переработанное / , . – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999. – 336 с.

График линейного или квадратного неравенства строится так же, как строится график любой функции (уравнения). Разница заключается в том, что неравенство подразумевает наличие множества решений, поэтому график неравенства представляет собой не просто точку на числовой прямой или линию на координатной плоскости. С помощью математических операций и знака неравенства можно определить множество решений неравенства.

Шаги

Графическое изображение линейного неравенства на числовой прямой

1. Решите неравенство. Для этого изолируйте переменную при помощи тех же алгебраических приемов, которыми пользуетесь при решении любого уравнения. Помните, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число (или член), поменяйте знак неравенства на противоположный.

   • Например, дано неравенство 3 y + 9 > 12 {\displaystyle 3y+9>12} . Чтобы изолировать переменную, из обеих сторон неравенства вычтите 9, а затем обе стороны разделите на 3:
     3 y + 9 > 12 {\displaystyle 3y+9>12}
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 {\displaystyle 3y+9-9>12-9}
     3 y > 3 {\displaystyle 3y>3}
     3 y 3 > 3 3 {\displaystyle {\frac {3y}{3}}>{\frac {3}{3}}}
     y > 1 {\displaystyle y>1}
   • Неравенство должно иметь только одну переменную. Если неравенство имеет две переменные, график лучше строить на координатной плоскости.

2. Нарисуйте числовую прямую. На числовой прямой отметьте найденное значение (переменная может быть меньше, больше или равна этому значению). Числовую прямую рисуйте соответствующей длины (длинную или короткую).

   • Например, если вы вычислили, что y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой отметьте значение 1.

3. Нарисуйте кружок, обозначающий найденное значение. Если переменная меньше ( < {\displaystyle <} ) или больше ( > {\displaystyle >} ) этого значения, кружок не закрашивается, потому что множество решений не включает это значение. Если переменная меньше или равна ( ≤ {\displaystyle \leq } ) или больше или равна ( ≥ {\displaystyle \geq } ) этому значению, кружок закрашивается, потому что множество решений включает это значение.

   • y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой нарисуйте незакрашенный кружок в точке 1, потому что 1 не входит в множество решений.

4. На числовой прямой заштрихуйте область, определяющую множество решений. Если переменная больше найденного значения, заштрихуйте область справа от него, потому что множество решений включает все значения, которые больше найденного. Если переменная меньше найденного значения, заштрихуйте область слева от него, потому что множество решений включает все значения, которые меньше найденного.

   • Например, если дано неравенство y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой заштрихуйте область справа от 1, потому что множество решений включает все значения больше 1.

   Графическое изображение линейного неравенства на координатной плоскости

   1. Решите неравенство (найдите значение y {\displaystyle y} ). Чтобы получить линейное уравнение, изолируйте переменную на левой стороне при помощи известных алгебраических методов. В правой части должна остаться переменная x {\displaystyle x} и, возможно, некоторая постоянная.

      • Например, дано неравенство 3 y + 9 > 9 x {\displaystyle 3y+9>9x} . Чтобы изолировать переменную y {\displaystyle y} , из обеих сторон неравенства вычтите 9, а затем обе стороны разделите на 3:
        3 y + 9 > 9 x {\displaystyle 3y+9>9x}
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 {\displaystyle 3y+9-9>9x-9}
        3 y > 9 x − 9 {\displaystyle 3y>9x-9}
        3 y 3 > 9 x − 9 3 {\displaystyle {\frac {3y}{3}}>{\frac {9x-9}{3}}}
        y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3}

   2. На координатной плоскости постройте график линейного уравнения. постройте график , как строите график любого линейного уравнения. Нанесите точку пересечения с осью Y, а затем при помощи углового коэффициента нанесите другие точки.

      • y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} постройте график уравнения y = 3 x − 3 {\displaystyle y=3x-3} . Точка пересечения с осью Y имеет координаты , а угловой коэффициент равен 3 (или 3 1 {\displaystyle {\frac {3}{1}}} ). Таким образом, сначала нанесите точку с координатами (0 , − 3) {\displaystyle (0,-3)} ; точка над точкой пересечения с осью Y имеет координаты (1 , 0) {\displaystyle (1,0)} ; точка под точкой пересечения с осью Y имеет координаты (− 1 , − 6) {\displaystyle (-1,-6)}

   3. Проведите прямую. Если неравенство строгое (включает знак < {\displaystyle <} или > {\displaystyle >} ), проведите пунктирную прямую, потому что множество решений не включает значения, лежащие на прямой. Если неравенство нестрогое (включает знак ≤ {\displaystyle \leq } или ≥ {\displaystyle \geq } ), проведите сплошную прямую, потому что множество решений включает значения, лежащие на прямой.

      • Например, в случае неравенства y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} проведите пунктирную прямую, потому что множество решений не включает значения, лежащие на прямой.

   4. Заштрихуйте соответствующую область. Если неравенство имеет вид y > m x + b {\displaystyle y>mx+b} , заштрихуйте область над прямой. Если неравенство имеет вид y < m x + b {\displaystyle y, заштрихуйте область под прямой.

      • Например, в случае неравенства y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} заштрихуйте область над прямой.

   Графическое изображение квадратного неравенства на координатной плоскости

   1. Определите, что данное неравенство является квадратным. Квадратное неравенство имеет вид a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} . Иногда неравенство не содержит переменную первого порядка ( x {\displaystyle x} ) и/или свободный член (постоянную), но обязательно включает переменную второго порядка ( x 2 {\displaystyle x^{2}} ). Переменные x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} должны быть изолированы на разных сторонах неравенства.

      • Например, нужно построить график неравенства y < x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. На координатной плоскости постройте график. Для этого преобразуйте неравенство в уравнение и постройте график , как строите график любого квадратного уравнения. Помните, что график квадратного уравнения является параболой.

      • Например, в случае неравенства y < x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y постройте график квадратного уравнения y = x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y=x^{2}-10x+16} . Вершина параболы находится в точке (5 , − 9) {\displaystyle (5,-9)} , и парабола пересекает ось Х в точках (2 , 0) {\displaystyle (2,0)} и (8 , 0) {\displaystyle (8,0)} .

Начальный уровень

Решение уравнений, неравенств, систем с помощью графиков функций. Визуальный гид (2019)

Многие задания, которые мы привыкли вычислять чисто алгебраически, можно намного легче и быстрее решить, в этом нам поможет использование графиков функций. Ты скажешь «как так?» чертить что-то, да и что чертить? Поверь мне, иногда это удобнее и проще. Приступим? Начнем с уравнений!

Графическое решение уравнений

Графическое решение линейных уравнений

Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида. Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем - все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно - в другую и вуаля! Мы нашли корень. Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.

Итак, у тебя есть уравнение:

Как его решить?
Вариант 1 , и самый распространенный - перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:

А теперь строим. Что у тебя получилось?

Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата точки пересечения графиков:

Наш ответ -

Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число!

Как я говорила выше, это самый распространенный вариант, приближенный к алгебраическому решению, но можно решать и по-другому. Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:

В этот раз не будем ничего переносить из стороны в сторону, а построим графики напрямую, так как они сейчас есть:

Построил? Смотрим!

Что является решением на этот раз? Все верно. Тоже самое - координата точки пересечения графиков:

И, снова наш ответ - .

Как ты видишь, с линейными уравнениями все предельно просто. Настало время рассмотреть что-нибудь посложнее... Например, графическое решение квадратных уравнений.

Графическое решение квадратных уравнений

Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:

Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при переумножении или в возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет… Поэтому, давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.

Графически найти решения данного уравнения можно различными способами. Рассмотрим различные варианты, а уже ты сам выберешь, какой больше всего тебе понравится.

Способ 1. Напрямую

Просто строим параболу по данному уравнению:

Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

Ты скажешь «Стоп! Формула для очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни. Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!

Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

Точно такой же ответ? Молодец! И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, .

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:

Возвращаемся к нашей параболе. Для нашего случая точка. Нам необходимо еще две точки, соответственно, можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней? Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при и.

Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:

Как ты думаешь, что является решением уравнения? Правильно, точки, в которых, то есть и. Потому что.

И если мы говорим, что, то значит, что тоже должен быть равен, или.

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем - посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант. Что у тебя получилось? То же самое? Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Способ 2. С разбивкой на несколько функций

Возьмем все тоже наше уравнение: , но запишем его несколько по-другому, а именно:

Можем мы так записать? Можем, так как преобразование равносильно. Смотрим дальше.

Построим отдельно две функции:

1. - графиком является простая парабола, которую ты с легкостью построишь даже без определения вершины с помощью формул и составления таблицы для определения прочих точек.
2. - графиком является прямая, которую ты так же легко построишь, прикинув значения и в голове даже не прибегая к калькулятору.

Построил? Сравним с тем, что вышло у меня:

Как ты считаешь, что в данном случае является корнями уравнения? Правильно! Координаты по, которые получились при пересечении двух графиков и, то есть:

Соответственно, решением данного уравнения являются:

Что скажешь? Согласись, этот способ решения намного легче, чем предыдущий и даже легче, чем искать корни через дискриминант! А если так, попробуй данным способом решить следующее уравнение:

Что у тебя получилось? Сравним наши графики:

По графикам видно, что ответами являются:

Справился? Молодец! Теперь посмотрим уравнения чууууть-чуть посложнее, а именно, решение смешанных уравнений, то есть уравнений, содержащих функции разного вида.

Графическое решение смешанных уравнений

Теперь попробуем решить следующее:

Конечно, можно привести все к общему знаменателю, найти корни получившегося уравнения, не забыв при этом учесть ОДЗ, но мы опять же, попробуем решить графически, как делали во всех предыдущих случаях.

В этот раз давай построим 2 следующих графика:

1. - графиком является гипербола
2. - графиком является прямая, которую ты легко построишь, прикинув значения и в голове даже не прибегая к калькулятору.

Осознал? Теперь займись построением.

Вот что вышло у меня:

Глядя на этот рисунок, скажи, что является корнями нашего уравнения?

Правильно, и. Вот и подтверждение:

Попробуй подставить наши корни в уравнение. Получилось?

Все верно! Согласись, графически решать подобные уравнения одно удовольствие!

Попробуй самостоятельно графическим способом решить уравнение:

Даю подсказку: перенеси часть уравнения в правую сторону, чтобы с обоих сторон оказались простейшие для построения функции. Намек понял? Действуй!

Теперь посмотрим, что у тебя вышло:

Соответственно:

1. - кубическая парабола.
2. - обыкновенная прямая.

Ну и строим:

Как ты уже давно у себя записал, корнем данного уравнения является - .

Прорешав такое большое количество примеров, уверена, ты осознал как можно легко и быстро решать уравнения графическим путем. Настало время разобраться, как решать подобным способом системы.

Графическое решение систем

Графическое решение систем по сути ничем не отличается от графического решения уравнений. Мы так же будем строить два графика,и их точки пересечения и будут являться корнями данной системы. Один график - одно уравнение, второй график - другое уравнение. Все предельно просто!

Начнем с самого простого - решение систем линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений

Допустим, у нас есть следующая система:

Для начала преобразуем ее таким образом, чтобы слева было все, что связано с, а справа - что связано с. Иными словами, запишем данные уравнения как функцию в привычном для нас виде:

А теперь просто строим две прямые. Что в нашем случае является решением? Правильно! Точка их пересечения! И здесь необходимо быть очень-очень внимательным! Подумай, почему? Намекну: мы имеем дело с системой: в системе есть и, и … Намек понял?

Все верно! Решая систему, мы должны смотреть обе координаты, а не только, как при решении уравнений! Еще один важный момент - правильно их записать и не перепутать, где у нас значение, а где значение! Записал? Теперь давай все сравним по порядку:

И ответы: и. Сделай проверку - подставь найденные корни в систему и убедись, правильно ли мы ее решили графическим способом?

Решение систем нелинейных уравнений

А что если вместо одной прямой, у нас будет квадратное уравнение? Да ничего страшного! Просто ты вместо прямой построишь параболу! Не веришь? Попробуй решить следующую систему:

Какой наш следующий шаг? Правильно, записать так, чтобы нам было удобно строить графики:

А теперь так вообще дело за малым - построил быстренько и вот тебе решение! Строим:

Графики получились такими же? Теперь отметь на рисунке решения системы и грамотно запиши выявленные ответы!

Все сделал? Сравни с моими записями:

Все верно? Молодец! Ты уже щелкаешь подобные задачи как орешки! А раз так, дадим тебе систему посложнее:

Что мы делаем? Правильно! Записываем систему так, чтобы было удобно строить:

Немного тебе подскажу, так как система выглядит ну очень не простой! Строя графики, строй их «побольше», а главное, не удивляйся количеству точек пересечения.

Итак, поехали! Выдохнул? Теперь начинай строить!

Ну как? Красиво? Сколько точек пересечения у тебя получилось? У меня три! Давай сравнивать наши графики:

Так же? Теперь аккуратно запиши все решения нашей системы:

А теперь еще раз посмотри на систему:

Представляешь, что ты решил это за каких-то 15 минут? Согласись, математика - это все-таки просто, особенно, когда глядя на выражение, не боишься ошибиться, а берешь и решаешь! Ты большой молодец!

Графическое решение неравенств

Графическое решение линейных неравенств

После последнего примера тебе все по плечу! Сейчас выдохни - по сравнению с предыдущими разделами этот будет очень-очень легким!

Начнем мы, как обычно с графического решения линейного неравенства. Например, вот этого:

Для начала проведем простейшие преобразования - раскроем скобки полных квадратов и приведем подобные слагаемые:

Неравенство нестрогое, поэтому - не включается в промежуток, и решением будут являться все точки, которые находятся правее, так как больше, больше и так далее:

Ответ:

Вот и все! Легко? Давай решим простое неравенство с двумя переменными:

Нарисуем в системе координат функцию.

Такой график у тебя получился? А теперь внимательно смотрим, что там у нас в неравенстве? Меньше? Значит, закрашиваем все, что находится левее нашей прямой. А если было бы больше? Правильно, тогда закрашивали бы все, что находится правее нашей прямой. Все просто.

Все решения данного неравенства «затушеваны» оранжевым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты и любой точки из закрашенной области - и есть решения.

Графическое решение квадратных неравенств

Теперь будем разбираться с тем, как графически решать квадратные неравенства.

Но прежде, чем перейти непосредственно к делу, давай повторим некоторый материал, касающийся квадратной функции.

А за что у нас отвечает дискриминант? Правильно, за положение графика относительно оси (если не помнишь этого, то тогда точно прочти теорию о квадратичных функциях).

В любом случае, вот тебе небольшая табличка-напоминалка:

Теперь, когда мы освежили в памяти весь материал, перейдем к делу - решим графически неравенство.

Сразу тебе скажу, что есть два варианта его решения.

Вариант 1

Записываем нашу параболу как функцию:

По формулам определяем координаты вершины параболы (точно так же, как и при решении квадратных уравнений):

Посчитал? Что у тебя получилось?

Теперь возьмем еще две различных точки и посчитаем для них:

Начинаем строить одну ветвь параболы:

Симметрично отражаем наши точки на другую ветвь параболы:

А теперь возвращаемся к нашему неравенству.

Нам необходимо, чтобы было меньше нуля, соответственно:

Так как в нашем неравенстве стоит знак строго меньше, то конечные точки мы исключаем - «выкалываем».

Ответ:

Долгий способ, правда? Сейчас я покажу тебе более простой вариант графического решения на примере того же неравенства:

Вариант 2

Возвращаемся к нашему неравенству и отмечаем нужные нам промежутки:

Согласись, это намного быстрее.

Запишем теперь ответ:

Рассмотрим еще один способ решения, который упрощает и алгебраическую часть, но главное не запутаться.

Умножим левую и правую части на:

Попробуй самостоятельно решить следующее квадратное неравенство любым понравившимся тебе способом: .

Справился?

Смотри, как график получился у меня:

Ответ: .

Графическое решение смешанных неравенств

Теперь перейдем к более сложным неравенствам!

Как тебе такое:

Жуть, правда? Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо. Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают!

Первое, с чего мы начнем, это с построения двух графиков:

Я не буду расписывать для каждого таблицу - уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно (еще бы, столько прорешать примеров!).

Расписал? Теперь строй два графика.

Сравним наши рисунки?

У тебя так же? Отлично! Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть. Смотри, что получилось в итоге:

А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!

На каких промежутках по оси у нас находится выше, чем? Верно, . Это и есть ответ!

Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Алгоритм решения уравнений с использованием графиков функций:

1. Выразим через
2. Определим тип функции
3. Построим графики получившихся функций
4. Найдем точки пересечения графиков
5. Корректно запишем ответ (с учетом ОДЗ и знаков неравенств)
6. Проверим ответ (подставим корни в уравнение или систему)

Более подробно о построении графиков функций, смотри в теме « ».

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.

На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

В ходе урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Графическое решение уравнений, неравенств». Преподаватель на занятии разберет графические методы решения уравнений и неравенств. Научит строить графики, анализировать их и получать решения уравнений и неравенств. На уроке также будут разобраны конкретные примеры по этой теме.

Тема: Числовые функции

Урок: Графическое решение уравнений, неравенств

1. Тема урока, введение

Мы рассмотрели графики элементарных функций, в том числе графики степенных функций c разными показателями. Также мы рассмотрели правила сдвига и преобразований графиков функций. Все эти навыки необходимо применить, когда требуется графическое решение уравнений или графическое решение неравенств .

2. Решение уравнений и неравенств графическим способом

Пример 1. Графически решить уравнение:

Построим графики функций (Рис. 1).

Графиком функции является парабола, проходящая через точки

График функции - прямая, построим её по таблице.

Графики пересекаются в точке Других точек пересечения нет, т. к. функция монотонно возрастает, функция монотонно убывает, а, значит, их точка пересечения является единственной.

Пример 2. Решить неравенство

a. Чтобы выполнялось неравенство, график функции должен располагаться над прямой (Рис. 1). Это выполняется при

b. В этом случае, наоборот, парабола должна находиться под прямой. Это выполняется при

Пример 3. Решить неравенство

Построим графики функций (Рис. 2).

Найдем корень уравнения При нет решений. При существует одно решение .

Чтобы выполнялось неравенство гипербола должна располагаться над прямой Это выполняется при .

Пример 4. Решить графически неравенство:

Область определения:

Построим графики функций для (Рис. 3).

a. График функции должен располагаться под графиком это выполняется при

b. График функции расположен над графиком при Но т. к. в условии имеем нестрогий знак, важно не потерять изолированный корень

3. Заключение

Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при решении которых использовали такие свойства функций, как монотонность и четность.

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Раздел College. ru по математике.

2. Интернет-проект «Задачи» .

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» .

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 355, 356, 364.

Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным , необходимо перенести все его члены в одну часть, т.e. привести к виду:

f (x ) > 0 ,

и построить график функции y = f ( x ). После этого, используя построенный график, можно найти нули функции , которые разделят ось Х на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы x , внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции: a и b (рис.30). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых f ( x ) > 0: x < a и x > b (они выделеныжирными стрелками). Ясно, что знак > здесь условный; вместо него может быть любой другой: < , .

Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т.e. привести неравенства к виду:

и построить графики функций y = f (x ), y = g (x ) , ... , y = h (x ). Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т.e. их общую часть.

П р и м е р. Решить графически систему неравенств:

Р е ш е н и е. Сначала построим графики функций y = - 2 / 3 x + 2 и

y = x 2 -1 (рис.31):

Решением первого неравенства является интервал x > 3, обозначенный на рис.31 чёрной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов: x < -1 и x > 1, обозначенных на рис.31 серыми стрелками.

Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал x > 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.

Чтобы решить графически систему двух неравенств сдвумя неизвестными, надо:

1) в каждом из них перенести все члены в одну часть, т.e. привести

неравенства к виду:

2) построить графики функций, заданных неявно: f ( x, y ) = 0 и g (x, y ) = 0;

3) каждый их этих графиков делит координатную плоскость на две части:

в одной из них неравенство справедливо, в другой - нет; чтобы решить

графически каждое из этих неравенств, достаточно проверить

справедливость неравенства в одной произвольной точке внутри любой

части плоскости; если неравенство имеет место в этой точке, значит

эта часть координатной плоскости является его решением, если нет - то

решением является противоположная часть плоскости ;

4) решением заданной системы неравенств является пересечение

(общая область) частей координатной плоскости.

П р и м е р. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е. Сначала строим графики линейных функций: 5x - 7y = -11 и

2x + 3y = 10 (рис.32). Для каждой из них находим полуплоскость,

Внутри которой соответствующее заданное неравенство

Справедливо. Мы знаем, что достаточно проверить справедливость

Неравенства в одной произвольной точке области; в данном

Случае легче всего использовать для этого начало координат O (0, 0).

Подставляя его координаты в наши неравенства вместо x и y ,

Получим: 5 · 0 - 7 · 0 = 0 > -11, следовательно, нижняя

Полуплоскость (жёлтого цвета) является решением первого

Неравенства; 2 · 0 + 3 · 0 = 0 < 10, поэтому второе неравенство

Имеет своим решением также нижнюю полуплоскость (голубого

Цвета). Пересечение этих полуплоскостей (область цвета бирюзы)

Является решением нашей системы неравенств.