Для того чтобы наиболее полно раскрыть возможности этого метода, будем рассматривать основные типы задач.
Образцы заданий при отработке знаний и умений при решении задач с параметрами графическим методом (координатная плоскость )
Задание 1.
При каких значениях a уравнение = имеет два корня?
Решение.
Переходим к равносильной системе:
Эта система на координатной плоскости (;) задаёт кривую. Ясно, что все точки этой дуги параболы (и только они) имеют координаты, удовлетворяющие исходному уравнению. Поэтому число решений уравнения при каждом фиксированном значении параметра , равно количеству точек пересечения кривой с горизонтальной прямой, соответствующей этому значению параметра.
Очевидно при указанные прямые пересекают график в двух точках, что равносильно исходному уравнению иметь два корня.
Ответ: при.
Задание 2.
Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение.
Решение.
Перепишем исходную систему в таком виде:
Все решения этой системы (пары вида) образуют область, показанную на рисунке штриховкой. Требование единственности решения данной системы на графический язык переводится так: горизонтальные прямые должны иметь с полученной областью только одну общую точку. Легко заметить, что лишь прямые и удовлетворяют выдвинутому требованию.
Ответ: или.
Только что разобранные две задачи позволяют дать более конкретные рекомендации по сравнению с приведёнными раннее:
попытаться выразить параметр через переменную, т. е получить равенства вида, затем
на плоскости строить график функции.
Задание 3.
При каких значениях а уравнение имеет ровно три корня?
Решение.
Имеем
График этой совокупности – объединение «уголка» и параболы. Очевидно, лишь прямая пересекает полученное объединение в трёх точках.
Ответ: .
Замечание: Параметр обычно рассматривается как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причём «равноправная» с другими, присутствующими в задаче. При таком взгляде на параметр формы задают функции не с одной, а с двумя переменными.
Задание 4.
Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет одно решение.
Решение.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Находим корни квадратного трёхчлена:
С помощью полученной системы легко построить график исходного уравнения. Именно наличие «проколов» в этом графике позволяет при и = иметь уравнению единственное решение. Это определяющий фактор в решении.
Ответ : и.
Задание 5.
При каких значениях параметра, а уравнение имеет единственное решение.
Решение.
Запишем систему, равносильную исходному уравнению
Отсюда получаем
Строим график и будем проводить прямые перпендикулярные оси а .
Первые два неравенства системы задают множество точек, показанное штриховкой, причём в это множество не входят гиперболы и.
Тогда отрезок и луч, отрезок и луч, лежащие соответственно на прямых и , являются графиком исходного уравнения. Одно решение будет, если 2 < < или < или = .
Ответ : 2 < < или < или = .
Задание 6.
Найти все значения параметра а , при которых уравнение
имеет ровно два различных решения
Решение.
Рассмотрим совокупность двух систем
Если , то.
Если < , то.
Отсюда
или
Параболы и прямая имеют две общие точки: А (-2; - 2), В (-1; -1), причём, В – вершина первой параболы, D – вершина второй. Итак, график исходного уравнения показан на рисунке.
Должно быть ровно два различных решения. Это выполняется при или.
Ответ: или.
Задание 7.
Найдите множество всех чисел, для каждого из которых уравнение
имеет только два различных корня.
Решение.
Перепишем данное уравнение в виде
Корни уравнения, при условии, что.
Строим график данного уравнения. В данном случае график удобно строить, отнеся переменной ось ординат. Здесь ответ «считываем» вертикальными прямыми, получим, что данное уравнение имеет только два различных корня при = -1 или или.
Пунктиры говорят о том, что.
Ответ: при = -1 или или.
Задание 8.
Для каких в множестве решений неравенства содержится промежуток.
Решение.
Запишем совокупность двух систем, равносильную исходному уравнению:
или
Поскольку в решение первой системы ни а не может входить отрезок, то необходимые исследования проведём для второй системы.
Имеем
Обозначим . Тогда второе неравенство системы принимает вид < - и на координатной плоскости задаёт множество, показанное на рисунке.
С помощью рисунка устанавливаем, что при в полученном множестве содержатся все точки, абсциссы в которых пробегают все значения промежутка
Тогда, отсюда.
Ответ : .
Задание 9.
Найти все неотрицательные числа, при которых существует единственное число, удовлетворяющее системе
Решение.
Имеем,
Первое уравнение на координатной плоскости задаёт семейство вертикальных прямых. Прямые и разбивают плоскости на четыре области. Некоторые из них являются решениями неравенства системы. Конкретно какие – можно установить, взяв из каждой области по пробной точке. Та область, точка которой удовлетворяет неравенству, является его решением (такой приём ассоциируется с методом интервалов при решении неравенств с одной переменной). Строим прямые
Например, берём точку и подставляем в Координаты точки удовлетворяют неравенству.
Получаем две области (I ) и (II ), но, учитывая, что по условию, мы берём только область (I ). Строим прямые , k .
Итак, исходной системе удовлетворяют все точки (и только они), лежащие на лучах и выделенные на чертеже жирными линиями, (т. е. строим точки в заданной области).
Теперь надо найти единственное при фиксированном. Строим параллельные прямые, пересекающие ось. и находим где будет одна точка пересечения с прямой .
Находим по рисунку, что требование единственности решение достигается, если (при уже 2 точки),
где - ордината точки пересечения прямых и,
где – ордината точки пресечения прямых и.
Итак, получаем < .
Ответ: < .
Задание 10.
При каких значениях параметра, а система имеет решения?
Решение.
Разложим на множители левую часть неравенства системы, имеем
Строим прямые и. Показываем на рисунке штриховкой множество точек плоскости, удовлетворяющее неравенству системы.
Строим гиперболу = .
Тогда абсциссы выделенных дуг гиперболы – решения исходной системы. M , P , N , Q – узловые точки. Найдём их абсциссы.
Для точек P , Q имеем
Остаётся записать ответ: или.
Ответ: или.
Задание 11.
Найти все значения, при которых любое решение неравенства по модулю не превосходит двух ().
Решение .
Перепишем данное неравенство в таком виде. Построим графики уравнений и =.
«Методом интервалов» устанавливаем, что решением исходного неравенства будут заштрихованные области.
Теперь строим область и смотрим, какая её часть попадает в заштрихованную область.
Т.е. теперь, если при каком – то фиксированном значении прямая в пересечении с полученной областью даёт лишь точки, абсциссы которых удовлетворяют условию < 2, то – одно из искомых значений параметра.
Итак, мы видим, что.
Ответ: .
Задание 12.
При каких значениях параметра множество решений неравенства содержит не более четырёх целых значений?
Решение.
Преобразуем данное неравенство к виду. Это неравенство равносильно совокупности двух систем
или
Изображаем с помощью этой совокупности решение исходного неравенства.
Проведём прямые, где. Тогда значение, для которого прямая пересекает прямые не более чем в четырёх точках из отмеченного множества, будет искомым. Итак, мы видим, что или или.
Ответ: или или.
Задание 13.
При каких значениях параметра а имеет решения система
Решение.
Корни квадратного трёхчлена и.
Тогда
Строим прямые и.
Методом «интервалов» находим решение неравенства системы (заштрихованная область).
Та часть окружности с центром в начале координат и радиуса 2, которая попадает в заштрихованную область и будет решением данной системы. .
Значения и находим из системы
Значеня и – из системы.
Ответ:
Задание 14.
В зависимости от значений параметра а решить неравенство > .
Решение.
Перепишем данное неравенство в виде и рассмотрим функцию , которую, раскрывая модули, запишем так:
Строим график. График разбивает координатную плоскость на две области. Взяв т. (0;0) и подставив и в исходное неравенство, получим, что 0 > 1, и поэтому исходное неравенство выполняется в области лежащей выше графика.
Непосредственно из рисунка получаем:
при решений нет;
при ;
при.
Ответ: при решений нет;
при ;
при.
Задание 15.
Найдите все значения параметра, при котором система неравенств
удовлетворяется лишь при одном.
Решение.
Перепишем данную систему в таком виде:
Построим область, задаваемую данной системой.
1) , – вершина параболы.
2) - прямая, проходящая через точки и.
Требование единственности решения на графический язык переводится так: горизонтальные прямые с полученной областью должны иметь только одну общую точку. Выдвинутому требованию удовлетворяют прямые и, где – ордината точки пересечения параболы и прямой.
Найдём значение:
= (не подходит по смыслу задачи),
Находим ординату:
Ответ: ,
Задание 16.
Найти все значения параметра а, при которых система неравенств
удовлетворяет лишь при одном х.
Решение .
Построим параболы и штриховкой покажем решение последней системы.
1) , .
2) , .
Из рисунка видно, что условие задачи выполняется при или.
Ответ: или.
Задание 17.
При каких значениях уравнение имеет ровно три корня.
Решение.
Данное уравнение равносильно совокупности
График совокупности - объединение графиков параболы и уголка.
Прямые пересекают полученное объединение в трёх точках.
Ответ: при.
Задание 18.
При каких значениях уравнение имеет ровно три решения.
Решение.
Преобразуем левую часть данного уравнения. Получим квадратное уравнение относительно.
Получим уравнение
Которое равносильно совокупности
Объединение графиков парабол есть решение совокупности.
Находим ординату очки пересечения парабол:
Считываем нужную информацию с рисунка: данное уравнение имеет три решения при или
Ответ: при или
Задание 19.
В зависимости от параметра определить число корней уравнения
Решение .
Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно а.
,
.
Получаем совокупность
Строим графики уравнений совокупности и отвечаем на поставленный вопрос задачи.
Ответ: : нет решений;
: одно решение;
: два решения;
или: три решения;
или: четыре решения.
Задание 20.
Сколько решений имеет система
Решение.
Ясно, что количество корней второго уравнения системы равно числу решений самой системы.
Имеем, .
Рассмотрев это уравнение как квадратное относительно, получаем совокупность.
Теперь обращение к координатной плоскости делает задачу простой. Координаты точек пересечения находим, решив уравнение
Отсюда
Вершины парабол и.
Ответ: : четыре решения;
: два решения;
: одно решение;
: нет решений.
Задание 21.
Найти все действительные значения параметра, для которых уравнение имеет только два различных корня. Запишите эти корни.
Решение .
Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в скобках:
Изобразим множество решений данного уравнения в координатной плоскости, построив графики при условии, что
Считываем с рисунка нужную информацию. Итак, данное уравнение имеет два различных корня при (и) и при (и)
Ответ: при (и) и
при (и).
Задание 2 2 .
Решить систему неравенств:
Решение.
Строим в плоскости графики параболы и прямой.
Все точки закрашенной области – решение системы. Разобьём построенную область на две части.
Если и, то нет решений.
Если, то абсциссы точек закрашенной области будут больше абсцисс точек прямой, но меньше абсцисс (большего корня уравнения) параболы.
Выразим через из уравнения прямой:
Найдём корни уравнения:
Тогда.
Если же, то.
Ответ: при и 1 нет решений;
при;
при.
Задание 23.
Решить систему неравенств
Решение.
– вершина параболы.
Вершина параболы.
Находим абсциссы точек пересечения парабол:
Закрашенная область – решение системы. Разбиваем её на две части.
В уравнениях парабол выражаем через:
Записываем ответ:
если и, то нет решений;
если, то < ;
если, то.
Задание 24.
При каких значениях, а уравнение не имеет решений?
Решение.
Уравнение равносильно системе
Построим множество решений системы.
Три кусочка параболы решение данного уравнения.
Найдем при котором и исключим его.
Итак, при нет решений;
при нет решений;
(замечание: при остальных а есть одно или два решения).
Ответ: ; .
Задание 25.
При каких действительных значениях параметра существует хотя бы одно, удовлетворяющее условиям:
Решение.
Решим графически «методом интервалов» неравенство в и построим график. Посмотрим, какая часть графика попадает в построенную область решения неравенства, и найдём соответствующие значения а .
Строим графики прямых и
Они разбивают координатную плоскость на 4 области.
«Методом интервалов» решим графически последнее неравенство.
Заштрихованная область является его решением. В эту область попадает часть графика параболы. На интервале; (по условию неравенство системы строгое) существуют, удовлетворяющие условиям данной системы.
Ответ:
Задание 26.
Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства.
Решение.
Построим множество решений неравенства («методом интервалов»). Затем построим «полосу» Искомые значения параметра q те, при которых ни одна из точек указанных областей не принадлежит «полосе»
Ответ: или.
Задание 27.
При каких значениях параметра, уравнение имеет единственное решение.
Решение.
Разложим на множители числитель дроби.
Данное уравнение равносильно системе:
Построим график совокупности в координатной плоскости.
или
– точка пересечения прямых и. График совокупности - объединение прямых.
«Выкалываем» точки графика с абсциссами,.
Проводим прямые и смотрим, где существует одна точка пересечения с графиком.
Очевидно, что только при или данное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: или.
Задание 28.
При каких действительных значениях параметра система неравенств не имеет решений.
Решение.
Множество точек плоскости заштрихованной области удовлетворяет данной системе неравенств.
Строим прямые. По рисунку определяем, что при (- абсцисса точки пересечения гиперболы и прямой) прямые не пересекают заштрихованную область.
Ответ: при.
Задание 29.
При каких значениях параметра а система имеет единственное решение.
Решение.
Перейдём к системе, равносильной данной.
В координатной плоскости построим графики парабол и Вершины парабол соответственно точки и.
Вычислим абсциссы точек пересечения парабол, решив уравнение
Заштрихованная область – решения системы неравенств. Прямые и
имеет с закрашенной областью одну общую точку.
Ответ: при и.
Задание 30.
Решите неравенство:
Решение.
В зависимости от параметра найдём значение.
Неравенство будем решать «методом интервалов».
Построим параболы
: .
Вычислим координаты точки пересечения парабол:
Точки закрашенной области удовлетворяют данному неравенству. Проведя прямую, разобьём эту область на три части.
1) Если, то нет решений.
2)Если, то в уравнении выразим через :
Таким образом, в области I имеем.
Если, то смотрим:
а) область II .
Выразим в уравнении через .
Меньший корень,
Больший корень.
Итак, в области II имеем.
б) область III : .
Ответ: при нет решений;
при
при, .
Литература:
Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1994.
П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.
Фаддеев Д. К. Алгебра 6 – 8. – М.: Просвещение, 1983 (б – ка учителя математики).
А. Х. Шахмейстер. Уравнения и неравенства с параметрами. Под редакцией Б. Г. Зива. С – Петербург. Москва. 2004.
В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. Задачи с параметрами Минск «Асар», 2002.
А. Х. Шахмейстер. Задачи с параметрами в ЕГЭ. Издательство Московского университета, ЧеРо на Неве МЦНМО.
Уравнения с параметрами:графический метод решения
8-9 классы
В статье рассматривается графический метод решения некоторых уравнений с параметрами, который весьма эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a .
Задача 1. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от параметра a ?
Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | – 2 | и y = a . График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке.
Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).
Из чертежа видно, что:
Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x 1,2 = д 2).
Если 0 < a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня.
Если a > 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.
если a < 0, то корней нет;
если a = 0, a > 2, то два корня;
если a = 2, то три корня;
если 0 < a < 2, то четыре корня.
Задача 2. Сколько корней имеет уравнение | x 2 – 2| x | – 3 | = a в зависимости от параметра a ?
Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | x 2 – 2| x | – 3 | и y = a .
График функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная Ox или с ней совпадающая (когда a = 0).
Из чертежа видно:
Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | x2 – 2| x | – 3 | две общие точки, а также прямая y = a будет иметь с графиком функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | две общие точки при a > 4. Значит, при a = 0 и a > 4 исходное уравнение имеет два корня.
Если 0 < a < 3, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | четыре общие точки, а также прямая y=a будет иметь с графиком построенной функции четыре общие точки при a = 4. Значит, при 0 < a < 3, a = 4 исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 3, то прямая y = a пересекает график функции в пяти точках; следовательно, уравнение имеет пять корней.
Если 3 < a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Если a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.
если a < 0, то корней нет;
если a = 0, a > 4, то два корня;
если 0 < a < 3, a = 4, то четыре корня;
если a = 3, то пять корней;
если 3 < a < 4, то шесть корней.
Задача 3. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра a ?
Решение. Построим в системе координат (x; y)
график функции 
но сначала представим ее в виде:
Прямые x = 1, y = 1 являются асимптотами графика функции. График функции y = | x | + a получается из графика функции y = | x | смещением на a единиц по оси Oy.
Графики функций 
пересекаются в одной точке при a
>
– 1; значит, уравнение (1) при этих значениях
параметра имеет одно решение.
При a = – 1, a = – 2 графики пересекаются в двух точках; значит, при этих значениях параметра уравнение (1) имеет два корня.
При – 2 < a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.
если a > – 1, то одно решение;
если a = – 1, a = – 2, то два решения;
если – 2 < a < – 1, a < – 1, то три решения.
Замечание. При решении уравнения (1) задачи 3
особо следует обратить внимание на случай, когда a
= – 2, так как точка (– 1; – 1) не принадлежит
графику функции 
но принадлежит графику функции y = | x |
+ a
.
Перейдем к решению другой задачи.
Задача 4. Сколько корней имеет уравнение
x + 2 = a | x – 1 | (2)
в зависимости от параметра a ?
Решение. Заметим, что x = 1 не является корнем
данного уравнения, так как равенство 3 = a
·
0 не может быть верным ни при
каком значении параметра a
. Разделим обе
части уравнения на | x – 1 |(| x – 1 | №
0), тогда уравнение (2) примет вид 
В системе
координат xOy построим график функции 
График этой функции изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).
если a Ј – 1, то корней нет;
если – 1 < a Ј 1, то один корень;
если a > 1, то два корня.
Рассмотрим наиболее сложное уравнение.
Задача 5. При каких значениях параметра a уравнение
a x 2 + | x – 1 | = 0 (3)
имеет три решения?
Решение. 1. Контрольным значением параметра для данного уравнения будет число a = 0, при котором уравнение (3) примет вид 0 + | x – 1 | = 0, откуда x = 1. Следовательно, при a = 0 уравнение (3) имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
2. Рассмотрим случай, когда a № 0.
Перепишем уравнение (3) в следующем виде: a x 2 = – | x – 1 |. Заметим, что уравнение будет иметь решения только при a < 0.
В системе координат xOy построим графики функций y = | x – 1 | и y = a x 2 . График функции y = | x – 1 | изображен на рисунке. Графиком функции y = a x 2 является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).
Уравнение (3) будет иметь три решения только тогда, когда прямая y = – x + 1 будет касательной к графику функции y=a x 2 .
Пусть x 0 - абсцисса точки касания прямой y = – x + 1 с параболой y = a x 2 . Уравнение касательной имеет вид
y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).
Запишем условия касания:
Данное уравнение можно решить без использования понятия производной.
Рассмотрим другой способ. Воспользуемся тем, что если прямая y = kx + b имеет единственную общую точку с параболой y = a x 2 + px + q, то уравнение a x 2 + px + q = kx + b должно иметь единственное решение, то есть его дискриминант равен нулю. В нашем случае имеем уравнение a x 2 = – x + 1 (a № 0). Дискриминант уравнения
Задачи для самостоятельного решения
6. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a ?
1) | | x | – 3 | = a ;
2) | x + 1 | + | x + 2 | = a ;
3) | x 2 – 4| x | + 3 | = a ;
4) | x 2 – 6| x | + 5 | = a .
1) если a <0, то корней нет; если a =0, a >3, то два корня; если a =3, то три корня; если 0<a <3, то четыре корня;
2) если a <1, то корней нет; если a =1, то бесконечное множество решений из отрезка [– 2; – 1]; если a > 1, то два решения;
3) если a <0, то корней нет; если a =0, a <3, то четыре корня; если 0<a <1, то восемь корней; если a =1, то шесть корней; если a =3, то три решения; если a >3, то два решения;
4) если a <0, то корней нет; если a =0, 4<a <5, то четыре корня; если 0<a < 4, то восемь корней; если a =4, то шесть корней; если a =5, то три корня; если a >5, то два корня.
7. Сколько корней имеет уравнение | x + 1 | = a (x – 1) в зависимости от параметра a ?
Указание. Так как x = 1 не является корнем
уравнения, то данное уравнение можно привести к
виду 
.
Ответ: если a Ј –1, a > 1, a =0, то один корень; если – 1<a <0, то два корня; если 0<a Ј 1, то корней нет.
8. Сколько корней имеет уравнение x + 1 = a | x – 1 |в зависимости от параметра a ?
Построить график
(см. рисунок).
Ответ: если a Ј –1, то корней нет; если – 1<a Ј 1, то один корень; если a >1, то два корня.
9. Сколько корней имеет уравнение
2| x | – 1 = a(x – 1)
в зависимости от параметра a ?
Указание. Привести уравнение к виду 
Ответ: если a Ј –2, a >2, a =1, то один корень; если –2<a <1, то два корня; если 1<a Ј 2, то корней нет.
10. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра a ?
Ответ: если a Ј 0, a і 2, то один корень; если 0<a <2, то два корня.
11. При каких значениях параметра a уравнение
x 2 + a | x – 2 | = 0
имеет три решения?
Указание. Привести уравнение к виду x 2 = – a | x – 2 |.
Ответ: при a Ј –8.
12. При каких значениях параметра a уравнение
a x 2 + | x + 1 | = 0
имеет три решения?
Указание. Воспользоваться задачей 5. Данное
уравнение имеет три решения только в том случае,
когда уравнение a
x 2 + x + 1 = 0 имеет одно
решение, причем случай a
= 0 не удовлетворяет
условию задачи, то есть остается случай, когда 
13. Сколько корней имеет уравнение
x | x – 2 | = 1 – a
в зависимости от параметра a ?
Указание. Привести уравнение к виду –x |x – 2| + 1 = a
в зависимости от параметра a ?
Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения.
Ответ: если a <0, a >2, то два корня; если 0Ј a Ј 2, то один корень.
16. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра a ?
Указание. Построить графики левой и правой
частей данного уравнения. Для построения графика
функции 
найдем
промежутки знакопостоянства выражений x + 2 и x:
Ответ: если a >– 1, то одно решение; если a = – 1, то два решения; если – 3<a <–1, то четыре решения; если a Ј –3, то три решения.
К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.
Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:
у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;
у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;
аx 2 + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.
Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).
Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:
а) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.
б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.
Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.
Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:
1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число;
2) -6а = 3а в случае, когда а = 0;
3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.
Решение и будет являться ответом.
Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.
При решении таких уравнений могут быть случаи:
1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k.
2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.
3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.
Алгоритм решения такого типа уравнений:
1. Определить «контрольные» значения параметра.
2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.
3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.
4. Записать ответ можно в следующем виде:
1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;
2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.
Пример 1.
Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.
Решение.
Легко видеть, что здесь a ≥ 0.
По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:
Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.
Пример 2.
Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.
Решение.
Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0
Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.
В случае, если выражение а + 2 не нуль, т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.
В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.
Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.
Пример 3.
Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.
Решение.
Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а 2 + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.
Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а.
Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)
Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1.
Графический метод
Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.
Пример 4.
Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?
Решение.
Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2) .
На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.
Ответ: корней у уравнения не будет, если а < 0; два корня будет в случае, если a > 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 < a < 2.
Пример 5.
При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?
Решение.
Изобразим графики функций y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:
{-3x + 1, при x < 0,
y = {x + 1, при 0 ≤ x ≤ 1,
{3x – 1, при x > 1.
На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.
Ответ: а = 1.
Пример 6.
Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а?
Решение.
График функции y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4)
.
Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
2. Определение неизвестных параметров распределения.
C помощью гистограммы мы можем приближенно построить график плотности распределения случайной величины .
Вид этого графика часто позволяет высказать предположение о плотности распределения вероятностей случайной величины .
В выражение этой плотности распределения обычно входят некоторые параметры, которые требуется определить из опытных данных.
Остановимся на том частном случае, когда плотность распределения зависит от двух параметров.
Итак, пусть x 1 , x 2 , ..., x n
- наблюдаемые значения непрерывной случайной величины , и
пусть ее плотность распределения вероятностей зависит от двух неизвестных параметров A
и B
, т.е. имеет вид .
Один из методов нахождения неизвестных параметров A
и B
состоит в том, что их выбирают таким образом, чтобы математическое ожидание и дисперсия теоретического
распределения совпали с выборочными средними значением и дисперсией :
 |
(66) |
 |
(67) |
Из двух полученных уравнений () находят неизвестные параметры A и B . Так, например, если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, то ее плотность распределения вероятностей
зависит от двух параметров a и . Эти параметры, как мы знаем, являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины ; поэтому равенства () запишутся так:
 |
(68) |
Следовательно, плотность распределения вероятностей имеет вид
Замечание 1. Такую задачу мы уже решали в . Результат замера есть случайная величина , подчиняющаяся нормальному закону распределения с параметрами a и . За приближенное значение a мы выбрали величину , а за приближенное значение - величину .
Замечание 2. При большом количестве опытов нахождение величин и по формулам () cвязано с громоздкими вычислениями. Поэтому поступают так: каждое из наблюдаемых значений величины , попавшее в i -й интервал ] X i-1 , X i [ статистического ряда, считают приближенно равным середине c i этого интервала, т.е. c i =(X i-1 +X i)/2 . Рассмотрим первый интервал ] X 0 , X 1 [ . В него попало m 1 наблюдаемых значений случайной величины , каждое из которых мы заменяем числом с 1 . Следовательно, сумма этих значений приближенно равна m 1 с 1 . Аналогично, сумма значений , попавших во второй интервал, приближенно равна m 2 с 2 и т.д. Поэтому
Подобным же образом получим приближенное равенство
Итак, Покажем, что
 |
(71) |