Градиент понятие. Что такое градиент, необходимо знать каждой моднице

Говорила, что руки - визитная карточка девушки. И она была абсолютно права. Нельзя быть стильной, эффектной без соответствующего маникюра, особенно в наше время. Женские журналы красоты пестрят новшествами и радуют своими новинками. Что такое градиент, знают все модницы. Последние тенденции диктуют свои правила в цветовой гамме. Всё больше ярких тонов, всевозможных интерпретаций присутствует в маникюре дам.

Понятие градиентного маникюра

Можно сказать, это переход одного цвета в другой - вот что такое градиент на ногтях. Техника смешивания позволяет добиваться невероятной раскраски. При плавном и аккуратном исполнении наглядно просматривается размытый разделяющий отрезок вновь образованного оттенка. Как будто появилась тень (ombre по-французски, второе название градиента). Это красиво и необычно. Порой сложно подобрать цвет лака, сочетающийся с выбранным стилем в одежде. Техника нанесения лака на ногтевую пластину в стиле градиента - это хорошее решение вопроса. Она уникальна тем, что можно играть цветовой палитрой на контрасте.

Основные виды градиента

Имея представление, что такое градиент, следует остановиться на его видах. Количество их огромное, и с каждым днем появляются новые. Основные из них:

Дизайнерское оформление современного градиента

В копилку креативности мастера следует добавить не только умение сочетать различные цветовые оттенки, но и наносить на ногти определенный дизайн. Градиент - это великолепная возможность проявить фантазию. Следует соблюдать меру и быть осведомленным о последних новинках маникюрного искусства. Тенденция модного дизайна приветствует пастельные тона. Это беспроигрышный вариант, который подходит на все случаи жизни. Он будет гармонично смотреться с любым стилем одежды.

А также специалисты на практике используют для украшения различные средства и способы. Нанесение рисунка на одном или всех ноготках всегда актуально. Применение стразов, блёсток придастт эффект торжественности и нарядности.

Опытные мастера знают, что такое градиент в модной интерпретации. Благодаря такому методу женщины индивидуальны и неповторимы. Современный градиент можно делать не только в салонах, но и дома. Желание быть красивой не знает границ.

Из школьного курса математики известно, что вектор на плоскости представляет собой направленный отрезок. Его начало и конец имеют по две координаты. Координаты вектора рассчитываются путем вычитания из координат конца координат начала.

Понятие вектора может быть распространено и на n-мерное пространство (вместо двух координат будетnкоординат).

Градиентом gradzфункцииz=f(х 1 , х 2 , …х n) называется вектор частных производных функции в точке, т.е. вектор с координатами.

Можно доказать, что градиент функции характеризует направление наискорейшего роста уровня функции в точке.

Например, для функции z= 2х 1 + х 2 (см. рисунок 5.8) градиент в любой точке будет иметь координаты (2; 1). Построить его на плоскости можно различными способами, взяв в качестве начала вектора любую точку. Например, можно соединить точку (0; 0) с точкой (2; 1), или точку (1; 0) с точкой (3; 1), или точку (0; 3) с точкой (2; 4), или т.п. (см. рисунок 5.8). Все построенные таким образом вектора будут иметь координаты (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Из рисунка 5.8 хорошо видно, что уровень функции растет в направлении градиента, поскольку построенные линии уровня соответствуют значениям уровня 4 > 3 > 2.

Рисунок 5.8 - Градиент функции z= 2х 1 + х 2

Рассмотрим другой пример – функцию z= 1/(х 1 х 2). Градиент этой функции уже не будет всегда одинаковым в разных точках, поскольку его координаты определяются формулами (-1/(х 1 2 х 2); -1/(х 1 х 2 2)).

На рисунке 5.9 представлены линии уровня функцииz= 1/(х 1 х 2) для уровней 2 и 10 (прямая 1/(х 1 х 2) = 2 обозначена пунктиром, а прямая 1/(х 1 х 2) = 10 – сплошной линией).

Рисунок 5.9 - Градиенты функции z= 1/(х 1 х 2) в различных точках

Возьмем, например, точку (0,5; 1) и вычислим градиент в этой точке: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; -2). Заметим, что точка (0,5; 1) лежит на линии уровня 1/(х 1 х 2) = 2, ибоz=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Чтобы изобразить вектор (-4; -2) на рисунке 5.9, соединим точку (0,5; 1) с точкой (-3,5; -1), ибо (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Возьмем другую точку на той же самой линии уровня, например, точку (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Вычислим градиент в этой точке (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Чтобы изобразить его на рисунке 5.9, соединим точку (1; 0,5) с точкой (-1; -3,5), ибо (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; -4).

Возьмем еще одну точку на той же самой линии уровня, но только теперь в неположительной координатной четверти. Например, точку (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиент в этой точке будет равен (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Изобразим его на рисунке 5.9, соединив точку (-0,5; -1) с точкой (3,5; 1), ибо (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4; 2).

Следует обратить внимание, что во всех трех рассмотренных случаях градиент показывает направление роста уровня функции (в сторону линии уровня 1/(х 1 х 2) = 10 > 2).

Можно доказать, что градиент всегда перпендикулярен линии уровня (поверхности уровня), проходящей через данную точку.

Экстремумы функции многих переменных

Определим понятие экстремума для функции многих переменных.

Функция многих переменных f(X) имеет в точке Х (0) максимум (минимум), если найдется такая окрестность этой точки, что для всех точек Х из этой окрестности выполняются неравенстваf(X)f(X (0)) ().

Если эти неравенства выполняются, как строгие, то экстремум называется сильным , а если нет, тослабым .

Заметим, что определенный таким образом экстремум носит локальный характер, так как эти неравенства выполняются лишь для некоторой окрестности точки экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции z=f(х 1 , . . ., х n) в точке является равенство нулю всех частных производных первого порядка в этой точке:
.

Точки, в которых выполняются эти равенства, называются стационарными .

По-другому необходимое условие экстремума можно сформулировать так: в точке экстремума градиент равен нулю. Можно доказать и более общее утверждение - в точке экстремума обращаются в ноль производные функции по всем направлениям.

Стационарные точки должны быть подвергнуты дополнительным исследованиям - выполняются ли достаточные условия существования локального экстремума. Для этого определяют знак дифференциала второго порядка. Если при любых , не равных одновременно нулю, он всегда отрицателен (положителен), то функция имеет максимум (минимум). Если может обращаться в ноль не только при нулевых приращениях, то вопрос об экстремуме остается открытым. Если может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то экстремума в стационарной точке нет.

В общем случае определение знака дифференциала представляет собой достаточно сложную проблему, которую здесь рассматривать не будем. Для функции двух переменных можно доказать, что если в стационарной точке
, то экстремум присутствует. При этом знак второго дифференциала совпадает со знаком
, т.е. если
, то это максимум, а если
, то это минимум. Если
, то экстремума в этой точке нет, а если
, то вопрос об экстремуме остается открытым.

Пример 1 . Найти экстремумы функции
.

Найдем частные производные методом логарифмического дифференцирования.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Аналогично
.

Найдем стационарные точки из системы уравнений:

Таким образом, найдены четыре стационарные точки (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).

Найдем частные производные второго порядка:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Аналогично
;
.

Так как
, знак выражения
зависит только от
. Отметим, что в обеих этих производных знаменатель всегда положителен, поэтому можно рассматривать только знак числителя,или даже знак выражений х(х 2 – 3)иy(y 2 – 3). Определим его в каждой критической точке и проверим выполнение достаточного условия экстремума.

Для точки (1; 1) получим 1*(1 2 – 3) = -2 < 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0, а
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Для точки (1; -1) получим 1*(1 2 – 3) = -2 < 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Т.к. произведение этих чисел
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Для точки (-1; -1) получим (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Т.к. произведение двух положительных чисел
> 0, а
> 0, в точке (-1; -1) можно найти минимум. Он равен 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2)) = -8/4 = = -2.

Найти глобальный максимум или минимум (наибольшее или наименьшее значение функции) несколько сложнее, чем локальный экстремум, так как эти значения могут достигаться не только в стационарных точках, но и на границе области определения. Исследовать поведение функции на границе этой области не всегда легко.

(от лат. gradiens - шагающий, идущий) - (в математике) вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой функции; (в физике) мера возрастания или убывания в пространстве или на плоскости какой-либо физической величины на единицу длины.

• - вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой функции; мера возрастания или убывания в пространстве или на плоскости какой-либо физической величины на единицу длины...

  Начала современного Естествознания

• - величина, говорящая о направлении и скорости изменения некоторой другой величины...

  Мир Лема - словарь и путеводитель

• - величина, отражающая количественное изменение свойств вдоль одной из осей тела, органа или клетки...

  Медицинские термины

• - мера изменения какой-либо физической величины в пространстве на единицу длины в том направлении, в котором она убывает наиболее быстро...

  Экологический словарь

• - вектор, характеризующий интенсивность изменения параметра к.-л. скалярного поля и. Направление Г. совпадает с направлением Макс. интенсивности изменения и, а его модуль равен значению этой интенсивности...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - В фотопроцессах – мера изменения кривой характеристики фотоматериала, изображения на оригинале или оттиске на любом ее участке;Градиент...

  Краткий толковый словарь по полиграфии

• - в биологии величина, отражающая количественное изменение каких-либо морфо??????P???или функциональных свойств вдоль одной из осей тела, органа или клетки...

  Большой медицинский словарь

• - векторная величина, характеризующая скорость изменения физ. поля по направлению. Г. можно получить расчетным путем или измерить специальными приборами - градиентометрами...

  Геологическая энциклопедия

• - барометрический и термометрический...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - I Градие́нт Вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой...

  Большая Советская энциклопедия

• - вектор g, показывающий направление наискорейшего изменения данного скалярного поля? , где Р - точка пространства, обозначается g = grad ? . Примеры: градиент температуры, градиент давления, градиент потенциала...

  Большой энциклопедический словарь

• - ; мн. градие/нты, Р....

  Орфографический словарь русского языка

• - ГРАДИЕ́НТ, градиента, муж. . Изменение какой-нибудь величины на какую-нибудь единицу длины...

  Толковый словарь Ушакова

• - градие́нт м. Мера возрастания или убывания в пространстве какой-либо физической величины при перемещении на единицу длины...

  Толковый словарь Ефремовой

• - гради"...

  Русский орфографический словарь

• - ГРАДИЕНТ а, м. gradient m., лат. gradiens. Мера возрастания или убывания в пространстве какой-л. физической величины при перемещении на единицу длины. БАС-2. - Лекс. Брокг.: ; Уш. 1935: градие/нт; БСЭ-2: градие/нтный ветер...

  Исторический словарь галлицизмов русского языка

"Градиент" в книгах