План-конспект разработанный
Трофимовой Людмилой Алексеевной
Геометрическая вероятность
Цели и задачи: 1) Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания
вероятности;
2) Повторение пройденного и закрепление навыков формализации
текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур.
Результаты обучения:
1) Знать определение геометрической вероятности выбора точки
внутри фигуры на плоскости и прямой;
2) Уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность,
зная площади фигур или умея их вычислять.
I . Выбор точки из фигуры на плоскости.
Пример 1. Рассмотрим мысленный эксперимент: точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ?
В этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.
Точку наудачу бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.
Ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку наудачу».
Обычно это выражение трактуют так:
1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.
2. Вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.
Подведем итог: пусть и - площади фигур F и G . Вероятность события А «точка Х принадлежит фигуре G, которая содержится в фигуре F », равна
Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому
Вернемся к нашей задаче. Фигура F
в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому =1.
Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G. Чтобы найти площадь , нужно из площади фигуры F вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .
Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна
Пример 2. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.
Решение:
Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит,
Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:
Вывод. Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры.
Задача. Нетерпеливые дуэлянты.
Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?
Решение: Пусть х и у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.
Дуэлянты встречаются, если , т. е. x
- < y
< x
+ .
Изобразим это на чертеже.
Заштрихованная часть квадрата отвечает случаю, когда дуэлянты встречаются.
Площадь всего квадрата 1, площадь заштрихованной части:
.
Значит, шансы на поединок равны .
II . Выбор точки из отрезка и дуги окружности.
Рассмотрим мысленный эксперимент, который состоит в случайном выборе одной точки Х из некоторого отрезка MN.
Это можно понимать так, будто точку Х случайным образом «бросают» на отрезок. Элементарным событием в этом опыте может стать выбор любой точки отрезка.
Пусть отрезок CD содержится в отрезке MN. Нас интересует событие А
, состоящее в том, что выбранная точка Х принадлежит отрезку CD.
Метод вычисления этой вероятности тот же, что для фигур на плоскости: вероятность пропорциональна длине отрезка CD.
Следовательно, вероятность события А «точка Х принадлежит отрезку CD, содержащемуся в отрезке MN» равна, .
Пример 1. Внутри отрезка MN случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.
Решение:
Пусть точка О – середина отрезка MN. Наше событие наступит тогда, когда точка Х лежит внутри отрезка ON.
Тогда 
.
Ничего не меняется, если точка Х выбирается не из отрезка, а из дуги некоторой кривой линии.
Пример 2.
На окружности даны точки А и В, причем эти точки не являются диаметрально противоположными. На этой же окружности выбирается точка С. Найти вероятность того, что отрезок ВС пересечет диаметр окружности, проходящий через точку А.
Решение: Пусть длина окружности равна L. Интересующее нас событие К «отрезок ВС пересекает диаметр DA» наступает, только если т. С лежит на полуокружности DA, не содержащей точку В. Длина этой полуокружности равна L.
.
Пример 3. На окружности взята точка А. На окружность «бросают» точку В. Какова вероятность того, что длина хорда АВ будет меньше радиуса окружности.
Решение: Пусть r – радиус окружности.
Для того чтобы хорда АВ была короче радиуса окружности, точка В должна попасть на дугу В1АВ2, длина которой равна длины окружности.
Вероятность того, что длина хорды АВ будет меньше радиуса окружности, равна:
III . Выбор точки из числового отрезка
Геометрическую вероятность можно применять к числовым промежуткам. Предположим, что случайным образом выбирается число Х, удовлетворяющее условию . Этот опыт можно заменить опытом, в котором из отрезка на числовой прямой выбирается точка с координатой Х.
Рассмотрим событие, состоящее в том, что точка с координатой Х выбрана из отрезка , содержащегося в отрезке . Это событие обозначим . Его вероятность равна отношению длин отрезков и .
.
Пример 1. Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка , принадлежит отрезку .
Решение: По формуле геометрической вероятности находим:
.
Пример 2. Согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. В городе Миргороде расстояние между пешеходными переходами на улице Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где-то между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за 100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не нарушает правила.
Решение:
Воспользуемся геометрическим методом. Расположим числовую прямую так, что участок улицы между переходами окажется отрезком . Пусть пешеход подходит к улице в некоторой точке с координатой Х. Пешеход не нарушает правила, если он находится на расстоянии более чем 0,1 км от каждого перехода, т. е. 0,1 Пример 3.
Поезд проходит мимо платформы за полминуты. В какой-то момент, совершенно случайно выглянув из своего купе в окно, Иван Иванович увидел, что поезд идет мимо платформы. Иван Иванович смотрел в окно ровно 10 секунд, а затем отвернулся. Найдите вероятность того, что он видел Ивана Никифоровича, который стоял ровно посередине платформы. Решение:
Воспользуемся геометрическим методом. Будем вести отсчет в секундах. За 0 секунд примем момент, когда Иван Иванович поравнялся с началом платформы. Тогда конца платформы он достиг в момент 30 секунд. За Х сек. Обозначим момент, когда Иван Иванович выглянул в окно. Следовательно, число Х случайным образом выбирается из отрезка . С Иваном поравнялся в момент 15 секунд. Он увидел Ивана Никифоровича, только если он выглянул в окно не позже этого момента, но не раньше, чем за 10 секунд до этого. Таким образом, нужно найти геометрическую вероятность события . По формуле находим «Вероятностная подоплека»
В самом начале поэмы «Мертвые души» два мужика спорят относительно того, как далеко доедет колесо в экипаже Чичикова: «…два русских мужика, стоявших у дверей кабака против гостиницы, сделали кое-какие замечания, относившиеся впрочем, более к экипажу, чем к сидевшему в нем. «Вишь ты», сказал один другому: «вон какое колесо! Что ты думаешь, доедет то колесо, если б случилось, в Москву, или не доедет?» - «Доедет», отвечал другой. «А в Казань-то, я думаю, не доедет?» «В Казань не доедет», отвечал другой».
Задачи для решения.
1. Найти вероятность того, что точка случайным образом брошенная в квадрат ABCD со стороной 4 попадет в квадрат A1B1C1D1 со стороной 3, находящийся внутри квадрата ABCD. Ответ. 9/16. 2. Два лица А и В договорились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 900 до 1000. Каждый из них приходит наудачу (в указанный промежуток времени), независимо от другого и ожидает 10 минут. Какова вероятность того, что они встретятся? Ответ. 11/36. 3. В отрезке АВ длины 3 случайно появляется точка С. Определить вероятность того, что расстояние от точки С до В превосходит 1. Ответ. 2/3. 4. В круг радиусом 5 вписан треугольник наибольшей площади. Определите вероятность попадания в треугольник точки, случайно брошенной в круг. 5. Буратино посадил на прямоугольный лист размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются. 6. В окружность вписан квадрат ABCD. На этой окружности случайным образом выбирается точка М. Найдите вероятность того, что эта точка лежит на: а) меньшей дуге АВ; б) большей дуге АВ. Ответ. а) 1/4; б) 3/4. 7. На отрезок случайным образом бросается точка Х. С какой вероятностью выполняется неравенство: а) ; б) ; в) ? Ответ. а) 1/3; б) 1/3; в) 1/3. 8. Про село Иваново известно только, что оно находится где-то на шоссе между Миргородом и Старгородом. Длина шоссе равна 200 км. Найдите вероятность того, что: а) от Миргорода до Иваново по шоссе меньше 20 км; б) от Старгорода до Иваново по шоссе больше 130 км; в) Иваново находится менее чем в 5 км от середины пути между городами. Ответ. а) 0,1; б) 0,35; в) 0,05. Дополнительный материал
2. Случайная точка Х равномерно распределена в квадрате Литература:
1. Теория вероятностей и статистика / , . – 2-е изд., переработанное. – М.: МЦНМО: учебники», 2008. – 256 с.: ил. 2. Теории вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel / , . – Изд. 4-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 475 с.: ил. – (Высшее образование). 3. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Пер. с англ./Под ред. . 3-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 88 с. 4. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. Пособие для вузов./, – 2-е изд., испр. И доп. – М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит. – 1989. – 320с. 5. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. Пособие для 9-11 кл. сред. шк./ – 3-е изд. перераб. – М.: Просвещение, 1990. – 160 с.
.
.
Геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы множество элементарных событий F и множество G, представляющее событие А, были бы одинакового вида и одинаковых измерений.
. Найти вероятность того, что квадрат с центром Х и сторонами длины b, параллельными осям координат, целиком содержится в квадрате А.
Мне нужно создать равномерно случайную точку в круге радиуса R.
Я понимаю, что, просто выбирая равномерно случайный угол в интервале , давая расстояния от центра. Наш треугольник - тонкая лента, так что AB и BC по существу параллельны. Таким образом, точка Z является просто расстоянием x + y от начала координат. Если x + y > R отбрасываем назад.
Здесь полный алгоритм для R = 1. Надеюсь, вы согласитесь на это довольно просто. Он использует триггер, но вы можете дать гарантию того, сколько времени потребуется, и сколько ему нужно random() , в отличие от выборки отбраковки.
T = 2*pi*random() u = random()+random() r = if u>1 then 2-u else u
Здесь он находится в Mathematica.
F := Block[{u, t, r}, u = Random + Random; t = Random 2 Pi; r = If; {r Cos[t], r Sin[t]} ] ListPlot, AspectRatio -> Automatic]
Вот быстрое и простое решение.
Выберите два случайных числа в диапазоне (0, 1), а именно a и b . Если b < a , замените их. Ваша точка (b*R*cos(2*pi*a/b), b*R*sin(2*pi*a/b)) .
Вы можете подумать об этом решении следующим образом. Если бы вы взяли круг, разрезали его, а затем выпрямили, вы получили прямоугольный треугольник. Масштабируйте треугольник вниз, и у вас будет треугольник от (0, 0) до (1, 0) до (1, 1) и обратно до (0, 0) . Все эти преобразования меняют плотность равномерно. То, что вы сделали, равномерно выбрали случайную точку в треугольнике и изменило процесс, чтобы получить точку в круге.
Обратите внимание на плотность точек пропорционально обратному квадрату радиуса, поэтому вместо того, чтобы выбирать r из , выберите из , затем вычислите свои координаты как:
X = sqrt(r) * cos(angle) y = sqrt(r) * sin(angle)
Это даст вам равномерное распределение точек на диске.
Подумайте об этом так. Если у вас есть прямоугольник, где одна ось равна радиусу, а одна - углу, и вы берете точки внутри этого прямоугольника, близкие к радиусу 0. Все они будут очень близки к началу координат (это близко к кругу). Однако, точки вблизи радиуса R, все они будут падать рядом с краем круга (то есть далеко друг от друга).
Это может дать вам некоторое представление о том, почему вы получаете такое поведение.
Основная предпосылка заключается в том, что вы можете создать переменную с желаемым распределением из равномерной путем сопоставления равномерной обратной функцией кумулятивной функции распределения желаемой функции плотности вероятности. Зачем? Просто возьмите это как должное, но это факт.
Вот мое немного интуитивное объяснение математики. Функция плотности f (r) по r должна быть пропорциональна самой r. Понимание этого факта является частью любых базовых книг по исчислению. См. Разделы о полярных элементах. Некоторые другие плакаты упомянули об этом.
Итак, будем называть его f (r) = C * r;
Это, как оказалось, большая часть работы. Теперь, так как f (r) должна быть плотностью вероятности, нетрудно видеть, что интегрируя f (r) на интервале (0, R), вы получаете, что C = 2/R ^ 2 (это упражнение для читателя.)
Таким образом, f (r) = 2 * r/R ^ 2
Тогда конечная часть идет от равномерной случайной величины u в (0,1), которую вы должны отобразить обратной функцией кумулятивной функции распределения из этой требуемой плотности f (r). Чтобы понять, почему это так, вам нужно найти расширенный текст вероятности, например, Папулис (или получить его самостоятельно).
Интегрируя f (r), вы получаете F (r) = r ^ 2/R ^ 2
Чтобы найти обратную функцию этого, вы задаете u = r ^ 2/R ^ 2, а затем решим для r, что дает вам r = R * sqrt (u)
Это тоже имеет смысл интуитивно, u = 0 следует отображать в r = 0. Кроме того, u = 1 shoudl map to r = R. Кроме того, это функция квадратного корня, которая имеет смысл и соответствует ссылке.
Причина, по которой наивное решение не работает, заключается в том, что она дает более высокую плотность вероятности точкам, расположенным ближе к центру окружности. Другими словами, круг с радиусом r/2 имеет вероятность r/2 получения выбранной в нем точки, но имеет площадь (количество точек) pi * r ^ 2/4.
Поэтому мы хотим, чтобы плотность вероятности радиуса имела следующее свойство:
Вероятность выбора радиуса, меньшего или равного заданному r, должна быть пропорциональна площади окружности с радиусом r. (потому что мы хотим иметь равномерное распределение по точкам, а большие области - больше очков)
Другими словами, мы хотим, чтобы вероятность выбора радиуса между была равна его доле общей площади круга. Общая площадь окружности равна pi * R ^ 2, а площадь круга с радиусом r равна pi * r ^ 2. Таким образом, мы хотели бы, чтобы вероятность выбора радиуса между была (pi * r ^ 2)/(pi * R ^ 2) = r ^ 2/R ^ 2.
Теперь идет математика:
Вероятность выбора радиуса между является интегралом от p (r) dr от 0 до r (это только потому, что мы добавляем все вероятности меньших радиусов). Таким образом, мы хотим, чтобы интеграл (p (r) dr) = r ^ 2/R ^ 2. Мы можем ясно видеть, что R ^ 2 является константой, поэтому нам нужно всего лишь выяснить, какая из p (r), когда интегрированная даст нам нечто вроде r ^ 2. Ответ явно r * постоянный. интеграл (r * const dr) = r ^ 2/2 * постоянный. Это должно быть равно r ^ 2/R ^ 2, поэтому константа = 2/R ^ 2. Таким образом, у вас есть распределение вероятности p (r) = r * 2/R ^ 2
Примечание. Еще один интуитивный способ подумать о проблеме состоит в том, чтобы представить, что вы пытаетесь дать каждой окружности радиуса вероятности вероятности равную пропорции количества очков, которые она имеет на своем длина окружности. Таким образом, окружность с радиусом r будет иметь 2 * pi * r "точки" по ее окружности. Общее число точек pi * R ^ 2. Таким образом, вы должны дать окружности r вероятность, равную (2 * pi * r)/(pi * R ^ 2) = 2 * r/R ^ 2. Это намного легче понять и более интуитивно понятным, но это не так, как математически здорово.
Это действительно зависит от того, что вы подразумеваете под "равномерно случайным". Это тонкая точка, и вы можете прочитать больше об этом на странице wiki здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29 , где та же проблема, дающая разные интерпретации "равномерно случайный" дает разные ответы!
В зависимости от того, как вы выбираете точки, распределение может меняться, хотя они в какой-то мере равномерны.
Кажется, что запись в блоге пытается сделать его равномерным случайным в следующем смысле: если вы возьмете субкруг круга с тем же центром, то вероятность того, что точка попадет в эту область, пропорциональна области региона. Это, я считаю, пытается следовать теперь стандартной интерпретации "равномерно случайных" для 2D-областей с областями, определенными на них : вероятность точки падение в любой области (с четко определенной областью) пропорционально площади этой области.
Вот мой код Python для генерации num случайных точек из круга радиуса rad:
Import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np rad = 10 num = 1000 t = np.random.uniform(0.0, 2.0*np.pi, num) r = rad * np.sqrt(np.random.uniform(0.0, 1.0, num)) x = r * np.cos(t) y = r * np.sin(t) plt.plot(x, y, "ro", ms=1) plt.axis([-15, 15, -15, 15]) plt.show()
Пусть ρ (радиус) и φ (азимут) - две случайные величины, соответствующие полярным координатам произвольной точки внутри круга. Если точки распределены равномерно, то какова функция распределения функций ρ и φ?
Для любого r: 0 P [ρ Где S1 и S0 - площади окружности радиуса r и R соответственно. Таким образом, CDF можно указать как: 0 if r<=0
CDF = (r/R)**2 if 0 < r <= R
1 if r > R
PDF = d/dr(CDF) = 2 * (r/R**2) (0 < r <= R).
Заметим, что для R = 1 случайная величина sqrt (X), где X равномерна на = P = y * * 2 при 0 Распределение φ очевидно равномерно от 0 до 2 * π. Теперь вы можете создать случайные полярные координаты и преобразовать их в декартову с помощью тригонометрических уравнений: X = ρ * cos(φ)
y = ρ * sin(φ)
Не может устоять перед отправкой кода python для R = 1. From matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
rho = np.sqrt(np.random.uniform(0, 1, 5000))
phi = np.random.uniform(0, 2*np.pi, 5000)
x = rho * np.cos(phi)
y = rho * np.sin(phi)
plt.scatter(x, y, s = 4)
Вы получите Решение в Java и пример распространения (2000 точек) Public void getRandomPointInCircle() {
double t = 2 * Math.PI * Math.random();
double r = Math.sqrt(Math.random());
double x = r * Math.cos(t);
double y = r * Math.sin(t);
System.out.println(x);
System.out.println(y);
}
Сначала мы сгенерируем cdf [x], который является Вероятность того, что точка меньше расстояния x от центра круга. Предположим, что окружность имеет радиус R. очевидно, если x равно нулю, то cdf = 0 очевидно, если x равно R, то cdf [R] = 1 очевидно, если x = r, то cdf [r] = (Pi r ^ 2)/(Pi R ^ 2) Это связано с тем, что каждая "небольшая область" на круге имеет такую же вероятность быть выбрана, поэтому вероятность пропорциональна этой области. А площадь, заданная на расстоянии x от центра круга, равна Pi r ^ 2 поэтому cdf [x] = x ^ 2/R ^ 2, потому что Pi отменяют друг друга имеем cdf [x] = x ^ 2/R ^ 2, где x переходит от 0 в R Итак, мы решаем для x R^2 cdf[x] = x^2
x = R Sqrt[ cdf[x] ]
Теперь мы можем заменить cdf на случайное число от 0 до 1 X = R Sqrt[ RandomReal[{0,1}] ]
R = R Sqrt[ RandomReal[{0,1}] ];
theta = 360 deg * RandomReal[{0,1}];
{r,theta}
получаем полярные координаты {0,601168 R, 311,915 град.} Я использовал этот метод:
Это может быть совершенно неоптимизировано (т.е. Использует массив точек, поэтому он непригоден для больших кругов), но дает случайное распределение. Вы можете пропустить создание матрицы и нарисовать напрямую, если хотите. Метод состоит в том, чтобы рандомизировать все точки в прямоугольнике, которые попадают внутрь круга. Bool[,] getMatrix(System.Drawing.Rectangle r) {
bool[,] matrix = new bool;
return matrix;
}
void fillMatrix(ref bool[,] matrix, Vector center) {
double radius = center.X;
Random r = new Random();
for (int y = 0; y < matrix.GetLength(0); y++) {
for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
{
double distance = (center - new Vector(x, y)).Length;
if (distance < radius) {
matrix = r.NextDouble() > 0.5;
}
}
}
}
private void drawMatrix(Vector centerPoint, double radius, bool[,] matrix) {
var g = this.CreateGraphics();
Bitmap pixel = new Bitmap(1,1);
pixel.SetPixel(0, 0, Color.Black);
for (int y = 0; y < matrix.GetLength(0); y++)
{
for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
{
if (matrix) {
g.DrawImage(pixel, new PointF((float)(centerPoint.X - radius + x), (float)(centerPoint.Y - radius + y)));
}
}
}
g.Dispose();
}
private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
System.Drawing.Rectangle r = new System.Drawing.Rectangle(100,100,200,200);
double radius = r.Width / 2;
Vector center = new Vector(r.Left + radius, r.Top + radius);
Vector normalizedCenter = new Vector(radius, radius);
bool[,] matrix = getMatrix(r);
fillMatrix(ref matrix, normalizedCenter);
drawMatrix(center, radius, matrix);
}
Элемент области в круге равен dA = rdr * dphi. Этот дополнительный фактор разрушил вашу идею, чтобы случайным образом выбрать r и phi. В то время как phi распределена плоской, r не является, а плоской в 1/r (то есть вы с большей вероятностью попадете на границу, чем "бычий глаз"). Итак, чтобы создать точки, равномерно распределенные по кругу, выбрать phi из плоского распределения и r из распределения 1/r. В качестве альтернативы можно использовать метод Монте-Карло, предложенный Мехрдадом. ИЗМЕНИТЬ
Чтобы выбрать случайную r плоскую в 1/r, вы можете выбрать случайный x из интервала и вычислить r = 1/x. r затем распределяется плотно в 1/r. Чтобы вычислить случайный phi, выберите случайный x из интервала и вычислим phi = 2 * pi * x. Вы также можете использовать свою интуицию. Площадь круга равна pi*r^2 Это дает нам область pi . Предположим, что мы имеем некоторую функцию f , которая равномерно распределяла бы N=10 точек внутри круга. Соотношение здесь 10/pi Теперь мы удваиваем площадь и количество точек При r=2 и N=20 Это дает площадь 4pi и теперь соотношение составляет 20/4pi или 10/2pi . Отношение будет становиться все меньше и меньше, чем больше радиус, так как его рост квадратичен, а N линейно. Чтобы исправить это, мы можем просто сказать X = r^2
sqrt(x) = r
Если вы создадите вектор в полярных координатах, как это За окном ранние осенние деньки, и жёлтая листва на деревьях навевает лирическое и немного грустное настроение…. Но впереди ещё целый учебный год и в такие моменты нужно обязательно настроиться на плодотворную работу! Спешу обрадовать всех хандрящих читателей своим фирменным рецептом, позволяющим быстро повысить тонус своего организма. Для этого достаточно немножко вспомнить геометрию
… …нет, я согласен, что иногда она усыпляет, но в небольших дозах – исключительно бодрит! И, главное, очень действенно – как только начинаешь принимать живительные порции знаний, так сразу никакой сезонной депрессии! Ещё на первом уроке по теме мы познакомились с классическим определением вероятности
появления некоторого события в испытании и простейшей формулой , где – общее число всех возможных
равновозможных
, элементарных
исходов данного испытания, а – кол-во элементарных исходов, благоприятствующих событию . Возникли затруднения с терминологией и/или пониманием? Пожалуйста, начните с основ теории вероятностей
. Едем дальше: классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом недостатков. Даже правильнее сказать, не недостатков, а ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший пример: На отрезок наудачу бросается голодная точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток ? Всё очень похоже: вероятность наступления некоторого события в испытании равна отношению , где – геометрическая мера
, выражающая общее число всех возможных
и равновозможных
исходов данного испытания, а – мера
, выражающая количество благоприятствующих событию исходов. На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём. Рассмотрим событие: – брошенная на отрезок точка, попала в промежуток . Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка: Слишком просто? Как и в случае с классическим определением
, это обманчивое впечатление. Обстоятельно и добросовестно разбираемся в практических примерах: Задача 1
Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см. Решение
: «чего тут сложного? Вероятность равна 1/5-й». Это автоматическая ошибка, которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать не более 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного
конца ленты, так и с другого
: Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: Благоприятствующие событию участки разреза отмечены на рисунке красным цветом и их суммарная длина равна: Ответ
: 0,4 Какой можно сделать вывод? Даже если задача кажется вам очень простой, НЕ СПЕШИТЕ. Импульсивность вообще штука скверная – это ошибки, ненужные покупки, испорченные кожные покровы отношения и т.д.… но не будем о грустном! При оформлении задач следует обязательно указывать размерность (единицы, метры, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.)
. Кстати, обратите внимание, что на финальном этапе вычислений геометрическая мера сокращается. Так в рассмотренном примере, сократились метры: , в результате чего получилась привычная безразмерная вероятность. Задача 2
После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии? Краткое и решение и ответ в конце урока. Значительно чаще встречаются примеры, в которых фигурируют площади: Задача 3
В треугольник со сторонами вписан круг. Точка произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг. Напоминаю, что вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в 3 точках Решение
: поскольку точка ставится в треугольник, а круг лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга. Что тут сказать? Ищем площади: Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по формуле Герона
: Сначала вычислим полупериметр треугольника: Методику вынесения множителей из-под корня я освещал ещё в древние-древние времена на вводном уроке по аналитической геометрии
. Площадь вписанного круга найдём по формуле , где – его радиус. Откуда брать геометрические формулы? Нужные формулы можно найти в школьном учебнике или другом источнике информации. При этом нет никакой необходимости специально их разучивать, лично я вспомнил только , а всё остальное в считанные минуты нашёл в Википедии. И через считанные минуты всё это благополучно забуду =) Итак, площадь вписанного круга: По геометрическому определению: Ответ
: Более простой пример для самостоятельного решения: Задача 4
В круге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник. Следует отметить, что в этой задаче треугольник вовсе не обязан как-то касаться окружности, он просто расположен внутри круга и всё. Будьте внимательны! А теперь рассмотрим широко известную задачу о встрече: Задача 5
Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой? Давайте немного осмыслим условие. Во-первых, автомобили могут подойти на погрузку в любом порядке, а во-вторых – в любые моменты времени в течение полутора часов. По первой оглядке решение представляется довольно трудным. И для неподготовленного человека оно действительно окажется «не по зубам». Подробный анализ метода решения этой задачи можно найти, например, в учебном пособии Гмурмана, я же ограничусь в известной степени формальным алгоритмом: Решение
:сначала выясняем длительность временнОго промежутка, на котором может состояться встреча. В данном случае, как уже отмечено выше, это полтора часа или 90 минут. При этом здесь не имеют особого значения фактические временнЫе рамки – погрузка автомобилей, может состояться, например, утром с 8.30 до 10.00, и решение будет точно таким же. Вычисления допустимо проводить как в долях часа, так и в минутах. На мой взгляд, в большинстве случаев удобнее работать с минутами – меньше путаницы. Уточним нижний предел интегрирования аналитически (найдём точку пересечения гиперболы
и прямой )
: На отрезке прямая расположена не ниже
гиперболы , По геометрическому определению: Ответ
: Аналогичный пример для самостоятельного решения. Вероятность – степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Классическое определение вероятности. Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N: Геометрическое определение вероятности. Несмотря на то, что классическое определение является интуитивно понятным и выведенным из практики, оно, как минимум не может быть непосредственно применено в случае, если количество равновозможных исходов бесконечно. Ярким примером бесконечного числа возможных исходов является ограниченная геометрическая область G, например, на плоскости, с площадью S. Случайно "подброшенная" "точка" с равной вероятностью может оказаться в любой точке этой области. Задача заключается в определении вероятности попадания точки в некоторую подобласть g с площадью s. В таком случае обобщая классическое определение можно прийти к геометрическому определению вероятности, как отношению s к S: Если события В и С не могут произойти одновременно, то вероятность того, что произойдет одно из событий В или С, равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Если событие В не зависит от события С, то вероятность того, что произойдут оба события В и С, равна произведению вероятностей этих событий: P(A · B) = P(A) · P(B). При решении задач на нахождение вероятностей часто удобно использовать сведения из комбинаторики, в частности, правила суммы и произведения. Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B – n способами, то выбрать либо A, либо B можно m + n способами. Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора другой объект В может быть выбран n способами, то пара объектов (A, B) в указанном порядке может быть выбрана m · n способами. 1. Катящаяся игральная кость. Обычная игральная кость имеет на своих гранях числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ее бросают случайным образом до тех пор, пока сумма выпавших за время бросания очков не превысит числа 12. Какая общая сумма очков будет наиболее вероятной? Рассмотрим предпоследний бросок. После него общая сумма должна принимать одно из следующих значений: 12, 11, 10, 9, 8, 7. Если она равна 12, то общий результат будет с равной вероятностью принимать значения 13, 14, 15, 16, 17, 18. Аналогично, при сумме 11 конечный результат с равной вероятностью принимает значения 13, 14, 15, 16, 17 и так далее. Число 13 появляется как равный кандидат в каждом случае и является единственным числом такого рода. Таким образом, число 13 – наиболее вероятное. В общем те же доводы показывают, что наиболее вероятная сумма, впервые превышающая n (n равно 6 и более), есть n+1. 2. Легкомысленный член жюри. В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью p. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью? p · (1 – p) + (1 – p) · p = 2p · (1–p), то для нахождения вероятности правильного решения это число надо умножить на 1/2. Таким образом, полная вероятность вынесения справедливого решения жюри из трех человек равна p 2 + p · (1–p) = p, что совпадает с соответствующей вероятностью для жюри из одного человека.
Ответ: оба типа жюри имеют одинаковую вероятность вынести правильное решение. 3. Непересекающиеся треугольники. Из вершин правильного n-угольника (n>5) наугад выбираются две тройки различных точек. Какова вероятность того, что два треугольника, вершинами которых являются выбранные тройки, не пересекаются? Разобьем все возможные пары троек вершин на С n 6 групп, собирая в одной группе те и только те пары троек, которые образуют одинаковые шестерки вершин. С одной стороны, каждая такая группа содержит столько элементов, сколькими способами можно разбить шестерку фиксированных вершин на две тройки, то есть С 6 3 = 20 элементов. С другой стороны, существует ровно 6 способов разбить шестерку на две тройки, удовлетворяющие требуемому в задаче условию. Поэтому искомая вероятность равна 6/20 = 0,3. Ответ: 0,3. 4. Белые и чёрные шары. Каждая из двух урн содержит белые и чёрные шары, причём общее число шаров в обеих урнах равно 25. Из каждой урны наугад вынимают по одному шару. Зная, что вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми, равна 0,54, найдите вероятность того, что оба вынутых шара окажутся чёрными. Пусть общее количество шаров в первой и второй урнах равно m 1 и m 2 соответственно (для определенности считаем, что m 1 не больше m 2), а количество белых шаров в этих урнах равно k 1 и k 2 соответственно. Тогда вероятность того, что оба вынутых шара белые, равна (k 1 /m 1)·(k 2 /m 2). Получаем соотношения: (k 1 /m 1)·(k 2 /m 2) = 0,54 = 27/50, 27m 1 m 2 = 50k 1 k 2 , то хотя бы одно из чисел m 1 , m 2 делится на 5. Но сумма m 1 + m 2 тоже делится на 5, поэтому каждое из чисел m 1 , m 2 делится на 5. Таким образом, имеем всего две возможности: либо m 1 = 5, m 2 = 20, либо m 1 = 10, m 2 = 15. В случае m 1 = 5, m 2 = 20 получаем
k 1 k 2 = 54, где k 1 не превосходит 5, а k 2 не превосходит 20. Перебрав все возможные значения k i , найдем k 1 =3, k 2 =18. Тогда в первой урне 2 черных шара, во второй тоже 2 черных шара, и вероятность вытащить два черных шара равна (2/5)·(2/20)=0,04. Аналогично, в случае m 1 = 10, m 2 = 15 находим k 1 = 9, k 2 =9. Тогда в первой урне 1 черный шар, во второй – 6 черных шаров, и вероятность вытащить два черных шара равна (1/10)·(6/15) = 0,04 (в обоих случаях ответы одинаковы). Ответ: 0,04. 5. Трёхсторонняя дуэль. Три стрелка А, В, С решили одновременно драться на дуэли. Они расположились в вершинах равностороннего треугольника и условились о следующем: первый выстрел делает А, второй – В, третий – С и так далее по кругу; если один из стрелков выбывает, то дуэль продолжается между двумя оставшимися. Известно, что стрелок А поражает цель с вероятностью 0,3, стрелок С – с вероятностью 0,5, а стрелок В вообще никогда не промахивается. Каждый стреляет в одного из двух других или в воздух с таким расчетом, чтобы с наибольшей вероятностью выиграть дуэль. Куда должен направить свой первый выстрел стрелок А: в стрелка С, в стрелка В или в воздух? Рассмотрим три события, которые могут наступить после первого выстрела стрелка А. Поражен С. Тогда с вероятностью 1 стрелок А будет поражен первым же выстрелом В. Поражен В. Тогда: или с вероятностью 0,5 стрелок С поразит А своим первым выстрелом, или с вероятностью (1 – 0,5) · 0,3 стрелок А поразит С своим вторым выстрелом, или с вероятностью (1 – 0,5) · (1 – 0,3) · 0,5 стрелок С поразит А своим вторым выстрелом, или с вероятностью (1 – 0,5) · (1 – 0,3) · (1 – 0,5) · 0,3 стрелок А поразит С своим третьим выстрелом и так далее. Следовательно, вероятность для А выиграть дуэль в этом случае равна 0,5 · 0,3 + 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,3 + 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,3 + . . . = 0,15 · (1 + 0,35 + 0,35 2 + . . .) = 0,15 · 1/(1 – 0,35) = (15/100) · (100/65) = 3/13. 3) Никто не поражен. После этого В будет стрелять в С (как в более меткого из своих противников) и поразит его. Затем А с вероятностью 0,3 поразит В, выиграв дуэль.
Таким образом, так как 0,3 > 3/13, то самой выгодной для стрелка А является ситуация, когда после его выстрела никто не поражен. Значит, он должен первый раз стрелять в воздух.
Ответ: А должен первый раз стрелять в воздух. 6. Красные и зелёные мячи. В сумке находятся 6 красных и 8 зелёных мячей. Случайным образом вынимаются 5 из них и помещаются в красную коробку, остальные 9 мячей помещаются в зелёную коробку. Какова вероятность, что количество красных мячей в зелёной коробке плюс количество зелёных мячей в красной коробке не являете простым числом? Обозначим через G количество зелёных мячей в красной коробке. Так как мячей 6 красных и 8 зелёных, то цвета должны быть распределены по коробкам следующим образом: Красная коробка: G зелёных, (5 – G) красных; Зелёная коробка: (8 – G) зелёных, (G + 1) красных. Поэтому число красных мячей в зелёной коробке плюс количество зелёных мячей в красной коробке равно (G + 1) + G = 2G + 1, – нечётному числу. Число G не превосходит 5 – общего количества мячей в красной коробке. Поэтому сумма 2G + 1 может принимать значения от 1 (G = 0) до 11 (G = 5). Единственное нечётное составное число в этих пределах есть 9. Однако мы должны также включить и число 1, которое не является ни простым, ни составным. Итак, 2G + 1 должно быть равно 0 или 9, что возможно при G = 0 или G = 4. Вероятность получить выборку с G = 0 (количество способов иметь 5 красных отнесённое к общему числу выборок) равна С 6 5 /С 14 5 . Вероятность получить выборку с G = 4 (количество способов иметь 4 зелёных и 1 красный отнесённое к общему числу выборок) равна С 8 4 С 6 1 /С 14 5 . Вероятность искомого события найдём как сумму указанных вероятностей: (С 6 5 + С 8 4 С 6 1) / С 14 5 = (6 + 420) / 2002 = 213 / 1001. Ответ: 213/1001. 7. Орёл или решка? Два игрока А и В наблюдают за мальчиком, который без остановки подбрасывает монету. Результаты подбрасываний записываются последовательно с помощью букв: на k-м месте последовательности ставится буква О или буква Р в зависимости от того, что выпадает при k-м подбрасывании – «орёл» или «решка» соответственно. Игрок А утверждает, что тройка ООО встретится в записи раньше, чем тройка ОРО. Игрок В поспорил, что произойдет обратное. Кто из игроков имеет больше шансов выиграть в этом споре? За первой буквой О (с момента начала наблюдения за мальчиком с вероятностью 1 буква О хотя бы один раз появится) с одинаковой вероятностью, равной 1/4, может следовать одна из
комбинаций: РО, ОО, РР, ОР. В первом случае выигрывает игрок В, во втором случае выигрывает игрок А, а если реализовался третий случай, то после этого игроки будут иметь такие же шансы, как и в начале игры. В четвертом случае с вероятностью 1/2 последует буква О и выиграет игрок В, а с вероятностью 1/2 последует буква Р, после чего игроки будут иметь такие же шансы, как и в начале игры. Таким образом, с вероятностью 1/4 выиграет А, с вероятностью
1/4 + 1/4 · 1/2 = 3/8 Выиграет В и с вероятностью 3/8 возникнет ситуация, когда игроки будут иметь такие же шансы, как в начале игры. Поэтому игрок В имеет больше шансов выиграть, чем игрок А.
Ответ: игрок В. 8. В театре. Восемь юношей и семь девушек независимо приобрели по одному билету в одном и том же театральном ряду, насчитывающем 15 мест. Какое среднее число смежных мест занимают в этом ряду пары? Например, если ряд заполнен следующим образом ЮЮДДЮЮДЮДЮДЮЮДД (здесь Ю обозначает юношу, а Д - девушку), то имеется 9 пар ЮД и ДЮ. Нас интересует среднее число таких пар. Если первые два места в ряду заняты лицами разных полов, то у нас уже имеется искомая пара. Вероятность этого события равна (8/15) · (7/14) + (7/15) · (8/14) = 8/15. Более того, 8/15 есть и среднее число пар на первых двух местах, так как (8/15) · 1 + (7/15) · 0 = 8/15. Такое же рассуждение применимо к каждой паре смежных мест. Для определения среднего числа пар молодых людей эту величину надо умножить на число смежных мест, равное 14, что дает 112/15. Более общим образом, если есть b объектов одного рода и m другого, располагаемых случайным образом в ряд, то среднее число пар, составленных из различных объектов, равно В нашем примере b = 8, m = 7, и ответ равен 112/15. Здесь мы существенным образом использовали тот факт, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Мы нашли среднее число пар ЮД или ДЮ для каждых двух смежных мест и просуммировали по всем таким двойкам. Ответ: 112/15. 9. В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленную на однодюймовые квадраты. Если монета (3/4 дюйма в диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету. Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол? Когда мы бросаем монету на стол, то некоторые области положения центра тяжести монеты вероятнее других, но если квадрат достаточно мал, можно считать, что распределение вероятностей равномерно. Это означает, что вероятность попадания центра в какую-либо область квадрата пропорциональна площади этой области; она равна площади области, деленной на площадь квадрата. Так как радиус монеты равен 3/8 дюйма, то для выигрыша игрока центр не должен находиться ближе, чем 3/8 дюйма от сторон квадрата Этому ограничению отвечает квадрат со стороной 1/4 дюйма, внутри которого должен лежать центр монеты. Так как вероятности пропорциональны площадям, то вероятность выигрыша равна (1/4) 2 = 1/16. Разумеется, монета вообще может не попасть на стол, и вероятность выигрыша на самом деле еще меньше. Квадраты также могут быть уменьшены за счет утолщения разделяющих линий. Если эти линии имеют толщину и 1/16 дюйма, то выигрышной области соответствует вероятность (3/16) 2 = 9/256, или меньше 1/28. Ответ: 1/16. 10. Подбрасывание монеты. Игрок А бросает монету n+1 раз, а игрок В – n раз. Какова вероятность того, что в итоге у игрока А выпадет больше «орлов», чем у игрока В? Пусть у игроков А и В выпадает m и k «орлов» соответственно. Тогда искомая вероятность р события m>k равна вероятности q события (n + 1) – m > n – k, то есть вероятности того, что у игрока А выпадает больше «решек», чем у игрока В (так как при каждом бросании монеты «орел» и «решка» выпадают с равной вероятностью). С другой стороны, событие m>k имеет место тогда и только тогда, когда то есть когда (n+1)–m не превосходит n–k (поскольку n–m и n–k – целые числа). Поэтому р=1–q, откуда имеем p=q=1/2. Ответ: 1/2. 1. Последовательные выигрыши. Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в игре в теннис, отец обещает ему приз, если он выиграет подряд, по крайней мере, две теннисные партии против своего отца и клубного чемпиона по одной из схем: отец – чемпион – отец или чемпион – отец – чемпион по выбору сына. Чемпион играет лучше отца. Какую схему следует выбрать сыну? 2. «Попытай счастья» «Попытай счастья» – азартная игра, в которую часто играют в игорных домах и во время народных гуляний. После того как игрок сделал ставку на один из номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6, подбрасываются три игральные кости. Если номер играющего выпадает на одной, двух или трех костях, то за каждое появление этого номера игроку выплачивается первоначальная ставка, при этом возвращаются и его собственные деньги. В противном случае игрок теряет ставку. Каков средний проигрыш игрока при единичной ставке? (В действительности можно ставить на несколько номеров одновременно, но каждая ставка рассматривается отдельно.) 3. Колода карт. Колода из n различных игральных карт, расположенных в случайном порядке, содержит три туза. Верхние карты колоды одна за другой снимаются, пока не будет снят второй туз. Доказать, что среднее число снятых карт равно (n + 1)/2. 4. Букет цветов Букет цветов состоит из 5 ромашек и 10 васильков. Из этого букета случайным образом составляются маленькие букеты по 3 цветка в каждом. Какова вероятность того, что в каждом маленьком букетике будет по одной ромашке? 5. Остроугольный треугольник. На окружности случайным образом выбрано три точки А, В, С. Какова вероятность того, что треугольник АВС остроугольный? Не того, который Рассел, про брадобрея и диагональный аргумент, а того, который Жозеф Луи Франсуа . Состоит в следующем. Ответ зависит от того, как именно мы будем эту хорду выбирать. А именно, есть такие три метода (можно и больше, но хватит и этого пока): Метод 1
: Хорда - это что? Отрезок, соединяющий две точки на окружности. Не мудрствуя лукаво, возьмем на сей окружности две случайные точки (независимым образом), и проведем хорду между ними. Поскольку всё тут у нас симметрично, БООМС первая точка попадет прямо на северный полюс, а событие А
произойдет когда вторая точка попадет на красную дугу на картинке (все хорды в данном посте имеют синий цвет): Метод 2
. А вот теперь возьмем, и проведем хорду так. Выберем сначала случайный радиус (т.е., соединим центр со случайной точкой на окружности), потом на нем выберем случайную точку, проведем перпендикуляр, и получим хорду. Опять, БООМС этот радиус ведет на северный полюс (и чего меня так на северный полюс потянуло...), а сторона равностороннего треугольника (который с вершиной на южном полюсе) делит этот радиус строго пополам, и опять же из созерцания картинки Метод 3
. Вообще просто выберем одну случайную точку внутри круга. Ясно, что строго в центр нам попасть не светит, а значит существует единственная хорда, чья центральная точка совпадает с выбранной. Её и рассмотрим. Вернее, рассмотрим картинку Вот. Одна задача, три разных ответа, 1/3, 1/2, 1/4. И тут на этом месте обычно делается вывод, что задача сформулирована некорректно, требуется обязательно указать, что именно мы понимаем под "выбрать случайную хорду", а иначе нельзя. Так? А вот не так! Точнее, не совсем так. Здесь такое дело: если мы захотим непременно формулировать все вероятностные задачки абсолютно строгим и точным образом, то вместо, к примеру "из десяти человек выбираем двоих случайным образом" придется писать что-то вроде "из множества всех неупорядоченных пар различных элементов множества {1,...,10} выбираем одну пару с равномерным распределением вероятностей". Ну его нафиг, я считаю, обычно и так понятно, что когда говорят "выберем случайным образом" без дальнейших уточнений, то это означает, что выбор равновероятный, т.е., делается с равномерным распределением. ОК. Хорошо. Но тут мне возразят в том смысле, что Понятно, как равновероятно выбрать случайный элемент множества из N
элементов (каждый берется с вероятностью 1/N
) Тоже интуитивно понятно, что такое равномерное распределение в какой-либо области, скажем, на плоскости (круг, квадрат, ...). Но что делать для более сложных объектов? А мы ответим на это так. Основное, я бы даже сказал, характеристическое
свойство равномерного распределения такое. Пусть H
- некоторое подмножество множества G
, и выберем один объект из G
равновероятным образом. Так вот, при условии, что результат попал в H
- он имеет там равномерное распределение, такая вот инвариантность получается. Например, если из группы 5 мужчин / 5 женщин случайно выбрать одного человека, и известно, что это - женщина, то тогда любая из тех пяти имеет равные шансы (1/5) оказаться избранницей. Да и к равномерному выбору точки из области все это тоже относится. Ну и что мы хотим от случайной хорды тогда? В свете вышеизложенного, представляется мне разумным, что хотим мы следующего: Так вот, оказывается, что из трех вышеуказанных методов построения случайной хорды, этим свойством обладает лишь метод 2! И никто кроме него; все другие не годятся. Всё это давно известно, см. статью , очень рекомендую. То, что мы тут уже обсудили, однако же, наводит на такие мысли. Хорошо, мы знаем теперь, что есть случайная хорда окружности. Как Значится, повторяя пройденное, хорда - это отрезок, соединяющий две точки на границе нашей области. Вместо того, чтоб сразу выбирать эти две точки, попытаемся сделать иначе: выберем сначала одну точку на границе (каким-нибудь образом), а потом выберем направление (еще каким-нибудь образом), куда пойдет хорда из этой точки. И пойдет она до пересечения с границей, уж куда придет - там второй точке и быть. Только лишь в качестве простого упражнения на знание школьной планиметрии, докажите, что метод 1 эквивалентен такой процедуре: сначала берем одну точку равномерно на окружности, а потом направление хорды тоже выбирается с равномерным распределением, как-бы все направления равновероятны. А с нашим драгоценным методом 2 ситуация такая: направление хорды выбирается по закону косинуса, т.е. плотность распределения этого направления пропорциональна косинусу угла между ним и радиусом (докажите!). Что же будет, если подобную процедуру проделать с более-менее произвольной областью (нудные комментарии про достаточную гладкость её границы мы здесь писать не будем), а именно (а) сначала выберем точку равномерно на границе (б) выберем направление оттуда по закону косинуса (угол - с нормалью к границе в этой точке), и хорда пошла. Оказывается, это все действительно работает, да еще и в любой размерности к тому же! Можно доказать, что ________________________________________ _____________________________________ Jaynes, E.T. (1973).
"The Well-Posed Problem" . Found. Phys.
3
(4): 477-492.
F. Comets, S. Popov, G.M. Schütz, M. Vachkovskaia (2009) Кендалл, Моран. (1972)
Геометрическое определение вероятности.
Задачи с решениями
Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу (ввиду бесконечно большого значения «эн»)
и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности
.
, а благоприятствующие событию исходы – длиной вложенного отрезка: По геометрическому определению вероятности:
Рассмотрим событие: – длина обрезка составит не менее 0,8 м.
, где – длины сторон треугольника, а – полупериметр.
, а затем его площадь: 
– вероятность того, что точка попадёт во вписанный круг.
по соответствующей формуле
:
– вероятность того, что произведение двух загаданных в промежутке от 0 до 5 чисел окажется больше двух.
Задачи с решениями
Задачи без решений
Задача: есть окружность, там случайным образом проводим хорду. Какова вероятность события
А={хорда получилась длиннее, чем сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность}?
Т.е., очевидно, искомая вероятность получается 1/3.
(надо, чтобы случайная точка на радиусе попала на красный отрезок) ясно, что искомая вероятность равна 1/2.
и со всей очевидностью получим, что искомая вероятность равна 1/4 (радиус внутреннего круга, куда должна попасть выбранная точка, в два раза меньше исходного).
при условии, что случайная хорда АВ
пересекает мелкую окружность (порождая там хорду А"В"
), эта хорда А"В"
имеет то же самое вероятностное распределение, как и просто "случайная хорда" (что бы сие не значило, пока) в маленькой окружности.
истинные математики, мы желаем это обобщить, с окружностей на эллипсы, квадраты, гиперкубы, и всё-что-угодно. Ну, давайте попробуем.
(почти copy-paste, обратите внимание) при условии
, что случайная хорда АВ
пересекает внутреннюю область (порождая там хорду А"В"
), эта хорда А"В"
имеет то же самое вероятностное распределение, как и просто cлучайная хорда во внутренней областисти (внешняя область тут более-менее произвольная, а вот внутренняя - выпуклая, чтоб "индуцированная" хорда всегда была определена однозначно). Воспользуюсь случаем и порекламирую тут статью , хоть мы там кое-где и изобрели велосипед. Надо было предварительно хотя бы книжку прочесть (и её очень рекомендую, да).
Billiards in a general domain with random reflections.
Archive for Rational Mechanics and Analysis, 193
(3), pp. 737-738,
http://link.springer.com/ article/10.1007%2Fs00205-008- 0120-x?LI=true
См. также Erratum вот здесь: http://link.springer.com/ article/10.1007%2Fs00205-009- 0236-7?LI=true , ибо накосячили.
А лучше всего читать здесь: http://arxiv.org/abs/math/ 0612799 , там уже всё исправлено, и доступ свободный.
Геометрические вероятности.
Думаю, каждый найдет, где скачать:)