Урок алгебры в 10 классе
Тема: «Логарифмическая функция, её свойства и график»
Цели:
Образовательная : Ввести понятие логарифмической функции с применением прошлого опыта, дать определение. Изучить основные свойства логарифмической функции. Сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции.
Развивающая: Выработать умение выделять главное, сравнивать, обобщать. Формировать графическую культуру учащихся.
Воспитательная: Показать взаимосвязь математики с окружающей действительностью. Формировать навыки общения, диалога, умение работать в коллективе.
Тип урока: Комбинированный
Методы обучения: Частично-поисковый, диалоговый.
Ход урока .
1.Актуализация прошлого опыта:
Учащимся предлагаются устные упражнения с использованием определения логарифма, его свойств, формул перехода к новому основанию, решения простейших логарифмических и показательных уравнений, примеров на нахождение области допустимых значений под логарифмических выражений
Устные упражнения Устная работа.
1) Вычислить, пользуясь определением логарифма: log 2 8; log 4 16;.
2) Вычислить, используя основное логарифмическое тождество:
3) Решите уравнение, используя определение:
4) Выясните, при каких значениях x имеет смысл выражение:
5) Найдите значение выражения, используя свойства логарифмов:
2. Изучение темы. Учащимся предлагается решить показательные уравнения: 2 х =у; () х =у. с помощью выражения переменной х через переменную у. В результате этой работы получаются формулы, которые задают функции, незнакомые учащимся. ,.Вопрос : «Как бы вы назвали эту функции?» учащиеся говорят, что она логарифмическая, так как переменная стоит под знаком логарифма: .
Вопрос . Дайте определение функции. Определение: Функцию, заданную формулой у=log a x называют логарифмической с основанием а (а>0, а 1)
III. Исследование функции y=log a x
Совсем недавно мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида у=log a x, и о ее графике и свойствах. Функцию, заданную формулой у=log a x называют логарифмической с основанием а (а>0, а 1)
Основные свойства логарифмической функции:
1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных действительных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а. D (f )=R+
2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество действительных чисел. E (f )= (-∞; +∞)
3 . График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).
4 . Л логарифмическая функция возраста ет при а >1, и убывает при 0<х<1.
5 . Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид а .
6 . Функция не имеет точек максимума и минимума , в области определения непрерывна .
На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0
Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.
Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций.
Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) = log 8 (4 - 5x).
Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных действительных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 - 5x>0. Решаем это неравенство и получаем x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) будет являться промежуток (-∞;0.8)
Графики логарифмической функции в программе GeoGebra
Графики логарифмической функции
1) натуральный логарифм y = ln (x)
2) десятичный логарифм y = lg (x)
3) логарифм по основанию 2 y = ld (x)
V. Закрепление темы
Применяя полученные свойства логарифмической функции решим следующие задания:
1. Найти область определения функции: у=log 8 (4-5x);у= log 0,5 (2х+8);.
3. Схематично построить графики функций:у=log 2 (х+2) -3 у= log 2 (х) +2
Логарифмическая функция базируется на понятии логарифма и свойства показательной функции , где (основание степени а больше нуля и не равно единице).
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Примеры:
Напомним основное правило : чтобы получить число, стоящее под логарифмом, необходимо основание логарифма возвести в степень - значение логарифма:
Напомним важные особенности и свойства показательной функции.
Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :
Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы
Такая функция монотонно возрастает на всей своей области определения.
Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :
Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы
Такая функция монотонно убывает на всей своей области определения.
В любом случае, показательная функция монотонна, принимает все положительные значения и, в силу своей монотонности, каждое положительное значение достигает при единственном значении аргумента. То есть, каждое конкретное значение функция достигает при единственном значении аргумента , корнем уравнения и есть логарифм:
По сути, мы получили обратную функцию. Прямая функция - это когда у нас есть независимая переменная х (аргумент), зависимая переменная у (функция), мы задали значение аргумента и по нему получаем значение функции. Обратная функция: пусть независимой переменной будет у, ведь мы уже оговорили, что каждому положительному значению у соответствует единственное значение х, определение функции соблюдается. Тогда х становится зависимой переменной.
Для монотонной прямой функции существует обратная функция . Суть функциональной зависимости не изменится, если мы введем переобозначение:
Получаем:
Но нам привычнее обозначать независимую переменную за х, а зависимую - за у:
Таким образом, мы получили логарифмическую функцию.
Используем общее правило получения обратной функции для конкретной показательной функции .
Заданная функция монотонно возрастает (согласно свойствам показательной функции), значит, существует обратная ей функция. Напоминаем, что для ее получения необходимо выполнить два действия:
Выразить х через у:
Поменять местами х и у:
Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:
Рис. 3. Графики функций и
Данная задача решается аналогично и справедлива для любого основания степени.
Решим задачу при
Заданная функция монотонно убывает, значит, существует обратная ей функция. Получим ее:
Выразить х через у:
Поменять местами х и у:
Итак, получили функцию, обратную заданной: 
. Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:
Рис. 4. Графики функций и
Заметим, что мы получили логарифмические функции как обратные к показательным.
У прямой и обратной функций есть много общего, но есть и отличия. Рассмотрим это подробнее на примере функций и .
Рис. 5. Графики функций (слева) и (справа)
Свойства прямой (показательной) функции:
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция возрастает;
Выпукла вниз.
Свойства обратной (логарифмической) функции:
Область определения: ;
Cтраница 1
Логарифмическая функция (80) осуществляет обратное отображение всей плоскости w с разрезом на полосу - я / /: я, бес-конечнолистную риманову поверхность на полную z - плоскость.
Логарифмическая функция: у logaх, где основание логарифмов а-положительное число, не равное единице.
Логарифмическая функция играет специальную роль в разработке и анализе алгоритмов, поэтому ее стоит рассмотреть подробнее. Поскольку мы часто имеем дело с аналитическими результатами, в которых опущен постоянный множитель, мы используем запись log TV, опуская основание. Изменение основания логарифма меняет значение логарифма лишь на постоянный множитель, однако, в определенном контексте возникают специальные значения основания логарифма.
Логарифмическая функция обратна показательной. График ее (рис. 247) получается из графика показательной функции (при том же основании) перегибом чертежа по биссектрисе первого координатного угла. Так же получается график всякой обратной функции.
Логарифмическая функция вводится Затем как обратная показательной. Свойства обеих функций выводятся без труда из этих определений. Именно это определение получило одобрение Гаусса, который вместе с тем выразил несогласие с оценкой, данной ему в рецензии Геттинген-ских ученых известий. При этом Гаусс подошел к вопросу с более широкой точки зрения, чем да Кунья. Последний ограничился рассмотрением показательной и логарифмической функций в действительной области, между тем как Гаусс распространил их определение на комплексные переменные.
Логарифмическая функция y logax монотонна во всей области своего определения.
Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а I, При 0 а 1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
Логарифмическая функция определена только для положительных значений х и взаимно однозначно отображает интервал (0; 4 - ос.
Логарифмическая функция у loga х является обратной функцией по отношению к показательной функции уах.
Логарифмическая функция: y ogax, где основание логарифмов а - положительное число, не равное единице.
Логарифмические функции хорошо сочетаются с физическими представлениями о характере ползучести полиэтилена в условиях, когда скорость деформации невелика. В этом отношении они совпадают с уравнением Андрааде, поэтому их иногда применяют для аппроксимации экспериментальных данных.
Логарифмическая функция, или натуральный логарифм, и In z, определяется решением трансцендентного уравнения г еи относительно и. В области действительных значений х и у при условии х 0 это уравнение допускает единственное решение.
Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики
Государственное автономное профессиональное
образовательное учреждение Чувашской Республики
«Чебоксарский техникум транспортных и строительных технологий»
(ГАПОУ «Чебоксарский техникум ТрансСтройТех»
Минобразования Чувашии)
Методическая разработка
ОДП. 01 Математика
«Логарифмическая функция. Свойства и график»
Чебоксары - 2016
Пояснительная записка………………................................................…………………………………….….…3
Теоретическое обоснование и методическая реализация…………….…................................4-10
Заключение……………………………………………………………...................................................………....11
Приложения……………………………………………………………....................................................………...13
Пояснительная записка
Методическая разработка модуля занятия по дисциплине «Математика» на тему «Логарифмическая функция. Свойства и график» из раздела «Корни, степени и логарифмы» составлена на основе Рабочей программы по математике и календарно-тематического плана. Темы занятия взаимосвязаны содержанием, основными положениями.
Цель изучения данной темы узнать понятие логарифмической функции, изучить её основные свойства, научиться строить график логарифмической функции и научиться видеть логарифмическую спираль в окружающем нас мире.
Программный материал данного занятия базируется на знаниях математики. Методическая разработка модуля занятия составлена для проведения теоретических занятий по теме: «Логарифмическая функция. Свойства и график» -1 час. В процессе практического занятия студенты закрепляют полученные знания: определения функций, их свойства и графики, преобразования графиков, непрерывные и периодические функции, обратные функции и их графики, логарифмические функции.
Методическая разработка предназначена для оказания методической помощи студентам при изучении модуля занятий по теме «Логарифмическая функция. Свойства и график». В качестве внеаудиторной самостоятельной работы студенты могут подготовить с помощью дополнительных источников сообщение на тему, «Логарифмы и их применение в природе и технике», кроссворды и ребусы. Учебные знания и профессиональные компетенции, полученные при изучении темы «Логарифмические функции, их свойства и графики» будут применены при изучении следующих разделов: «Уравнения и неравенства» и «Начала математического анализа».
Дидактическая структура урока:
Тема: « Логарифмическая функция. Свойства и график»
Тип занятия : Комбинированный.
Цели занятия:
Образовательные - формирование знаний в усвоении понятия логарифмической функции, свойства логарифмической функции; применять графики при решении задач.
Развивающие - развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.
Воспитательные - воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения; воспитание сознательного отношения и заинтересованности к учебе.
Средства обучения:
Методическая разработка по теме;
Персональный компьютер;
Учебник Ш.А Алимов«Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. Издательство «Просвещение».
Внутрипредметные связи: показательная функция и логарифмическая функция.
Межпредметные связи: алгебра и математический анализ.
Студент должен знать:
определение логарифмической функции;
свойства логарифмической функции;
график логарифмической функции.
Студент должен уметь:
выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы;
находить логарифм числа, применять свойства логарифмов при логарифмировании;
определять положение точки на графике по ее координатам и наоборот;
применять свойства логарифмической функции при построении графиков;
Выполнять преобразования графиков.
План занятия
1. Организационный момент (1 мин).
2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся (1 мин).
3. Этап актуализации опорных знаний и умений (3 мин).
4. Проверка домашнего задания (2 мин).
5. Этап усвоения новых знаний (10 мин).
6. Этап закрепления новых знаний (15 мин).
7. Контроль усвоенного на уроке материала (10 мин).
8. Подведение итогов (2 мин).
9. Этап информирования учащихся о домашнем задании (1 мин).
Ход урока:
1. Организационный момент.
Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.
2. Постановка целей и задач урока.
Сегодня мы с вами поговорим о понятии логарифмической функции, нарисуем график функции, изучим его свойства.
3. Этап актуализации опорных знаний и умений.
Проводится в форме фронтальной работы с классом.
Какую последнюю функцию мы изучали? Схематично изобразить на доске.
Дайте определение показательной функции.
Что является корнем показательного уравнения?
Дайте определение логарифма?
Назовите свойства логарифмов?
Назовите основное логарифмическое тождество?
4. Проверка домашнего задания.
Студенты открывают тетради и показывают решенные упражнения. Задают вопросы, которые возникли при выполнении домашнего задания.
5. Этап усвоения новых знаний.
Учитель: Открывайте тетради, записывайте сегодняшнее число и тему урока «Логарифмическая функция, ее свойства и график».
Определение: Логарифмической функцией называется функция вида
Где - заданное число, .
Рассмотрим построение графика данной функции на конкретном примере.
Построим графики функций и .
| |
|
| |
|
Примечание 1: Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции , где 
. Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 1).
Опираясь на определение логарифма и вид графиков, выявим свойства логарифмической функции:
1) Область определения: , т.к. по определению логарифма х>0.
2) Область значений функции: .
3) Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: , .
4) Функция , возрастает в промежутке (рис. 1).
5) Функция , убывают в промежутке (рис. 1).
6) Промежутки знакопостоянства:
Если , то при ; при ;
Если , то при при ;
Примечание 2: График любой логарифмической функции всегда проходит через точку (1; 0).
Теорема:
Если 
, где , то .
6. Этап закрепления новых знаний.
Учитель: Решаем задания № 318 -№322 (нечётные) (§18Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс).
1) 
т.к функция возрастает.
3) , т.к функция убывает.
1) , т.к и .
3) , т.к и .
1) , т.к , , то .
3) , т.к 10> 1, , то .
1)убывает
3)возрастает.
7. Подведение итогов.
- Сегодня мы с вами хорошо поработали на уроке! Что нового вы узнали сегодня на уроке?
(Новый вид функции - логарифмическая функция)
Сформулируйте определение логарифмической функции.
(Функцию y = logax, (a > 0, a ≠ 1) называют логарифмической функцией)
Молодцы! Верно! Назовите свойства логарифмической функции.
(область определения функции, множество значений функции, монотонность, знакопостоянства)
8. Контроль усвоенного на уроке материала.
Учитель: Выясним, насколько хорошо вы усвоили тему «Логарифмическая функция. Свойства и график». Для этого напишем проверочную работу (Приложение 1). Работа состоит из четырех заданий, которые необходимо решить, применяя свойства логарифмической функции. На выполнение проверочной работы вам дается 10 минут.
9. Этап информирования учащихся о домашнем задании.
Запись на доске и в дневниках: Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. §18 №318 - №322 (четные)
Заключение
В ходе использования методической разработки мы добились всех поставленных целей и задач. В данной методической разработке были рассмотрены все свойства логарифмической функции, благодаря которым студенты научились выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы и строить графики логарифмических функций. Выполнение практических задач способствует закреплению изученного материала, а контроль проверки знаний и умений поможет преподавателям и студентам выяснить насколько эффективной была их работа на уроке. Методическая разработка позволяет студентам получить интересную и познавательную информацию по теме, обобщить и систематизировать знания, применять свойства логарифмов и логарифмической функции при решении различных логарифмических уравнений и неравенств.
Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Фёдорова Н. Е., Шабунин М. И. под научным руководством академика Тихонова А. Н. Алгебра и начала математического анализа 10 - 11кл. - М. Просвещение, 2011.
Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. - М., 2006.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федерова Н.Е. и др. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. - М., 2005.
Лисичкин В. Т. Математика в задачах с решениями: учеб.пособие / В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик. - 3-е изд., стер. - СПб. [и др.] : Лань, 2011 (Архангельск). - 464 с.
Интернет-ресурсы:
http://school- collection.edu.ru - Электронный учебник «Математика в
школе, XXI век».
http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.
www.school-collection.edu.ru - Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов.
Приложения
Вариант 1.
Вариант 2.
Критерии оценки:
Отметка «3» (удовлетворительно) ставится за любые 2 верно выполненных примера.
Отметка «4» (хорошо) ставится при верном выполнении любых 3 примеров.
Отметка «5» (отлично) ставится за все 4 верно выполненных примеров.
Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.
Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.
Разберем конкретный пример: а log a x = x, где a › 0, a ≠ 1.
Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:
Логарифмирование
Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.
Примеры:
Функция логарифма и ее свойства
Логарифмическая функция имеет вид
Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.
Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:
- область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
- ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка (— ∞; +∞);
- если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
- если основание логарифма 0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
- логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
- кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).
Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере
Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.
Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y= а x . Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.
Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.
Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log 2 x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.
В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log 2 (x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.
Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.
Примеры решения типовых задач ЕГЭ
Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.
Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.
F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.
Поэтому график y=-log 3 x убывает на всей области определения, а y= -log (1/3) x – возрастает, при том, что основание 0 ‹ a ‹ 1.
Ответ : 3,4,5.
Ответ : 4.
Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.
Задание 3.
Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.
Y = log 0.7 (0,1x-5)
Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:
Ответ : область определения D(x) – интервал (50; + ∞).
Ответ : 3, 1, оси OX, направо.
Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 — 4 балла.
Задание 5 . Найти область значений для функции:
Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств.