Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функция непрерывного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функции двух случайных аргументов. Определение функции распределения вероятностей и плотности для функции двух случайных аргументов.
Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины
При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.
Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.
Дана система случайных величин (X_1,X_2,\ldots,X_n) , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:
Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).
Требуется определить закон распределения случайной величины Y , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.
Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента
Y=\varphi(X).
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{X}&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline{P}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}
Тогда Y=\varphi(X) также дискретная случайная величина с возможными значениями . Если все значения y_1,y_2,\ldots,y_n различны, то для каждого k=1,2,\ldots,n события \{X=x_k\} и \{Y=y_k=\varphi(x_k)\} тождественны. Следовательно,
P\{Y=y_k\}=P\{X=x_k\}=p_k
и искомый ряд распределения имеет вид
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{Y}&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline{P}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}
Если же среди чисел y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений y_k=\varphi(x_k) нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.
Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения f(x) случайной величины X , найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=\varphi(X) . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.
Предположим сначала, что функция y=\varphi(x) является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале (a;b) , на котором лежат все возможные значения величины X . Тогда обратная функция x=\psi(y) существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем
G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.
Пример 1. Случайная величина X распределена с плотностью
F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}
Найти закон распределения случайной величины Y , связанной с величиной X зависимостью Y=X^3 .
Решение. Так как функция y=x^3 монотонна на промежутке (-\infty;+\infty) , то можно применить формулу (6.2). Обратная функция по отношению к функции \varphi(x)=x^3 есть \psi(y)=\sqrt{y} , ее производная \psi"(y)=\frac{1}{3\sqrt{y^2}} . Следовательно,
G(y)=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\sqrt{y^2}/2}\frac{1}{\sqrt{y^2}}
Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция y=\varphi(x) такова, что обратная функция x=\psi(y) неоднозначна, т. е. одному значению величины y соответствует несколько значений аргумента x , которые обозначим x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y) , где n - число участков, на которых функция y=\varphi(x) изменяется монотонно. Тогда
G(y)=\sum\limits_{k=1}^{n}f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.
Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины Y=X^2 .
Решение. Обратная функция x=\psi(y) неоднозначна. Одному значению аргумента y соответствуют два значения функции x
Применяя формулу (6.3), получаем:
\begin{gathered}g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(-\sqrt{y^2}\right)^2/2}\!\left|-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(\sqrt{y^2}\right)^2/2}\!\left|\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2\pi{y}}}\,e^{-y/2}.\end{gathered}
Закон распределения функции двух случайных величин
Пусть случайная величина Y является функцией двух случайных величин, образующих систему (X_1;X_2) , т. е. Y=\varphi(X_1;X_2) . Задача состоит в том, чтобы по известному распределению системы (X_1;X_2) найти распределение случайной величины Y .
Пусть f(x_1;x_2) - плотность распределения системы случайных величин (X_1;X_2) . Введем в рассмотрение новую величину Y_1 , равную X_1 , и рассмотрим систему уравнений
Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно x_1,x_2
и удовлетворяет условиям дифференцируемости.
Плотность распределения случайной величины Y
G_1(y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac{\partial\psi(y;x_1)}{\partial{y}}\right|dx_1.
Заметим, что рассуждения не изменяются, если введенную новую величину Y_1 положить равной X_2 .
Математическое ожидание функции случайных величин
На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.
Пусть случайная величина Y является функцией случайного аргумента X с заданным законом распределения
Y=\varphi(X).
Требуется, не находя закона распределения величины Y , определить ее математическое ожидание
M(Y)=M[\varphi(X)].
Пусть X - дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{x_i}&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}
Составим таблицу значений величины Y и вероятностей этих значений:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{y_i=\varphi(x_i)}&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}
Эта таблица не является рядом распределения случайной величины Y , так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины Y можно определить по формуле
M[\varphi(X)]=\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi(x_i)p_i,
так как величина, определяемая формулой (6.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.
Формула (6.4) не содержит в явном виде закон распределения самой функции \varphi(X) , а содержит только закон распределения аргумента X . Таким образом, для определения математического ожидания функции Y=\varphi(X) вовсе не требуется знать закон распределения функции \varphi(X) , а достаточно знать закон распределения аргумента X .
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле
M[\varphi(X)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)f(x)\,dx,
где f(x) - плотность распределения вероятностей случайной величины X .
Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.
Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_{xy}.
Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Дисперсия функции случайных величин
По определению дисперсии имеем D[Y]=M[(Y-M(Y))^2]. . Следовательно,
D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2] , где .
Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента Y=\varphi(X) дисперсия выражается формулой
D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,
где M(\varphi(x))=M[\varphi(X)] - математическое ожидание функции \varphi(X) ; f(x) - плотность распределения величины X .
Формулу (6.5) можно заменить на следующую:
D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)
Рассмотрим теоремы о дисперсиях , которые играют важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.
Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:
D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D+2\sum\limits_{i Следствие 6.3.
Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D
\mu_{y_1y_2}= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).
\mu_{y_1y_2}=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).
Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции
. Свойство 1.
От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются. Свойство 2.
Для любых случайных величин X
и Y
абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин: |\mu_{xy}|\leqslant\sqrt{D[X]\cdot D[Y]}=\sigma_x\cdot \sigma_y,
Если каждой паре возможных значений случайных величин X
и Y
соответствует одно возможное значение случайной величины Z,
то Z
называют функцией двух случайных аргументов X
и Y:
Z =
j (X, Y
).
Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции Z = X + Y
по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если X
- погрешность показаний измерительного прибора (распределена нормально), Y
- погрешность округления показаний до ближайшего деления шкалы (распределена равномерно), то возникает задача - найти закон распределения суммы погрешностей Z=X + Y.
1. Пусть X
и Y
-дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z = X + Y,
надо найти все возможные значения Z
и их вероятности. Пример 1.
Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями: Составить распределение случайной величины Z = X+Y.
Решение. Возможные значения Z
есть суммы каждого возможного значения X
со всеми возможными значениями Y:
z
1 =
1+
3=
4; z
2 =
1+
4=
5; z
3 =
2+
3=
5; z
4 =
2+
4=
6.
Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z
= 4, достаточно, чтобы величина X
приняла значение x
1 =1 и величина Y
- значение y
1 =
3.
Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,2. Аргументы X
и Y
независимы, поэтому события Х=
1и Y
= 3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события Z
= 1+3 = 4) по теореме умножения равна 0,4*0,2 = 0,08. Аналогично найдем: P
(Z=
1+
4=
5) =
0,
4*
0,
8=
0,
32;
Р
(Z =
2 +
3 =
5) =
0,
6*
0,
2 =
0,
12;
Р
(Z =
2 +
4 =
6)=
0,
6*
0,
8 =
0,
48.
Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = z
2 , Z = z
3 (0,32+0,12 = 0,44): Контроль: 0,08 + 0,44+0,48=1. 2. Пусть X
и Y
- непрерывные случайные величины. Доказано: если X
и Y
независимы, то плотность распределения g
(z
) суммы Z = X + Y
(при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале() одной формулой) может быть найдена с помощью равенства либо с помощью равносильного равенства где f
1 , f
2 - плотности распределения аргументов. Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g
(z
)находят по формуле либо по равносильной формуле Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.
Закон распределения вероятностей называют устойчивым,
если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости: композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение (математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых). Например, если X
и Y
- независимые случайные величины, распределенные нормально с математическими ожиданиями и дисперсиями, соответственно равными а
1 = З, а
2 = 4, D
1 =1, D
2 = 0,
5, то композиция этих величин (т. е. плотность вероятности суммы Z = X
+ Y
)также распределена нормально, причем математическое ожидание и дисперсия композиции соответственно равны а
= 3 + 4 = 7; D
=l +0,5=1,5. Пример 2.
Независимые случайные величины X
и Y
заданы плотностями распределений: f
(x
)= f
(y
)= Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z = X+Y.
Решение. Возможные значения аргументов неотрицательны, Поэтому воспользуемся формулой (***) Заметим, что здесь z
0, так как Z=X+Y
и, по условию, возможные значения X
и Y
неотрицательны. Распределение «хи квадрат»
Пусть X i
(i =
1,
2, ..., п
)- нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожиданиекаждой из них равно нулю, а среднее квадратическоеотклонение-единице. Тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону («хи квадрат») с k = п
степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например ,
то число степеней свободы k=n-
1. Плотность этого распределения где (n+
1)=n!.
Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром - числом степеней свободы k.
С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному. Распределение Стьюдента
Пусть Z
-нормальная случайная величина, причем M
(Z
) =
0,
s(Z
)=
1,
a V
-независимая от Z
величина, которая распределена по закону с k
степенями свободы. Тогда величина имеет распределение, которое называют t-
распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета), с k
степенями свободы. Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с k
степенями свободы, деленной на k,
распределено по закону Стьюдента с k
степенями свободы. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл. XVI, § 16). § 15. Распределение F
Фишера - Снедекора
Если U
и V
-независимые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы k
1 и k
2 ,
то величина имеет распределение, которое называют распределением F
Фишера-Снедекора со степенями свободы k
1 и k
2 (иногда его обозначают через V
2).
Плотность этого распределения Мы видим, что распределение F
определяется двумя параметрами-числами степеней свободы. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл. XIX, § 8). Задачи
1.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X,
зная ее плотность распределения: а) б) f
(x
)=
1/
2l
при а
- l x a+l
, f
(x
)=
0при остальных значениях х.
Отв. a
) М
(Х
)= 0, D
(X
) = l/2; б
) М
(Х
) = а, D
(X
)= l
2 /
3.
2.
Случайная величина X
распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X
примет значение, заключенное в интервале (4,8). Отв.
0,6826. 3.
Случайная величина распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3. Отв.
0,5468. 4.
Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=1 мм и математическим ожиданием а
= 0. Найти вероятность того, что из двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм. Отв.
0,96. 5.
Валики, изготовляемые автоматом, считаются стандартными, если отклонение диаметра валика от проектного размера не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметра валиков подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением s = 1,6 мм и математическим ожиданием а =
0.
Сколько процентов стандартных валиков изготовляет автомат? Отв.
Примерно 79%. 6.
Дискретная случайная величина X
задана законом распределения: Если
каждой паре
случайных величин которые
заданы своими законами распределения.
Тогда воз- можные значения случайной
величины
Пример
1.
Пусть даны ряды распределения
дискретных случайных величин
Тогда функция
Получаем
ряд распределения случайной величины
Сумма
вероятностей, стоящих в нижней строке,
равна 1, поэтому эта таблица в самом
деле задаёт ряд распределения
случайной величины
7.2.
Пусть теперь
В
частности, если
ПРИМЕР
2.
Пусть независимые случайные величины
Найти
закон распределения случайной величины
Таким
образом, Легко
проверить, что выполняется основное
свойство плотнос -ти распределения,
а именно, 8.1
Законы
распределения системы случайных
величин.
Все
случайные величины, которые
рассматричались до сих пор, определялись
одним числом (одним аргументом) -
одно -мерные случайные величины. Но,
кроме них, можем рассмот- реть величины,
которые зависят от двух, трёх и более
аргу –ментов, так называемые,
многомерные случайные величины,
которые можно рассматривать как
системы одномерных слу -чайных величин.
Через
Двумерную
случайную величину называют дискретной
,
если её составляющие - дискретные
случайные величины. Непрерывной
называют двумерную случайную величину,
сос- тавляющие которой - непрерывные
случайные величины. Законом
распределения дискретной двумерной
случайной величинв
называют таблицу вида: Так
как события
Зная
закон распределения двумерной
случайной величины, можно найти закон
распределения каждой составляющей: Пример
1
.
Дан закон распределения двумерной
случайной
величины: Составить
законы распределения случайных
величин
Случайная
величина
Определение.
Функцией
распределения двумерной случайной
величины
называют функцию
,
которая имеет смыс как для дискретных,
так и для непрерыв- ных случайных
величин. Геометрически это равество
можно истолковать, как вероятность
того, что случайная точка ОСНОВНЫЕ
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: Свойство
1.
Свойство
2.
Функция распределения - неубывающая
функция по обоим аргументам, т.е. Свойство
3.
Для всех
Свойство
4.
Функции распределения составляющих
можно найти из равенств: Определение.
Плотностью
совместного распределения
ве- роятностей двумерной непрерывной
случайной величины назы- вается вторая
смешанная производная от фукнкции
распреде –ления, т.е. Пример
2.
Дана функция распределения системы
случайных величин
Пусть
известна плотность распределения
системы случай - ных величин
Это
непосредственно следует из определения
плотности рас- пределения. Вероятность
попадания
СВОЙСТВА
ДВУМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Свойство
1.
Двумерная плотность распределения
всегда по- ложительна:
Свойство
2.
Двойной несобственный интеграл с
бесконеч - ными пределами интегрирования
от плотности распределения равен
единице Если
известна плотность совместного
распределения веро- ятностей системы
двух случайных величин, то можно
найти плотности распределения каждой
составляющей.
Аналогичным
образом получаем Пример
3.
Пусть дана двумерная плотность
распределения Найти
плотности распределения случайных
величин
при
Условные
законы распределения.
Понятие,
аналогичное понятию условной
вероятности для случайных событий
Рассмотрим
отдельно случаи дискретной и
непрерывной двумерной случайной
величины. а)
Для
дискретной двумерной сдучайной
величины,
заданной таблицей: условные
вероятности вычисляются по формулам: Замечание.
Суммы соответствующих условных
вероятностей равны единице, т.е. Пример
4.
Пусть дискретная случайная величина
задана таблицей: Найти
условный закон распределения
составляющей
Очевидно,
что сумма этих вероятностей равна
единице. б)
Для Непрерывной
двумерной случайной величины
услов
-ной плотностью распределения
аналогично,
условной
плотностью распределения
Пример
5.
Пусть плотность совместного
распределения не- прерывной двумерной
случайной величины
При
вычислении использовали интеграл
Пуассона Тогда
условные плотности распределения
имеют вид: Условное
математическое ожидание.
Определение.
Условным
математическим ожиданием
диск- ретной случайной величины
аналогично
Пример
6.
Пусть двумерная дискретная случайная
величи -на задана таблицей: Найти
условные математические ожидания:
Тогда
Тогда
Для
непрерывных величин: Зависимые
и независимые случайные величины.
Определение.
Две
случайные величины называются незави-
симыми
, если закон распределения одной из
них не зависит от того, какие возможные
значения приняла другая случайная
величина. Из этого определения следует,
что условные законы распределения
независимых случайных величин равны
их бе – зусловным законам распределения. ТЕОРЕМА.
Доказывать
теорему не будем, но как следствие,
получаем: Следствие.
Для того, чтобы случайные величины
Числовые
характеристики системы двух случайных
величин.
Корреляционный момент. Коэффициент
корреляции.
Определение.
Корреляционным
моментом
Замечание
1.
Нетрудно убедиться, что корреляционный
мо -мент можно записать в виде: Замечание
2.
Корреляционный момент двух независимых
случайных величин равен нулю. Это
следует из условия независимости
случайных величин. Замечание
3.
Для корреляционного момента случайных
ве – личин
Определение.
Коэффициентом
корреляции
Если
случайные величины независимы, то
их корреляци- онный смомент равен
нулю и, соответственно равен нулю их
коэффициент корреляции. Учитывая
замечание 3, получаем основное свойство
коэффициента корреляции: Пример
7.
Рассмотрим случай системы дискретных
случай- ных величин, распределение
которых забано таблицей: Найти
математические ожтдания и дисперсии
составляющих и найти для них
коэффициент корреляции
Найдём
одномерные законы распределения
составляющих и
их числовые характеристики. Для
Для
Математическое
ожидание произведения: И
окончательно, коэффициент корреляции
равен: Это
означает, что случайные величины
Рассмотрим
аналогичную задачу для случая
непрерывных случайных величин. Пример
8.
Пусть система случайных величин
где
область
.
Найти значение параметра Область
0
2
Сначала
найдём значение параметра
В
нашем случае, Отсюда,
Найдём
числовые характеристики составляющих. Так
как функция
Математическое
ожидание произведения случайных
величин И
окончательно, Коррелированность
и зависимость случайных
величин
Определение.
Две
случайные величины
Коррелированные
величины являются зависимыми. Обрат
-ное предположение не всегда имеет
место, т.е. зависимые случайные величины
могут быть и коррелированными и не
коррелированными. Если случайные
величины независимые, то они обязательно
некоррелированы. Убедимся
на примере, что две зависимые величины
могут быть некоррелированными. Пример
.
Пусть двумерная случайная величина
Доказать,
что
Плотности
распределения составляющих, как
нетрудно убе -диться внутри заданного
эллипса задаются соответствующими
формулами
и равны нулю вне эллипса. Так
как
,
то Так
как функция
так
как равен нулю внутренний интеграл
(интеграл от нечётной функции равен
чётной функции, а пределы интегрирования
симметричны). Тогда т.е.
данные зависимые случайные величины
не являются кор- релированными. Замечание
1.
Для нормально распределённых
составляющих двумерной случайной
величины понятия некоррелированности
и независимости равносильны. Замечание
2.
Если составляющие
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ
СПИСОК Гмурман
В.Е. Теория вероятностей и математическая
статистика – М.: Высш. шк., 2001. Гмурман
В.Е. Руководство к решению задач по
теории вероятностей и математической
статистике - М.: Высш. шк. , 2001 Гурский
Е.И. Теория вероятностей с элементами
математической статистики - М.: Высш.
шк., 1971. Изосова
Л.А., Изосов А.В. Случайные величины
//метод указания// - Магнитогорск, 2003. Изосова
Л.А., Изосов А.В. Случайные величины и
законы их распределения //индивидуальные
задания// - Магнито- горск, 2004. Кремер
Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
статистика - М.: Юнити, 2000. Чистяков
В.П. Курс теории вероятностей - М.:
Наука, 1982.
т. е. корреляционный момент двух функций случайных величин равен математическому ожиданию произведения этих функций минус произведение из математических ожиданий. X
Y
p
0,
4
0,
6
p
0,
2
0,
8
Z
p
0,
08
0,
44
0,
48
(*)
(**)
(***)
(****)
;
.
- гамма-функция; в частности,
при остальных значениях x;
Xv
Х2, ..., Хп.
Вид функции Z =
ср (Хр Х2, ..., XJ и ее
X
p
0,
2
0,
1
0,
7
(Эконометрика)
Ожидаемые и воображаемые случайности в международных отношениях
Случай - псевдоним Бога, когда он не хочет подписаться своим собственным именем. Анатоль Франс
В теории международных отношений прочно закрепилось представление об их системном характере. Обнаружение отличий в проявлении важнейших системных признаков дало возможность выстроить историю международных...
(Социология воображения международных отношений)
Определение числовых характеристик функций случайных аргументов
Рассмотрим задачу определения числовых характеристик функций случайных аргументов в следующей постановке. Случайная величина Z является функцией системы случайных аргументов Xv
Х2, ..., Хп.
Вид функции Z =
ср (Хр Х2, ..., XJ и ее
параметры известны, а числовые характеристики...
(Эконометрика)
Законы распределения функций случайных аргументов
Имеется непрерывная случайная величина х
с плотностью распределения рх.
Другая случайная величина у
связана с нею функциональной зависимостью Плотность распределения величины у
в случае монотонной функции / согласно определяется следующим образом: где /_1...
(Численный вероятностный анализ неопределенных данных)
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ РЕДУКЦИЕЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ
МЕТОД СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ РЕДУКЦИЕЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ
Описание стратегии поиска глобального экстремума
Метод случайного поиска глобального экстремума с последовательной редукцией области исследования, метод Лууса- Яакола (Luus- Jakola, LJ), применим к решению задачи...
(Метаэвристические алгоритмы поиска оптимального программного управления)
и
соответствует одно из возможных
значений случайной величи- ны
,
то
называют функцией двух случайных
агументов
и
. На практике наиболее часто встре-
чается задача - найти закон
распределения функции
по известным распределениям слагаемых.
Напри- мер, если
- погрешность показаний некоторого
измеритель- ного прибора (распределена,
обычно, нормально) , а
- погрешность округления показаний
этого прибора (распределе- на равномерно),
то возникает задача - найти закон
распреде -ления суммы погрешностей
.
- это все возможные значения сумм
значений
и
,
а вероятности соответствующих значений
находятся, как произведения со-
ответствующих вероятностей значений
и
,
входящих в
и
как суммы этих произведений, в случае,
если одному значению суммы отвечают
различные комбинации значений
и
.
и
.
принимает значения: 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9.
Вероятности этих значений находим,
используя теоре -мы умножения и
сложения вероятностей следующим
образом:
:
.
и
-непрерывные
случайные величины.
Если
и
- независимы, то зная плотности
таспределения случайных величин
и
-
,
соответственно, плотность распределения
случайной величины
можно
найти по одной из следующих формул:
;
.
принимают только положи- тельные
значения на промежутке
,
то выполняютя сле- дующие формулы:
и
заданы своими плотностями распределения:
.
§ 8. Системы случайных величин
- обозначают двумерную слу- чайную
величину, а каждую из величин
и
- называютсоставляющей
(компонентой)
.
,
образуют полную группу несовместных
событий, то сумма всех вероятностей,
стоящих в таблице, равна единице.
(сумма
вероятностей в столбце таблицы);
(сумма
вероятностей в строке таблицы).
и
.
имеет распределение:
попадает в бесконечный квадрат с
вершиной в точке
,
расположенный левее и ниже этой
вершины.
.
и
выполняются следующие соотношения:
.
:
Найти её плотность распределения.
-
.
Тогда функцию распределе -ния можно
найти, используя равенство:
,
в область
определя -ется равенством
но
.
Тогда
.
,
и
и равна нулю вне этого промежутка.
Аналогично, ввиду симметрии функции
относительно
и
,
получаем:
,
можно ввести для характеристики
зависимости между случайными величинами.
при условии, что случайная величина
приняла значение
.
составляющей
при данном значении
называют отношение
,
при данном значении
-
.
задана функцией:
.
Найти условные плотности распределения
составляющих.
при
называется сумма произведений
возможных значений
на их условные вероят -ности:
при
и
при
и
были независимыми, необходимо и
достаточно, чтобы выпол -нялось
равенство:
и
были независимыми, необходимо и
достаточно, чтобы плот -ность совместного
распределения системы
была рав -на произведению плотностей
распределения составляющих, т.е.
системы слу- чайных величин
и
называют математическое ожидание
произведения отклонений этих величин:
и
выполняется неравенство
случайных величин
и
называют отношение корреляционного
мо -мента к произведению средних
квадратических отклонений этих
величин, т.е.
(2)
(3)
.
Тогда
корреляционный момент равен:
и
имеют очень слабую зависимость.
подчинена закону распределения с
плотностью:
,
числовые характеристики случайных
величин
и
и их коэффициент корреляции
.
- это треугольник:
,
учитывая ос -новное условие плотности
распределения:
и плотность распределения имеет вид:
и область
симметричны относи -тельно
и
,
то числовые характеричтики случайных
вели -чин
и
совпадают, т.е.
Корреляционный
момент равен:
и
называюткоррелированными
,
если их корреляционный момент (или,
что равносильно, коэффициент корреляции)
отличен от нуля.
за – дана плотностью распределения:
и
- некоррелированные величины.
и
- зависимые случайные величины.
симметрична относительно оси Оу, то
,
аналогично,
,
ввиду симметрии
относительно оси Ох (чётные функции).
и
связаны линей- ной зависимостью, т.е.
,
то