Основные формулы тригонометрии. Занятие №1
Количество формул, используемых в тригонометрии, достаточно велико (под «формулами» мы подразумеваем не определения (например, tgx=sinx/cosx), а тождественные равенства типа sin2x=2sinxcosx). Чтобы легче ориентироваться в этом обилие формул и не утомлять учащихся бессмысленной зубрежкой, необходимо выделить среди них наиболее важные. Их немного - всего три. Из этих трех формул следуют все остальные. Это – основное тригонометрическое тождество и формулы для синуса и косинуса суммы и разности:
Sin 2 x+cos 2 x=1 (1)
Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)
Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)
Из этих трех формул следуют абсолютно все свойства синуса и косинуса (периодичность, величина периода, значение синуса 30 0 = π/6=1/2 и т.д.) С этой точки зрения в школьной программе используется много формально лишней, избыточной информации. Итак, формулы «1-3» – правительницы тригонометрического царства. Перейдем к формулам-следствиям:
1) Синусы и косинусы кратных углов
Если подставить в (2) и (3) значение x=y , получим:
Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1
Мы вывели, что sin0=0; cos0=1, не обращаясь к геометрической интерпретации синуса и косинуса. Точно также, применив формулы «2-3» дважды, мы можем вывести выражения для sin3x; cos3x; sin4x; cos4x и т.д.
Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x
Задание для учащихся: вывести аналогичные выражения для cos3x; sin4x; cos4x
2) Формулы понижения степени
Решают обратную задачу, выражая степени синуса и косинуса через косинусы и синусы кратных углов.
Например: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, отсюда: cos 2 x=1/2+cos2x/2
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, отсюда: sin 2 x=1/2-cos2x/2
Эти формулы используются очень часто. Чтобы лучше их понять, советую изобразить графики их левых и правых частей. Графики квадратов косинуса и синуса «обвиваются» вокруг графика прямой «у=1/2» (таково среднее за много периодов значение cos 2 x и sin 2 x). При этом частота колебаний удваивается по сравнению с первоначальной (период функций cos 2 x sin 2 x равен 2π /2=π), а амплитуда колебаний уменьшается вдвое (коэффициент 1/2 перед cos2x) .
Задача: выразить sin 3 x; cos 3 x; sin 4 x ; cos 4 x через косинусы и синусы кратных углов.
3) Формулы приведения
Используют периодичность тригонометрических функций, позволяя вычислять их значения в любых четвертях тригонометрического круга по значениям в первой четверти. Формулы приведения есть весьма частные случаи « главных» формул (2-3) .Например: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx
Итак, Cos(x+ π/2) =sinx
Задача: вывести формулы приведения для sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)
4) Формулы, преобразующие сумму или разность косинуса и синуса в произведение и обратно.
Выпишем формулу для синуса суммы и разности двух углов:
Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)
Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)
Сложим левые и правые части этих равенств:
Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx
Подобные слагаемые сокращаются, поэтому:
Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)
а) при чтении (*) справа налево получим:
Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)
Произведение синусов двух углов равно полусумме синусов суммы и разности этих углов.
б) при чтении (*) слева направо удобно обозначать:
х-у = с. Отсюда найдем х и у через р и с , складывая и вычитая левые и правые части этих двух равенств:
х = (р+с)/2, у = (р-с)/2, подставляя в (*) вместо (х+у) и (х-y) выведенные новые переменные р и с , представим сумму синусов через произведение:
sinp +sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)
Итак, прямым следствием основной формулы для синуса суммы и разности углов оказываются два новых соотношения (4) и (5).
в) теперь вместо того, чтобы складывать левые и правые части равенств (1) и (2), будем вычитать их друг из друга:
sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)
Чтение этого тождества справа налево приводит к формуле, аналогичной (4), которая оказывается неинтересной, т.к. мы уже умеем раскладывать произведения синуса и косинуса в сумму синусов (см. (4)). Чтение (6) слева направо дает формулу, сворачивающую разницу синусов в произведение:
sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)
Итак, из одного фундаментального тождества sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx, мы получили целых три новых (4), (5), (7).
Аналогичная работа, проделанная с другим фундаментальным тождеством cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny, приводит уже к четырем новым:
Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc = 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);
Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)
Задача: преобразовать в произведение сумму синуса и косинуса:
Sinx +cosy = ? Решение: если попытаться не выводить формулу, а сразу подсмотреть ответ в какой-нибудь таблице тригонометрических формул, то можно и не найти готового результата. Учащиеся должны понимать, что нет нужды заучивать и заносить в таблицу еще одну формулу для sinx+cosy = …, так как любой косинус можно представить в виде синуса и, наоборот, с помощью формул приведения, например: sinx = cos (π/2 – x), cosy = sin (π/2 – y). Поэтому: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.
Основные формулы тригонометрии - это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.
Основные тождества тригонометрии
Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.
Тригонометрические тождества
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α
Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).
Формулы приведения
Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.
Формулы приведения
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.
Тригонометрические формулы сложения
Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.
Тригонометрические формулы сложения
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.
Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.
Формулы двойного и тройного углаsin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α - 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.
Формулы половинного угла
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
Формулы понижения степени
Формулы понижения степениsin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:
Общий вид формул понижения степени
для четных n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n · cos ((n - 2 k) α)
для нечетных n
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k · C k n · sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n · cos ((n - 2 k) α)
Сумма и разность тригонометрических функций
Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.
Сумма и разность тригонометрических функций
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 · sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · sin β - α 2
Произведение тригонометрических функций
Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход - от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.
Формулы произведения тригонометрических функций
sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α · cos β = 1 2 · (sin (α - β) + sin (α + β))
Универсальная тригонометрическая подстановка
Все основные тригонометрические функции - синус, косинус, тангенс и котангенс, - могут быть выражены через тангенс половинного угла.
Универсальная тригонометрическая подстановка
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter