Пусть задана прямоугольная система координат.
Теорема 1.1. Для любых двух точек М 1 (х 1 ;у 1) и М 2 (х 2 ;у 2) плоскости расстояние d между ними выражается формулой
Доказательство. Опустим из точек М 1 и М 2 перпендикуляры М 1 В и М 2 А соответственно
на оси Оу и Ох и обозначим через К точку пересечения прямых М 1 В и М 2 А (рис. 1.4). Возможны следующие случаи:
1)Точки М 1 , М 2 и К различны. Очевидно, что точка К имеет координаты (х 2 ;у 1). Нетрудно заметить что М 1 К = ôх 2 – х 1 ô, М 2 К = ôу 2 – у 1 ô. Т.к. ∆М 1 КМ 2 прямоугольный, то по теореме Пифагора d = М 1 М 2 = 
= .
2) Точка К совпадает с точкой М 2 , но отлична от точки М 1 (рис. 1.5). В этом случае у 2 = у 1
и d = М 1 М 2 = М 1 К = ôх 2 – х 1 ô= 
=
3) Точка К совпадает с точкой М 1 , но отлична от точки М 2 . В этом случае х 2 = х 1 и d =
М 1 М 2 = КМ 2 = ôу 2 - у 1 ô= 
= .
4) Точка М 2 совпадает с точкой М 1 . Тогда х 1 = х 2 , у 1 = у 2 и
d = М 1 М 2 = О = .
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М 1 М 2 и пусть М ─ любая точка этого
отрезка, отличная от точки М 2 (рис. 1.6). Число l, определяемое равенством l = 
, называется отношением,
в котором точка М делит отрезок М 1 М 2 .
Теорема 1.2. Если точка М(х;у) делит отрезок М 1 М 2 в отношении l, то координаты этой определяются формулами
х = 
, у = 
,
(4)
где (х 1 ;у 1) ─ координаты точки М 1 , (х 2 ;у 2) ─ координаты точки М 2 .
Доказательство. Докажем первую из формул (4). Вторая формула доказывается аналогично. Возможны два случая.
х = х 1 = 
= 
= .
2) Прямая М 1 М 2 не перпендикулярна оси Ох (рис. 1.6). Опустим перпендикуляры из точек М 1 , М, М 2 на ось Ох и обозначим точки их пересечения с осью Ох соответственно Р 1 , Р, Р 2 . По теореме о пропорциональных отрезках 
= l.
Т.к. Р 1 Р = ôх – х 1 ô, РР 2 = ôх 2 – хô и числа (х – х 1) и (х 2 – х) имеют один и тот же знак (при х 1 < х 2 они положительны, а при х 1 > х 2 отрицательны), то
l = = 
,
х – х 1 = l(х 2 – х), х + lх = х 1 + lх 2 ,
х = .
Следствие 1.2.1. Если М 1 (х 1 ;у 1) и М 2 (х 2 ;у 2) ─ две произвольные точки и точка М(х;у) ─ середина отрезка М 1 М 2 , то
х = 
, у = 
(5)
Доказательство. Так как М 1 М = М 2 М, то l = 1 и по формулам (4) получаем формулы (5).
Площадь треугольника.
Теорема 1.3. Для любых точек А(х 1 ;у 1), В(х 2 ;у 2) и С(х 3 ;у 3), не лежащих на одной
прямой, площадь S треугольника АВС выражается формулой
S = ô(х 2 – х 1)(у 3 – у 1) – (х 3 – х 1)(у 2 – у 1)ô (6)
Доказательство. Площадь ∆ АВС, изображённого на рис. 1.7, вычисляем следующим
S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .
Вычисляем площади трапеций:
S ADEC = 
,
S BCEF = 
S ABFD = 
Теперь имеем
S ABC = ((х 3 – х 1)(у 3 + у 1) + (х 3 – х 2)(у 3 + у 2) - (х 2 – -х 1)(у 1 + у 2)) = (х 3 у 3 – х 1 у 3 + х 3 у 1 – х 1 у 1 + + х 2 у 3 – -х 3 у 3 + х 2 у 2 – х 3 у 2 – х 2 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 2 + х 1 у 2) = (х 3 у 1 – х 3 у 2 + х 1 у 2 – х 2 у 1 + х 2 у 3 –
Х 1 у 3) = (х 3 (у 1 – у 2) + х 1 у 2 – х 1 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 1 + у 3 (х 2 – х 1)) = (х 1 (у 2 – у 1) – х 3 (у 2 – у 1) + +у 1 (х 1 – х 2) – у 3 (х 1 – х 2)) = ((х 1 – х 3)(у 2 – у 1) + (х 1 – х 2)(у 1 – у 3)) = ((х 2 – х 1)(у 3 – у 1) –
- (х 3 – х 1)(у 2 – у 1)).
Для другого расположения ∆ АВС формула (6) доказывается аналогично, но может получиться со знаком «-». Поэтому в формуле (6) ставят знак модуля.
Лекция 2.
Уравнение прямой линии на плоскости: уравнение прямой с главным коэффициентом, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
2.1. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая линия L.
Определение 2.1. Уравнение вида F(x;y) = 0, связывающее переменные величины x и y, называется уравнение линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой.
Примеры уравнений линий на плоскости.
1) Рассмотрим прямую, параллельную оси Oy прямоугольной системы координат (рис. 2.1). Обозначим буквой A точку пересечения этой прямой с осью Ox, (a;o) ─ её ор-
динаты. Уравнение x = a является уравнением данной прямой. Действительно, этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M(a;y) этой прямой и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на прямой. Если a = 0, то прямая совпадает с осью Oy, которая имеет уравнение x = 0.
2) Уравнение x - y = 0 определяет множество точек плоскости, составляющих биссектрисы I и III координатных углов.
3) Уравнение x 2 - y 2 = 0 ─ это уравнение двух биссектрис координатных углов.
4) Уравнение x 2 + y 2 = 0 определяет на плоскости единственную точку O(0;0).
5) Уравнение x 2 + y 2 = 25 ─ уравнение окружности радиуса 5 с центром в начале координат.
Расстояние между двумя точками плоскости.
Системы координат
Каждая точка А плоскости характеризуется своими координатами (х, у). Они совпадают с координатами вектора 0А , выходящего из точки 0 - начала координат.
Пусть А и В - произвольные точки плоскости с координатами (х 1 y 1) и (х 2 , у 2) соответственно.
Тогда вектор AB имеет, очевидно, координаты (х 2 - х 1 , y 2 - y 1). Известно, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, определяется из условия
d 2 = (х 2 - х 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .
d = \/ (х 2 - х 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек
Каждый раз, говоря о координатах той или иной точки плоскоси, мы имеем в виду вполне определенную систему координат х0у. А вообще-то систему координат на плоскости можно выбирать по-разному. Так, вместо системы координат х0у можно рассмотреть систему координат х"0у" , которая получается в результате поворота старых осей координат вокруг начальной точки 0 против часовой стрелки на угол α .
Если некоторая точка плоскости в системе координат х0у имела координаты (х, у), то в новой системе координат х"0у" она будет иметь уже другие координаты (х", у").
В качестве примера рассмотрим точку М, расположенную на оси 0х" и отстоящую от точки 0 на расстоянии, равном 1.
Очевидно, что в системе координат x0у эта точка имеет координаты (cos α , sin α ), а в системе координат х"0у" координаты (1,0).
Координаты любых двух точек плоскости А и В зависят от того, как в этой плоскости задана система координат. А вот расстояние между этими точками не зависит от способа задания системы координат. Это важное обстоятельство будет существенно использовано нами в следующем параграфе.
Упражнения
I. Найти расстояния между точками плоскости с координатами:
1) (3,5) и (3,4); 3) (0,5) и (5, 0); 5) (-3,4) и (9, -17);
2) (2, 1) и (- 5, 1); 4) (0, 7) и (3,3); 6) (8, 21) и (1, -3).
II. Найти периметр треугольника, стороны которого заданы уравнениями:
x + у - 1 = 0, 2x - у - 2 = 0 и у = 1.
III. В системе координат х0у точки М и N имеют координаты (1, 0) и (0,1) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается и результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° против часовой стрелки.
IV. В системе координат х0у точки М и N имеют координаты (2, 0) и (\/ 3 / 2 , - 1 / 2) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается в результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° по часовой стрелке.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1. Метод координат: числовая прямая, координаты на прямой; прямоугольная (декартовая) система координат на плоскости; полярные координаты.
Рассмотрим какую–нибудь прямую. Выберем на ней направление (тогда она станет осью) и некоторую точку 0 (начало координат). Прямая с выбранным направлением и началом координат называется координатной прямой (при этом считаем, что единица масштаба выбрана).
Пусть М – произвольная точка на координатной прямой. Поставим в соответствии точке М вещественное число x , равное величине ОМ отрезка : x=ОМ. Число x называется координатой точки М .
Таким образом, каждой точке координатной прямой соответствует определенное вещественное число – ее координата. Справедливо и обратное, каждому вещественному числу x соответствует некоторая точка на координатной прямой, а именно такая точка М , координата которой равна x. Такое соответствие называется взаимно однозначным.
Итак, вещественные числа можно изображать точками координатной прямой, т.е. координатная прямая служит изображением множества всех вещественных чисел. Поэтому множество всех вещественных чисел называют числовой прямой , а любое число – точкой этой прямой. Около точки на числовой прямой часто указывают число – ее координату.
Прямоугольная (или декартовая) система координат на плоскости.
Две взаимно перпендикулярные оси О x и О y , имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (или декартовую) систему координат на плоскости.
Ось ОХ называется осью абсцисс, ось ОY – осью ординат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси ОХ и ОY , называется координатной плоскостью и обозначается О xy .
Итак, прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, которое дает возможность при решении геометрических задач применить алгебраические методы. Оси координат разбивают плоскость на 4 части их называют четвертями , квадратными или координатными углами .
Полярные координаты.
Полярная система координат состоит из некоторой точки О , называемой полюсом , и исходящего из нее луча ОЕ , называемого полярной осью. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков. Пусть задана полярная система координат и пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим через Р – расстояние точки М от точки О , а через φ – угол, на который луч повернуть против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом ОМ .
Полярными координатами точки М называют числа Р и φ . Число Р считают первой координатой и называют полярным радиусом , число φ – второй координатой и называют полярным углом .
Точка М
с полярными координатами Р
и φ
обозначаются так: М( ;φ).
Установим связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.
При этом будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.
Пусть точка М имеет прямоугольные координаты X и Y и полярные координаты Р и φ .
| (1) |
Доказательство.
Опусти из точек М 1 и М 2 перпендикуляры М 1 В и М 1 А, . так как (x 2 ; y 2) . По теореме, если М 1 (х 1) и М 2 (х 2) – любые две точки и α– расстояние между ними, то α = |x 2 - x 1 | .
С помощью координат определяют местоположение объекта на земном шаре. Координаты обозначаются по широте и долготе. Широты отсчитываются от линии экватора по обеим сторонам. В Северном полушарии широты положительные, в Южном полушарии – отрицательные. Долгота отсчитывается от начального меридиана либо на восток, либо на запад, соответственно получается либо восточная долгота, либо западная.Согласно общепринятому положению, за начальный принят меридиан, который проходит через старую Гринвичскую обсерваторию в Гринвиче. Географические координаты местоположения можно получить с помощью GPS-навигатора. Этот прибор получает сигналы спутниковой системы позиционирования в системе координат WGS-84, единой для всего мира.
Модели навигаторов различаются по производителям, функционалу и интерфейсу. В настоящее время встроенные GPS-навигаторы имеются и в некоторых моделях сотовых телефонов. Но любая модель может записать и сохранить координаты точки.
Расстояние между координатами GPS
Для решения практических и теоретических задач в некоторых отраслях производства необходимо уметь определять расстояния между точками по их координатам. Для этого можно использовать несколько способов. Каноническая форма представления географических координат: градусы, минуты, секунды.Для примера можно определить расстояние между следующими координатами: точка №1 - широта 55°45′07″ с.ш., долгота 37°36′56″ в.д.; точка №2 - широта 58°00′02″ с.ш., долгота 102°39′42″ в.д.
Наиболее простой способ - воспользоваться -калькулятором для расчета протяженности между двумя точками. В поисковике браузера необходимо задать следующие параметры для поиска: онлайн- для расчета расстояния между двумя координатами. В онлайн-калькуляторе вводятся значения широт и долгот в поля запросов для первой и второй координаты. При расчете онлайн-калькулятор выдал результат – 3 800 619 м.
Следующий способ более трудоемкий, но и более наглядный. Необходимо воспользоваться любой доступной картографической или навигационной программой. К программам, в которых можно создать точки по координатам и измерить расстояния между ними, относятся следующие приложения: BaseCamp (современный аналог программы MapSource), «Google Планета Земля», «SAS.Планета».
Все вышеперечисленные программы доступны для любого пользователя сети. К примеру, для расчета расстояния между двумя координатами в программе «Google Планета Земля» необходимо создать две метки с указанием координат первой точки и второй точки. Затем при помощи инструмента «Линейка» нужно соединить линией первую и вторую метки, программа автоматически выдаст результат промера и покажет путь на спутниковом снимке Земли.
В случае с примером, приведенным выше, программа «Google Планета Земля» выдала результат – протяженность расстояния между точкой №1 и точкой №2 составляет 3 817 353 м.
Почему возникает погрешность при определении расстояния
Все расчеты протяженности между координатами основаны на расчете длины дуги. В расчете длины дуги участвует радиус Земли. Но так как форма Земли близка к сплюснутому эллипсоиду, радиус Земли в определенных точках различается. Для расчетов расстояния между координатами принимается среднее значение радиуса Земли, что дает погрешность в измерении. Чем больше измеряемое расстояние, тем больше погрешность.Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.
Приступая к решению задач по теме , учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.
Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(х А; у А) и В(х В; у В), выполняется по формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) , где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.
Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(х М; у М), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(х М 2 + у М 2).
1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек
Пример 1 .
Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).
Решение.
В условии задачи дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 и у В = 3. Найти d.
Применив формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), получим:
d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек
Пример 2.
Найти координаты точки О 1 , которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что О 1 А = О 1 В = О 1 С. Пусть искомая точка О 1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) найдем:
О 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);
О 1 В = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);
О 1 С = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).
Составим систему из двух уравнений:
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).
После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .
Упростив, запишем
{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.
Решив систему, получим: а = 2; b = -1.
Точка О 1 (2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2) .
3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки
Пример 3.
Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.
Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).
АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).
Получаем уравнение √((а + 5) 2 + 36) = 10. Упростив его, имеем
а 2 + 10а – 39 = 0.
Корни этого уравнения а 1 = -13; а 2 = 3.
Получаем две точки А 1 (-13; 0) и А 2 (3; 0).
Проверка:
А 1 В = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
А 2 В = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).
4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек
Пример 4.
Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).
Решение.
Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О 1 (0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О 1 А = О 1 В.
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:
О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
О 1 В = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
Имеем уравнение √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) или 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .
После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.
Необходимая по условию задачи точка О 1 (0; 4) (рис. 4).
5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки
Пример 5.
Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).
Решение.
Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р 1 и Р 2 (рис. 5) . Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.
Из условия задачи следует, что МА = МР 1 = МР 2 , МР 1 = а; МР 2 = |-a|,
т.е. |-a| = а.
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:
МА = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).
Составим уравнение:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
После возведения в квадрат и упрощения имеем: а 2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а 1 = 1; а 2 = 5.
Получаем две точки М 1 (-1; 1) и М 2 (-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.
6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки
Пример 6.
Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.
Решение.
Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) имеем:
МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
Составим уравнение:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Упростив его, получим: b 2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b 1 = 2; b 2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М 1 (5; 2) и М 2 (5; 10).
Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.
Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.