вероятностью p = 0.7 . Найти наиболее вероятное числоm 0 людей, которые придут на собрание, и соответствующую вероятностьP n (m 0 ) .

Решение. Поскольку P 50 (m 0 )= C 50 m 0 (0,7)m 0 (0,3)50 − m 0 , то задача состоит в отыскании неотрицательного целого числаm 0 ≤ 50 ,доставляющего максимум функцииP 50 (m 0 ) . Мы видели выше, что такое число дается формулой (6.4). В

P 50 (35)= C 50 35 (0.7)35 (0.3)15 ≈ 0.123.

6.4. Формула Пуассона

Формулы (6.1) и (6.3) дают точныезначениявероятностей, связанных со схемой независимых испытаний Бернулли. Однако вычисления по этим формулам, особенно при больших значениях n иm , весьма затруднительны. Представляет большой практический интерес получение достаточно простых приближенных формул для вычисления соответствующих вероятностей. Впервые подобную формулу вывел в 1837 году французский математик и физик Симон Пуассон (1781–1840). Ниже дается формулировка результата Пуассона.

Рассмотрим схему независимых испытаний Бернулли, в которой число испытаний n «относительно велико», вероятность «успеха»p «относительно мала», а произведение λ= np «не мало и не велико»41 . При этих условиях справедлива формула

Это – знаменитое пуассоновское приближение для биномиального распределения. Доказательство формулы (6.6) будет дано в дополнении к настоящему параграфу.

41 Точный смысл взятых в кавычки терминов будет объяснен ниже, в частности, в § 6д.

Функция, стоящая в правой части формулы (6.6), называется

распределением Пуассона:

При таком обозначении p (k , λ) будет приближенным выражением для вероятностиb (k ;n , λn ), когдаn «достаточно велико».

Прежде, чем обсуждать формулу (6.6), приведем весьма показательные примеры ее использования.

Значения биномиального распределения и значения распределения Пуассона при n = 100,p = 0.01, λ= 1 представлены в табл. 6.2. Как мы видим, точность приближенной формулы достаточно высока.

Чем больше n , тем выше точность формулы Пуассона. Это наглядно представляет следующий пример. Вычислим вероятностьp k того, что в обществеиз500человекровноk человекродилисьводинитотжеконкретный день года. Если эти 500 человек выбраны наугад, то можно применить схему Бернулли изn = 500 испытаний с вероятностью «успеха»p = 1365 . Вычисления по точной формуле (6.1) и приближенной формуле (6.6) при λ= 500365≈ 1,3699 представлены в табл. 6.3. Как мы видим, ошибка лишь в четвертом десятичном знаке, что вполне приемлемо для практики.

			Таблица 6.2
	b (k ; 100, 1.100)		p (k ; 1)

Таблица 6.3.

		b (k ; 500,1/ 365)	p (k , λ)
Рассмотрим следующий типичный пример на применение формулы
Пуассона.

Пусть известно, что вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,002. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность того, что при этом произойдет 7 «сбоев».

Решение. Естественно предположить, что в обычных условиях вызовы, поступающие на телефонную станцию – независимы друг от друга. Будем считать «успехом» в испытании – вызове – сбой телефонной станции. Вероятность сбоя (p = 0,002) можно считать «достаточно малой» величиной, а число вызовов (n = 1000) – «достаточно большим». Таким образом, мы находимся в условиях теоремы Пуассона. Для параметра λ получаем значение

Обсудим теперь пределы применимости формулы Пуассона. При

использовании любой приближенной формулы вопрос о пределах ее применимости возникает естественным образом. При этом мы встречаемся с двумя аспектами проблемы. Во-первых, закономерен вопрос о том, в каких реальных условиях применим закон Пуассона? Опыт показывает, что простое распределение Пуассона обладает сравнительно универсальной применимостью. Вообще, с точки зрения применений, математические теоремы бывают хорошими и плохими в следующем смысле: хорошие теоремы продолжают действовать, если даже нарушить их условия, а плохие сразу перестают быть верными при нарушении условий их вывода. Теорема Пуассона (6.6) является в этом смысле хорошей и даже превосходной. Именно, закон Пуассона продолжает действовать даже тогда, когда условия схемы Бернулли нарушаются (т.е. можно допускать переменную вероятность успеха и даже не слишком сильную зависимость результатов отдельных испытаний)42 . Можно даже утверждать, что распределение Пуассона обладает сравнительно универсальной применимостью. Это надо понимать в том смысле, что если экспериментальные данные показывают, что закон Пуассона неприменим, в то время как, сообразно со здравым смыслом, он должен был бы действовать, то естественнее подвергнуть сомнению статистическую устойчивость наших данных, чем искать какой-то другой закон распределения.Инымисловами,распределениеПуассонапредставляетсобой очень удачную математическую формулировку одного из универсальных (в рамках применимости теории вероятностей) законов природы.

Во-вторых, возникает вопрос о порядках величин тех параметров, которые входят в формулу Пуассона, и для которых выше мы использовали расплывчатые термины «относительно велико», «относительно мало», «не малоиневелико».Опятьже,разъясняющиеответыдаетпрактикаприменения формулы (6.6). Оказывается, что формула Пуассона достаточно точна для практического применения, если число испытанийn имеет порядок

42 Естественно, этими особенностями распределения Пуассона не следует злоупотреблять. Например, закон Пуассона заведомо нарушается в ситуациях сильной зависимости результатов отдельных испытаний.

нескольких десятков (лучше – сотен), а величина параметра λ = np лежит в пределах от 0 до 10.

Для иллюстрации применения формулы Пуассона, рассмотрим еще один пример .

Пусть известно, что на выпечку 1000 сладких булочек с изюмом полагается 10 000 изюмин. Требуется найти распределения числа изюмин в какой-то случайным образом выбранной булочке.

Решение. Последовательность независимых испытаний мы формируем следующим образом. Всего будет n = 10 000 испытаний (по числу изюмин), а именно: испытание с номеромk будет состоять в том, что мы определяем, попалалиизюминасномеромk внашуслучайновыбраннуюбулочку43 . Тогда, поскольку всего булочек 1000, вероятность того, что k -я изюмина попала именно в нашу булочку, естьp = 1/1000 (при условии достаточно хорошего перемешивания теста при приготовлении булочек). Применяем теперь распределение Пуассона с параметром λ= np = 10000 11000= 10. Получим:

P 10000 (k )≈ p (k ,10)= 10 k e − 10 .

В частности, вероятность того, что нам достанется булочка вовсе без изюма (k = 0) , равнаe − 10 ≈ 0,5 10− 4 . Наиболее вероятное число изюмин будет, согласно формуле (6.4), равно 10. Соответствующая вероятность

P 10000(10) ≈ 10 10 e − 10 ≈ 0,125 . 10!

Пример с булочками и изюминами, несмотря на его приземленную формулировку, носит весьма общий характер. Так, вместо изюмин в булочках можно говорить, например, о числе бактерий в капле воды, взятой из хорошо перемешанного ведра. Другой пример. Предположим, что атомы радиоактивного вещества распадаются независимо друг от друга, причем в течение данного интервала времени распад данного атома происходит с

43 Заметим, что на покупку булочки в магазине вполне можно смотреть как на случайный выбор.

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

При большом числе испытаний $n$ и малой вероятности $р$ формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, $0.97^{999}$ вычислить трудно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в $n$ испытаниях ($n$ – велико) событие произойдет $k$ раз, используют формулу Пуассона :

$$ P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}, \qquad \lambda=n \cdot p. $$

Здесь $\lambda=n \cdot p$ обозначает среднее число появлений события в $n$ испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для $p \le 0,1$ и $np \le 10$. При больших $np$ рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими , так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

На сайте есть бесплатный онлайн-калькулятор для формулы Пуассона

Примеры решений

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию дано: .

Искомая вероятность

Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано: .

По теореме сложения вероятностей

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По условию дано: .

Получаем:

Подробную статью о формуле с примерами, онлайн калькулятор и расчетный файл к видеоролику вы найдете тут.

Если вероятность появления события в отдельном испытании достаточно близка к нулю , то даже при больших значениях количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа, оказывается недостаточно точной. В таких случаях используют формулу, выведенную Пуассоном.

ТЕОРЕМА ПУАССОНА

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но достаточно мала, число независимых испытаний достаточно велико, при этом сочетания меньше десяти то вероятность того, что в количестве испытаниях событие наступит ровно раз примерно равна

Для формулы Пуассона используют таблицы табулирования функции .

——————————-

Рассмотрим примеры типичных для студентов задач.

Пример 1. Автобиография писателя издается тиражом в 1000 экземпляров. Для каждой книги вероятность быть неправильно сброшюрованной равна 0,002. Найти вероятность того, что тираж содержать ровно 7 бракованных книг.

Решение. Проверим выполнение условия теоремы Пуассона. Для входных значений

что условия выполняются.
По табличным значениям функции Пуассона находим вероятность

Применения к этому событию локальную теорему Лапласа получим

Точное значение вероятности определяем по формуле Бернулли

Из анализа трех методов следует, что формула Пуассона дает более точнее приближения, чем формула Лапласа. Именно поэтому ее рекомендуют применять для отыскания вероятности в такого сорта задачах.

——————————-

Пример 2. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

Формула Пуассона

Имеем даные , которые удовлетворяют требования теоремы Пуассона По таблице функции Пуассона при получим:

Найдем вероятность того же события по локальной теореме Лапласа.

Теорема Пуассона . При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний в каждом из которых может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью стремящейся к нулю при этом вероятность того, что событие наступит m, приближенно равна:

(3.22)

Формулу (3.22) называют формулой Пуассона. Эта приближенная формула дает незначительные погрешности, если Значения функции Пуассона находят в таблице, приведенной в приложении 3 , на пересечении соответствующих значений и

Пример 3.40. Известно, что на 10000 выпущенных деталей приходится 10 бракованных. Какова вероятность того, что четыре случайно выбранные детали окажутся бракованными?

По условию задачи Вероятность случайного выбора бракованной детали Так как значение велико, а − мало и воспользуемся (3.22) и найдем значение функции Пуассона из таблицы (приложение 3 ) для значений и

Контрольные вопросы

1. Сформулировать определения понятий: случайного события, несовместных и независимых событий. Привести примеры.

2. Какое событие называется суммой и произведением событий?

3. В чем заключается статистический подход к понятию вероятности?

4. В чем заключается классический подход к понятию вероятности?

5. В чем заключается геометрический подход к понятию вероятности?

6. Сформулировать аксиоматическое определение понятия вероятности?

7. Чему равна вероятность суммы несовместных событий?

8. Чему равна вероятность произведения независимых событий?

9. Чему равна вероятность произведения зависимых событий?

10. Записать формулу полной вероятности и формулу Байеса. Привести примеры их применения для решения задач.

11. Записать формулу Бернулли. Привести примеры её применения для решения задач.

12. Записать локальную формулу Муавра−

13. Записать интегральную формулу Муавра− Лапласа. Привести примеры её применения для решения задач.

14. Записать формулу Пуассона. Привести примеры её применения для решения задач.

Пусть в эксперименте проводятся повторные испытания по схеме Бернулли и число испытаний велико , вероятность появления наблюдаемого события в одном испытании мала , а параметр является постоянной величиной. Тогда для вероятности - вероятности того, что событие в испытаниях появится раз, справедливо соотношение

. (3.1)

При вычислении вероятности в таком случайном эксперименте можно использовать приближенную формулу

, (3.2)

которая называется формулой Пуассона, а число - параметром Пуассона.

Задача 3.1. Вероятность брака при изготовлении некоторого изделия равна 0,008. Найти вероятность того, что при контроле среди 500 изделий будет не более двух бракованных.

Решение: поскольку вероятность мала, а число испытаний велико, то можно применить формулу Пуассона с параметром . Искомая вероятность является вероятностью суммы трех событий: бракованных изделий оказалось два, одно или ни одного. Поэтому

Определение 3.1

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.

Например , потоком событий будут вызовы, поступающие на АТС, сигналы при сеансе радиосвязи, сообщения, поступающие на сервер, и.т.д.

Определение 3.2

Поток событий называется пуассоновским (простейшим) если он обладает следующими свойствами:

1. Свойством стационарности , т.е. интенсивность потока - постоянная.

2. Свойством ординарности, т.е. появление двух или более событий за малый промежуток практически невозможно.

3. Свойством отсутствия последействия, т.е. вероятность появления событий за промежуток времени не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом участке.

Если обозначить - вероятность появления событий пуассоновского потока c интенсивностью за время , то справедлива формула:

. (3.3)

Задача 3.2. Страховая компания обслуживает 10000 клиентов. Вероятность того, что в течение одного дня клиент обратится в компанию, равна 0,0003. Какова вероятность того, что в течение двух дней в нее обратятся 4 клиента?

Решение: Интенсивность потока клиентов в течение одного дня равна

Следовательно, .

Решение задач 3.1 и 3.2 в среде Mathcad показано на рис. 3.

Задача 3.3. Вероятность сбоя считывающего устройства турникета метрополитена в течение часа мала. Найти эту вероятность, если вероятность того, что за 8 часов будет хотя бы один сбой, равна 0,98, и если известно, что за час через турникет проходит в среднем 1000 человек?

Решение: По формулам (1.3) и (3.3) при вероятность того, что в течение 8 часов будет хотя бы один сбой, равна:

С помощью символьных команд, а затем определяется искомая вероятность .

Рассмотрим уравнение

Где функция определена на .

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью a в моменты времени t > 0 .

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени t = 0 :

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи.

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Идея получения решения

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье. Обобщенная формула Кирхгофа имеет следующий вид:

.

В случае, если в волновом уравнении имеется правая часть f , в правой части формулы появится слагаемое:

Физические следствия

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени t = 0 на некотором компакте M есть локальное возмущение ( и/или ). Если мы находимся в некоторой точке , то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время .

Вне отрезка времени , где , функция u (x 0 , t ) равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в , уже не будет компактным в , а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).

Формула Пуассона -Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны

(функция f (x ,t )

с начальными условиями

задаётся формулой:

tex" alt=" +\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{2\pi a}\iint\limits_{r.

Формула Д"Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

(функция f (x ,t ) соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

имеет вид

В область II приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д"Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области . Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: u (x ,t ) = f (x + a t ) + g (x − a t ) , то есть оно определяется двумя семействами характеристик: . Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии x ≥0. Видно, что в область I приходят как ξ-характеристики, так и η-характеристики, в то время как в области II есть только ξ-характеристики. То есть, в области II формула Д"Аламбера не работает.

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения с начальными условиями и искать решение в виде суммы трех функций: u (x ,t ) = A (x ,t ) + B (x ,t ) + C (x ,t ) , которые удовлетворяют следующим условиям:

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путем замены переменных. Например, пусть . Тогда, сделав замену ξ = x + 3y − 2z , уравнение для задачи "С" примет вид:

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д"Аламбера:

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области t > 0 .

Литература

Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. Сборник типовых задач по курсу Уравнения математической физики. - М.: МФТИ, 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Формула Пуассона" в других словарях:

Формула Кирхгофа аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно… … Википедия

Формула Кирхгофа аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного… … Википедия

Формула, представляющая единств. классич. решение и(х, t) Koши задачи для волнового ур ния в трёхмерном пространстве времени, (где с скорость распространения сигнала) в случае, если начальные данные f(x), p(х) соответственно трижды и дважды… … Физическая энциклопедия

Формула для вычисления суммы ряда вида Если Фурье преобразование (несколько иначе, чем обычно, нормированное) функции F (x), то (m и n целые). Это и есть П. ф. с.; она может быть… … Большая советская энциклопедия

Формула П. ф. с. имеет место, если, напр., функция g(x).абсолютно интегрируема на интервале, имеет ограниченное изменение и П. ф. с. записывается также в виде где аи b любые два положительных числа, удовлетворяющие условию аb=2p, а c(u).есть… … Математическая энциклопедия

1) То же, что Пуассона интеграл.2) Формула, дающая интегральное представление решения задачи Коши для волнового уравнения в пространстве: и имеющая вид (1) где среднее значение функции j на сфере Sat в пространстве (х, у, z) радиуса at с… … Математическая энциклопедия

Бесконечно делимое распределение в теории вероятностей это распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых. Содержание 1 Определение 2… … Википедия