Формула остроградского для поверхностных интегралов. Гаусса формулы

Рассмотрим поле точечного заряда $q$, найдем поток вектора напряжённости ($\overrightarrow{E}$) через замкнутую поверхность $S$. Будем считать, что заряд находится внутри поверхности. Поток вектора напряженности через любую поверхность равен количеству линий вектора напряженности, которые выходят наружу (начинаются на заряде, если $q>0$) или количеству линий $\overrightarrow{E}$входящих внутрь, если $q \[Ф_E=\frac{q}{{\varepsilon }_0}\ \left(1\right),\]

где знак потока совпадает со знаком заряда.

Теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме

Допустим, что внутри поверхности S находится N точечных зарядов, величины $q_1,q_2,\dots q_N.$ Из принципа суперпозиции мы знаем, что результирующая напряженность поля всех N зарядов может быть найдена как сумма напряженностей полей, которые создаются каждым из зарядов, то есть:

Следовательно, для потока системы точечных зарядов можно записать:

Используем формулу (1), получаем, что:

\[Ф_E=\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }\left(4\right).\]

Уравнение (4) значит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые находятся внутри данной поверхности, деленой на электрическую постоянную. Это теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме. Данная теорема является следствием закона Кулона. Значение данной теоремы заключается в том, что она позволяет довольно просто вычислять электрические поля при различных распределениях зарядов.

Как следствие теоремы Остроградского - Гаусса надо сказать, что поток вектора напряженности ($Ф_E$) через замкнутую поверхность в случае при котором заряды находятся вне данной поверхности, равен нулю.

В том случае, когда можно не учитывать дискретность зарядов используют понятие объемной плотности заряда ($\rho $), если заряд распределен по объему. Она определена как:

\[\rho =\frac{dq}{dV}\left(5\right),\]

где $dq$ - заряд, который можно считать точечным, $dV$ -- малый объем. (Относительно $dV$ необходимо сделать следующее замечание. Данный объем мал настолько, чтобы плотность заряда в нем можно было считать постоянной, но достаточно велик, чтобы не начала проявляться дискретность заряда). Суммарный заряд, который находится в полости, можно найти как:

\[\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }=\int\limits_V{\rho dV}\left(6\right).\]

В таком случае формулу (4) перепишем в виде:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(7\right).\]

Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме

Используя формулу Остроградского - Гаусса для любого поля векторной природы, с помощью которой осуществляется переход от интегрирования по замкнутой поверхности к интегрированию по объему:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{a}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{a}dV\ \left(8\right),\]

где $\overrightarrow{a}-$вектор поля (в нашем случае это $\overrightarrow{E}$), $div\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$ -- дивергенция вектора $\overrightarrow{a}$ в точке с координатами (x,y,z), которая отображает векторное поле на скалярное. $\overrightarrow{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$ - оператор набла. (В нашем случае будет $div\overrightarrow{E}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$) -- дивергенция вектора напряженности. Следуя вышесказанному, формулу (6) перепишем как:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{E}dV=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(9\right).\]

Равенства в уравнении (9) выполняются для любого объема, а это осуществимо только, если функции, которые находятся в подынтегральных выражениях, равны в каждой токе пространства, то есть мы можем записать, что:

Выражение (10) -- теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме. Трактовка ее такова: заряды являются источниками электрического поля. Если $div\overrightarrow{E}>0$, то в этих точках поля (заряды положительные) мы имеем источники поля, если $div\overrightarrow{E}

Задание: Заряд равномерно распределен по объему, в этом объеме выделена кубическая поверхность, со стороной b. Она вписана в сферу. Найдите отношение потоков вектора напряженности сквозь эти поверхности.

Согласно теореме Гаусса поток ($Ф_E$) вектора напряженности $\overrightarrow{E}$ через замкнутую поверхность при равномерном распределении заряда по объему равен:

\[Ф_E=\frac{1}{{\varepsilon }_0}Q=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{dV}=\frac{\rho V}{{\varepsilon }_0}}\left(1.1\right).\]

Следовательно, нам необходимо определить объемы куба и шара, если шар описать вокруг этого куба. Для начала, объем куба ($V_k$) если сторона его b равен:

Найдем объем шара ($V_{sh}$) по формуле:

где $D$ -- диаметр шара и (так как шар описан вокруг куба), главная диагональ куба. Следовательно, нам необходимо выразить диагональ куба через его сторону. Это легко сделать, если использовать теорему Пифагора. Для вычисления диагонали куба, например, (1,5) нам сначала необходимо найти диагональ квадрата (нижнего основания куба) (1,6). Длина диагонали (1,6) равна:

В таком случает длина диагонали (1,5) равна:

\[{D=D}_{15}=\sqrt{b^2+{(\sqrt{b^2+b^2\ \ \ })}^2}=b\sqrt{3}\ \left(1.5\right).\]

Подставим в (1.3) найденный диаметр шара, получим:

Теперь мы можем найти потоки вектора напряженности через поверхность куба, она равна:

\[Ф_{Ek}=\frac{\rho V_k}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho b^3}{{\varepsilon }_0}\left(1.7\right),\]

через поверхность шара:

\[Ф_{Esh}=\frac{\rho V_{sh}}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\frac{\sqrt{3}}{2}\pi b^3\ \left(1.8\right).\]

Найдем отношение $\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}$:

\[\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}=\frac{\frac{с}{\varepsilon_0}\frac{\sqrt{3}}{2} \pi b^3}{\frac{сb^3}{\varepsilon_0}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{3}\ \approx 2,7\left(1.9\right).\]

Ответ: Поток через поверхность шара в 2,7 раза больше.

Задание: Докажите, что заряд проводника располагается на его поверхности.

Используем для доказательства теорему Гаусса. Выделим в проводнике замкнутую поверхность произвольной формы около поверхности проводника (рис.2).

Допустим, что заряды внутри проводника есть, запишем с теорему Остроградского - Гаусса для дивергенции поля имеем для любой точки поверхности S:

где $\rho -плотность\ $внутреннего заряда. Однако поля внутри проводника нет, то есть $\overrightarrow{E}=0$, следовательно, $div\overrightarrow{E}=0\to \rho =0$. Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме локальна, то есть, она записана для точки поля, мы специальным образом точку не выбирали, следовательно, плотность заряда равна нулю в любой точке поля внутри проводника.

Формула Гаусса-Остроградского.

Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.

Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) и вычислим интеграл

Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S1

cos(n, z) < 0, на S2 cos(n, z) > 0, a на S3 cos(n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой части предыдущего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:

(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, элементы площади поверхности S1 и области D связаны соотношением dxdy = ΔS(-cos(n, z))). Следовательно, исходный интеграл можно представить в виде:

Окончательный результат можно записать так:

Таким же образом можно получить соотношения

Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:

Воспользовавшись формулой 13.9, задающей связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:

где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

Дивергенция векторного поля.

Продолжим изучение характеристик векторных полей.

Определение 15.1. Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az - функции от x, y, z, называется

. (15.3)

Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.

Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция харак-теризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля. Тогда в левой части формулы (15.1) стоит тройной интеграл по объему V от дивергенции векторного поля {P, Q, R}, а в правой - поток этого вектора через ограни-чивающую тело поверхность S:

(15.4)

Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы коор-динат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограни-ченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (15.4) на V и перейдем к пределу при стягивании тела V к точке М. Получим:

. (15.5)

Формула Стокса.

Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает ее в одной точке. Обозначим границу поверхности λ и выберем в качестве положительного направления нормали такое, при котором она образует с положительным направлением оси Оz острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие косинусы нормали задаются формулами

, ,

Рассмотрим некоторую трехмерную область V, в которой целиком лежит поверхность S, и зададим в этой области функцию P(x, y, z), непрерывную вместе с частными производны-ми первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл 2-го рода по кривой λ:

Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у - координаты точек линии L, являющейся проекцией λ на плоскость Оху (рис.2). Поэтому, используя формулу (10.8), получаем:

Обозначим P(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу Грина:

где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное выражение, используя формулу производной сложной функции:

и подставим его в предыдущее равенство:

. Тогда

= Теперь применим к интегралам, стоящим справа, формулу (13.7) и перейдем к поверхностным интегралам 1-го рода по поверхно-сти σ:

так как . Следовательно, окончательный результат преобразований выглядит так:

При этом направление обхода контура λ выбирается соответствующим положительному направлению нормали (рис.2).

Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функции Q(x, y, z) и R(x, y, z), можно получить для них аналогичные соотношения:

Складывая левые и правые части полученных равенств, получим формулу Стокса, уста-навливающую связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориен-тации поверхности:

(15.6)

Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное выражение в правой части формулы Стокса, которое можно получить, раскрывая определитель по первой строке и учитывая, что во второй его строке стоят операторы частного дифференцирова-ния по соответствующим переменным, применяемые к функциям, стоящим в третьей строке.

Используя связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода (формула (13.9)), можно записать формулу Стокса в ином виде:

Ротор векторного поля.

Определение 15.2. Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az - функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

. (15.8)

Замечание 1. Ротор характеризует завихренность поля А в данной точке, то есть наличие вращательных движений, так как его модуль равен удвоенной угловой скорости в этой точке.

Замечание 2. Формула Стокса в векторной формулировке имеет вид:

, (15.9)

то есть циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность, натянутую на данный контур.

Замечание 3. Можно дать другое, инвариантное, определение ротора. Для этого рассмотрим произвольное направление п, исходящее из данной точки М, и окружим эту точку плоской площадкой σ, перпендикулярной к п и ограниченной контуром λ. Приме-няя формулу Стокса, получим:

Разделив обе части этого равенства на σ и стягивая площадку σ к данной точке, найдем в пределе, что

Тем самым можно определить проекцию ротора на любую ось, то есть вектор rot A не зависит от выбора координатной системы.

И поэтому если вы зашли с поисковика, то, пожалуйста, начните с первой части, где мы подробно разобрали и решили важную задачу. А именно нашли поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении её внешней нормали:

В ходе длинного-длинного решения нами был получен ответ , что в рамках условной гидродинамической модели означает следующее: сколько жидкости в единицу времени поступило в пирамиду – столько из неё и вытекло.

Однако так бывает далеко не всегда, и на практике поток часто получается положительным или отрицательным. Задумаемся над содержательным смыслом этих результатов и для бОльшей наглядности рассмотрим не пирамиду, а кусок реки, ограниченный внешне-ориентированной поверхностью и поле скоростей этой реки в области .

Предположим, что поток через замкнутую поверхность оказался положителен: . Что это означает? Это означает, что за единицу времени из области жидкости вытекло БОЛЬШЕ, чем туда поступило. Следовательно, в области где-то есть источник(и) поля. Это может быть, например, приток реки, который увеличивает её скорость, или просто кто-то вылил ведро воды.

Отрицательное значение потока через замкнутую поверхность говорит нам о том, что за единицу времени область «поглотила» жидкость (зашло больше, чем вышло). И причина тому – сток(и) поля в данной области. Например, подземная пещера или насос, выкачивающий воду.

И, наконец, при нулевом потоке возможны две ситуации: либо в области нет источников и стоков , либо они компенсируют друг друга.

К слову, взаимная компенсация чаще всего имеет место и в первых двух случаях. Так, например, если , то это ещё не значит, что стоков нет. Возможно, источники оказались мощнее, и по итогу за единицу времени через поверхность выплеснулось 5 единиц жидкости.

И поэтому появляется интерес выяснить, есть ли у векторного поля источники / стоки, и если есть – то где. И в этом нам поможет акваланг хитрая наука под названием математический анализ.

Рассмотрим некоторую точку области и её бесконечно малую замкнутую окрестность (например, сферу или куб) . Поток векторного поля через поверхность этой окрестности во внешнем направлении называется дивергенцией поля в данной точке , и обозначается через . И вот тут-то уж никуда не деться от разоблачения:

– если , то у векторного поля есть источник в данной точке (её бесконечно малой окрестности) ;

– если , то сток ;

– и если , то в точке нет источников и стоков.

Далее. Как найти эту самую дивергенцию? Если в каждой точке области определено векторное поле и его компоненты дифференцируемы в этих точках, то скалярная функция дивергенции имеет следующий вид:

или, как записывают короче:

Таким образом, в области векторному полю ставится в соответствие скалярное поле его дивергенции.

И здесь сразу можно выделить особый случай. Поле, дивергенция которого равна нулю ВО ВСЕХточках области, называется бездивергентным или соленоидальным . Это означает, что у него нет источников и стоков. В качестве примера часто приводят трубу-«бублик» с циркулирующей водой, которая никуда не исчезает, и новой воды там не появляется. Но ещё более показательный пример – это магнитное поле с его замкнутыми силовыми линиями , у которых нет начала и конца.

Хорошо. Функция позволяет нам вычислить дивергенцию в отдельно взятых точках, и возникает вопрос: а можно ли подсчитать суммарную дивергенцию по всему телу?

…вы когда-нибудь думали, что будете так рады тройным интегралам? =)

Вернёмся к эпичному Примеру 1 , где у нас получился нулевой поток через пирамиду, и вычислим дивергенцию векторного поля . Очевидно, что само поле и производные его компонент определены не только в пирамиде , но и вообще во всём пространстве:

Составим скалярную функцию дивергенции, или как чаще говорят – найдём дивергенцию:

Полученная функция каждой точке пространства ставит в соответствие ноль, значит векторное поле всюду соленоидально . По формуле Гаусса-Остроградского, поток векторного поля через внешнюю сторону пирамиды равен:

Примечание : т.к. поле бездивергентно во всём пространстве, то поток равен нулю и через любую замкнутую поверхность

Огорчаться, однако, не стОит, поскольку если уж от вас потребовали вычислить поток первым способом, то никуда не деться =) А требуют, между прочим, частенько.

И здесь ещё нужно подчеркнуть следующее: если вы вычислили поток через замкнутую поверхность, и у вас получился ноль, то это ещё не значит , что в области нет источников и стоков. Они могут и существовать, но компенсировать друг друга. И первый способ решения не даёт нам ответ на этот вопрос.

Поэтому решаем второй пример вторым способом:)

Пример 2

Проверить, будет ли векторное поле соленоидальным, и найти его поток через замкнутую поверхность по формуле Гаусса-Остроградского

Результаты должны совпасть. Обращаю внимание, что проверка поля на соленоидальность является неотъемлемой частью задания, и на этот вопрос нужно дать аргументированный письменной ответ. Примерный образец решения в конце урока, и что приятно – задачу можно оформить в минималистичном стиле, без лишних обозначений и даже без записи самой формулы.

Ну а теперь я расскажу вам, а точнее напомню универсальный метод нахождения нормальных векторов поверхности :

Пример 3

Дано векторное поле и замкнутая поверхность . Вычислить поток векторного поля через данную поверхность в направлении внешней нормали:

а) непосредственно;
б) по формуле Гаусса-Остроградского.

Распространённая формулировка, позволяющая ещё раз осознать всю ценность формулы =)

Решение : чертёж здесь прост:

но вот решение – «труба» =)

а) Найдём поток векторного поля через полную поверхность цилиндра в направлении внешней нормали напрямую. В силу аддитивности поверхностного интеграла:

– боковая поверхность цилиндра ;
– его нижнее основание (единичный круг в плоскости );
– и верхнее основание (единичный круг в плоскости ).

1) Цилиндрическая поверхность параллельна оси и возникает вопрос, как найти её векторы нормали? Очень просто. Вектор нормали к поверхности в точке задаётся следующим образом:

В данном случае:

Таким образом, мы получаем целую функцию нормальных векторов для различных точек цилиндра:

Но нам нужны единичные векторы. Они разыскиваются стандартно:

Контроль:

Да, убедимся, что они «смотрят» вовне. Для этого можно взять несколько конкретных точек поверхности (проще всего в плоскости ) и посмотреть, какие векторы будут получаться. Так, например, для точки получаем:
– всё ОК. Собственно, этот вектор в качестве примера и изображён на чертеже. Самостоятельно проверьте какие-нибудь другие точки, и удостоверьтесь, что получаются векторы нужного направления.

и сведём решение к поверхностному интегралу 1-го рода:

В данном случае плоскость не годится для проецирования. Почему? Потому что цилиндрическая поверхность спроецируется в окружность нулевой площади и получится ноль. Но из боковой же поверхности торчат векторы поля, и через неё запросто может идти поток!

Поэтому в нашем распоряжении остаются две координатные плоскости, я выберу для проецирования более наглядную фронтальную плоскость . И тут возникает другая трудность – цилиндрическую поверхность , а значит, и полученный интеграл 1-го рода придётся разделить на 2 части:
, где:

– ближний к нам кусок цилиндра, а – дальний его кусок.

Проведём вычисления для первого интеграла:

Используем соответствующую формулу:
, где:

По формуле:

Проекция на плоскость очевидна:

Выберем следующий порядок обхода области:

При вычислении второго интеграла получится точно такой же результат:

Таким образом:

Это я привел длинное общее решение (на всякий случай), но на самом деле тут есть короткий и изящный путь – в сумму интегралов можно сразу подставить и :

и, согласно, геометрическому смыслу этих интегралов , данная сумма равна площади боковой поверхности цилиндра:

Знание – сила =)

2) Вычислим поток векторного поля через ориентированный единичный круг .

С нормалью и скалярным произведением всё просто:

а с поверхностным интегралом – ещё проще:
, поскольку

3) Третий интеграл начинается похоже:

Используем формулу , в данном случае:

Проекция (поверхности на плоскость ) представляет собой круг площади , и согласно геометрическому смыслу интеграла :

И, наконец, поток через всю поверхность:

Ответ :

Что, кстати, означает этот результат? Положительный поток через внешнюю поверхность означает, что внутри цилиндра есть источники поля. Иначе, откуда бы там взяться единицам жидкости, которые вытекли наружу? (за единицу времени)

б) Решим задачу по формуле Гаусса- Остроградского:

И, прежде всего, тут нужно убедиться, что компоненты и их производные определены во всех точках тела. В противном случае формулу применять нельзя! Должен предупредить, что это не пустая формальность – на практике встречаются поля с корнями и логарифмами, и вот там могут быть проблемы.

Составим функцию дивергенции:
, которую очень полезно проанализировать:

При увеличении «зет» от 0 до 2 дивергенция строго положительна и нарастает. Это означает то, что, во-первых, внутри цилиндра находятся исключительно источники поля. И, во-вторых, эти источники усиливаются, т.е. текущая снизу вверх жидкость начинает разгоняться. Поэтому сразу можно сказать, что поток через внешнюю поверхность будет положительным. В чём мы сейчас ещё раз убедимся аналитически:

Поскольку проекция тела на плоскость представляет собой круг единичного радиуса (чертить уж не буду), то удобно перейти к цилиндрической системе координат :

Таким образом, с помощью «ро», «тета» и «фи» можно однозначно определить любую точку пространства.

Где используется сферическая система координат? Ну, конечно же, в астрономии. Но своё скромное применения она нашла и при

формулы, относящиеся к различным разделам математики и носящие имя К. Гаусса.

1) Квадратурные Г. ф. - формулы вида

в которых узлы x k и коэффициенты A k не зависят от функции f (x) и выбраны так, что формула точна (т. е. R n = 0) для произвольного многочлена степени 2n - 1 . В отличие от квадратурных формул Ньютона - Котеса, узлы в квадратурных Г. ф., вообще говоря, не являются равноотстоящими. Если р (х) ≥ 0 и

то для любого натурального n имеется единственная квадратурная Г. ф. Эти формулы имеют большое практическое значение, т.к. в ряде случаев они дают значительно большую точность, чем квадратурные формулы с тем же числом равноотстоящих узлов. Сам Гаусс исследовал (1816) случай р (х) ≡ 1 .

2) Г. ф., выражающая полную кривизну (См. Полная кривизна) К поверхности через коэффициенты её линейного элемента; в координатах, для которых ds 2 = λ(du 2 + dv 2) , Г. ф. имеет вид

Эта формула была опубликована в 1827 и показывает, что полная кривизна не меняется при изгибании поверхности. Она составляет содержание одного из основных предложений созданной Гауссом внутренней геометрии (См. Внутренняя геометрия) поверхности.

3) Г. ф. для сумм Гаусса:

Эта формула была использована Гауссом (1801) в одном из доказательств закона взаимности квадратичных вычетов (См. Квадратичный вычет)

где р и q - нечётные простые числа, а

4) Г. ф. для суммы гипергеометрического ряда (См. Гипергеометрический ряд). Если Re (c - b - a) > 0 , то

- употребительное название нормального распределения. Название связано с той ролью, к-рую это распределение играет в ошибок теории К. Гаусса...
Математическая энциклопедия
- метод последовательного исключения неизвестных для нахождения решений системы линейных уравнений, впервые описанный К. Гауссом...
Математическая энциклопедия
- линейное функциональное преобразование функции, к-рое определяется интегралом: Если для действительных значений оператор является самосопряженным положительно определенным оператором...
Математическая энциклопедия
- признак сходимости числовых рядов с положительными членами. Если отношение представило в виде где и - постоянные числа, - ограниченная последовательность, то ряд сходится при и расходится при...
Математическая энциклопедия
- наименьшего принуждения принцип,- один из основных, наиболее общих дифференциальных вариационных принципов классической механики, установленный К. Гауссом и выражающий экстремальное свойство действительного...
Математическая энциклопедия
- топологической группыС- представление всюду плотного подмножества в виде где Н - абелева подгруппа группы - нильпотентные подгруппы группы G, нормализуемые Н. Если G - группа невырожденных вещественных матриц m-го...
Математическая энциклопедия
- вариационный принцип механики, устанавливающий одно из общих свойств движения мех. системы с любыми идеальными связями...
Естествознание. Энциклопедический словарь
- группа ист. источников эпохи раннего средневековья в Зап. Европе, отражающих гл. обр. социально-экономич. отношения этого периода...
Советская историческая энциклопедия
- Гаусса закон распределения вероятностей, - то же, что нормальное распределение...
Большой энциклопедический политехнический словарь
- страна на Ю от Сахары, в пределах британской Нигерии, между 8° и 14° с. ш., 3° и 15° в. д. Площадь около 400000 кв. км. Сев. часть, прилегающая к Сахаре, носит характер пустынной равнины, с жарким климатом...
- - Так назывались в средние века образцы официальных актов, сложившиеся в государственной и юридической практике и мало-помалу кристаллизовавшиеся в виде определенных обязательных шаблонов. В древних германских...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- одна из фундаментальных астрономических постоянных...
- принцип наименьшего принуждения, один из вариационных принципов механики, согласно которому для механической системы с идеальными связями из всех кинематически возможных, т. e. допускаемых связями,...
Большая Советская энциклопедия
- закон распределения вероятностей; то же, что Нормальное распределение...
Большая Советская энциклопедия
- то же, что нормальное распределение...
Большой энциклопедический словарь

"Гаусса формулы" в книгах

4. Формулы

Из книги Сaмое самo автора Лосев Алексей Федорович

4. Формулы С категорией эманации заканчивается диалектика первого символа символа бытия, или бытийного символа. Остается теперь только резюмировать ее в максимально сжатых и не содержащих ничего лишнего тезисах.I.1. a) Бытие есть бытие.Если бытие есть только бытие и больше

Глава 5 ЗАКОНА ГАУССА ПРИМЕНЕНИЯ

Из книги 5a. Электричество и магнетизм автора Фейнман Ричард Филлипс

Приложение Пасхальные таблицы и таблицы дат первых весенних астрономических полнолуний, вычисленных по формулам Гаусса (Г.В. Носовский)

Из книги Пасха [Календарно-астрономическое расследование хронологии. Гильдебранд и Кресцентий. Готская война] автора Носовский Глеб Владимирович

Приложение Пасхальные таблицы и таблицы дат первых весенних астрономических полнолуний, вычисленных по формулам Гаусса (Г.В. Носовский) Звездочкой (*) в последнем столбце отмечены годы, когда определенная пасхалией календарная православная Пасха праздновалась бы раньше