Нахождение координат вектора довольно часто встречаемое условие многих задач в математике. Умение находить координаты вектора поможет вам в других, более сложных задачах со схожей тематикой. В данной статье мы рассмотрим формулу нахождения координат вектора и несколько задач.
Нахождение координат вектора в плоскости
Что такое плоскость? Плоскостью считается двухмерное пространство, пространство с двумя измерениями (измерение x и измерение y). К примеру, бумага — плоскость. Поверхность стола — плоскость. Какая-нибудь необъемная фигура (квадрат, треугольник, трапеция) тоже является плоскостью. Таким образом, если в условии задачи нужно найти координаты вектора, который лежит на плоскости, сразу вспоминаем про x и y. Найти координаты такого вектора можно следующим образом: Координаты AB вектора = (xB — xA; yB — xA). Из формулы видно, что от координат конечной точки нужно отнять координаты начальной точки.
Пример:
- Вектор CD имеет начальные (5; 6) и конечные (7; 8) координаты.
- Найти координаты самого вектора.
- Используя вышеупомянутую формулу, получим следующее выражение: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
- Таким образом, координаты CD вектора = (2; 2).
- Соответственно, x координата равна двум, y координата — тоже двум.
Нахождение координат вектора в пространстве
Что такое пространство? Пространство это уже трехмерное измерение, где даны 3 координаты: x, y, z. В случае, если нужно найти вектор, который лежит в пространстве, формула практически не меняется. Добавляется только одна координата. Для нахождения вектора нужно от координат конца отнять координаты начала. AB = (xB — xA; yB — yA; zB — zA)
Пример:
- Вектор DF имеет начальные (2; 3; 1) и конечные (1; 5; 2).
- Применяя вышеупомянутую формулу, получим: Координаты вектора DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
- Помните, значение координат может быть и отрицательным, в этом нет никакой проблемы.
Как найти координаты вектора онлайн?
Если по каким-то причинам вам не хочется находить координаты самостоятельно, можно воспользоваться онлайн калькулятором . Для начала, выберите размерность вектора. Размерность вектора отвечает за его измерения. Размерность 3 означает, что вектор находится в пространстве, размерность 2 — что на плоскости. Далее вставьте координаты точек в соответствующие поля и программа определит вам координаты самого вектора. Все очень просто.
Нажав на кнопку, страница автоматически прокрутится вниз и выдаст вам правильный ответ вместе с этапами решения.
Рекомендовано хорошо изучить данную тему, потому что понятие вектора встречается не только в математике, но и в физике. Студенты факультета Информационных Технологий тоже изучают тему векторов, но на более сложном уровне.
В этой статье получено уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, а также выведены уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. После изложения теории показаны решения характерных примеров и задач, в которых требуется составить уравнения прямой различного вида, когда известны координаты двух точек этой прямой.
Навигация по странице.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости.
Прежде чем получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости, вспомним некоторые факты.
Одна из аксиом геометрии гласит, что через две несовпадающие точки на плоскости можно провести единственную прямую. Другими словами, задав две точки на плоскости, мы однозначно определяем прямую линию, которая через эти две точки проходит (при необходимости обращайтесь к разделу способы задания прямой на плоскости).
Пусть на плоскости зафиксирована Oxy . В этой системе координат любой прямой линии соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости . С этой же прямой неразрывно связан направляющий вектор прямой . Этих знаний вполне достаточно, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Сформулируем условие задачи: составить уравнение прямой a , которая в прямоугольной декартовой системе координат Oxy проходит через две несовпадающие точки и .
Покажем самое простое и универсальное решение этой задачи.
Нам известно, что каноническое уравнение прямой на плоскости вида 
задает в прямоугольной системе координат Oxy
прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор .
Напишем каноническое уравнение прямой a , проходящей через две заданные точки и .
Очевидно, направляющим вектором прямой a
, которая проходит через точки М 1
и М 2
, является вектор , он имеет координаты 
(при необходимости смотрите статью ). Таким образом, мы имеем все необходимые данные, чтобы написать каноническое уравнение прямой a
– координаты ее направляющего вектора 
и координаты лежащей на ней точки (и ). Оно имеет вид 
(или 
).
Также мы можем записать параметрические уравнения прямой на плоскости , проходящей через две точки и . Они имеют вид 
или 
.
Разберем решение примера.
Пример.
Напишите уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки 
.
Решение.
Мы выяснили, что каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами и , имеет вид .
Из условия задачи имеем 
. Подставим эти данные в уравнение . Получаем 
.
Ответ:
.
Если нам потребуется не каноническое уравнение прямой и не параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, а уравнение прямой другого вида, то от канонического уравнения прямой всегда можно к нему прийти.
Пример.
Составьте общее уравнение прямой , которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через две точки и .
Решение.
Сначала напишем каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Оно имеет вид 
. Теперь приведем полученное уравнение к требуемому виду: .
Ответ:
.
На этом можно и закончить с уравнением прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости. Но хочется напомнить, как мы решали такую задачу в средней школе на уроках алгебры.
В школе нам было известно лишь уравнение прямой с угловым коэффициентом вида . Найдем значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение определяет в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую линию, проходящую через точки и при . (Если же x 1 =x 2 , то угловой коэффициент прямой бесконечен, а прямую М 1 М 2 определяет общее неполное уравнение прямой вида x-x 1 =0 ).
Так как точки М 1
и М 2
лежат на прямой, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой , то есть, справедливы равенства и . Решая систему уравнений вида 
относительно неизвестных переменных k
и b
, находим 
или 
. При этих значениях k
и b
уравнение прямой, проходящей через две точки и , принимает вид 
или 
.
Запоминать эти формулы не имеет смысла, при решении примеров проще повторять указанные действия.
Пример.
Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, если эта прямая проходит через точки и .
Решение.
В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид . Найдем k и b , при которых уравнение соответствует прямой, проходящей через две точки и .
Так как точки М 1
и М 2
лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой , то есть, верны равенства 
и . Значения k
и b
находим как решение системы уравнений 
(при необходимости обращайтесь к статье ):
Осталось подставить найденные значения и в уравнение . Таким образом, искомое уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид .
Колоссальный труд, не так ли?
Намного проще записать каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки и , оно имеет вид 
, и от него перейти к уравнению прямой с угловым коэффициентом: .
Ответ:
Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz
, и заданы две несовпадающие точки 
и 
, через которые проходит прямая M 1 M 2
. Получим уравнения этой прямой.
Нам известно, что канонические уравнения прямой в пространстве вида 
и параметрические уравнения прямой в пространстве вида 
задают в прямоугольной системе координат Oxyz
прямую линию, которая проходит через точку с координатами и имеет направляющий вектор 
.
Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:
Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:
То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора .
Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока.
Пример 1
Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора
Решение:
по соответствующей формуле:
Как вариант, можно было использовать следующую запись:
Эстеты решат и так:
Лично я привык к первой версии записи.
Ответ:
По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:
Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов :
Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.
Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .
Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , асмысл координат абсолютно разный , и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.
Дамы и господа, набиваем руку:
Пример 2
а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки 
и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы .
Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.
Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)
Как найти длину отрезка?
Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.
Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле
Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле
Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант
Пример 3
Решение:
по соответствующей формуле:
Ответ:
Для наглядности выполню чертёж
Отрезок – это не вектор , и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.
Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:
Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».
Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:
Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня . В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.
Вот другие распространенные случаи:
Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: 
. У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.
Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.
В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.
Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:
Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.
Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:
Пример 4
Даны точки и . Найти длину отрезка .
Решение и ответ в конце урока.
Как найти длину вектора?
Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .
Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .
Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.
Пример 5
Даны точки и . Найти длину вектора .
Я взял те же точки, что и в Примере 3.
Решение:
Сначала найдём вектор :
По формуле вычислим длину вектора:
Ответ:
Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3-х знаков после запятой.
Выполним чертеж к задаче:
В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости.
А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка равна длине вектора . Так же очевидно, что длина вектора будет такой же. По итогу: .
б) Даны векторы , , и . Найти их длины.
Решения и ответы в конце урока.