Финансовая математика
За правильное выполненное задание без ошибок получишь 3 балла .
На решение отводится примерно 35 минут.
Чтобы решить задание 17 по математике профильного уровня нужно знать:
- Задание подразделяется на несколько видов:
- задачи, связанные с банками, вкладами и кредитами;
- задачи на оптимальный выбор.
- Формула расчета ежемесячного платежа: S кредит = S/12 t
- Формула расчета простых процентов: S = α (1 + t p/m)
- Формула расчета сложных процентов: С = x (1 + a%)n
Процент – это одна сотая часть какой-либо величины.
- x*(1 + p/100) - величина x увеличилась на p %
- x*(1 - k/100) - величина x уменьшилась на k %
- x*(1 + p/100) k - величина x увеличилась на p % k раз
- x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – величина х сначала увеличилась на p %, а потом уменьшилась на k %
Задачи на погашение кредита равными платежами:
Размер кредита принимается за х. Процента банка – а. Выплата по кредиту – S.
Через год после начисления процентов и выплаты суммы S размер долга - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100
- Размер долга через 2 года: (xp – S)p – S
- Размер долга через 3 года: ((xp – S)p – S)p – S
- Размер долга через n лет: xp n – S(p n-1 + … + p 3 + p 2 + p + 1)
Расставьте все недостающие знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых) в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые).
Прощай(1) моя родина! Север(2)прощай, -
Навеки(3) останусь я сыном твоим!
Прощайте(4) вершины под кровлей снегов,
Прощайте(5)долины и скаты лугов,
Прощайте(6)поникшие в бездну леса,
(С. Маршак )
Пояснение (см. также Правило ниже).
Приведем верное написание.
Прощай, моя родина ! Север , прощай, -
Отечество славы и доблести край.
По белому свету судьбою гоним,
Навеки останусь я сыном твоим!
Прощайте, вершины под кровлей снегов ,
Прощайте, долины и скаты лугов ,
Прощайте, поникшие в бездну леса ,
(С. Маршак )
В этом стихотворении 6 обращений, все они выделяются запятыми.
Ответ: 124567
Ответ: 124567
Актуальность: Текущий учебный год
Сложность: повышенная
Раздел кодификатора: Знаки препинания в предложениях со словами и конструкциями, грамматически не связанными с членами предложения
Правило: Вводные слова и обращение. Задание 18 ЕГЭ., Вводные слова и обращение. Задание 18 ЕГЭ.
Расставьте знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых) в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые).
(М.Ю. Лермонтов)
Например: Очевидно ; К счастью .
вводными предложениями . Например: Вечор, ты помнишь , вьюга злилась.. . (Пушкин).
К вводным единицам примыкают вставные конструкции (два) я велел выслать в Ялту ; , о Моцарте.
ГРУППЫ ВВОДНЫХ СЛОВ.
…
Может может быть , он заболел. Ты, должно быть кажется , его где-то видела.
Ты, очевидно возможно , уеду отдыхать. Ты, видно
наверно (=должно быть) верно точно естественно
Он хороший спортсмен. Кстати , учится он тоже хорошо.
Ее родители, подруги и, между прочим , лучший друг против поездки.
Прежде всего
С этого холма, действительно Несомненно безусловно собственно , и вся история.
И, потом Далее , мы скажем о своих выводах. Таким образом наконец в конце концов
Дождь, однако однако !
Однако , это невероятно сложно.
Его работы, вообще
Ваш ребенок, по-моему , простудился. Это, по-вашему
Мы, конечно , готовы помочь тебе во всем.
Я, во всяком случае во всяком случае
Я во всяком случае
в самом деле , строишь из себя умника?
в свою очередь в свою очередь
Сообщение сложное, значит значит значит , она чувствует свою правоту.
Он не хотел обижать её, а, наоборот наоборот , целый день сидит дома.
Миша, по крайней мере
С точки зрения моей бабушки с точки зрения экзаменаторов
в частности в частности
главным образом главным образом
Многие русские люди, главным образом
например
Во многих больших городах, например например
например
с одной стороны с другой с одной стороны с другой С одной стороны с другой .
Татьяна, милая Татьяна! С тобой теперь я слезы лью Жизнью пользуйся, живущий Шуми, шуми, послушное ветрило ; Не шуми ты, рожь , спелым колосом .
Личные местоимения ты и вы , как правило, выступают не в роли обращения , а в роли подлежащего: Простите, мирные долины , и вы , знакомых гор вершины , и вы , знакомые леса !
Старик! О прежнем позабудь; Молодой уроженец Неаполя!
Думай же, мастер культуры ; Привет вам, люди мирного труда!; Ты здесь, миленький? ; Свинья ты, братец …
; Васька! Васька! Васька! Здорово!
и или да , запятой не разделяются: Пойте, люди, города и реки! Пойте, горы, степи и поля! ; Здравствуй, солнце да утро весёлое!
Иван Ильич , распорядись, братец , насчёт закуски; …Я потому, Фома , не лучше ли, брат , расстаться?
Крепче, конское , бей, копыто , отчеканивая шаг! ; , тебя мы видим, сорок первый год .
В задании 18 проверяется умение ставить знаки препинания при словах, грамматически не связанных с предложением. К таким относятся и вводные слова (конструкции, словосочетания, предложения), вставные конструкции и обращения
В ЕГЭ 2016-2017 года одна часть заданий 18 будет представлена формой повествовательного предложения с вводными словами
Расставьте знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых) в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые).
Дача (1) может быть (2) названа колыбелью, с которой для каждого из нас начиналось постижение мира, поначалу ограниченное садом, затем огромной улицей, потом участками и (3) наконец (4) всей загородной стороной.
Другая часть (судя по демоверсии и книге И.П. Цыбулько Типовые экзаменационные материалы 2017) будет выглядеть вот так:
Расставьте знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых) в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые).
Послушай(1)быть может (2)когда мы покинем
Навек этот мир, где душою так стынем,
Быть может(3) в стране, где не знают обману,
Ты (4) ангелом будешь, я демоном стану!
Клянися тогда позабыть (5)дорогая(6)
Для прежнего друга все счастие рая!
Пусть (7)мрачный изгнанник, судьбой осужденный,
Тебе будет раем, а ты мне - вселенной!
(М.Ю. Лермонтов)
Рассмотрим правила и понятия, необходимые для выполнения данного типа заданий.
17.1 Общее понятие о вводных словах и основное правило их выделения.
Вводные слова - это слова (или словосочетания), грамматически не связанные с предложением и вносящие дополнительные смысловые оттенки. Например: Очевидно , общение с детьми развивает в человеке многие добрые свойства ; К счастью , тайна так и осталась тайной .
Данные значения передаются не только вводными словами, но и вводными предложениями . Например: Вечор, ты помнишь , вьюга злилась.. . (Пушкин).
К вводным единицам примыкают вставные конструкции , которые содержат различные добавочные замечания, поправки и разъяснения. Вставные конструкции, как и вводные, не связаны с другими словами в предложении. Они резко разрывают предложение. Например: Журналы иностранной литературы (два) я велел выслать в Ялту ; Маша говорила с ним о Россини (Россини только что входил в моду) , о Моцарте.
Главная ошибка большинства пишущих связана с неточным знанием списка вводных слов. Поэтому прежде всего следует выучить, какие именно слова могут быть вводными, какие группы вводных слов могут быть выделены и какие слова никогда не бывают вводными.
ГРУППЫ ВВОДНЫХ СЛОВ.
1. вводные слова, выражающие чувства говорящего в связи со сказанным: к счастью, к несчастью, к сожалению, к досаде, к ужасу, на беду, чего доброго…
2. вводные слова, выражающие оценку говорящим степени достоверности того, что он сказал: конечно, несомненно, разумеется, бесспорно, очевидно, безусловно, наверное, возможно, верно, может быть, должно быть, кажется, по всей видимости, по-видимому, по существу, по сути, думаю… Эта группа вводных слов наиболее многочисленна.
3. вводные слова, указывающие на последовательность излагаемых мыслей и их связь между собой: во-первых, итак, следовательно, в общем, значит, кстати, далее, впрочем, наконец, с одной стороны … Эта группа также достаточно большая и коварная.
4. вводные слова, указывающие на приемы и способы оформления мыслей: словом, другими словами, иначе говоря, вернее, точнее, так сказать…
5. вводные слова, указывающие на источник сообщения: говорят, по-моему, по словам…, по слухам, по сведениям…, по мнению…, на мой взгляд, помнится…
6. вводные слова, представляющие собой обращение говорящего к собеседнику: видишь (ли), знаете, пойми, простите, пожалуйста, согласись…
7. вводные слова, указывающие на оценку меры того, о чем говорится: самое большее, по крайней мере…
8. вводные слова, показывающие степень обычности сказанного: бывает, случалось, по обыкновению…
9. вводные слова, выражающие экспрессивность высказывания: кроме шуток, смешно сказать, честно говоря, между нами говоря…
17.1. 1 НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ВВОДНЫМИ СЛОВАМИ и поэтому не выделяются запятыми на письме следующие слова:
буквально, будто, вдобавок, вдруг, ведь, вот, вон, вряд ли, все-таки, в конечном счете, едва ли, даже, именно, исключительно, как будто, как бы, как раз, между тем, почти, поэтому, потому, приблизительно, примерно, притом, причем, просто, решительно, словно… - в эту группу входят частицы и наречия, наиболее часто оказывающиеся ошибочно обособленными как вводные.
по традиции, по совету…, по указанию…, по требованию…, по распоряжению…, по замыслу… - эти сочетания выступают в качестве необособленных (невыделяемых запятыми) членов предложения:
По совету старшей сестры она решила поступить в МГУ.
По распоряжению врача больной был посажен на строгую диету.
17.1. 2 В зависимости от контекста одни и те же слова могут выступать то в роли вводных слов, то в качестве членов предложения.
МОЖЕТ и МОЖЕТ БЫТЬ, ДОЛЖНО БЫТЬ, КАЖЕТСЯ (КАЗАЛОСЬ) выступают в качестве вводных, если указывают на степень достоверности сообщаемого:
Может , я приду завтра? Нашего учителя нет уже два дня; может быть , он заболел. Ты, должно быть , в первый раз встречаешься с таким явлением. Я, кажется , его где-то видела.
Эти же слова могут оказаться в роли сказуемых:
Что мне может принести встреча с тобой? Как человек может быть столь необязательным ! Это должно быть твоим самостоятельным решением. Мне все это кажется очень подозрительным . Заметьте: никогда нельзя выбросить из предложения его сказуемое, а вводное слово - можно.
ОЧЕВИДНО, ВОЗМОЖНО, ВИДНО оказываются вводными, если указывают на степень достоверности высказывания:
Ты, очевидно , хочешь извиниться за свой поступок? В следующем месяце я, возможно , уеду отдыхать. Ты, видно , не хочешь рассказать нам всей правды?
Эти же слова могут войти в состав сказуемых:
Всем стало очевидно , что надо искать другой способ решения проблемы. Это стало возможно благодаря согласованным действиям пожарной бригады. Солнца не видно из-за туч.
НАВЕРНО, ВЕРНО, ТОЧНО, ЕСТЕСТВЕННО оказываются вводными при указании на степень достоверности сообщаемого (в этом случае они взаимозаменяемы или могут быть заменены на близкие по смыслу слова этой группы) - Ты, наверно (=должно быть) , и не понимаешь, как важно сделать это вовремя. Вы, верно , и есть тот самый Сидоров? Она, точно , была красавицей. Все эти рассуждения, естественно , пока только наши предположения.
Эти же слова оказываются членами предложения (обстоятельствами) – Он верно (=правильно, обстоятельство образа действия) перевел текст. Наверно не знаю (=наверняка, обстоятельство образа действия), но он должен был сделать это назло мне. Ученик точно (=правильно) решил задачу. Это естественно (=естественным образом) привело нас к единственно правильному ответу.
КСТАТИ является вводным словом, если указывает на связь мыслей:
Он хороший спортсмен. Кстати , учится он тоже хорошо.
Это же слово выступает не как вводное в значении "заодно":
Пойду прогуляюсь, кстати куплю хлеба.
МЕЖДУ ПРОЧИМ оказывается вводным словом, указывая на связь мыслей:
Ее родители, подруги и, между прочим , лучший друг против поездки.
Это слово может употребляться как невводное в контексте:
Он произнес длинную речь, в которой между прочим отметил, что вскоре станет нашим начальником.
ПРЕЖДЕ ВСЕГО как вводное слово указывает на связь мыслей:
Прежде всего (=во-первых), нужно ли вообще поднимать столь щекотливую тему?
Это же слово может выступать как обстоятельство времени (=сначала):
Прежде всего я хочу передать привет от твоих родителей.
Нужно сказать, что в одной и той же фразе "прежде всего" может рассматриваться как вводное, так и нет в зависимости от воли автора.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНО, НЕСОМНЕННО, БЕЗУСЛОВНО, СОБСТВЕННО будут вводными, если указывают на степень достоверности сообщаемого:
С этого холма, действительно (=точно, в самом деле, без всякого сомнения), открывался самый лучший вид. Несомненно (=в самом деле, действительно), ваш ребенок способен к музыке. Он, безусловно , читал этот роман. – или на прием оформления мыслей – Вот, собственно , и вся история.
Эти же слова не являются вводными, если выступают в других значениях:
Я и действительно таков, каким ты меня представляла (=в действительности, на самом деле). Он был несомненно талантливым композитором (=без сомнения, на самом деле). Она безусловно права, предлагая нам такой простой путь решения проблемы (=очень даже, вполне права). Я не имел ничего собственно против школы, но в эту идти не хотел (=вообще, именно). Слова "действительно" и "безусловно" в зависимости от интонации, предложенной говорящим, может в одном и том же контексте быть или вводным, или нет.
И, потом , она оказалась знаменитостью. Далее , мы скажем о своих выводах. Таким образом (=итак), наши результаты ничуть не противоречат полученным другими учеными. Она умная, красивая и, наконец , она очень добра ко мне. Что же, в конце концов , вы от меня хотите? Обычно предложения, содержащие указанные выше слова, завершают ряд перечислений, сами слова имеет значение "и еще". В контексте выше могут встретиться слова "во-первых", "во-вторых", "с одной стороны" и т.д. "Таким образом" в значении вводного слова оказывается не только завершением перечисления, но и выводом.
Эти же слова не выделяются как вводные в значениях: "таким образом" = "таким способом":
Таким образом он и смог передвинуть тяжелый шкаф.
Обычно в предыдущем контексте встречаются обстоятельства времени, например "сначала". "Потом" = "затем, после этого":
А потом он стал известным ученым.
"Наконец" = "под конец, напоследок, после всего, в результате всего":
Наконец все дела были благополучно завершены. Обычно в этом значении к слову "наконец" может быть добавлена частица "-то", что невозможно сделать, если "наконец" является вводным словом. В тех же значениях, что указаны выше для "наконец", не является вводным сочетание "в конце концов":
В конце концов (=в результате) соглашение было достигнуто.
ОДНАКО является вводным, если стоит в середине или в конце предложения:
Дождь, однако , шел уже вторую неделю, несмотря на прогнозы синоптиков. Как я его ловко, однако !
"Однако" не оказывается вводным в начале предложения и в начале части сложного предложения, когда оно выступает в роли противительного союза (=но): Однако люди не хотели верить в его добрые намерения. Мы не надеялись на встречу, однако нам повезло.
Обращаем внимание на то, что иногда слово «однако» может стоять и в начале предложения, но не выполнять функцию союза: Однако , это невероятно сложно.
ВООБЩЕ является вводным в значении "вообще говоря", когда оно указывает на способ оформления мыслей:
Его работы, вообще , представляет интерес только для узкого круга специалистов. В других значениях слово "вообще" является наречием в значении "в целом, совсем, во всех отношениях, при всех условиях, всегда":
Островский для русского театра то же, что Пушкин для литературы вообще . По новому закону курить на рабочем месте вообще запрещено.
ПО-МОЕМУ, ПО-ТВОЕМУ, ПО-НАШЕМУ, ПО-ВАШЕМУ являются вводными, указывая на источник сообщения:
Ваш ребенок, по-моему , простудился. Это, по-вашему , что-то доказывает? Слово "по-своему" вводным не является: Он по-своему прав.
КОНЕЧНО чаще всего является вводным, указывает на степень достоверности высказывания:
Мы, конечно , готовы помочь тебе во всем.
Иногда это слово не обособляется, если интонационно выделяется тоном уверенности, убежденности. В этом случае слово "конечно" считается усилительной частицей: Я конечно бы согласился, если бы ты предупредил меня заранее.
ВО ВСЯКОМ СЛУЧАЕ чаще является вводным и употребляется для оценки:
Я, во всяком случае , не хотел бы вспоминать об этом. Эти слова, во всяком случае , свидетельствуют о серьезности его отношения к жизни.
В значении "всегда, при любых обстоятельствах" это сочетание вводным не является:
Я во всяком случае должен был встретить его сегодня и поговорить с ним.
В САМОМ ДЕЛЕ чаще НЕ является вводным, выступая в значении "действительно" - Петя в самом деле хорошо разбирается в компьютерах. Я здесь в самом деле не при чем. Реже это словосочетание оказывается вводным, если служит для выражения недоумения, возмущения – Что это ты, в самом деле , строишь из себя умника?
В СВОЮ ОЧЕРЕДЬ может быть вводным, когда указывает на связь мыслей или на способ оформления мысли:
Среди множества современных писателей интерес вызывает Владимир Сорокин, а среди его книг, в свою очередь , можно особо выделить "Роман". Попросив меня помочь ему в работе, он, в свою очередь , тоже не стал бездельничать. Это же словосочетание может быть невводным в значениях "в ответ", "со своей стороны" (= когда наступает очередь) – Маша в свою очередь рассказала о том, как она провела лето.
ЗНАЧИТ является вводным, если оно может быть заменено словами "следовательно", "стало быть":
Сообщение сложное, значит , его нужно передать сегодня. Дождь уже кончился, значит , мы можем идти гулять. Если она так упорно борется с нами, значит , она чувствует свою правоту.
Это слово может оказаться сказуемым, близким по смыслу к "означает":
Собака значит для него больше , чем жена. Когда по-настоящему дружишь с человеком, это значит , что ему во всем доверяешь. "Значит" может оказаться между подлежащим и сказуемым, особенно когда они выражены инфинитивами. В этом случае перед "значит" ставится тире:
Обижаться - значит признавать себя слабым. Дружить - значит доверять своему другу.
НАОБОРОТ является вводным, если указывает на связь мыслей:
Он не хотел обижать её, а, наоборот , пытался попросить у неё прощения. Вместо того, чтобы заниматься спортом, она, наоборот , целый день сидит дома.
Не является вводным сочетание "и наоборот", которое может выступать в качестве однородного члена предложения, оно употребляется как слово, замещающее целое предложение или его часть:
Весною девушки меняются: брюнетки становятся блондинками и наоборот (т.е. блондинки брюнетками). Чем больше ты занимаешься, тем более высокие оценки получаешь, и наоборот (т.е. если занимаешься мало, оценки будут плохие; запятая перед "и" оказывается в конце части предложения – получается как бы сложносочиненное предложение, где "наоборот" замещает его вторую часть). Я знаю, что он выполнит мою просьбу и наоборот (т.е. я выполню его, перед "и" нет запятой, так как "наоборот" замещает однородное придаточное).
ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ является вводным, если имеет значение оценки:
Миша, по крайней мере , знает, как нужно себя вести, а не ковыряется вилкой в зубах.
Это словосочетание может употребляться в значениях "не меньше чем", "самое меньшее", тогда оно не обособляется:
Она по крайней мере будет знать, что её отец не зря прожил жизнь. По крайней мере пятеро из класса должны принять участие в лыжных гонках.
С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ является вводным в значении "по мнению":
С точки зрения моей бабушки , девушка не должна носить брюки. Её ответ, с точки зрения экзаменаторов , достоин самой высокой оценки.
Тот же оборот может иметь значение "в отношении" и тогда вводным не является:
Работа идет по плану с точки зрения сроков. Если оценивать поведение героев некоторых литературных произведений с точки зрения современной морали, то его следует считать безнравственным.
В ЧАСТНОСТИ выделяется как вводное, если указывает на связь мыслей в высказывании: Её интересует, в частности , вопрос о вкладе этого ученого в развитие теории относительности. Фирма принимает активное участие в благотворительной деятельности и, в частности , помогает детскому дому № 187.
Если сочетание В ЧАСТНОСТИ оказалось в начале или в конце присоединительной конструкции, то оно от этой конструкции не отделяется (об этом более подробно будет идти речь в следующем разделе):
Я люблю книги о животных, в частности о собаках. Мои друзья, в частности Маша и Вадим, отдыхали этим летом в Испании. Указанное сочетание не выделяется как вводное, если оно соединено союзом "и" со словом "вообще":
Разговор зашел о политике вообще и в частности о последних решениях правительства.
ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ является вводным, когда служит для оценки какого-нибудь факта, его выделения в высказывании: Учебник следует переписать и, главным образом , добавить в него такие главы… Комната использовалась по торжественным случаям и, главным образом , для организации парадных обедов.
Это сочетание может входить в состав присоединительной конструкции, в этом случае, если оно стоит в ее начале или в конце, не отделяется от самой конструкции запятой:
Многие русские люди, главным образом представители интеллигенции, не верили обещаниям правительства.
В значении "в первую очередь", "больше всего" это сочетание не является вводным и не обособляется:
Он боялся сочинения главным образом из-за своей безграмотности. Мне в нем нравится главным образом его отношение к родителям.
НАПРИМЕР всегда будет вводным, но оформляется по-разному. Оно может быть выделено запятыми с двух сторон:
Павел Петрович человек крайне внимательный к своему внешнему виду, например , он тщательно ухаживает за своими ногтями. Если "например" оказывается в начале или в конце уже обособленного члена, то запятой от этого оборота оно не обособляется:
Во многих больших городах, например в Москве, складывается неблагоприятная экологическая обстановка. Некоторые произведения русских писателей, например "Евгений Онегин" или "Война и мир", послужили основой для создания художественных фильмом не только в России, но и в других странах. Кроме того, после "например" может стоять двоеточие, если "например" стоит после обобщающего слова перед рядом однородных членов:
Некоторые фрукты могут вызвать аллергию, например : апельсины, мандарины, ананас, красные ягоды.
17.1.3 Существуют особые случаи постановки знаков препинания при вводных словах.
Для выделения вводных слов и предложений могут использоваться не только запятые, но и тире, а также сочетания тире и запятой.
Эти случаи не входят в курс средней школы и в заданиях ЕГЭ не используются. Но некоторые обороты, часто используемые, нужно запомнить. Приводим примеры из Справочника по пунктуации Розенталя.
Так, если вводное сочетание образует неполную конструкцию (пропущено какое-либо слово, восстанавливаемое из контекста), то оно выделяется запятой и тире: Макаренко неоднократно подчёркивал, что педагогика основана, с одной стороны , на безграничном доверии к человеку, а с другой - на высоких к нему требованиях; Чичиков велел остановиться по двум причинам: с одной стороны , чтобы дать отдохнуть лошадям, с другой - чтобы и самому отдохнуть и подкрепиться (запятая перед придаточной частью «поглощается» тире); С одной стороны , важно было принять срочное решение, но требовалась осторожность - с другой .
17.2 Общее понятие об обращении и основное правило его выделения.
Впервые включено в задания ЕГЭ в 2016-2017 году. Учащимся предстоит искать обращения в стихотворных произведениях, что значительно усложняет задачу.
Обращения - это слова, называющие того, к кому обращаются с речью. Обращение имеет форму именительного падежа и произносится с особой интонацией: Татьяна, милая Татьяна! С тобой теперь я слезы лью . Обращения обычно выражаются одушевленными существительными, а также прилагательными и причастиями в значении существительных. Например: Жизнью пользуйся, живущий . В художественной речи обращениями могут быть и существительные неодушевленные. Например: Шуми, шуми, послушное ветрило ; Не шуми ты, рожь , спелым колосом .
Личные местоимения ты и вы , как правило, выступают не в роли обращения , а в роли подлежащего: Простите, мирные долины , и вы , знакомых гор вершины , и вы , знакомые леса !
17.1.2. Существуют и более сложные правила выделения обращений.
1. Если обращение, стоящее в начале предложения, произносится с восклицательной интонацией, то после него ставится восклицательный знак (следующее за обращением слово пишется с прописной буквы): Старик! О прежнем позабудь; Молодой уроженец Неаполя! Что оставил в России ты на поле?
2. Если обращение стоит в конце предложения, то перед ним ставится запятая, а после него - тот знак препинания, который требуется содержанием и интонацией предложения: Думай же, мастер культуры ; Привет вам, люди мирного труда!; Ты здесь, миленький? ; Свинья ты, братец …
3.Повторяющиеся обращения разделяются запятой или восклицательным знаком: Степь широкая, степь безлюдная , отчего ты так смотришь пасмурно?; Здравствуй, ветер, грозный ветер, попутный ветер всемирной истории! ; Васька! Васька! Васька! Здорово!
4.Однородные обращения, соединенные союзом и или да , запятой не разделяются: Пойте, люди, города и реки! Пойте, горы, степи и поля! ; Здравствуй, солнце да утро весёлое!
5. При наличии нескольких обращений к одному лицу, находящихся в разных местах предложения, каждое из них выделяется запятыми: Иван Ильич , распорядись, братец , насчёт закуски; …Я потому, Фома , не лучше ли, брат , расстаться?
6. Если распространенное обращение «разорвано» другими словами - членами предложения, то каждая часть обращения выделяется запятыми по общему правилу: Крепче, конское , бей, копыто , отчеканивая шаг! ; За кровь и слёзы жаждавший расплаты , тебя мы видим, сорок первый год .
Среднее общее образование
Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)
Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)
Математика
Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения
Разбираем задания и решаем примеры с учителемЭкзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).
Минимальный порог - 27 баллов.
Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.
Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:
- часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
- часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:
«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».
Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.
Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.
Решение:
1) Найдем количество потраченной воды за месяц:
177 - 172 = 5 (куб м)
2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:
34,17 · 5 = 170,85 (руб)
Ответ: 170,85.
Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.
#ADVERTISING_INSERT#
Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?
Решение:
2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.
6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.
7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.
Ответ: 15000.
Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.
Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:
Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:
S = В + |
Г | |
2 |
S = 18 + |
6 | |
2 |
Читайте также: ЕГЭ по физике: решение задач о колебаниях
Задание № 4 - задача курса «Теория вероятностей и статистика». Проверяется умение вычислять вероятность события в простейшей ситуации.
Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.
Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :
у которых все вершины красные.
3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.
4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.
у которых вершины красные или с одной синей вершиной.
у которых вершины красные или с одной синей вершиной.
8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.
9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.
10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.
11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.
Ответ: 10.
Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).
Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .
Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим
2 3 + x | = 0,4 или | 2 | 3 + х | = | 2 | , | ||
5 3 + х | 5 | 5 |
откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.
Ответ: –2.
Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.
Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .
Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому
Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.
Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.
Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).
Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).
(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)
(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)
(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)
–y + 3 = –4x + 16| · (–1)
y – 3 = 4x – 16
y = 4x – 13, где k 1 = 4.
2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:
3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.
Ответ: –0,25.
Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.
Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.
Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому
а 3 = 216
а = 3 √216
2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.
Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:
- преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.
преобразования числовых рациональных выражений;
преобразования алгебраических выражений и дробей;
преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;
действия со степенями;
преобразование логарифмических выражений;
Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и
3π | < α < π. |
4 |
Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём
tg 2 α = | 1 | – 1 = | 1 | – 1 = | 10 | – 1 = | 5 | – 1 = 1 | 1 | – 1 = | 1 | = 0,25. |
cos 2 α | 0,8 | 8 | 4 | 4 | 4 |
Значит, tg 2 α = ± 0,5.
3) По условию
3π | < α < π, |
4 |
значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.
Ответ: –0,5.
#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Два тела массой m
= 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v
= 10 м/с под углом 2α
друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q
= mv
2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α
(в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение.
Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α
∈ (0°; 180°).
mv 2 sin 2 α ≥ 50
2· 10 2 sin 2 α ≥ 50
200 · sin 2 α ≥ 50
Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только
Изобразим решение неравенства графически:
Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.
Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.
Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.
Решение: Обозначим a 1 = 5 – количество задач, которые Вася решил 18 марта, d – ежедневное количество задач, решаемых Васей, n = 16 – количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, S 16 = 560 – общее количество задач, a 16 – количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то можно использовать формулы нахождения суммы арифметической прогрессии:560 = (5 + a 16) · 8,
5 + a 16 = 560: 8,
5 + a 16 = 70,
a 16 = 70 – 5
a 16 = 65.
Ответ: 65.
Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.
Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.
Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).
2) Найдем производную функции:
4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума x = –8.
Скачать бесплатно рабочую программу по математике к линии УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной 10-11 Скачать бесплатно методические пособия по алгебреЗадание № 13 -повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее умение решать уравнения, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.
а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,
|
log 3 (2cosx ) = | 2 | ⇔ |
|
2cosx = 9 | ⇔ |
|
cosx = | 4,5 | ⇔ т.к. |cosx | ≤ 1, |
log 3 (2cosx ) = | 1 | 2cosx = √3 | cosx = | √3 | ||||||
2 | 2 |
то cosx = | √3 |
2 |
|
x = | π | + 2πk |
6 | |||
x = – | π | + 2πk , k ∈ Z | |
6 |
б) Найдём корни, лежащие на отрезке .
Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни
11π | и | 13π | . |
6 | 6 |
Ответ: а) | π | + 2πk ; – | π | + 2πk , k ∈ Z ; б) | 11π | ; | 13π | . |
6 | 6 | 6 | 6 |
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.
Тогда расстояние между хордами составляет либо
= = √980 = = 2√245
= = √788 = = 2√197.
По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.
б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.
Значит, искомый угол равен
∠ABH = arctg | AH | = arctg | 28 | = arctg14. |
BH | 8 – 6 |
Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.
Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .
Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:
1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.
2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].
3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].
Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
Решение: а)
1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.
2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.
3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.
BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.
4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.
2x | = | 4 – 2x |
2x (√3 + 1) | 4 |
1 | = | 2 – x |
√3 + 1 | 2 |
√3 – 1 = 2 – x
x = 3 – √3
EF = 3 – √3
2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )
S DEFH = 24 – 12√3.
Ответ: 24 – 12√3.
Задание № 17 - задание с развернутым ответом, это задание проверяет применение знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это задание - текстовая задача с экономическим содержанием.
Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.
Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство
(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17
29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17
0,31x < 17 + 20 – 29,282
0,31x < 7,718
x < | 7718 |
310 |
x < | 3859 |
155 |
x < 24 | 139 |
155 |
Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.
Ответ: 24.
Задание № 18 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 18 необходим, кроме прочных математических знаний, также высокий уровень математической культуры.
При каких a система неравенств
x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1 | |
y + a ≤ |x | – a |
имеет ровно два решения?
Решение: Данную систему можно переписать в виде
x 2 + (y – a ) 2 ≤ 1 | |
y ≤ |x | – a |
Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а
). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y
= |
x
| –
a
,
причём последний есть график функции
y
= |
x
|
, сдвинутый вниз на а
. Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.
Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.
Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,
Qr = 2a = √2, a = | √2 | . |
2 |
Ответ: a = | √2 | . |
2 |
Задание № 19 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 19 необходимо уметь осуществлять поиск решения, выбирая различные подходы из числа известных, модифицируя изученные методы.
Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.
а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .
в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.
Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:
S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,
S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27
значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.
Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.
Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.
в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.
Осталось проверить значения с 13 до 25:
S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.
Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.
Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.
________________
*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.
В этой статье рассмотрим решение задач из Задания 17, в которых требуется оптимальным образом распределить производство продукции для получения максимальной прибыли.
Задача 1. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары - стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
Величина прибыли зависит от того, каким образом будут распределены производственные мощности на заводе, то есть какая часть мощностей будет направлена на выпуск компотов в стеклянной таре, а какая - в жестяной. Ту величину, от которой зависит прибыль примем за неизвестное.
Пусть величина - это часть мощностей завода, направленных на выпуск компотов в стеклянной таре. Тогда оставшиеся мощности, то есть направлены на выпуск компотов в жестяной таре.
В этом случае завод выпустит центнеров компота в стеклянной таре, и центнеров в жестяной.
Прибыль с одного центнера продукции равна разности между отпускной ценой и себестоимостью. Таким образом
1 центнер компотов в стеклянной таре приносит прибыль руб
1 центнер компотов в жестяной таре приносит прибыль руб
В итоге полученная прибыль в зависимости от составит
Упростим выражение для функции
Коэффициент при больше нуля, следовательно, это функция возрастающая, и чем больше значение , тем больше прибыль. Но по условию задачи нельзя отдать все мощности на производство компотов в стеклянной таре: для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров.
Найдем, какую часть мощностей нужно отдать под производство компотов в жестяной таре:
Под производство компотов в жестяной таре необходимо отдать часть всех мощностей завода, следовательно, под производство компотов в стеклянной таре можно отдать максимум всех мощностей.
Ответ: .
Задача 2. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.
Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
(из сборника Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.)
Величина дохода фермера зависит от того, каким образом будет распределена площадь каждого поля между посадками картофеля и свеклы.
Пусть на первом поле фермер отвел га под картофель. Тогда под свеклу остается га.
Урожайность картофеля на первом поле 500 ц/га, а свеклы 300 ц/га.
В этом случае прибыль с первого поля составит - перед нами возрастающая функция, которая принимает наибольшее значение при максимально возможном . Так как никаких ограничений по распределению площадей посадки между картофелем и свеклой перед фермером не стоит, ему выгодно все первое поле отдать под картофель, тогда он получит прибыль:
Руб.
Аналогично поступим со вторым полем.
Пусть на втором поле фермер отвел га под картофель. Тогда под свеклу остается га.
Урожайность картофеля на втором поле 300 ц/га, а свеклы 500 ц/га.
Если подумать, здесь даже не нужно составлять функцию, так как урожайность свеклы на втором поле выше, чем картофеля, и стоимость одного центнера свеклы также больше. Поэтому очевидно, что на втором поле фермеру выгоднее выращивать только свеклу. В этом случае прибыль со второго поля составит
Руб.
Общая прибыль фермера равна руб.
Ответ:
ЕГЭ по математике профильный уровень
Работа состоит из 19 заданий.
Часть 1:
8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности.
Часть 2:
4 задания с кратким ответом
7 заданий с развернутым ответом высокого уровня сложности.
Время выполнения - 3 часа 55 минут.
Примеры заданий ЕГЭ
Решение заданий ЕГЭ по математике.
Для самостоятельного решения:
1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек.
Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 12625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12802 киловатт-часа.
Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?
Ответ дайте в рублях.
Задача с решением:
В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ = 5 корней из 3, SC = 13.
Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.
Решение:
1. Поскольку SABC - правильная пирамида, то ABC - равносторонний треугольник, а остальные грани - равные между собой равнобедренные треугольники.
То есть все стороны основания равны 5 sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.
2. Пусть D - середина BC, E - середина AS, SH - высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, EP - высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.
3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.
4. Поскольку пирамида правильная, точка H - это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH = 2 AD).
5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.
6. Треугольники AEP и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и AP = AH/2, и EP = SH/2.
7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDP (нас как раз интересует угол EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;
Тангенс угла EDP = EP/DP = 6/5,
Угол EDP = arctg(6/5)
Ответ:
ЕГЭ 2019 по математике задание 17 с решением
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 по математике
ЕГЭ по математике 2019 в формате pdf
Базовый уровень | Профильный уровень
Задания для подготовки к ЕГЭ по математике: базовый и профильный уровень с ответами и решением.