Кривые Римана Затем Эйнштейн узнал о немецком математике Георге Фридрихе Бернхарде Римане, который пошел в создании криволинейной геометрии дальше Лобачевского. В 1854 г. он вообразил, что пространство может быть искривленным. По сути дела, он разработал именно ту

Наследие Римана

Наследие Римана Риман упорно продолжал исследования в области физики. В 1858 г. он даже объявил, что наконец сформулировал единое описание для света и электричества. Он писал: «Я полностью убежден, что моя теория верна и что через несколько лет ее признают таковой».

Коши

Пусть функция =u (x,y )+iv (x,y ) определена в окрестности точки z = x +iy . Если переменной z придать приращение  z = x +i  y , то функция
получит приращение


= (z + z )–
=u (x + x , y + y )+

+ iv (x + x , y + y ) - u (x,y ) - iv (x,y ) = [u (x + x , y + y ) –

– u (x,y )] + i [v (x + x , y + y ) - v (x,y )] =

= u (x,y ) + i  v (x,y ).

Определение. Если существует предел

=

,

то этот предел называется производной от функции
в точкеz и обозначается через f (z ) или
. Таким образом, по определению,

=

=

. (1.37)

Если функция
имеет производную в точкеz , то говорят, что функция
дифференцируема в точкеz . Очевидно, для дифференцируемости функции
необходимо, чтобы функцииu (x,y ) и v (x,y ) были дифференцируемы. Однако этого не достаточно для существования производной f (z ). Например, для функции w == x –iy функции u (x,y )=x

и v (x,y )=–y дифференцируемы во всех точках M(x,y ), но предел отношения
при x 0,  y 0 не существует, так как, если  y = 0,  x  0, то  w / z = 1,

если же  x = 0,  y  0, то  w /z = -1.

Единого предела не существует. Это означает, что функция

w = не имеет производную ни в одной точке z . Для существования производной от функции комплексного переменного требуются дополнительные условия. Какие именно? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Пусть функции u (x,y ) и v (x,y ) дифферен-цируемы в точке M(x,y ). Тогда для того, чтобы функция

= u (x,y ) + iv (x,y )

имела производную в точке z = x +iy , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

Равенства (1.38) называются условиями Коши-Римана.

Доказательство . 1) Необходимость. Пусть функция
имеет производную в точке z, то есть существует предел

=

=
.(1.39)

Предел, стоящий в правой части равенства (1.39) не зависит от того, по какому пути точка  z =  x +i  y стремится

к 0. В частности, если y = 0, x  0 (рис. 1.10), то

Если же x = 0, y  0 (рис. 1.11), то

(1.41)

Рис.1.10 Рис. 1.11

Левые части в равенствах (1.40) и (1.41) равны. Значит равны и правые части

Отсюда следует, что

Таким образом, из предположения о существовании производной f (z ) следует выполнение равенств (1.38), то есть условия Коши-Римана необходимы для существования производной f (z ).

1) Достаточность. Предположим теперь, что равенства (1.38) выполнены:

и докажем, что в этом случае функция
имеет производную в точкеz = x +iy , то есть предел (1.39)

=

существует.

Так как функции u (x,y ) и v (x,y ) дифференцируемы в точке M(x,y ), то полное приращение этих функций в точке M(x,y ) можно представить в виде

,

где  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 при x 0, y 0.

Так как, в силу (1.38),

Следовательно,

=
,

 1 =  1 +i  1 0,  2 =  2 +i  2 0 при z = x +i y 0.

Таким образом,

Так как z  2 = x  2 +y  2 , то x / z 1, y/ z 1. Поэтому

при z  0.

Отсюда следует, что правая часть равенства (1.42) имеет предел при  z  0, следовательно, и левая часть имеет предел при  z  0, причем этот предел не зависит от того, по какому пути  z стремится к 0. Таким образом, доказано, что если в точке M(x,y ) выполнены условия (1.38), то функция
имеет производную в точкеz = x +iy , причем

.

Теорема доказана полностью.

В процессе доказательства теоремы получены две формулы (1.40) и (1.42) для производной от функции комплексного переменного

,

.

С помощью формул (1.38) можно получить еще две формулы

, (1.43)

. (1.44)

Если функция f (z ) имеет производную во всех точках области D, то говорят, что функция
дифференцируема в области D. Для этого необходимо и достаточно, чтобы условия Коши-Римана выполнялись во всех точках области D.

Пример. Проверить условия Коши-Римана для

функции e z .

Так как e z = e x+iy = e x (cosy + i siny ),

то u (x , y ) = Ree z = e x cosy , v (x , y ) = Ime z = e x siny ,

,
,

,
,

следовательно,

Условия Коши - Римана для функции e z выполнены во всех точках z. Таким образом, функция e z дифференцируема на всей плоскости комплексной переменной, причем

Точно так же доказывается дифференцируемость

функций z n , cos z , sin z , chz , shz , Lnz , и справедливость формул

(z n ) = n z n-1 , (cosz ) = -sinz , (sinz ) = cosz ,

(chz ) = shz , (shz ) = chz , (Lnz ) = 1/z .

Для функций комплексного переменного остаются в силе все правила дифференцирования функций действительного переменного. Доказательство этих правил вытекает из определения производной так же, как и для функций действительного переменного.

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Найти действительную и мнимую часть функции

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:

Только в этом случае будет существовать производная!

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные :

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Интеграл ФКП. Теорема Коши.

Формула (52 ) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в (52 ) выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что - дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения.

Функции комплексной переменной.
Дифференцирование функций комплексной переменной.

Данная статья открывает серию уроков, на которых я рассмотрю типовые задачи, связанные с теорией функций комплексной переменной. Для успешного освоения примеров необходимо обладать базовыми знаниями о комплексных числах. В целях закрепления и повторения материала достаточно посетить страницу . Также потребуются навыки нахождения частных производных второго порядка . Вот они какие, эти частные производные… даже сам сейчас немного удивился, насколько часто встречаются…

Тема, которую мы начинаем разбирать, не представляет особых сложностей, и в функциях комплексной переменной, в принципе, всё понятно и доступно. Главное, придерживаться основного правила, которое выведено мной опытным путём. Читайте дальше!

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной , то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительные значения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Пример 1

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Пример 2

Найти действительную и мнимую часть функции

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана :

Только в этом случае будет существовать производная!

Пример 3

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как , то:

Таким образом:

– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

2) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные :

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Существуют еще два способа нахождения производной, они, конечно, применяются реже, но информация будет полезна для понимания второго урока – Как найти функцию комплексной переменной?

Производную можно найти по формуле:

В данном случае:

Таким образом

Предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить . Для того, чтобы это сделать, необходимо в слагаемых и вынести за скобку:

Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, для проверки всегда лучше взять выражение и на черновике либо устно раскрыть обратно скобки, убедившись, что получится именно

Зеркальная формула для нахождения производной:

В данном случае: , поэтому:

Пример 4

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Краткое решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Всегда ли выполняются условия Коши-Римана? Теоретически они чаще не выполняются, чем выполняются. Но в практических примерах я не припомню случая, чтобы они не выполнялись =) Таким образом, если у вас «не сошлись» частные производные, то с очень большой вероятностью можно сказать, что вы где-то допустили ошибку.

Усложним наши функции:

Пример 5

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить

Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена:

Определим действительную и мнимую части данной функции:

Внимание и еще раз внимание!

Так как , то:


Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Проверка второго условия:

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой:

Вычислим значение производной в требуемой точке:

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:

Пример 6

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить .

Решение и образец чистового оформления в конце урока.

В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т.д. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями.

Сначала о так называемых формулах Эйлера :

Для любого действительного числа справедливы следующие формулы:

Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.

Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр не обязан быть одинокой буковкой, в качестве может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:

Пример 7

Найти производную.

Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:

Поскольку , то:

(1) Подставляем вместо «зет».

(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.

(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.

(4) Используем школьное действие со степенями.

(5) Для множителя используем формулу Эйлера , при этом .

(6) Раскрываем скобки, в результате:

– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:

Пример 9

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Производную, так и быть, находить не станем.

Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:

Поскольку , то:

1) Подставляем вместо «зет».

(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса . В этих целях раскрываем скобки.

(3) Используем формулу , при этом .

(4) Используем чётность гиперболического косинуса : и нечётность гиперболического синуса : . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.

В итоге:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Внимание! Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.

С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:

Пример 10

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.

Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…

Пример 11

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Решение: Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции.
Если , то

Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?

Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение , он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников . Вспоминаем школьную формулу . В знаменателе у нас уже есть , значит, сопряженным выражением будет . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на :

Транскрипт

1 Условия Коши-Римана.) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w zi e. Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера): w f z u, iv, то в каждой точке дифференцируемости функции f z Если z i выполняются равенства, u v u v Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: zi ii i i we e e e e e cos isin e cos isin e cos ie sin Выделим действительную u и мнимую v части функции w: u, e cos v, e sin Вычисляем частные производные: u cos e e cos v e sin e cos u e cos e sin v e sin e sin - условия Коши-Римана выполняются. Литература:) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 00, стр. 59 (пример 9), стр. 0 (пример);) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 006, стр. 530, стр (условия Эйлера-Даламбера, аналитичность функции).) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w z 4iz. Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: w i 4i i i 4 i i

2 Выделим действительную u и мнимую v части функции w: u, 4 v, 4 Вычисляем частные производные: u 4 v 4 u 4 4 v условия Коши-Римана выполняются. 3) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции sin iz. Выразим тригонометрическую функцию sin z через показательную: iz iz e e sin z i и примем во внимание, что z i: ii ii ii ii i i e e e e e e e e sin iz i i i e i i e e e e e cos isin e cos isin e sin icose sin icos e sin icose sin icos e sin ie cose sin ie cos sin cos e e i e e Действительная и мнимая части числа u iv: u, sin e e, cos v e e

3 Вычисляем частные производные: u sin sin e e e e v cos e e sin e e sin e e и u sin cos e e e e cos cos e e e e v Как видим, условия Коши-Римана u v u v sin iz выполняются. для функции 4) Пользуясь условиями Коши-Римана, проверить, будет ли аналитической функция w f z: Функция wsin z3 z. w f z называется аналитической в точке z, если она дифференцируема как в самой точке z, так и в некоторой её окрестности. Функция w f z, дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической функцией в этой области. Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера): Если z i w f z u, iv, то в каждой точке дифференцируемости функции f z выполняются равенства u v u v,. Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: i 3 i w sin ii ii e e 3i3 i i i e e 3i3 i i i e e e e 3i3 i e cos isin e cosisin 3i3 i e cos ie sin e cos i e sin 3 i3 i 3

4 cos e e i e e sin 3i3 i cos i e e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh i cos 3 Формулы, использованные в преобразованиях: iz iz e e sin z i, zc e e sh, R e e ch, R Выделим действительную и мнимую части w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Вычисляем частные производные: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin v sh cos 3 sh sin Итак, условия Коши-Римана u v u v, выполнены; следовательно, функция sin w f z z3 z является аналитической. 4

5 5) Доказать аналитичность функции и найти производную: z z e w e Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: i i e e w e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cos ie sin e cos ie sin cos e e i e e sin e e e e cos i sin ch cos ish sin Выделим действительную и мнимую части w z u, i v, u, chcos v, shsin Вычисляем частные производные: u ch cos sh cos v sh sin sh cos u ch cos ch sin v sh sin ch sin: Условия Коши-Римана u v u v, выполнены; следовательно, функция w f z e z e z является аналитической. Для всякой аналитической функции f z u, i v, частные производные функций u u, и v v, : производная f u v v u u u v v f z i i i i Вычисляем производную функции производные функций u, и v, : z выражается через f z, используя выражение производной функции w z z z e e u v w z i sh cos ich sin z через частные 5

6 или непосредственно: z z e e z z z z w e e z e e z i i i i e e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos sin e e i e e e e e e cos i sin sh cos ich sn i 6) Представить iz w, где z i e, в виде w u, i v,. Проверить, будет ли она аналитической, если да, то найти производную в точке z0 6. Выделим в данном числе в явном виде действительную u, и мнимую части, ep ep ep ep e cos i sin e cos i e sin v: i w iz i i i i e e - получено комплексное число в алгебраической форме записи. Re w u, e cos Im w v, e sin Для всякой аналитической функции f z u, i v, частные производные функций u u, и v v, : производная f u v v u u u v v f z i i i i z выражается через Вычислим частные производные u, e cos, sin v e u e cos sin e u cos e cos e v e sin sin e v sin e cos e Поскольку условия Коши-Римана выполняются (u v, u v) для всех точек плоскости O, исследуемая функция является аналитической на всей плоскости, и её производная 6

7 u v w z i e i e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 В точке z0 i0: Литература:) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 00, стр. 59 (пример 9), стр. 0 (пример). Вычислить значение функции. 7) Вычислить значение функции комплексного переменного w cos z в точке z0 i. e Для любого z C: cos z iz e iz Тогда ii ii i i i i e e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e e e cos i sin ch cos i sh sin Ответ: i cos ch cos ish sin Литература:) Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 009, том 0, изд. МГТУ, стр. 06;) Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 00, стр) Вычислить значение функции комплексного переменного w th z в точке z 0 ln 3 в алгебраической форме. z z e e Для любого z C: th z z z e e Значит i i ln 3 i ln 3 i e 4 e w z 0 i e e th ln ln 3 i ln 3 i i i e 4 e 4 e 4 3 e 4 3 i 4, ответ записать 7

8 i i 9cos isin cos isin 9e 4 e i i 9e 4 e 4 9cos isin cos isin i i 9 i i 9 i i 9 i i 9 i9 i 8 i0 45i 9 i9 i 0 i 8 5 4i 4 5i5 4i 0 5i6i0 40 9i 40 9 i 54i54i результат вычисления в алгебраической форме. 9) Вычислить значение функции комплексного переменного Ln z в точке z 0. Указать главное значение функции. Логарифмическая функция Ln ln arg z z i z k kz Главным значением логарифма числа z называют значение, соответствующее главному значению аргумента числа z ; т.е. главное значение логарифма получим при k 0: ln z ln z i arg z Модуль и аргумент числа z0 0 i: z 0 arg z 0 Следовательно Ln ln i k 0k i kz - значения функции комплексного переменного в точке z 0, записанные в алгебраической форме. (логарифмическая функция Ln z является многозначной) Главное значение логарифма числа z ln 0 i 8

9 0) Вычислить значение функции комплексного переменного i z в точке z i 0. При любых, w z C: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Модуль и аргумент числа w i: i arg iarctg 4 ln i ln i ki i k i k i i ln i iarg i ki ln i i e e 4 e 4 e 4 ln k i k 4 ln ln e e e 4 cos isin, kz - значения функции комплексного переменного z в точке z0 i, записанные в тригонометрической форме (функция многозначная).) Вычислить значение функции комплексного переменного arcctg z в точке z0 i, ответ записать в алгебраической форме. i z i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (при k 0 получаем главное значение логарифма ln z ln z i arg z) z0 i ii i i3i i3i3 4i i z i ii 3i 3i3i z0 i Ln Ln iln iarctg k z i ln iarctg k ln 5iarctg k, kz 5 и z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (главное значение Arcctg i) 9

10 ) Вычислить значение функции комплексного переменного arccos z в точке z0 i, ответ записать в алгебраической форме. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz При k 0 получаем главное значение логарифма ln z ln z i arg z и главное значение арккосинуса arccos z arg z z iln z z Квадратный корень из комплексного числа даёт два значения; для главного значения функции выбираем одно, аргумент которого попадает в промежуток 0 ;. В данном случае: arccos ln ln iln i i Корень из числа i i i i i i i i принимает два значения. Найдём их: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos Используя формулы cos cosarctg 5, получим: cos и sin, и принимая во внимание, что arctg 5 5 cos 0 arctg 5 5 sin 0 и тогда i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 и 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k Из двух значений выбираем второе, т.к. его аргумент попадает в промежуток 0 ;. Итак, i i 5 i arccos z arg z z iln z z arctg 5 5 iln i 5 5 arctg 5 5 i ln 5 arctg 5 i l n 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (главное значение Arccos i) Литература:) Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 009, том 0, изд. МГТУ, стр. 06;) Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 00, стр. 40.

1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch; б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch(L(В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L(± L(± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ

Комплексный анализ Функции комплексного переменного Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского университета

В. Д. Михайлов Функции комплексной переменной в примерах и задачах 04 УДК 57.5 ББК.6 М69 Михайлов В.Д. Функции комплексной переменной в примерах и задачах: Учебное пособие. СПб., 04. 30 с. Учебное пособие

Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

1 Комплексные функции 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i

Понятие комплексного переменного Предел и непрерывность комплексного переменного Пусть дано два множества комплексных чисел D и Δ и каждому числу z D поставлено в соответствие число ω Δ которое обозначается

Светличная В. Б., Агишева Д. К., Матвеева Т. А., Зотова С. А. Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного Волгоград 0 г. Министерство образования и науки РФ Волжский политехнический

СА Зотова, ВБ Светличная ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО МАТЕМАТИКА УДК 5 Рецензенты- дф-мн, проф Горяинов ВВ к ф-мн, доц Кульков ВГ Зотова СА, Светличная ВБ Практическое

Комплексные числа, функции и действия над ними y модуль R действительная часть действ число, yim мнимая часть действительное число iy алгебраическая форма записи компл числа Главное значение аргумента

Производные основных элементарных функций Производная функции может быть найдена по следующей схеме: аргументу х даем приращение для функции y найдем соответсвующее приращение y y составим отношение находим

С А Лавренченко wwwlwrckoru Лекция 4 Основные функции Дробно-рациональные функции Дробно-рациональной функцией комплексной переменной называется отношение двух многочленов: P() w Q() 0 b 0 m b m b m,

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).

Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома. Интегрирование иррациональностей

Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ Методические указания для самостоятельной работы Составители ЛИ Лесняк, ВА

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки 0030 Математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра

Комплексный анализ Арифметика и геометрия комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского университета

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическим занятиям по математике для иностранных студентов

Основные определения, формулы и теоремы Ряды 1. Супремум и инфинум. Наименьшее число, ограничивающее сверху некоторое множество чисел называется точной верхней гранью или супремумом этого множества. Двойственным

Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Тема: Преобразование тригонометрических выражений Учет ОДЗ в тригонометрических уравнениях Подготовка к ЕГЭ (задание 9; ; 8) Определение: Областью определения уравнения f g или областью допустимых значений

ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f () называется непрерывной в точке, если она

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1 С А Лавренченко wwwlawrencenkor Лекция 3 Дифференцируемость 1 Понятие дифференцируемости Пусть комплексная функция w f комплексной переменной определена в некоторой окрестности точки Определение 11 дифференцируемости

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Новокузнецкий

Приложение ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА Изображение F./ Оригинал f.t/ 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 η.t/ n,.n D,.../ t n.n /! λ t e λt. λ/ te λt. λ/ n,.n D,.../. a/. b/. a/. b/.n /! tn e λt sin ωt C ω ω

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А П СТАРОВОЙТОВ Г Н КАЗИМИРОВ Ж Н КУЛЬБАКОВА ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ВЫСШИЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» М А Т Е М А Т И К А ПРАКТИКУМ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ ЗАОЧНЫХ ОТДЕЛЕНИЙ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛАВА ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В этой главе для простоты дальнейшего чтения рассмотрены элементы алгебры комплексных чисел и классической алгебры

ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические указания для практических занятий

Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» Комплексные числа и операционное исчисление

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Одесская национальная академия связи им АС Попова Кафедра высшей математики Стрелковская ИВ, Паскаленко ВН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебное пособие для иностранных студентов

Индивидуальные домашние задания ИДЗ-1 Вычисление частных производных 1 Найти область определения функций: 11 z /(5) 1 z arcsin() 1 z 1 z ln() 15 z /(6) 16 z 5 17 z arccos() 18 z /() 19 z 9 11 z ln(

Программа вступительного испытания по математике, проводимого Академией самостоятельно для отдельных категорий граждан в соответствии с Правилами приема На вступительном экзамене по математике поступающий

Lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f " d, где f " и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Р М Минькова ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Рекомендовано

Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Практическое занятие 8 Вычеты 8 Определение вычета 8 Вычисление вычетов 8 Логарифмический вычет 8 Определение вычета Пусть изолированная особая точка функции в изолированной особой Вычетом аналитической

Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

М. И. Шабунин, Е. С. Половинкин, М. И. Карлов C Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области прикладных математики и физики

Лекция 3 3. Замечание об аналитических функциях 3.2 Степенная функция Степенная функция w = z n, (3.) где n > натуральное число, является аналитической во всей комплексной плоскости C. Ее производная w

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» КУРС ЛЕКЦИЙ И ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебное электронное

I Аннотация Цель и задачи дисциплины (модуля) Цель освоения дисциплины: дать студентам систематические знания по методам комплексного анализа и научить их применять эти знания к решению задач математического

Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование тригонометрических функций с помощью различных подстановок. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование

5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F"() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Программа вступительного испытания по математике, проводимого Северо-Кавказским институтом-филиалом РАНХиГС самостоятельно для отдельных категорий граждан в соответствии с Правилами приема показать: На

Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

СПбГУ Экономический факультет Математический анализ курс семестр 03/04 уч.г. Свиркина Лариса Анатольевна СЕМИНАР 6. (09.0.03 и.0.03) Аудиторная работа Проверка домашнего задания (М.9,..3,..6,..0) (продолжение)

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством