Эдуард Френкель, “Любовь и математика”. Эдуард Френкель, “Любовь и математика” Эдвард френкель любовь

Антисемитские условия приема в советские университеты с точки зрения ведущего математика

Когда я рос в Советском Союзе в 1980-е годы, я думал, что математика - это устаревший и скучный предмет. В школе я решал любые задачи и блестяще сдавал все экзамены, но то, что мы обсуждали в классе, казалось мне бессмысленным и бесполезным. Тогда меня по-настоящему влекла к себе квантовая физика. Я прочитывал залпом все научно-популярные книги по этому предмету, которые только попадали мне в руки. Но эти книги не давали ответов на более серьезные вопросы, касающиеся структуры вселенной, поэтому мне их было мало.

К счастью или к несчастью, мне помог один из друзей нашей семьи. Я вырос в маленьком промышленном городке под названием Коломна с населением около 150 тысяч человек, расположенном в 70 милях от Москвы - или всего в двух часах езды от нее. Мои родители работали инженерами в крупной компании, производящей тяжелое машинное оборудование. Один из их друзей по имени Евгений Евгеньевич Петров был математиком и профессором в местном педагогическом институте. Мои родители договорились о нашей с ним встрече.

Евгений Евгеньевич, которому тогда уже было под 50, произвел на меня впечатление дружелюбного и скромного человека. В очках и с бородой он выглядел именно так, как должен был выглядеть математик в моем представлении, и все же в оценивающем взгляде его больших глаз было нечто притягательное. Зная, что меня увлекал квантовый мир, он убедил меня в том, что все удивительные открытия в этой области основываются на достижениях традиционной математики.

«Если ты действительно хочешь понять это, тебе сначала придется освоить математику», - сказал он.

В школе мы изучали квадратные уравнения, базовую геометрию Эвклида и тригонометрию. Я всегда полагал, что математика каким-то образом вращается вокруг этих предметов: возможно, со временем задачи становились сложнее, но они все равно оставались в тех рамках, с которыми я уже был знаком. Но то, что показал мне Евгений Евгеньевич, было фрагментами совершенно иного мира, невидимой параллельной вселенной, о существовании которой я даже не подозревал. Это была любовь с первого взгляда.

С этого момента я начал встречаться с Евгением Евгеньевичем регулярно. Он давал мне книги, и во время наших встреч я рассказывал ему, что я из них узнал нового, и задавал интересующие меня вопросы. Евгений Евгеньевич с энтузиазмом играл в футбол, хоккей и волейбол, но, как и многие мужчины, жившие в Советском Союзе в то время, он был заядлым курильщиком. С тех пор запах сигарет у меня ассоциируется с математикой.

Я быстро учился, и, чем больше я углублялся в математику, тем сильнее становилось мое увлечение ею. Иногда наши встречи растягивались до глубокой ночи. Однажды комендант, которому даже в голову не пришло, что кто-то может находиться в здании в такой час, закрыл на ключ аудиторию, где мы занимались. И, должно быть, мы были так поглощены разговором, что даже не услышали, как ключ поворачивался в замочной скважине. К счастью, эта аудитория располагалась на первом этаже, поэтому нам удалось выбраться на улицу через окно.

В 1984 году я заканчивал школу. Мне нужно было выбрать, в какой университет поступать. В Москве было множество высших учебных заведений, но всего лишь одно место, где можно было изучать чистую математику - Московский государственный университет. Его знаменитый мех-мат - факультет механики и математики - имел передовую программу по математике. И поскольку я хотел заниматься чистой математикой, я должен был поступать именно туда.

В отличие от США в России, чтобы поступить в вуз, необходимо сдавать вступительные экзамены. На мех-мате их было четыре: математика письменно, математика устно, сочинение по литературе и физика устно. К тому времени я прошел большую часть вузовского курса математики, поэтому мне казалось, что я с легкостью сдам эти экзамены.

Но мой настрой оказался слишком оптимистичным. Первый тревожный знак поступил в форме письма, которое я получил из школы заочного обучения. Эта школа открылась несколькими годами раньше, и известный советский математик Израиль Гельфанд был одним из ее основателей. Она была создана, чтобы помогать таким школьникам как я, которые жили за пределами крупных городов и не имели возможности учиться в специализированных математических школах. Каждый месяц ученики по почте получали брошюру с учебными материалами, которые немного выходили за рамки школьной программы. В этой брошюре также содержался ряд задач, более сложных, чем те, которые проходят в школах - учащиеся должны были их решить и отправить по почте преподавателям этой школы на проверку. Преподаватели (зачастую старшекурсники Московского государственного университета) проверяли правильность решения, ставили оценки и отправляли учащимся. Я учился в этой школе в течение трех лет (к тому же я учился еще в одной заочной школе с физическим уклоном). Для меня это было довольно полезным опытом, хотя уровень заданий был довольно простым и не идущим ни в какое сравнение с тем, чем я занимался с Евгением Евгеньевичем.

Письмо, которое я получил из заочной школы, было довольно коротким: «Если вы хотите подавать документы в Московский государственный университет, перед этим загляните к нам в офис, и мы с радостью дадим вам несколько советов». Дальше был указан адрес МГУ и часы приема. Вскоре после того, как я получил это письмо, я сел на поезд и отправился в Москву. Я легко нашел нужный мне кабинет. Это было довольно просторное помещение с множеством столов, за которыми люди работали, печатали, исправляли различные бумаги. Я представился и показал письмо, после чего меня сразу же проводили к миниатюрной женщине, которой было чуть за 30.

Как вас зовут?- спросила она вместо приветствия.

Эдвард Френкель.

И вы хотите поступать в МГУ?

На какой факультет?

Мех-мат.

Понятно,- она опустила глаза и спросила,- Кто вы по национальности?

Русский, - сказал я.

Правда? А кто по национальности ваши родители?

Мать русская.

Отец - еврей.

Она кивнула.

Вам этот диалог может показаться довольно сюрреалистичным - он даже мне кажется сюрреалистичным теперь, когда я записал его. Но в Советском Союзе 1984 года - помните Оруэлла? - не было ничего странного в том, чтобы спросить человека о его национальности. В паспорте, который каждый советский гражданин должен был всегда носить с собой, была отдельная графа «Национальность», которую называли «пятой графой». Она шла после «имени», «отчества», «фамилии» и «даты рождения». Национальность вписывали также и в свидетельство о рождении вместе с национальностями родителей ребенка. Если национальности родителей отличались, что было довольно распространенным явлением, тогда родители могли выбрать национальность своего ребенка.

Фактически «пятая графа» нужна была для того, чтобы определить, был ли тот или иной человек евреем или нет. (Людей других национальностей, таких как татары или армяне, против которых существовало гораздо меньше предубеждений, чем против евреев, тоже распознавали именно таким способом.) В моей «пятой графе» было написано, что я русский, но моя фамилия - фамилия моего отца, которая, несомненно, была еврейской - выдавала меня.

Даже если бы я взял фамилию матери, приемная комиссия все равно так или иначе узнала бы о моем еврейском происхождении, потому что в заявлении необходимо было указывать полные имена обоих родителей. Полные имена предполагают отчества родителей, то есть имена дедушек абитуриента. Отчество моего отца было Иосифович - еще один аргумент в пользу моих еврейских корней (даже если бы фамилия не была настолько откровенно еврейской). Система была рассчитана на то, чтобы определять людей, которые были евреями пусть даже на одну четверть, подобно тому, как это делалось в нацистской Германии.

Определив, что я еврей, эта женщина сказала мне:

Вы знаете, что евреев не принимают в Московский государственный университет?

Что вы имеете в виду?

Я имею в виду, что вам не стоит даже пытаться сюда поступить. Не тратьте время. Вас сюда не пропустят.

Я не знал, что сказать.

Вы поэтому отправили мне это письмо?

Да. Я просто пытаюсь вам помочь.

Я оглянулся. Мне стало ясно, что все присутствующие хорошо знали, о чем мы разговаривали, даже если они не прислушивались к нашим словам. Подобные разговоры, должно быть, имели место десятки раз, и все, казалось, уже к ним привыкли. Все сидящие в этой комнате отводили глаза, как будто я был смертельно больным пациентом. У меня сердце сжалось в комок.

Я и прежде сталкивался с антисемитскими настроениями, но на межличностном уровне, а не на уровне институтов. Когда я учился в пятом классе, некоторые мои одноклассники дразнили меня «еврей, еврей». Мне кажется, они толком не понимали, что это значит (потому что некоторые из них путали слова «еврей» и «европеец») - они просто слышали антисемитские высказывания от своих родителей или других взрослых. (К несчастью, антисемитизм глубоко укоренился в русской культуре.) Тогда я был достаточно сильным, и у меня было несколько настоящих друзей, поэтому меня никогда не били, но это был чрезвычайно неприятный опыт. Я был слишком гордым, чтобы рассказывать об этом моим родителям или учителям, но однажды в такой момент мимо проходил один из учителей. Он вмешался и немедленно отвел этих детей к директору, после чего они перестали дразнить меня.

Важно отметить, что моя семья совершенно не была религиозной. Моего отца никогда не воспитывали в религиозных традициях, точно так же не воспитывали в них и меня. В то время религия в Советском Союзе практически исчезла. Большинство христианских православных храмов были закрыты или разрушены. В немногих оставшихся открытыми церквях можно было найти только бабушек, таких как моя бабушка по материнской линии. Она время от времени ходила на службу в единственный действующий храм в Коломне. Синагог в Советском Союзе было еще меньше. В моем родном городе их не было вовсе, а в Москве, население которой тогда достигало 10 миллионов человек, была только одна синагога. Посещать службы в церквях и синагогах было опасно: вас могли заметить переодетые специальные агенты, после чего возникала масса проблем. Поэтому когда человека называли евреем, имелась в виду не его вера, а его этническая принадлежность, его «кровь».

Мои родители слышали о дискриминации против евреев на вступительных экзаменах в университеты, но они не придавали этим слухам особого значения. Начать с того, что в моем родном городе евреев было немного, а те случаи дискриминации, о которых слышали мои родители, в основном касались физических факультетов. Распространенным аргументом против того, чтобы принимать евреев на физические факультеты, было то, что физики часто имели отношение к ядерным разработкам, то есть к обороне и государственным тайнам: правительство не хотело, что в этих областях работали евреи, потому что они могли эмигрировать в Израиль или куда-либо еще. Если следовать этой логике, чем евреи помешали чистой математике? Очевидно, чем-то помешали.

Мой разговор с сотрудницей университета был странным во всех отношениях. И я имею в виду не только его кафкианский аспект. Вероятно, можно было сделать вывод, что эта женщина просто хотела помочь мне и другим абитуриентам, предупреждая о том, что случится потом. Но может ли такое быть на самом деле? Вспомните, ведь речь идет о 1984 годе, когда Коммунистическая партия и КГБ все еще жестко контролировали все аспекты жизни людей в Советском Союзе. Официальная политика государства предполагала равенство всех национальностей, и несоблюдение этого принципа, якобы, ставило под угрозу всю системы. Тем не менее, та женщина спокойно говорила на эту тему со мной, с совершенно незнакомым ей человеком, которого она видит впервые в жизни, и ее абсолютно не волновало то, что ее коллеги могут услышать нас.

Кроме того, вступительные экзамены в МГУ всегда проводились за месяц до экзаменов в другие вузы. Таким образом, те абитуриенты, которые не смогли поступить в МГУ, имели возможность сдавать экзамены в другие вузы. Зачем было отговаривать от попыток поступить в МГУ? Все выглядело так, будто некие влиятельные силы пытались запугать меня и других абитуриентов-евреев. Но я не хотел останавливаться. После долгого разговора мои родители и я решили, что терять мне нечего. Мы решили, что я должен сдавать экзамены в МГУ и надеяться на лучшее.

Первый экзамен в начале июля был письменной работой по математике, которая всегда состояла из пяти заданий. Пятая задача всегда считалась «нерешаемой». Но я смог решить все пять задач, включая последнюю. Помня о том, что любой проверяющий будет настроен против меня и попытается найти недочеты в моей работе, я подробно расписал свое решение. Потом я проверил и перепроверил все мои расчеты, чтобы убедиться, что я не допустил ни одной ошибки. Все выглядело идеально. В поезде по дороге домой я был в приподнятом настроении. На следующий день я пересказал Евгению Евгеньевичу мои решения, и он подтвердил, что все было правильно. Мне казалось, что начало было очень удачным.

Следующий экзамен был устным экзаменом по математике. Он был назначен на 13 июля, которое еще к тому оказалось пятницей. «Хм, пятница 13-е»,- подумал я. Я очень хорошо запомнил все детали событий того дня. Экзамен назначили на дневное время, поэтому утром вместе с мамой мы сели на поезд. Я вошел в аудиторию в здании МГУ за несколько минут до начала экзамена. Это была обычная аудитория, и там находились примерно 15-20 абитуриентов и четыре или пять экзаменаторов. Сначала каждый из нас должен был выбрать билет из кучи листов, лежащих на столе недалеко от входа в аудиторию. В каждом билете было два вопроса. Это было похоже на лотерею, именно поэтому эти листы назывались билетами. Всего было примерно 100 вопросов, и все они были известны абитуриентам заранее. Мне было все равно, какой билет мне попадется, потому что я блестяще знал материал. После того, как абитуриенты вытягивали билет, они садились за столы и готовились к ответу (нам нельзя было ничем пользоваться - нам выдали только чистые листы бумаги).

Вопросы в моем билете были следующими: 1) В треугольник вписана окружность. Какова будет площадь треугольника, если известен радиус окружности? 2) Назовите производную отношения двух функций (только формула). Это были простые вопросы, на которые я мог ответить, даже если бы меня разбудили посреди ночи. Я сел, написал на листе бумаги несколько формул и собрался с мыслями. Это заняло у меня, должно быть, около двух минут. В том, чтобы сидеть дальше, не было никакой необходимости, и я поднял руку. В аудитории было несколько экзаменаторов, и они ждали, когда абитуриенты поднимут руку, но меня они совершенно игнорировали, как будто меня там не было. Они смотрели сквозь меня. Некоторое время я сидел с поднятой рукой. Никакой реакции.

Потом, спустя примерно десять минут, еще несколько ребят подняли руки, и как только они это сделали, экзаменаторы немедленно направились к ним. Экзаменатор садился рядом с абитуриентом и слушал его или ее ответ. Они сидели довольно близко от меня, и я слышал, как они отвечали. Экзаменаторы вели себя очень вежливо, часто кивали головами и лишь иногда задавали дополнительные вопросы. Ничего необычного. Когда абитуриент заканчивал отвечать на вопросы билета (примерно через 10 минут после начала), экзаменатор давал ему дополнительную задачу, которую необходимо было решить. Эти задачи казались довольно простыми, и большинство с ними справлялись. Вот и весь экзамен.

Первые несколько абитуриентов уже покинули аудиторию, очевидно, получив пятерки, а я продолжал сидеть. Наконец, я схватил за руку одного из экзаменаторов, проходивших мимо меня - молодого человека, видимо, совсем недавно получившего степень доктора наук - и откровенно его спросил: «Почему вы не спрашиваете меня?» Он отвел глаза и спокойно ответил: «Извините, нам запрещено разговаривать с вами».

Прошло уже больше часа, когда в аудиторию вошли двое мужчин средних лет. Они быстро подошли к столу с билетами и представились человеку, который за ним сидел. Он кивнул и указал на меня. Стало ясно, то я ждал именно этих людей. Моих инквизиторов. Они подошли к моему столу и представились. Один из них был худощавым и живым, другой - немного полным и с густыми усами.

Хорошо,- сказал первый (говорил в основном он), - что у нас здесь? Какой у вас первый вопрос?

В треугольник вписана окружность…

Он перебил меня:

Дайте определение окружности.

Он вел себя довольно агрессивно, и его манера резко отличалась от того, как другие экзаменаторы разговаривали с абитуриентами. Кроме того, другие экзаменаторы никогда не задавали вопросы, прежде чем абитуриент полностью не ответит на вопросы билета. Я ответил:

Окружность - это точки плоскости, равноудаленные от данной точки. (Это было стандартное определение.)

Неверно!- весело объявил экзаменатор.

Как это может быть неверным? Он помолчал несколько секунд, а затем сказал:

Это все точки плоскости, равноудаленные от данной точки.

Это прозвучало так, будто мы занимались синтаксическим разбором предложения. Но это было только начало.

Хорошо,- сказал он. - Дайте определение треугольника.

После того, как я дал определение треугольника, он обдумал его, несомненно, пытаясь найти в нем то, к чему он мог бы придраться, а потом продолжил: «А каково определение окружности, вписанной в треугольник?»

Это привело нас к определению касательной, затем к определению прямой и ко многим другим определениям, и вскоре он уже спрашивал меня о пятом постулате Эвклида о параллельных прямых, который даже не входит в школьную программу! Мы говорили о вещах, которые не имели ни малейшего отношения к вопросам билета и которые выходили далеко за рамки того, что я должен был знать. К каждому слову, которое я произносил, задавались дополнительные вопросы. Каждому понятию я должен был дать определение, и если в этом определении звучало другое понятие, ему я тоже должен был дать определение.

Нет никакой необходимости говорить о том, что если бы моя фамилия была Иванов, то мне никто не стал бы задавать всех этих вопросов. Оглядываясь назад, я понимаю, что с моей стороны самым благоразумным в той ситуации было бы протестовать против такого допроса с самого начала и сказать экзаменаторам, что они отклоняются от темы. Но сейчас легко так говорить. Тогда мне было всего 16 лет, а эти люди были почти на 30 лет меня старше. Они были членами приемной комиссии в Московском государственном университете, поэтому я чувствовал, что я обязан отвечать на их вопросы.

Спустя час нашей беседы мы перешли ко второму вопросу моего билета. К тому моменту все остальные абитуриенты уже ушли, и аудитория опустела. Очевидно, я оказался единственным абитуриентом, которому необходимо было уделить «особое внимание». Мне кажется, они старались так распределять абитуриентов-евреев, чтобы в аудитории их было не больше одного-двух человек. В ответе на второй вопрос мне нужно было только написать формулу производной отношения двух функций. На этот раз я не должен был приводить никаких определений или доказательств. В вопросе было четко сказано «только формула». Но, естественно, экзаменаторы настаивали на том, чтобы я рассказал им целую главу книги по математическому анализу.

«Дайте определение производной».

В стандартном определении, которое я дал, упоминалось понятие предела.

«Дайте определение предела».

Потом «Что такое функция?» и все началось сначала.

В одной своей статье в журнале Notices of the American Mathematical Society, посвященной дискриминации на вступительных экзаменах в МГУ, математик и преподаватель Марк Сол (Mark Saul) приводит мою историю в качестве примера. Он сравнил мой экзамен с «допросом Красной королевой Алисы» из «Алисы в стране чудес». Я знал ответы на вопросы, но в этой игре, в которой все мои слова обращались против меня, я не мог одержать победу.

Представляет научное кино нового формата и привозит полнометражную документалистику в разные города страны. В этой колонке мы знакомим вас с новостями ФАНКА и делимся мнениями вокруг современного научного кино.

О том, какие фильмы программы показались ему самыми интересными, рассказывает Эдуард Френкель - профессор Калифорнийского университета в Беркли и автор книги «Любовь и математика» , который был в составе жюри ФАНКа. Он выбрал три ленты, рассказывающие о глобальных проблемах науки и познания, фаталистических прогнозах и смелых мечтах человечества.

Эдуард Френкель

математик

С удовольствием расскажу о фильмах, которые на меня произвели наиболее сильное впечатление на фестивале ФАНК.

"The Happy Film" (2016)

The Happy Film меня тронул главным образом своей человечностью. В нём реально отражена глубина тех вопросов, с которыми мы все сталкиваемся каждый день: что такое счастье, как быть счастливым? Это неизбежно подводит нас к главному вопросу, «кто Я?».

На этот вопрос каждый должен ответить сам, и наука тут может сыграть отрицательную роль, она вполне может заслонить ответ от нас. Но наука может и помочь, подсказав нам, что надо «обратить взор вглубь себя». И именно эту мысль фильм проводит, и весьма элегантно. Его концовка, на мой взгляд, блестящая.

"Machine of Human Dreams" (2016)

Machine of Human Dreams тоже очень интересный фильм. Тема искусственного интеллекта и того, как он может повлиять на человечество - очень важная, и мне она близка. Фильм рассказывает об одном из учёных, которые со страстью и вдохновением работают над проектами искусственного интеллекта, Бене Гертцеле. Забавное совпадение: через несколько дней после того, как я посмотрел этот фильм (в качестве члена жюри ФАНК), судьба меня свела с ним, и у нас был очень интересный многочасовой разговор.

Могу уверить, что это незаурядная личность, а в общении он приятный и мягкий человек. Но, на мой взгляд, проект его, который я бы обозначил условно как «Роботы среди нас», потенциально весьма опасен. Особенно если он будет осуществляться без соответствующего надзора, как он это, собственно, и хочет делать.

Он говорит в фильме в какой-то момент, что хочет найти богатого спонсора, который не будет задавать слишком много вопросов, и утверждает, будто готов ради этого поехать в любую точку планеты. Даже в Северную Корею.

Фильм выигрывает в моих глазах тем, что он прослеживает истоки идей этого учёного. Видно, что, как у многих из нас, они зародились у него в детстве. Похоже, что его личный жизненный опыт подвёл его к резкому недоверию к людям, к отрицанию того, что человечество в принципе способно к позитивной трансформации. Следовательно, он хочет отдать «бразды правления» роботам.

Но хочется спросить: а кто будет программировать этих роботов? Ведь те же самые люди, правда ведь? А раз так, получается, что именно от нас зависит, какой мир мы создадим. От того, как ответим мы себе на вопрос «кто Я?».

В связи с этим хочется упомянуть один из моих любимых фильмов: «Космическая одиссея 2001 года» Стэнли Кубрика. На мой взгляд, Кубрик показал нам, как такая «позитивная трансформация» человечества может произойти: отнюдь не через искусственный интеллект (наоборот, бортовой компьютер HAL 9000 играет разрушительную роль), а через обращение взора вглубь себя.

Издательства Питер вместе с фондом Династия. Прочитал одну из серии - Эдуард Френкель, «Любовь и математика. Сердце скрытой реальности» .

Перевод довольно свежей книги 2013 года (Эдуард родился в Коломне, но вынужден был уехать из СССР, сначала работал в Гарварде, а сейчас работает в Калифорнийском университете в Беркли, так что книга сначала вышла на английском).

Книга про жизненный путь Эдуарда Френкеля и современную математику, в первую очередь программу Ленглендса - программу великого объединения в математике.

“Эта увлекательнейшая теория сплетает паутину глубоких связей между областями математики, которые, казалось бы, должны находиться на расстоянии световых лет друг от друга: алгеброй, геометрией, теорией чисел, анализом и квантовой физикой.

Программа Ленглендса была инициирована в конце 1960-х годов Робертом Ленглендсом - математиком, который в настоящее время занимает кабинет Альберта Эйнштейна в Институте высших исследований в Принстоне. В корне этой программы лежит теория симметрий. При этом основы её были заложены два столетия назад вундеркиндом французом незадолго до того, как в возрасте двадцати лет он был убит на дуэли. Впоследствии она была обогащена другим поразительным открытием, которое не только позволило сформулировать доказательство Великой теоремы Ферма, но и революционизировало наши предстваления о числах и уравнениях. И ещё одна проницательная догадка продемонстрировала, что в математике существует собственный розеттский камень, полный загадочных аналогий и метафор. Следуя этим аналогиям как ручьям, текущим в зачарованной стране Математике, идеи программы Ленглендса переселились в сферы геометрии и квантовой физики, создавая порядок и гармонию из, казалось бы, не поддающегося приручению хаоса.”

Книга для неподготовленного читателя, теория групп и теория симметрий по ходу дела объясняются на пальцах. В книге дан взгляд на современное состояние математики (а это сильно отличается от того, что и как рассказывается в школе). Есть много исторических экскурсов, например, как идеи из теории групп натолкнули на мысли о существовании кварков, отталкиваясь исключительно от математических моделей симметрий. По ходу дела узнаете, что стоит за названиями SO(2), SO(3), SU(2), SU(3), которые вы уже, возможно, встречали, что такое группы и алгебры Ли. Кажется, лишь в этой книжке мне впервые встретилось человеческое описание того, как стоит подступаться к теории Галуа.

Кроме собственно математики, эта книга - про путь одного конкретного человека со школьных лет. На мой взгляд, хорошая иллюстрация того, что если [по описанию вполне обычного] человека заинтересует какая-то область, то он может продвинуться в ней безумно далеко, и очень многое зависит от наших учителей и тех людей, кого нам довелось встретить на пути. Заметная часть книги посвящена описанию жизни математиков в Союзе, семинарам Гельфанда, дискриминации евреев при поступлении на Мехмат МГУ. Полезно знать, как оно было ещё совсем недавно.

Ещё немножко интересных цитат:

“Одна из самых поразительных черт Ленглендса - его умение бегло разговаривать на многих языках: английском, французском, немецком, русском и турецком. И это несмотря на то, что до поступления в университет он не говорил ни на одном другом языке, кроме своего родного, английского. ... Не так давно у меня была возможность поработать в тесном сотрудничестве с Ленглендсом, и мы часто переписывались по-русски. Однажды он прислал мне список русских писателей, произведения которых читал на языке оригинала. Список этот настолько обширен, что я совершенно не удивился бы, узнав, что Ленглендс прочитал больше русской литературы, чем я, родившийся в России. Я частенько задумывался, не связана ли уникальная способность Ленглендса к изучению иностранных языков с его умением сводить воедино разнообразные математические культуры.”

“Таким образом, язык категорий позволяет нам отвлечься от вопроса, что такое эти объекты и из чего они состоят, а вместо этого сфокусироваться на том, как они взаимодействуют друг с другом. Именно поэтому математическая теория категорий оказывается особенно удобной для использования в информатике и программировании. Развитие функциональных языков программирования, таких как Haskell, - один из множества примеров современных приложений теории категорий. Я почти не сомневаюсь, что следующее поколение компьютеров составят машины, базирующиеся не на теории множеств, а на теории категорий, а сами категории мало-помалу станут частью нашей повседневной жизни.”

“Вот уже многие сотни лет математики занимаются изучением функций - одного из центральных понятий всей математической науки. Эту концепцию можно понять интуитивно, достаточно вспомнить температуру или атмосферное давление. Однако что до Гротендика было совсем неочевидно - так это то, что, находясь в контексте многообразий над конечными полями (таких, как кривые над конечным полем), мы можем сделать шаг вперёд и вместо функций начать работать с пучками. Функции были, если можно так выразиться, концепциями архаичной математики, а пучки - это концепции современной математики. Гротендик продемонстрировал, что во многих отношениях пучки - объекты куда более фундаментальные, чем функции. Старые добрые функции - всего лишь их бледные тени.”

“Подобным же образом, поскольку двойственная группа Ленглендса присутствует как в математике, так и в физике, естественно предполагать существование связи между программой Ленглендса в математике и электромагнитным дуализмом в физике. Однако прошло почти тридцать лет, а никому так и не удалось её обнаружить.”

“Ясно одно: партитура окончательной симфонии будет написана на языке математики. Действительно, после того как Янг и Миллс опубликовали свою знаменитую статью, представляющую неабелевы калибровочные теории, физики, к своему удивлению, осознали, что математический инструментарий, необходимый для их теорий, был разработан математиками ещё несколько десятилетий назад без всякой оглядки на физику.”

“Математические истины существуют объективно и не зависят ни от физического мира, ни от человеческого мозга. Нет никакого сомнения в наличии глубоких связей между миром математических идей, физической реальностью и человеческим сознанием, и мы должны уделить их исследованию самое пристальное внимание.”

Отрывок из книги «Любовь и математика. Сердце скрытой реальности» профессора математики Калифорнийского университета в Беркли, популяризатора математики Эдуарда Френкеля о проблеме объяснения «программы Ленглендса» и взаимоотношениях математики и физики.

Как человек становится математиком? Наверное, существует множество разных путей и способов. Позвольте рассказать, как это произошло со мной.

Вы, наверное, удивитесь, но в школе я ненавидел математику. Хотя нет, «ненавидел», пожалуй, слишком сильное слово. Скажем просто, я не очень-то ее любил. Мне казалось, что математика скучная. Я усердно выполнял все задания, но не понимал, зачем мне это. Материал, который мы разбирали в классе, казался мне бессмысленным и бесполезным. Меня восхищала физика, особенно квантовая физика. Я жадно проглатывал все научно-популярные книги по этой теме, которые только попадали мне в руки. Я рос в России, и достать подобную литературу не составляло никаких проблем.

Квантовый мир меня завораживал! С древнейших времен ученые и философы мечтали о том, чтобы дать описание фундаментальной природе Вселенной. Некоторые даже предполагали, что вся материя состоит из крохотных частиц, называемых атомами. Существование атомов было доказано в начале двадцатого века, и примерно в то же время ученые обнаружили, что каждый атом можно, в свою очередь, разделить на составляющие. Выяснилось, что атом представляет собой ядро, вокруг которого вращаются электроны. А само ядро состоит из протонов и нейтронов, как показано на рис. 1.1.

Ну, а что насчет этих частиц? В популярных книгах, которые мне довелось читать, утверждалось, что строительными кирпичиками для протонов и нейтронов являются элементарные частицы, называемые кварками.

Мне понравилось это название - кварки! А еще больше мне понравилась история его происхождения. Физик Марри Гелл-Ман, открывший эти частицы, позаимствовал слово «кварк» из романа Джеймса Джойса «Поминки по Финнегану». В одном из пародийных стихотворений романа встречаются такие строчки:

Three quarks for Muster Mark! Sure he hasn’t got much of a bark
And sure any he has it’s all beside the mark.

Я подумал, что это очень круто - физик назвал частицу в честь романа, да к тому же такого сложного и необычного, как «Поминки по Финнегану»! Мне тогда было около 13 лет, но я уже знал, что ученые должны быть нелюдимыми и немногословными созданиями, столь глубоко погруженными в свою работу, что заинтересоваться прочими жизненными аспектами, такими как искусство и гуманитарные науки, они не в состоянии. Я был совсем не таким. У меня была куча друзей, я любил читать и интересовался множеством других вещей, помимо науки. Мне нравилось играть в футбол, и мы с друзьями готовы были гонять мяч часами. Примерно в то же время я открыл для себя художников-импрессионистов (все началось с толстой книги об импрессионизме, обнаруженной в библиотеке родителей). Моим любимым художником был Ван Гог. Зачарованный его картинами, я даже сам пытался рисовать.

Такие разносторонние интересы заставляли меня сомневаться, что наука действительно может быть моей стезей. Поэтому я был счастлив узнать, что Гелл-Ман, лауреат Нобелевской премии, увлекался, помимо науки, и разными другими вещами (в том числе литературой, лингвистикой, археологией и не только).

Согласно Гелл-Ману, существуют два типа кварков - «верхние» и «нижние». Нейтроны и протоны образованы разными сочетаниями верхних и нижних кварков: нейтрон состоит из двух нижних и одного верхнего кварка (рис. 1.2), а протон - из двух верхних и одного нижнего (рис. 1.3).

Все это было довольно понятно. Однако как физики смогли догадаться о том, что протоны и нейтроны - это не цельные неделимые частицы, что они состоят из еще более мелких частиц, оставалось для меня загадкой.

В конце 1950-х годов ученые обнаружили большое количество, по всей видимости, элементарных частиц, которые получили название адронов. Нейтроны и протоны относятся к классу адронов и, являясь строительными кирпичиками вещества, играют огромную роль в повседневной жизни. Что же касается остальных адронов - их назначение было неочевидно. Ученые совершенно не понимали, для чего они нужны (или «кто их заказывал», как выразился один из исследователей). Во Вселенной оказалось так много различных типов адронов, что влиятельный физик Вольфганг Паули даже пошутил: мол, физика превращается в ботанику. Ученые отчаянно стремились навести порядок в классификации адронов, докопаться до основополагающих принципов, управляющих их поведением и способных объяснить это сводящее с ума многообразие.

Гелл-Ман и независимо от него Юваль Неэман предложили новаторскую классификацию элементарных частиц. Оба продемонстрировали, что адроны естественным образом подразделяются на небольшие семейства, каждое из восьми - десяти частиц. Эти семейства получили названия октетов и декуплетов. Принадлежащие к одному и тому же семейству частицы обладают схожими свойствами.

В популярных книгах, которыми я увлекался в то время, октеты изображались с помощью диаграмм (рис. 1.4).

На диаграмме протон обозначен p + (знак «плюс» указывает на положительный электрический заряд), нейтрон - n 0 (ноль означает, что у этой частицы электрический заряд отсутствует), а остальные шесть частиц со странными названиями - буквами греческого алфавита.

Однако почему 8 и 10 частиц, а не, скажем, 7 и 11? В имеющихся в моем распоряжении книгах мне не удавалось найти связного объяснения этому явлению. Там упоминалась загадочная теория, разработанная Гелл-Маном, - какой-то «восьмеричный путь» (по аналогии с Благородным Восьмеричным Путем в буддизме). Но нигде не говорилось о том, в чем же эта теория заключается.

Это непонимание меня удручало. Ключевые фрагменты истории оставались скрытыми от моих глаз. Мне хотелось распутать эту тайну, но я не знал, как.

По счастливой случайности помощь пришла со стороны старого друга нашей семьи. Я вырос в небольшом промышленном городке под названием Коломна, где проживало около 150 тысяч человек. Коломна находится примерно в 115 километрах от Москвы - чуть больше двух часов на электричке. Мои родители работали инженерами на большом заводе тяжелого станкостроения.

Коломна - древний город, построенный на месте слияния двух рек. Основан он был в 1177 году (всего лишь через тридцать лет после основания Москвы). К архитектурному достоянию Коломны относятся несколько прекрасных старых церквей, а стены коломенского кремля по сей день напоминают об историческом прошлом. Однако образовательным или интеллектуальным центром Коломну не назовешь. В то время в городе был только один небольшой институт, в котором готовили школьных учителей. Один из профессоров этого учебного заведения, математик Евгений Евгеньевич Петров, был большим другом моих родителей. Однажды моя мама повстречалась с ним на улице. Они долго не виделись и, конечно же, у них нашлось много тем для обсуждения. Мама всегда любила рассказывать обо мне своим друзьям, поэтому и меня они также не обошли в своем разговоре. Услышав, что я интересуюсь наукой, Евгений Евгеньевич сказал:

Я должен встретиться с ним. Попробую обратить его в математику.

О, нет, - возразила мама, - ему не нравится математика, он считает ее скучной. Он хотел бы заниматься квантовой физикой.

Не беспокойся, - ответил Евгений Евгеньевич, - думаю, я знаю, как заставить его передумать.

Они договорились о встрече. Я был настроен не слишком оптимистично, но все же отправился к Евгению Евгеньевичу на работу. Мне вот-вот должно было исполниться пятнадцать, и я заканчивал девятый - предпоследний - класс (я был на год младше своих одноклассников, так как перескочил через один класс). Евгений Евгеньевич в свои сорок с небольшим производил впечатление человека дружелюбного и непритязательного. В очках, давно не бритый, он был воплощением моего представления о математиках, и все же в оценивающем взгляде его широко распахнутых глаз было что-то, что моментально приковывало внимание. Они излучали любознательность - ему было интересно все, что происходило вокруг него.

Как оказалось, у Евгения Евгеньевича действительно был заготовлен хитрый план обращения меня в математическую веру. Как только я зашел в его кабинет, он ошарашил меня вопросом:

Я слышал, тебе нравится квантовая физика. А доводилось ли тебе слышать о восьмеричном пути Гелл-Мана и кварковой модели?

Да, я читал об этом в нескольких популярных книгах.

Но знаешь ли ты, на чем основывается эта модель? Как ученым пришли в голову эти идеи?

Тебе известно, что такое группа SU (3)?

SU что?

Как же ты сможешь разобраться в кварковой модели, если не знаком с группой SU (3)?

Он взял с полки пару книг, открыл их и продемонстрировал мне страницы, заполненные формулами. Я заметил знакомые диаграммы октетов, подобные той, что приведена выше, но это были не просто красивые картинки - диаграммы являлись частью какого-то связного и подробного изложения.

Конечно же, я ничего не понял в самих формулах, но мне сразу же стало ясно, что именно на этих страницах я найду ответы на столь серьезно занимающие меня вопросы. Это был момент прозрения. Формулы и слова завораживали, меня посетило доселе не знакомое чувство, которое невозможно выразить словами: я ощущал бурление энергии, вдохновение. Так чувствуешь себя, когда слушаешь музыку или рассматриваешь незнакомую картину, оставляющую неизгладимое впечатление. В голове крутилась одна мысль: «Вот это да!».

Ты, наверное, думал, что математика - это то, что вам рассказывают в школе, - продолжил Евгений Евгеньевич. Он покачал головой. - Нет, вот, - он указал пальцем на формулы в книге, - истинная математика. Если ты хочешь по-настоящему понять квантовую физику, то начать тебе следует с этого. ГеллМан предсказал существование кварков с помощью красивой математической теории. На самом деле это было математическое открытие.

Но это так сложно… Как во всем этом разобраться? Формулы действительно выглядели пугающе.

Не беспокойся. Первое, что ты должен изучить, - это «группа симметрии». С этого все начинается. На этом понятии основывается огромная часть математики, а также и теоретической физики. Я дам тебе несколько учебников. Начинай читать их и отмечай непонятные предложения. Мы можем встречаться с тобой раз в неделю и обсуждать прочитанное.

Он дал мне книгу о группах симметрии и еще пару томов. В них рассказывалось о так называемых p-адических числах (числовая система, совершенно не похожая на знакомые нам с детства обычные числа) и о топологии (науке о фундаментальных геометрических фигурах). У Евгения Евгеньевича оказался безупречный вкус: он нашел идеальное сочетание тем, заставивших меня посмотреть на это загадочное чудовище - математику - с совершенно новой точки зрения и полюбить ее.

В школе мы изучали такие вещи, как квадратные уравнения, немного дифференциального исчисления, простейшую евклидову геометрию и тригонометрию. Мне казалось, что вся математика так или иначе вращается вокруг этого - задачи со временем могут усложняться, но они всегда остаются в рамках все тех же общих концепций, с которыми я уже знаком. Однако книги Евгения Евгеньевича открыли передо мной абсолютно другой мир, о существовании которого я даже и не подозревал.

Я был обращен в ту же секунду.

Глава 2. Суть симметрии

В умах большинства людей математика неразрывно связана с числами. Математики для них - это люди, которые целыми днями просиживают над расчетами и оперируют числами: большими числами, огромными числами, числами с необычными, экстравагантными названиями. Я тоже так думал - по крайней мере, до тех пор, пока Евгений Евгеньевич не познакомил меня с концепциями и идеями современной математики. Одна из них оказалась ключом к обнаружению кварков. Это была концепция симметрии.

Что такое симметрия? На интуитивном уровне мы все это прекрасно знаем. Мы с первого взгляда распознаем симметрию в окружающих нас предметах, не требуя дополнительных пояснений. Если попросить человека привести пример симметричного объекта, то он вспомнит бабочку, снежинку или укажет на симметричность человеческого тела.

Однако на вопрос, что же он в действительности подразумевает, когда говорит, что предмет симметричен, большинство вразумительно ответить не может.

Вот как объяснил мне это Евгений Евгеньевич.

Взглянем на эти два стола - круглый и квадратный, - он указал на столы в своем кабинете. - Какой из них более симметричный?

Круглый, конечно. Разве это не очевидно?

Но почему? Быть математиком означает не принимать ничего «очевидного» как должное, а пытаться обосновать каждое утверждение. Ты удивишься, но очень часто самый очевидный ответ оказывается неверным.

Заметив мое замешательство, Евгений Евгеньевич сжалился:

Какое свойство круглого стола делает его более симметричным?

Я немного подумал, и меня озарило:

Наверное, симметрия объекта заключается в том, что он сохраняет свою форму и позицию, даже если мы каким-то образом меняем его.

Евгений Евгеньевич кивнул.

Так и есть. Давай рассмотрим возможные преобразования двух столов, при которых их формы и позиции будут сохраняться, - сказал он. - В случае круглого стола…

Я не дал ему закончить:

Подойдет любое вращение вокруг центра. Мы получим тот же самый стол в той же самой позиции. Но если применить произвольное вращение к квадратному столу, то в большинстве случаев результат будет отличаться от исходной конфигурации. Сохранит форму и позицию стола только вращение на угол 90 градусов и кратные ему углы.

Точно! Если ты на секунду выйдешь из моего кабинета и я поверну круглый стол на любой угол, то по возвращении ты не заметишь разницы. Однако если я проделаю то же самое с квадратным столом, то отличие будет очевидно - если только я не поверну его на 90, 180 или 270 градусов.

Он продолжил:

Такие преобразования называются симметриями. Теперь ты видишь, что у квадратного стола только четыре симметрии. У круглого стола их намного больше - в действительности бесконечно много. Именно поэтому мы говорим, что круглый стол более симметричный.

Это расставляло все по своим местам.

Все это довольно очевидно, - продолжал Евгений Евгеньевич. - Не нужно быть математиком, чтобы заметить эти свойства. Настоящий же математик задаст такой вопрос: каковы все возможные симметрии конкретного объекта?

Взглянем на квадратный стол. Его симметрии - это четыре вращения вокруг центра: на 90, 180, 270 и 360 градусов против часовой стрелки. Математик скажет, что множество симметрий квадратного стола включает четыре элемента, соответствующих углам в 90, 180, 270 и 360 градусов. Мы сопоставим их четырем вершинам стола - каждое вращение переводит выбранную вершину (отмеченную кружком на рис. 2.3) в одно из угловых положений.

Одно из этих положений особенное, не похожее на другие, - это вращение на 360 градусов. По сути, это то же самое, что вращение на 0 градусов, то есть полный оборот соответствует полному отсутствию вращения. И действительно, после такого вращения каждая точка стола оказывается в точности в том же положении, где она была до этого. Это особая симметрия, никак не влияющая на позицию объекта. Ее называют тождественной симметрией или просто тождеством.

Обратите внимание, что вращение на любой угол свыше 360 градусов эквивалентно вращению на угол между 0 и 360 градусами. Например, вращение на 450 градусов эквивалентно вращению на 90 градусов, так как 450 = 360 + 90. Вот почему мы рассматриваем только вращение на углы от 0 до 360 градусов.

Это позволяет нам сделать важнейшее наблюдение: если последовательно применить к столу два вращения из списка {90°, 180°, 270°, 360°}, то результат будет абсолютно таким же, как если бы мы применили другое вращение из того же самого списка. Другими словами, симметрии можно компоновать! Это также очевидно: любые две симметрии сохраняют позицию стола, следовательно, их композиция также сохранит ее. Таким образом, композиция симметрий также является симметрией. Например, если мы повернем стол на 90 градусов, а затем еще на 180 градусов, то в сумме получим вращение на 270 градусов. Давай посмотрим, что происходит со столом при применении этих симметрий. Когда мы поворачиваем его против часовой стрелки на 90 градусов, правая вершина стола (отмеченная кружком на рис. 2.3) перемещается в верхний угол картинки. Затем мы применяем вращение на 180 градусов, и верхняя вершина стола переходит в нижний угол. Окончательный результат таков, что правая вершина стола перемещается в нижний угол рисунка. Это результат был бы достигнут и при единичном вращении против часовой стрелки на 270 градусов.

Вот еще один пример:

90° + 270° = 0°.

Выполнив вращение на 90 градусов, а затем еще на 270 градусов, мы получаем суммарное вращение на 360 градусов. Однако результат вращения на 360 градусов абсолютно идентичен вращению на 0 градусов. Как мы уже говорили выше, это тождественная симметрия.

Другими словами, второе вращение (на 270 градусов) отменяет результат первого вращения (на 90 градусов).

Это действительно чрезвычайно важное свойство: любую симметрию можно обратить . Это означает, что для любой симметрии S существует другая симметрия S" , такая, что их композиция образует тождественную симметрию. S" называют обратной симметрией для S , или инверсией . Итак, мы увидели, что вращение на 270 градусов является инверсией вращения на 90 градусов.

Мы убедились, что простой набор симметрий квадратного стола - четыре вращения {90°, 180°, 270°, 360°} - на самом деле совсем не так прост. Он обладает сложной внутренней структурой: существуют определенные правила, которым подчиняются взаимодействия членов этого множества.

Во-первых, мы можем скомпоновать или суммировать любые две симметрии.

Во-вторых, существует особая симметрия - тождественная. В нашем примере это вращение на 0 градусов. Если мы суммируем ее с любой другой симметрией, то в результате получим ту же самую симметрию в неизменном виде. Например,

90° + 0° = 90°, 180° + 0° = 180° и т. д.

И, в-третьих, для любой симметрии S существует обратная (инверсная) симметрия S" , такая, что в сумме симметрии S и S" дают нам тождество.

А теперь - барабанная дробь! Множество вращений вместе с этими тремя правилами образуют пример того, что в математике называется группой .

Симметрии любого другого объекта также образуют группу. В общем случае группа включает намного больше элементов, чем рассматриваемые здесь четыре вращения, - их даже может быть бесконечно много.

Давайте посмотрим теперь, как все это работает в случае круглого стола. Мы уже поднабрались опыта и поэтому понимаем, что множество симметрий круглого стола представляет собой набор абсолютно всех возможных вращений (причем не только на углы, кратные 90 градусам!), а визуализировать его мы можем как набор из всех точек окружности.

Каждая точка на этой окружности соответствует углу φ в диапазоне от 0 до 360 градусов и представляет вращение круглого стола на данный угол в направлении против часовой стрелки. В частности, есть особая точка, соответствующая вращению на 0 градусов. Она обозначена черным кружком на рис. 2.4, как и другая точка, соответствующая вращению на 30 градусов.

Теперь посмотрим, применимы ли перечисленные выше три правила к множеству точек на окружности.

Во-первых, композиция двух вращений - на φ 1 и φ 2 градусов - представляет собой вращение на φ 1 + φ 2 градусов. Если сумма φ 1 + φ 2 больше 360 градусов, то мы всего лишь вычитаем из нее «лишние» 360 градусов. В математике это называется сложением по модулю 360. Например, если φ 1 = 195°, а φ 2 = 250°, то сумма двух углов составляет 445 градусов. Вращение на 445 градусов эквивалентно вращению на 85 градусов. Таким образом, в группе вращений круглого стола верно следующее:

195° + 250° = 85°.

Во-вторых, на окружности есть особая точка, соответствующая вращению на 0 градусов. Это элемент тождественности данной группы.

И наконец, инверсия вращения на φ градусов против часовой стрелки - это вращение против часовой стрелки на (360 - φ) градусов или, что то же самое, вращение на φ градусов по часовой стрелке (рис. 2.5).

Итак, мы описали группу вращений круглого стола. Мы будем называть ее группой окружности. В отличие от группы симметрий квадратного стола, в которую входит четыре элемента, в этой группе бесконечно много элементов, так как между отметками 0 и 360 градусов помещается бесконечное число углов.

Теперь под наше интуитивное понимание симметрии мы подвели твердое теоретическое основание - по сути, мы превратили симметрию в математическую концепцию.

Прежде всего, мы объявили, что симметрия объекта - это преобразование, сохраняющее сам объект и его свойства. Затем мы сделали решающий шаг: перенесли внимание с объекта как такового на множество всех его симметрий. В случае квадратного стола это множество из четырех элементов (вращения на углы, кратные 90 градусам), а множество симметрий круглого стола бесконечно велико (все точки окружности). Наконец, мы описали точные правила, которые всегда выполняются в этих наборах симметрий: две симметрии можно сложить и получить в результате третью симметрию; обязательно должен существовать тождественный элемент; для каждой симметрии существует обратная. Таким образом, мы пришли к математической концепции группы.

Группа симметрий - это абстрактный объект, совершенно не похожий на те реальные объекты, о которых шла речь в начале нашего разговора. В отличие от самого стола, невозможно потрогать или подержать в руках множество его симметрий. Однако мы можем вообразить его, нарисовать его элементы, изучить и обсудить это множество. Кроме того, у каждого элемента такого абстрактного множества есть точное и конкретное значение: он представляет одно из возможных преобразований реального объекта - его симметрию.

Математика - это наука, изучающая подобные абстрактные объекты и концепции.

Опыт показывает, что симметрия - это основополагающий, руководящий принцип законов природы. Например, снежинка принимает форму идеального шестиугольника, потому что, как выясняется, это состояние с минимальной энергией, в котором способны кристаллизоваться молекулы воды.

Набор симметрий снежинки составляют вращения на углы, кратные 60 градусам, то есть на 60, 120, 180, 240, 300 и 360 градусов (последнее эквивалентно повороту на 0 градусов). Помимо этого, мы можем «перевернуть» снежинку относительно каждой из шести осей, соответствующих этим углам. Все эти вращения и перевороты сохраняют форму и позицию снежники; следовательно, они являются ее симметриями.

Если перевернуть бабочку, то она будет лежать перед нами кверху лапками. Поскольку с одной стороны у нее растут лапки, а с другой их нет, то переворот, строго говоря, не является симметрией бабочки. Когда мы говорим, что бабочка симметрична, мы имеем в виду ее идеализированную версию, у которой передняя и задняя стороны абсолютно идентичны (в отличие от брюшка и спинки настоящей бабочки). В таком идеализированном представлении переворот бабочки попросту меняет местами левое и правое крылышки и, следовательно, становится симметрией. (Также можно представить замену правого крылышка на левое и наоборот без переворота бабочки кверху лапками.)

Это вынуждает нас поднять важный вопрос: в природе существует множество объектов, обладающих приблизительной симметрией. Настоящий стол не идеально круглый или квадратный, живая бабочка выглядит по-разному при взгляде на нее сверху и снизу, левая и правая стороны человеческого тела также различаются. Однако даже в подобных ситуациях бывает полезно абстрагироваться от несовершенства реального мира и рассматривать идеализированные версии или модели объектов: идеально круглый стол или изображение бабочки, на котором спинка ничем не отличается от брюшка. Это дает нам возможность исследовать симметрии идеализированных объектов, а полученные на основе такого анализа результаты мы затем можем скорректировать с учетом отличий реальных объектов от их моделей.

Не следует думать, что мы не ценим асимметрию, - конечно же, ценим и часто находим в ней красоту. Однако суть математической теории симметрии лежит не в эстетической плоскости. Она заключается в том, чтобы сформулировать концепцию симметрии в самых общих и - неизбежно - самых абстрактных терминах, для того чтобы сделать ее одинаково применимой к объектам из самых разных областей знания, будь то геометрия, теория чисел, топология, физика, химия, биология и т. п. После того как такая теория разработана, мы можем начинать говорить о механизмах нарушения симметрии - рассматривать возникновение асимметрии. Например, элементарные частицы набирают массу вследствие нарушения так называемой калибровочной симметрии. Этому способствует бозон Хиггса - трудноуловимая частица, которую ученые недавно открыли в ходе экспериментов на большом адронном коллайдере под Женевой. Изучение подобных механизмов нарушения симметрии позволяет нам получать бесценную информацию о поведении фундаментальных строительных кирпичиков природы.

Мне хотелось бы отдельно подчеркнуть некоторые базовые качества абстрактной теории симметрии, так как они великолепно иллюстрируют значимость математики.

Первое качество - это универсальность . Группа окружности служит группой симметрий не только круглого стола, но и других круглых объектов, таких как стакан, бутылка, колонна и т. п. На самом деле, назвать объект круглым и сказать, что группа его симметрий представляет собой группу окружности, - одно и то же. Это чрезвычайно сильное заявление: мы понимаем, что способны описать важный атрибут объекта («круглый»), всего лишь указав на его группу симметрий («окружность»). Точно так же заявление о «квадратном» объекте означает, что группа симметрий данного объекта представляет собой описанную выше группу из четырех элементов. Другими словами, один и тот же математический объект (например, группа окружности) описывает множество разнообразных конкретных предметов, указывая на общие для всех них универсальные свойства (такие, как «округлость»).

Второе качество - объективность. Концепция группы нисколько не зависит от нашей ее интерпретации. Кто бы ни решился исследовать ее, для всех она будет означать одно и то же. Разумеется, чтобы понять эту концепцию, необходимо знать язык, используемый для ее описания, - язык математики. Но его может выучить каждый. Человеку, желающему усвоить смысл знаменитого утверждения Рене Декарта: “Je pense, donc je suis”, необходимо знать французский язык (по крайней мере, понимать слова, из которых состоит фраза) - и это тоже доступно каждому. Однако в случае философского утверждения, даже если относительно его буквального перевода разногласий не возникнет, интерпретации могут быть самыми разными. Более того, одну и ту же интерпретацию кто-то будет считать истинной, а кто-то ложной.

В противоположность этому смысл логически непротиворечивого математического утверждения не допускает двояких интерпретаций; точно так же его истинность всегда объективна.

(В целом, истинность конкретного утверждения может зависеть от системы аксиом, в рамках которой оно рассматривается. Тем не менее даже в этом случае зависимость от аксиом также объективна.) Например, утверждение «группа симметрий круглого стола является окружностью» истинно для всех, всегда и везде. Другими словами, математические истины - необходимые истины. Мы подробнее поговорим об этом в главе 18.

Третье качество, тесно связанное с первыми двумя, - это долговечность . Теорема Пифагора, без сомнения, означала для древних греков то же самое, что и для нас сегодня, и нет никаких оснований опасаться, что ее смысл может измениться в будущем. Точно так же все истинные математические утверждения, о которых мы говорим в этой книге, останутся в силе навечно.

Факт наличия такого объективного и долговечного знания (к тому же принадлежащего в равной степени всем нам) - вовсе не чудо, как многие могут полагать. Считается, что математические концепции существуют в так называемом Платоническом мире - собственном пространстве, отдельном от физического и интеллектуального миров (мы подробнее поговорим об этом в последней главе книги). До сих пор так до конца и не понятно, что это в действительности такое и какие факторы подталкивают людей к тому, чтобы делать все новые и новые математические открытия. Очевидно лишь, что роль скрытой реальности в нашей жизни будет в дальнейшем лишь возрастать, особенно с учетом распространения новых компьютерных технологий и технологий трехмерной печати.

Четвертое качество - это применимость математических идей к реальному миру. Например, благодаря тому, что ученые взглянули на элементарные частицы и взаимодействия между ними с точки зрения концепции симметрии, в квантовой физике за последние пятьдесят лет произошел огромный скачок вперед. Частицы, такие как электроны или кварки, ничем, по сути, не отличаются от круглых столов или снежинок, чье поведение в огромной степени определяется их симметриями (какие-то симметрии точные, а какие-то приблизительные).

Превосходной иллюстрацией служит история с открытием кварков. Из книг, которыми поделился со мной Евгений Евгеньевич, я узнал, что в основе классификации адронов Гелл-Мана и Неэмана, о которой я упоминал в предыдущей главе, лежит группа симметрий . Хотя математики уже исследовали эту группу раньше, они даже не догадывались о существовании какой-либо связи между ней и субатомными частицами или чем-то подобным. Математическое название группы - SU (3). За буквами S и U скрывается выражение special unitary - «специальная унитарная» . По своим свойствам эта группа напоминает группу симметрий сферы, которую мы в деталях обсудим в главе 10.

Представления группы SU (3), то есть различные способы, позволяющие воплотить группу SU (3) в виде группы симметрий, были уже описаны математиками ранее. Гелл-Ман и Неэман заметили сходство между структурой подобных представлений и закономерностями в обнаруженных ими моделях адронов и использовали эту информацию для составления классификации адронов.

Слово «представление» имеет в математике особый смысл, отличный от того, к которому мы привыкли в повседневной жизни. Позвольте мне отвлечься на минутку и пояснить, что этот термин означает в текущем контексте. Наверное, проще всего это сделать на примере. Вспомните группу вращений круглого стола, которую мы обсуждали чуть выше, - группу окружности. Теперь представьте, что наш стол начал расти вширь и теперь простирается бесконечно во все стороны. Растянув его таким способом, мы получили абстрактный математический объект - плоскость. Каждое вращение стола вокруг центра порождает поворот этой плоскости вокруг той же самой точки. Таким образом, мы сформировали правило, связывающее одну из симметрий (вращений) плоскости с каждым элементом группы окружности. Другими словами, каждый элемент группы окружности может быть представлен той или иной симметрией плоскости. Вот почему математики называют этот процесс представлением группы окружности.

Мы знаем, что плоскость двумерная, ведь у нее две оси координат, а значит, каждая точка также обозначается двумя координатами.

Следовательно, можно утверждать, что мы создали «двумерное представление» группы вращений. Это всего лишь означает, что каждый элемент группы вращений теперь воплощен в виде симметрии плоскости.

Существуют не только двумерные пространства - плоскости, но и пространства с большим числом измерений. Например, мы с вами живем в трехмерном пространстве. Это означает, что у него три оси координат, и для того чтобы указать позицию любой точки, нам нужно сообщить три ее координаты (x, y, z ), как показано на рис. 2.7.

Невозможно вообразить четырехмерное пространство, но математика предоставляет нам универсальный язык, позволяющий рассуждать о пространствах любой размерности. На этом языке мы описываем точки четырехмерного пространства с помощью четверок чисел (x, y, z, t ) - аналогично точкам трехмерного пространства, которые представляются тройками (x, y, z ). Точно так же можно описать точку любого n -мерного пространства (где n - натуральное число), используя набор из n чисел. Если вы когда-либо пользовались программами для работы с электронными таблицами, то вам знакомы такие наборы: один набор - это одна строка таблицы, а каждое из n чисел в строке соответствует одному конкретному атрибуту данных. Таким образом, каждая строка таблицы описывает одну точку в n -мерном пространстве. (В главе 10 мы подробнее поговорим о пространствах различной размерности.)

Если каждому элементу группы можно согласованным образом сопоставить одну из симметрий n -мерного пространства, то можно сказать, что данная группа обладает «n -мерным представлением».

Оказывается, группа может обладать представлениями разной размерности. Вот почему элементарные частицы можно сгруппировать в семейства из восьми или десяти частиц: у группы SU (3) есть как 8-мерные, так и 10-мерные представления. Восемь частиц в каждом октете из определенных Гелл-Маном и Неэманом (как тот, что изображен на рис. 1.4) взаимно однозначно соответствуют восьми осям координат 8-мерного пространства, являющегося представлением группы SU (3). Аналогично и с декуплетами частиц. (В то же время частицы невозможно объединить в семейства из, скажем, семи или одиннадцати штук - математики доказали, что у группы SU (3) нет 7- и 11-мерных представлений.)

Поначалу это считалось всего лишь удобным способом группировки частиц, обладающих схожими свойствами. Однако ГеллМан пошел дальше: он объявил о существовании веских причин, обосновывающих такую схему классификации. В сущности, он объяснил, что данная схема потому так хорошо и работает, что адроны состоят из еще более мелких частиц - кварков. Одни типы адронов состоят из двух кварков, другие - из трех. Независимо от Гелл-Мана схожее предположение выдвинул физик Джордж Цвейг (предложивший для этих мелких частиц другое название - «тузы»).

Это было ошеломляющее заявление. Оно не только шло вразрез с бытовавшим в то время убеждением, будто протоны, нейтроны и другие адроны неделимы; подразумевалось также, что новые частицы должны обладать электрическими зарядами, по величине равными доле заряда электрона. Это предсказание взбудоражило все научное общество, ведь никому еще не удавалось обнаружить ничего подобного. Тем не менее существование кварков совсем скоро было подтверждено экспериментально, и в точном соответствии с прогнозами они действительно обладали дробными зарядами!

Что же натолкнуло Гелл-Мана и Цвейга на мысль о существовании кварков? Это была математическая теория представлений группы SU (3), и в частности тот факт, что у группы SU (3) есть два разных трехмерных представления (на самом деле, как раз поэтому в названии группы и присутствует цифра 3). Гелл-Ман и Цвейг предположили, что эти два представления должны описывать два семейства фундаментальных частиц: из трех кварков и трех антикварков. Кроме того, как оказалось, 8- и 10-мерные представления группы SU (3) также легко конструируются на основе трехмерных. И это дает нам точную «схему сборки» адронов из кварков - прямо как в конструкторе «Лего».

Гелл-Ман назвал три этих кварка «верхним», «нижним» и «странным». Протон состоит из двух верхних кварков и одного нижнего, а нейтрон - из двух нижних кварков и одного верхнего (см. рис. 1.2 и 1.3). Обе эти частицы принадлежат октету, показанному на рис. 1.4. Другие частицы в данном октете включают в себя и странный кварк. Существуют также октеты частиц, каждая из которых представляет собой ту или иную композицию из одного кварка и одного антикварка.

Открытие кварков - превосходный пример того, о чем мы уже говорили во введении: математика действительно играет первостепенную роль в истории научных открытий. Существование этих частиц было предсказано не на основе эмпирических данных - ученые отталкивались исключительно от математических моделей симметрий. Это было чисто теоретическое предположение, сделанное в рамках сложной математической теории представлений группы SU (3). Для того чтобы овладеть этой теорией, физикам потребовались годы (и, к слову, многие поначалу противились ее внедрению), однако сегодня развитие физики элементарных частиц без нее попросту немыслимо. Теория представлений не только предоставила удобный способ классификации адронов, но также привела к открытию кварков - событию, навеки изменившему наше представление о физической реальности.

Только представьте себе: казалось бы, доступная лишь немногим математическая теория позволила нам добраться до самой сути того, как и из чего построен наш мир. Невозможно не поддаваться очарованию волшебной гармонии этих крохотных фрагментов материи, не восхищаться умением математиков выявлять глубинные процессы, заставляющие крутиться шестеренки Вселенной!

Рассказывают, будто жена Альберта Эйнштейна, услышав, что для определения формы пространства - времени необходимо прибегнуть к помощи телескопа из обсерватории Маунт-Вилсон, обронила: «Надо же, а мой муж делает то же самое на обороте старого конверта».

Физикам, конечно, необходимо изощренное дорогое оборудование, например большой адронный коллайдер в Женеве. Тем более поразителен тот факт, что ученые, такие как Эйнштейн и Гелл-Ман, вскрывали глубочайшие секреты окружающего мира с помощью того, что, на первый взгляд, кажется исключительно теоретическим и совершенно абстрактным математическим знанием.

Не важно, кто мы такие и во что верим, - все мы являемся хранителями этого знания. Оно объединяет нас и открывает новые, доселе неизведанные стороны нашей любви к Вселенной.

Эдвард Френкель, профессор математики Калифорнийского университета в Беркли

Когда 21-летнего Эдуарда Френкеля позвали в Гарвард приглашенным профессором математики, он только оканчивал пятый курс московского Института нефти и газа имени Губкина («Керосинки»). Несколькими годами раньше, в 1984-м, его отказались принимать на мехмат МГУ вместе с другими абитуриентами-евреями (другие известные жертвы этой политики университета - сооснователи «Яндекса» Илья Сегалович и Аркадий Волож). Сейчас Френкель - профессор Калифорнийского университета в Беркли.

Русский перевод книги Френкеля «Любовь и математика» вышел в издательстве «Питер». В 2014 году, сразу после публикации на английском, книга успела попасть в список бестселлеров New York Times , а в 2015-м Математическая ассоциация Америки присудила за нее премию Эйлера. Кроме русского «Любовь и математика» переведена еще на 14 языков, включая японский.

Книга с использованием самых простых формул объясняет нематематикам, как устроена и чем занимается современная математика - в противовес той, которую преподают с первого класса по выпускной курс технического вуза: «Представьте себе, что в школе вас заставляли посещать “уроки искусства”, где вас учили только лишь как покрасить забор и никогда не показывали произведения Леонардо да Винчи и Пикассо. Смогли бы вы при этом научиться ценить искусство? Захотели бы вы узнать о нем побольше? Сомневаюсь». В новом ракурсе Великая теорема Ферма, когомологии пучков, «Обнаженная, спускающаяся по лестнице (№ 2)» Марселя Дюшана и биография самого математика становятся деталями одного сквозного сюжета.

COLTA . RU публикует несколько «нематематических» фрагментов из книги, где Френкель рассказывает, что означало заниматься математикой в Советском Союзе 1980-х и какой был контекст у массовой эмиграции ученых.

Издательство «Питер»

Антисемитизм, с проявлениями которого я столкнулся на вступительном экзамене в МГУ, был распространен на всех уровнях научной жизни в Советском Союзе. Ранее, в 1960-х и начале 1970-х годов, у студентов еврейского происхождения все же была возможность получить базовое образование на мехмате, несмотря на существование строгих ограничений - «квот». (На протяжении 1970-х и в начале 1980-х годов ситуация постепенно ухудшалась, и к 1984 году, когда я подавал документы на мехмат, у абитуриента-еврея почти не осталось шансов на поступление.)

Однако аспирантура даже в те годы была для таких студентов практически недоступна. Единственным вариантом для еврейского студента, желавшего покорить очередную ступень обучения, была работа «по распределению» в течение трех лет после получения основного высшего образования. Затем его работодатель (чаще всего это должна была быть контора где-нибудь далеко в провинции) мог отправить его в аспирантуру. И даже если еврею удавалось преодолеть это препятствие и получить звание кандидата наук, возможности найти академическую работу по своей специальности в Москве (например, в МГУ) у него не было.

Такому ученому приходилось либо довольствоваться работой где-нибудь в провинции, либо устраиваться в один из множества московских исследовательских институтов, никак или почти никак не связанных с математическими исследованиями. Для жителей других городов ситуация была еще сложнее, так как у них не было московской прописки - в их внутреннем паспорте не было печати о постоянном местожительстве в Москве, а это было обязательное требование для трудоустройства в столице.

Подобной участи не смогли избежать даже самые выдающиеся студенты. Владимир Дринфельд, блестящий математик и будущий лауреат Филдсовской премии, о котором мы подробнее поговорим чуть позже, сумел поступить в аспирантуру мехмата сразу же после завершения основного обучения (хотя я слышал, что организовать это было невообразимо сложно). Однако родом он был из города Харькова на Украине, поэтому найти работу в Москве ему так и не удалось. Он был вынужден взяться за преподавание в провинциальном университете в Уфе - промышленном городе на Урале. Позднее он получил место исследователя в Физико-техническом институте низких температур в Харькове.

Те же, кто принимал решение остаться в Москве, распределялись в такие места, как Институт сейсмологии или Институт обработки сигналов. Их каждодневная работа заключалась в выполнении однообразных вычислений, связанных с конкретной областью промышленности, к которой относился данный институт (хотя некоторым уникумам благодаря их разносторонним талантам удавалось совершить прорыв и в этих областях). Математическими исследованиями, которые были для них настоящей страстью, им приходилось заниматься самостоятельно, в свободное время.

Гельфанду и самому пришлось покинуть пост преподавателя мехмата в 1968 году, после того как он поставил свою подпись под знаменитым письмом девяноста девяти математиков, требующих освобождения математика и борца за права человека Александра Есенина-Вольпина (сына поэта Сергея Есенина), который был по политическим причинам принудительно заключен в психиатрическую больницу. Письмо было так мастерски написано, что после трансляции его по радио Би-би-си гнев мировой общественности заставил руководство Советского Союза почти сразу же освободить Есенина-Вольпина. Однако это, естественно, сильно разгневало власти. Им потребовалось совсем немного времени для того, чтобы найти способы наказать каждого, кто подписал письмо. В частности, многие лишились преподавательской работы.

Когда Гельфанд попросил меня выступить с рассказом о моей работе, мне представилась возможность увидеть всю «кухню» знаменитого мероприятия изнутри. Тогда же я наблюдал за происходящим с позиции семнадцатилетнего студента, находящегося в самом начале своей математической карьеры.

Во многих смыслах этот семинар был театром одного актера. Официально считалось, что на семинаре тот или иной ученый будет делать доклад на ту или иную тему, но чаще всего выступлениям посвящалась лишь часть семинара. Гельфанд поднимал другие темы и вызывал к доске других математиков, которых не просили подготовиться заранее, для того чтобы они дали свои пояснения. Однако в центре всегда оставался он сам. Он и только он управлял ходом семинара, и в его руках была абсолютная власть: в любой момент он мог прервать докладчика вопросом, предложением, комментарием. У меня в ушах до сих пор звучит его «Дайте определение!» - самое частое замечание в сторону докладчиков.

У него также была привычка произносить продолжительные речи на различные темы (зачастую даже не связанные с обсуждаемым материалом), рассказывать анекдоты, всевозможные истории, многие из которых действительно были весьма занимательными. Именно там я услышал присказку, процитированную во введении: пьянчужка не знает, что больше - 2/3 или 3/5, но он знает, что две бутылки водки на троих - лучше, чем три бутылки водки на пятерых. Одной из отличительных особенностей Гельфанда было умение перефразировать вопрос, заданный другим человеком, так, чтобы ответ сразу же стал очевиден.

Также он любил рассказывать анекдот о беспроволочном телеграфе: «На светском мероприятии начала двадцатого века физика просят объяснить, как это работает. Физик отвечает, что все очень просто. Сначала нужно понять, как работает обычный проволочный телеграф: представьте собаку, голова которой находится в Лондоне, а хвост - в Париже. Вы тянете за хвост в Париже, а собака лает в Лондоне. Беспроволочный телеграф работает точно так же - только без собаки».

Даже если еврею удавалось преодолеть это препятствие и получить звание кандидата наук, возможности найти академическую работу по своей специальности в Москве - например, в МГУ - у него не было.

Рассказав анекдот и дождавшись, пока стихнет смех (смеялись все, даже те, кто уже тысячу раз слышал его до этого), Гельфанд возвращался к обсуждаемой математической проблеме. Если ему казалось, что ее решение требует радикально нового подхода, он добавлял: «Я хочу сказать, что нам нужно сделать это без собаки».

Очень часто он применял на семинарах такой прием, как назначение «контрольного слушателя». Обычно это был кто-то из наиболее молодых членов аудитории, и его обязанностью было периодически повторять, что только что сказал лектор. Если контрольный слушатель хорошо пересказывал услышанное, это означало, что выступающий хорошо делает свое дело. В противном случае лектор должен был сбавить темп и доступнее излагать материал. Бывало даже, что Гельфанд прогонял некомпетентного лектора, заклеймив позором, и заменял его или ее другим ученым из аудитории. (Разумеется, Гельфанд не упускал случая подшутить и над контрольным слушателем.) Все это делало семинары довольно увлекательным времяпрепровождением.

Очень часто семинары проходят неспешно; люди в аудитории просто вежливо слушают (некоторые могут даже задремать), будучи слишком благодушными, слишком вежливыми или просто слишком робкими для того, чтобы задавать докладчику вопросы. Вряд ли они много выносят из таких семинаров. Без сомнения, рваный ритм семинаров Гельфанда, как и авторитарный характер самого ученого, не только не позволял людям заснуть (что само по себе было нетривиальным, учитывая, что семинары нередко заканчивались за полночь), но и служил для них огромным стимулом - этого попросту невозможно ожидать от других семинаров. Гельфанд предъявлял к докладчикам высокие требования. Они усердно работали - и он тоже. Как бы люди ни отзывались о стиле Гельфанда, никто никогда не уходил с его семинара с пустыми руками.

Тем не менее мне кажется, что подобный семинар мог существовать только в тоталитарном обществе - таком, как Советский Союз. Люди были привычны к диктаторским замашкам, характерным для Гельфанда. Он мог проявлять жестокость, даже оскорблять окружающих. Не думаю, что на Западе многие стали бы терпеть такое обращение. Однако в Советском Союзе это не считалось чем-то из ряда вон выходящим, и никто не протестовал. (Еще один знаменитый пример такого рода - семинар Льва Ландау по теоретической физике.)

Однажды Виктор Кац позвонил мне домой в Кембридж и сообщил, что кто-то пригласил Анатолия Логунова, ректора Московского университета, прочитать лекцию на физическом факультете MIT (Массачусетского технологического института. - Ред. ). Кац и многие его коллеги были вне себя от негодования из-за того, что MIT собирался предоставить площадку для выступления человеку, несущему самую непосредственную ответственность за дискриминацию абитуриентов-евреев на вступительных экзаменах в МГУ. Кац и многие другие считали, что его действия были сродни преступлению и подобное приглашение было попросту возмутительным.

Логунов был очень могущественным человеком: он был не только ректором МГУ, но также директором Института физики высоких энергий, членом Центрального комитета Коммунистической партии Советского Союза и обладателем множества званий и привилегий. Однако зачем кому-то в MIT могло понадобиться приглашать его? Как бы то ни было, Кац и несколько его коллег заявили свой протест и потребовали отменить визит и лекцию. Путем упорных переговоров было достигнуто компромиссное решение: Логунов приедет и прочитает лекцию, но после лекции состоится публичное обсуждение ситуации в МГУ, где у желающих будет возможность напрямую высказать ему свое мнение и претензии относительно дискриминации. Должно было состояться что-то вроде народного вече.

Он мог проявлять жестокость, даже оскорблять участников семинара. Не думаю, что на Западе многие стали бы терпеть такое обращение. Однако в Советском Союзе это не считалось чем-то из ряда вон выходящим, и никто не протестовал.

Естественно, Кац попросил меня как непосредственного участника событий, происходивших в МГУ под предводительством Логунова, прийти на встречу и рассказать свою историю. Я не был уверен, стоит ли это делать. Я не сомневался, что Логунова будут сопровождать «помощники», фиксирующие каждое слово. Шел май 1990 года, и до неудавшегося путча августа 1991 года, с которого начался развал Советского Союза, оставалось еще более года. Я же планировал на лето приехать домой. Если я скажу что-то нелестное о такой высокопоставленной персоне, какой был в Советском Союзе Логунов, проблем будет не избежать. Как минимум мне могут запретить покидать СССР, и я не смогу вернуться в Гарвард. И все же я был не в силах отказать Кацу. Я знал, насколько важными мои свидетельства будут на этой встрече, поэтому передал Виктору свое согласие. Кац пытался успокоить меня:

Не беспокойтесь, Эдик, - говорил он, - если они посадят вас за это в тюрьму, я сделаю все, что в моих силах, чтобы вытащить вас оттуда.

Молва о предстоящем событии быстро распространилась, и конференц-зал, в котором должна была состояться лекция Логунова, был забит до отказа. Люди пришли не для того, чтобы узнать из этого выступления что-то новое. Все знали, что Логунов - слабый физик, построивший свою карьеру на попытках опровергнуть теорию относительности Эйнштейна (интересно, почему). Как и ожидалось, его лекция - о его «новой» теории гравитации - оказалась малосодержательной. Однако во многих отношениях она была довольно необычна. Прежде всего, Логунов не говорил по-английски. Он читал лекцию на русском языке, а синхронный перевод осуществлял высокий мужчина в черном костюме и галстуке, чей английский был безупречен. С тем же успехом ему можно было написать на лбу «КГБ» большими печатными буквами. Его клон (как в фильме «Матрица») сидел в зале и внимательно осматривал присутствующих.

До начала выступления один из сотрудников MIT , ведущий мероприятие, представил Логунова весьма специфическим образом. Он показал с помощью проектора первую страницу опубликованной за десятилетие до этого статьи на английском языке, авторами которой помимо Логунова были еще несколько человек. Вероятно, он ставил целью продемонстрировать нам, что Логунов не полный идиот и что его перу действительно принадлежат публикации в рецензируемых научных журналах. Я никогда не видел, чтобы кого-нибудь представляли подобным образом. Было очевидно, что Логунова пригласили в MIT не в знак признания его научных талантов.

Во время лекции никаких возгласов протеста не раздавалось, хотя Кац распространил среди аудитории копии некоторых компрометирующих документов. Одним из них был табель успеваемости студента с еврейской фамилией, который учился в МГУ лет за десять до этого. По всем предметам у него были пятерки, и все же там было написано, что на последнем курсе его отчислили «за неуспеваемость». В короткой записке, прикрепленной к табелю, говорилось, что этот студент был замечен в московской синагоге специально отправленными туда агентами.

После лекции участники дискуссии перешли в другое помещение и расселись вокруг большого прямоугольного стола. Логунов сидел у одного из углов, защищенный с обоих флангов двумя «помощниками» в штатском, выполнявшими также функцию переводчиков. Кац и другие обвинители выбрали места прямо напротив него. Я с несколькими друзьями тихонько сидел у другого края на той же стороне, что и Логунов, поэтому тот не обращал на нас особого внимания.

Все знали, что ректор МГУ Логунов - слабый физик, построивший свою карьеру на попытках опровергнуть теорию относительности Эйнштейна.

Первыми слово взяли Кац и его коллеги. Они заявили, что слышали много историй о том, как абитуриентам еврейской национальности отказывают в зачислении в МГУ, и попросили Логунова как ректора Московского университета прокомментировать это. Разумеется, тот решительно отрицал все обвинения, какие бы примеры ни приводили его оппоненты. В какой-то момент один из людей в штатском сказал по-английски:

Знаете, профессор Логунов - очень скромный человек, поэтому я скажу вам то, в чем он сам никогда бы не признался. На самом деле он помог многим евреям построить карьеру.

Другой человек в штатском обратился к Кацу и остальным:

Либо представьте доказательства, либо давайте расходиться. Если у вас есть конкретные случаи, которые вы хотите обсудить, мы слушаем. В противном случае давайте закончим это обсуждение, поскольку профессор Логунов - очень занятой человек и у него есть другие дела.

Естественно, Кац ответил:

У нас действительно есть конкретный случай, и я хотел бы поговорить о нем, - он указал рукой на меня.

Я поднялся. Все повернулись ко мне, включая Логунова и его «помощников», на лицах которых появились следы беспокойства. Я смотрел прямо на Логунова.

Очень интересно, - сказал Логунов по-русски. Эти слова предназначались для всех присутствующих, и их должны были перевести. А затем он добавил, обращаясь лишь к своим помощникам (совсем тихо, но все же я расслышал): - Не забудьте записать его фамилию.

Признаться, я немного испугался, но отступать было некуда - мы достигли точки невозврата. Я представился и сказал:

Меня завалили на вступительных экзаменах на мехмат шесть лет назад.

Затем я кратко описал произошедшее на экзамене. В комнате повисла тишина. Это был тот самый «конкретный» случай, представленный из первых рук реальной жертвой политики Логунова, и у ректора не было никаких шансов опровергнуть мои слова. Два помощника бросились на помощь шефу, чтобы как-то исправить ситуацию.

Значит, вас завалили в МГУ. И куда вы подали документы после этого? - спросил один из них.

Я пошел в Институт нефти и газа.

Он пошел в «Керосинку», - перевел помощник Логунову. Тот ответил энергичным кивком - конечно же, он знал, что это было одно из немногих мест в Москве, куда принимали абитуриентов вроде меня.

Что ж, - продолжил человек в штатском, - возможно, конкурс в Институте нефти и газа был не таким высоким, как в МГУ. Потому-то вы туда и поступили, а в МГУ не прошли.

Это было неправдой: я достоверно знал, что среди тех, кто не подвергался дискриминации, конкурс на мехмат был совсем небольшим. Мне говорили, что для поступления достаточно было получить одну четверку и три тройки на экзаменах. Конкурс на вступительных экзаменах в «Керосинку», наоборот, был очень высоким.

В этот момент снова заговорил Кац:

Будучи студентом, Эдуард достиг значительных успехов в своей математической работе, и его позвали в Гарвард в качестве приглашенного профессора, когда ему был всего двадцать один год - и пяти лет не прошло с того провального экзамена. Или вы предполагаете, что конкурс на место в Гарварде также был ниже, чем на вступительных экзаменах в МГУ?

Продолжительное молчание. Затем внезапно Логунов оживился:

Я возмущен этим! - завопил он. - Я проведу расследование, и виновные будут наказаны! Я не позволю, чтобы подобное происходило в стенах МГУ!

И так он бушевал в течение нескольких минут.

Что можно было сказать в ответ? Никто из сидевших за столом не поверил, что гнев Логунова искренен и что он на самом деле предпримет какие-то действия. Логунов был хитрым человеком. Инсценировав негодование из-за одного случая, он избежал ответа за куда большую проблему: тысячи других студентов были безжалостно отвергнуты в результате тщательно продуманной политики дискриминации, очевидно, одобряемой всем высшим руководством МГУ, включая самого ректора.