Мы продолжаем изучать динамику - раздел физики, изучающий причины возникновения механического движения.
Часто мы решаем задачи, в которых есть несколько связанных между собой тел, на каждое из которых действуют несколько сил. Мы уже решали задачи по динамике и знаем, как это делается. Как обычно, мы:
1) определяем все силы, действующие на тело;
2) выбираем удобную систему координат;
3) применяем второй закон Ньютона, то есть записываем векторную сумму действующих на тело сил и приравниваем ее ;
4) чтобы привести уравнение к виду, в котором мы можем его легко решить,
записываем его в проекциях на выбранные оси координат.
Задача
Два ученика на роликовых коньках держатся за веревку, протянутую между ними. Когда они начинают вдвоем вытягивать веревку, первый начинает двигаться с ускорением . С каким ускорением движется второй, если его масса в 1,5 раза меньше? Силой трения между землей и роликами пренебречь.
Анализ условия:
В задаче описаны два ученика, связанные через веревку;
На каждого ученика действует сила тяжести и , сила реакции опоры и и сила натяжения веревки и . Обозначим их на рис. 1.
Рис. 1. Силы, действующие на первого ученика (слева), второго (справа)
Ученики взаимодействуют между собой через веревку с силами, по третьему закону Ньютона, равными по модулю: .
Силы, действующие на каждого ученика, вызывают его ускорение, будем применять второй закон Ньютона. Ученики не связаны веревкой жестко, они вытягивают веревку, перехватывая ее, поэтому их ускорения могут отличаться.
Обратим внимание, что, применяя второй закон Ньютона к ученику, мы учитываем именно силы, которые действуют на ученика. Мы не должны, например, ошибочно учесть силу, с которой ученик тащит на веревку, нам важна сила, с которой веревка действует на ученика.
Решение
Выберем систему координат. Удобно направить ось х вдоль веревки, а ось у перпендикулярно ей вверх (рис. 2).
Рис. 2. Выбранная система координат
Запишем полученные выражения в проекциях на выбранные оси координат. В проекции на ось у имеем , , для решения задачи уравнения никакой информации не несут. В проекции на ось х запишем:
С учетом того что , а отношение масс по условию задачи , запишем:
Приравняв правые части уравнений, получим: .
Задача решена: ускорение второго ученика в полтора раза больше ускорения первого.
На нити, переброшенной через неподвижный блок, подвешены грузы массами m и 2m. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их отпустить? Трением в блоке пренебречь.
Анализ условия:
На каждый из них действует сила тяжести и одинаковая по модулю сила натяжения нити (по третьему закону Ньютона);
Грузы жестко связаны нерастяжимой нитью, значит, они оба движутся с одинаковым ускорением, по второму закону Ньютона, вызванным равнодействующей силой для каждого груза;
Естественно предположить, что ускорение будет направлено в сторону более тяжелого груза (рис. 3).
Рис. 3. Силы, действующие на грузы
Решение
Тела движутся вдоль вертикального направления, поэтому направим координатную ось вертикально, например, вниз.
Применим второй закон Ньютона для каждого тела:
Запишем в проекции на ось у и получим систему уравнений: 
.
Остается решить систему и найти ускорение, которое получим равным .
|
Вычтем второе уравнение из первого: |
Два бруска, массы которых равны и , связаны нитью и лежат на гладком столе. К одному из брусков приложена сила , направленная параллельно плоскости стола. При каком максимальном значении силы нить оборвется, если сила будет приложена: а) к бруску массой ; б) к бруску массой ? Нить выдерживает максимальную силу натяжения . Трением пренебречь.
Анализ условия:
В задаче описаны два связанных груза;
Решим задачу для случая а . Тогда на первый брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры , сила натяжения нити и сила . На второй брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры и сила натяжения нити . Обозначим силы на рис. 3.
Рис. 3. Решение задачи для случая а
По третьему закону Ньютона ;
Грузы жестко связаны нерастяжимой нитью, значит, они оба движутся с одинаковым ускорением. Будем применять второй закон Ньютона.
Нам нужно решить задачу для случая, когда нить вот-вот разорвется, поэтому при вычислениях подставим значение .
Решение
Выберем систему координат. Как и в одной из предыдущих задач, в проекции на вертикальную ось координат мы получим для каждого бруска, что , нас в данной задаче это не интересует. Поэтому нам будет достаточно одной оси, направим ее вдоль действия силы (рис.4).
Применим второй закон Ньютона для каждого тела:
Запишем в проекции на ось x. Сразу подставим значения сил и и получим систему уравнений: 
.
Остается решить систему и найти .
|
Математическая часть решения задачи
Выразим из второго уравнения ускорение : . Подставим в первое и выразим : Вычислим: |
.Получим конечную формулу 
и ответ 16,3 Н. При ответе на вопрос б
(показать графикой условие) задача будет решаться точно так же, только бруски 1 и 2 поменяются местами. Рекомендую вам проделать это самостоятельно, а я подставлю в конечной формуле вместо - и, наоборот, получим:
Четыре одинаковых бруска массой каждый связаны нитями и лежат на гладком столе (рис. 5). К первому бруску приложена сила , параллельная плоскости стола. Найдите силы натяжения всех нитей.
Рис. 5. Условие задачи
Анализ условия:
В задаче описаны четыре связанных бруска;
На каждый брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры , силы натяжения нитей , которые прикреплены к рассматриваемому бруску, и на первый брусок еще действует сила .
По третьему закону Ньютона, первая нить действует на первый и второй груз с одинаковыми силами, равными по модулю и противоположными по направлению, обозначим это на рисунке как и . Вторая нить действует на второй и третий брусок с силами, равными и т.д. (рис.6).
Рис. 6. Силы, действующие на бруски
Грузы жестко связаны нерастяжимыми нитями, значит, они все движутся с одинаковым ускорением. Будем применять второй закон Ньютона.
Решение
Выберем систему координат. Как и в предыдущей задаче, в проекции на вертикальную ось координат мы получим для каждого бруска, что , нас в данной задаче это не интересует. Поэтому нам будет достаточно одной оси, направим ее вдоль действия силы .Применим второй закон Ньютона для каждого бруска.
Цель урока: распространить решение прямой и обратной задачи механики на случай движения тела под действием нескольких сил и движение связанных тел.
Тип урока: комбинированный.
План урока: 1. Вступительная часть 1-2 мин.
2. Опрос 15 мин.
3. Объяснение 25 мин.
4. Задание на дом 2-3 мин.
II. Опрос фундаментальный: Движение под действием силы трения.
Задачи:
1. Чему должен быть равен минимальный коэффициент трения между шинами двух задних ведущих колес и поверхностью наклонной дороги с уклоном 30 0 , чтобы автомобиль мог двигаться по ней вверх с ускорением 0,6 м/с 2 ? Нагрузка на колеса распределена равномерно. Размерами автомобиля пренебречь.
2. Брусок массой m из состояния покоя под действием силы F, направленной вдоль горизонтального стола, начинает двигаться по его поверхности. Через время Δt 1 действие силы F прекращается и, спустя время Δt 2 после этого, брусок останавливается. Чему равна сила трения, действующая на брусок во время движения? На какое расстояние брусок переместится за все время движения?
3. Два шарика одного и того же диаметра, имеющие массы 1 кг и 2 кг, связаны между собой легкой и длинной нерастяжимой нитью. Шарика сбросили с достаточно большой высоты над Землей. Найдите натяжение нити при установившемся падении шариков.
Вопросы:
- Чем объяснить, что при буксовании колес тепловоза или автомобиля сила тяги значительно падает?
- Равно ли время подъема камня, брошенного вертикально вверх, времени его падения?
- Можно ли измерить среднюю скорость ветра, бросая с некоторой высоты легкий предмет. Например, кусочек ваты?
- Если локомотив не может сдвинуть тяжелый поезд с места, то машинист применяет следующий прием: он дает задний ход и, толкнув состав немного назад, затем дает передний ход. Объясните.
- Скрип дверных петель и пение скрипки объясняется тем, что максимальная сила трения покоя больше силы трения скольжения. Так ли это?
- Почему скорость дождевых капель не зависит от высоты туч и сильно зависит от размеров капель?
- Скорость падения капель одного ливня может различаться в 10 раз. Почему?
- Почему взлет и посадка самолета всегда производится против ветра?
- Камень брошен вертикально вверх. В каких точках траектории камень будет иметь максимальное ускорение, если сопротивление воздуха растет с увеличением скорости камня? Как будет изменяться скорость камня?
III . Объясните на примерах задач, решаемых учителем.
Задачи:
1. С каким ускорением движется брусок по наклонной плоскости с углом наклона 30 о при коэффициенте трения 0,2? При каком условии брусок будет скользить (tgα ≥ μ )? Рассмотреть оба случая: движение вверх, движение вниз.
2. Устройство, показанное на рис. 1, в котором два груза поддерживаются блоком, называется машиной Атвуда. Считая, что блок не обладает ни массой, ни трением, вычислите: а) ускорение системы; б) натяжение нити. Проверка справедливости второго закона Ньютона и измерение ускорения свободного падения с помощью машины Атвуда.
Цели (для учеников):
1. Систематизация знаний о равнодействующей всех сил, приложенных к телу.
2. Интерпретация законов Ньютона относительно понятия равнодействующая сил.
3. Восприятие данных законов.
4. Применение полученных знаний к знакомой и новой ситуации при решении физических задач.
Задачи урока (для учителя):
Образовательные:
1. Уточнить и расширить знания о равнодействующей силе и способах ее нахождения при движении системы тел.
2. Сформировать умения применять понятие равнодействующей силы к обоснованию законов движения (законов Ньютона)
3. Выявить уровень усвоения темы.
4. Продолжить формирование навыков самоанализа ситуации и самоконтроля.
Воспитательные:
1. Содействовать формированию мировоззренческой идеи познаваемости явлений и свойств окружающего мира;
2. Подчеркнуть значение модулирования в познаваемости материи;
a) деловитость;
b) самостоятельность;
c) аккуратность;
d) дисциплинированность;
e) ответственное отношение к учебе.
Развивающие:
1. Осуществлять умственное развитие детей;
2. Работать над формированием умений сравнивать явления, делать выводы, обобщения;
3.Учить:
b) анализировать ситуацию,
c) делать логические умозаключения на основе этого анализа и имеющихся знаний;
4. Проверить уровень самостоятельного мышления обучающегося по применению имеющихся знаний в различных ситуациях.
Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Тема урока: «Движение системы связанных тел».
Цели (для учеников):
1. Систематизация знаний о равнодействующей всех сил, приложенных к телу.
2. Интерпретация законов Ньютона относительно понятия равнодействующая сил.
3. Восприятие данных законов.
4. Применение полученных знаний к знакомой и новой ситуации при решении физических задач.
Задачи урока (для учителя):
Образовательные:
1. Уточнить и расширить знания о равнодействующей силе и способах ее нахождения при движении системы тел.
2. Сформировать умения применять понятие равнодействующей силы к обоснованию законов движения (законов Ньютона)
3. Выявить уровень усвоения темы.
4. Продолжить формирование навыков самоанализа ситуации и самоконтроля.
Воспитательные:
1. Содействовать формированию мировоззренческой идеи познаваемости явлений и свойств окружающего мира;
2. Подчеркнуть значение модулирования в познаваемости материи;
3.Обратить внимание на формирование общечеловеческих качеств:
a) деловитость;
b) самостоятельность;
c) аккуратность;
d) дисциплинированность;
e) ответственное отношение к учебе.
Развивающие:
1. Осуществлять умственное развитие детей;
2. Работать над формированием умений сравнивать явления, делать выводы, обобщения;
3.Учить:
a) выделять признаки сходства в описании явлений,
b) анализировать ситуацию,
c) делать логические умозаключения на основе этого анализа и имеющихся знаний;
4. Проверить уровень самостоятельного мышления обучающегося по применению имеющихся знаний в различных ситуациях.
Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.
Ход урока
Учитель: вспомним слова Р. Фейнмана: “Физик – это тот, кто видит решение задачи, не решая ее”. К этому можно прийти, прорешав несколько тысяч задач. Это немного, 3 – 4 задачника.
На этом уроке нам предстоит научиться решать физические задачи, в основе которых лежат законы Ньютона. Иначе эти задачи называются динамическими задачами.
На первом листе, который лежит перед вами, вы можете рассмотреть такие задачи.
Все задачи, требующие применения законов Ньютона, решаются по одному алгоритму. Давайте вспомним этот алгоритм.
Ученики пытаются вспомнить алгоритм решения задач.
Учитель: давайте прочитаем и проанализируем этот алгоритм на листе № 2.
1. Внимательно прочитав условие задачи (если бы вы знали, сколько ошибок происходит от невнимательного прочтения условия задачи!), выясните физическое содержание задачи, какие процессы и явления включены в её условие. Ознакомившись с условием задачи, не следует пытаться сразу найти искомую величину. Помните, цель решения – свести задачу от физической к математической, записав её условие при помощи формул.
2. Выясните, какие силы действуют на тела, движением которых мы интересуемся. Все известные силы надо изобразить на рисунке. При этом надо отчетливо представлять себе, со стороны каких тел действуют рассматриваемые силы. Указать все величины, характеризующие данное явление. Не следует забывать, что действие одного тела на другое является взаимным. Следует говорить не о действии тел, а о взаимодействии их, подчиняющемуся третьему закону Ньютона.
3. Выберите систему отсчета, относительно которой будете рассматривать движение тел. Выбор системы отсчета не влияет на ответ задачи, но удачно выбранное направление осей может облегчить решение задачи. В случае прямолинейного движения удобно одну из осей направить вдоль направления ускорения, а другую перпендикулярно ей.
4. С помощью физических законов и формул установите математическую связь между всеми величинами. В результате получится одно или несколько уравнений – физическая задача сводится к математической.
5. Решить составленную систему уравнений, убедившись, что число уравнений равно числу неизвестных.
6. Проанализировать полученный результат и числовой расчёт.
Учитель: а сейчас заполните таблицу на листе № 3.
Ученики самостоятельно с пояснением заполняют таблицу.
Учитель : чертёж сделайте произвольный (либо на горизонтальной поверхности, либо по вертикали).
Учитель : чтобы заполнить третью колонку, ответьте сначала на вопросы, расположенные ниже таблицы.
Задание на повторение:
- Основной закон - второй закон Ньютона.
- Силы, действующие на тела – трения, упругости, тяжести, реакции опоры, натяжения нити, тяги, архимедова.
- Как направлять ось координат? - по направлению ускорения.
- Назовите внешние силы - трения, упругости, тяжести, реакции опоры, тяги, архимедова.
- Назовите внутренние силы - натяжения нити.
- Чему равен вес тел? - силе натяжения нити.
Учитель : сейчас решим первую задачу, при анализе задачи пользуйтесь памяткой на листе № 4:
Задача № 1. На гладкой горизонтальной поверхности находятся два тела, соединенные невесомой, нерастяжимой нитью. Масса левого тела m 2 =1 кг, правого – m 1 =2кг. К правому грузу прикладывают силу F=3Н, направленную вдоль нити. Определите силу натяжения нити.
Первый этап: анализ задачи (анализ физического явления).
Учитель: какое движение совершает система связанных тел под действием внешней силы F? Действуют ли в этом случае силы трения?
Ученик: движение будет прямолинейным равноускоренным. По условию поверхность гладкая, значит, силой трения можно пренебречь.
Учитель: какие силы возникают между телами, связанными нерастяжимой нитью? Одинаковые ли ускорения получают тела?
Ученик: между телами возникают силы взаимодействия, которые будут равны по III закону Ньютона. Так как нить не растяжения, то ускорения обоих тел одинаково.
Учитель: как вы думаете. Одинаковые ли будут силы натяжения в первом и втором случае? В каком случае эти силы будут больше?
Ученик: силы натяжения будут больше, когда внешняя сила приложена к телу меньшей массой. (Если ученики затрудняются, приступаем к решению)
Второй этап: план решения. Один ученик решает задачу на доске.
Учитель: выполним рисунок. Выберем ИСО (одна ось, связанная с опорой). Введём соответствующие обозначения. Запишем краткие условия задачи.
Общей идеей решения является описание движения двух материальных точек с помощью законов Ньютона. С учётом третьего закона это описание можно разделить на два: описание движения одной материальной точки и описание движения другой. Таким образом, получим систему двух уравнений. На этом заканчивается этап постановки задачи. Мы выполнили работу физика. Теперь необходимо перейти в состояние математика и решить полученную нами систему уравнений. Это второй этап, математический.
Третий этап: осуществление плана, или решение
Четвёртый этап: обсуждение решения (анализ, рефлексия)
Получив решение задачи в общем, виде, необходимо перейти в состояние физик и заняться анализом решения. Прежде всего, необходимо проверить размерность.
Выводы. В центре решения любой задачи стоит математическое описание (моделирование) физических явлений. Вот почему, во-первых, следует выделить нужные физические явления, и, во-вторых, описать их физическими законами. На первом и втором этапах решения задачи идёт подготовка к математическому моделированию физического явления. На третьем этапе – работа с математической моделью. Здесь важно правильно и умело выполнить все нужные математические операции: составить системы уравнений, спроецировать их на оси системы отсчёта, произвести алгебраические преобразования, выразить нужную физическую величину и найти её числовое значение. Ясно, что при выполнении всех действий нужно быть внимательным – ошибка в каком-либо действии делает всю остальную работу напрасной. Вот почему следует постепенно, аккуратно выполнять чертёж, математические действия и др. Успешное решение любых задач требует этих качеств. Если, например, на чертеже не указано какой-то силы, то неправильно будет составлено уравнение, труд по его решению окажется напрасным.
Задача № 2. К концам нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены два груза массами 90 г и 110 г. Первоначально они находятся на одном уровне. С каким ускорением движутся тела? На сколько опустится больший груз за 2 с?
Анализ задачи:
- Если массы грузов будут одинаковые, то чему будет равно ускорение грузов? (нулю).
- Как будут двигаться грузы? (равномерно или покоится).
- Чему будет равна сила натяжения нити и вес каждого из грузов? (mg) .
- Если масса второго груза намного больше массы первого груза, то чему будет равно ускорение грузов в этом случае? (a = g по модулю).
- Куда будет направлен ускорение более массивного груза? (вниз).
Задача № 3. На концах и в середине длинной пружины жесткостью k закреплены три тела с массами m1 = m2 = m и M = 2m (см. рис.). Все тела располагаются на гладком горизонтальном столе. К телу массой M приложена горизонтальная внешняя сила, модуль которой равен F . Найдите удлинение всей пружины.
На грузы в горизонтальном направлении действуют силы натяжения со стороны пружины. Считая пружину невесомой, запишем уравнение второго закона Ньютона для каждого тела:
Отсюда, после подстановок, получаем
Эти же силы растягивают половинки пружины:
– жесткости половинок пружины.
Общее удлинение пружины равно:
Подведение итогов
Учитель: подведем итоги урока. Мы повторили законы Ньютона, решали качественные и количественные задачи на применение законов.
Заключение: механика Ньютона была первой в истории физики законченной теорией, правильно описывающей обширный класс явлений - движение тел. Один из современников Ньютона выразил свое восхищение этой теорией в стихах, которые в переводе С. Я. Маршака звучат так (эпиграф на доске).
"Был этот мир глубокой тьмой окутан.
Да будет свет. И вот явился Ньютон".
Законы физики позволяют в принципе решить любую задачу механики.
В этой задаче необходимо найти отношение силы натяжения к
Рис. 3. Решение задачи 1 ()
Растянутая нить в этой системе действует на брусок 2, заставляя его двигаться вперед, но она также действует и на брусок 1, пытаясь препятствовать его движению. Эти две силы натяжения равны по величине, и нам как раз необходимо найти эту силу натяжения. В таких задачах необходимо упростить решение следующим образом: считаем, что сила является единственной внешней силой, которая заставляет двигаться систему трех одинаковых брусков, и ускорение остается неизменным, то есть сила заставляет двигаться все три бруска с одинаковым ускорением. Тогда натяжение всегда двигает только один брусок и будет равно mа по второму закону Ньютона. будет равно удвоенному произведению массы на ускорение, так как третий брусок находится на втором и нить натяжения должна уже двигать два бруска. В таком случае отношение к будет равно 2. Правильный ответ - первый.
Два тела массой и , связанные невесомой нерастяжимой нитью, могут без трения скользить по гладкой горизонтальной поверхности под действием постоянной силы (Рис. 4). Чему равно отношение сил натяжения нити в случаях а и б?
Выбор ответа: 1. 2/3; 2. 1; 3. 3/2; 4. 9/4.
Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2 ()
Рис. 5. Решение задачи 2 ()
На бруски действует одна и та же сила, только в разных направлениях, поэтому ускорение в случае «а» и случае «б» будет одним и тем же, так как одна и та же сила вызывает ускорение двух масс. Но в случае «а» эта сила натяжения заставляет двигаться еще и брусок 2, в случае «б» это брусок 1. Тогда отношение этих сил будет равно отношению их масс и мы получим ответ - 1,5. Это третий ответ.
На столе лежит брусок массой 1 кг, к которому привязана нить, перекинутая через неподвижный блок. Ко второму концу нити подвешен груз массой 0,5 кг (Рис. 6). Определить ускорение, с которым движется брусок, если коэффициент трения бруска о стол составляет 0,35.
Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3 ()
Записываем краткое условие задачи:
Рис. 7. Решение задачи 3 ()
Необходимо помнить, что силы натяжения и как векторы разные, но величины этих сил одинаковы и равны Точно также у нас будут одинаковы и ускорения этих тел, так как они связаны нерастяжимой нитью, хотя направлены они в разные стороны: - горизонтально, - вертикально. Соответственно, и оси для каждого из тел выбираем свои. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из этих тел, при сложении внутренние силы натяжения сократятся, и получим обычное уравнение, подставив в него данные, получим, что ускорение равно .
Для решения таких задач можно пользоваться методом, который использовался в прошлом веке: движущей силой в данном случае является результирующая внешних сил, приложенных к телу. Заставляет двигаться эту систему сила тяжести второго тела, но мешает движению сила трения бруска о стол, в этом случае:
Так как движутся оба тела, то движущая масса будет равна сумме масс , тогда ускорение будет равно отношению движущей силы на движущую массу 
Так можно сразу прийти к ответу.
В вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы и , закреплен блок. По поверхности плоскостей при коэффициенте трения 0,2 движутся бруски кг и , связанные нитью, перекинутой через блок (Рис. 8). Найти силу давления на ось блока.
Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4 ()
Выполним краткую запись условия задачи и поясняющий чертеж (рис. 9):
Рис. 9. Решение задачи 4 ()
Мы помним, что если одна плоскость составляет угол в 60 0 с горизонтом, а вторая плоскость - 30 0 с горизонтом, то угол при вершине будет 90 0 , это обычный прямоугольный треугольник. Через блок перекинута нить, к которой подвешены бруски, они тянут вниз с одной и той же силой, и действие сил натяжения F н1 и F н2 приводит к тому, что на блок действует их результирующая сила. Но между собой эти силы натяжения будут равны, составляют они между собой прямой угол, поэтому при сложении этих сил получается квадрат вместо обычного параллелограмма. Искомая сила F д является диагональю квадрата. Мы видим, что для результата нам необходимо найти силу натяжения нити. Проведем анализ: в какую сторону движется система из двух связанных брусков? Более массивный брусок, естественно, перетянет более легкий, брусок 1 будет соскальзывать вниз, а брусок 2 будет двигаться наверх по склону, тогда уравнение второго закона Ньютона для каждого из брусков будет выглядеть:
Решение системы уравнений для связанных тел выполняется методом сложения, далее преобразовываем и находим ускорение:
Это значение ускорения необходимо подставить в формулу для силы натяжения и найти силу давления на ось блока:
Мы выяснили, что сила давления на ось блока приблизительно равна 16 Н.
Мы рассмотрели различные способы решения задач, которые многим из вас пригодятся в дальнейшем, чтобы понять принципы устройства и работы тех машин и механизмов, с которыми придется иметь дело на производстве, в армии, в быту.
Список литературы
- Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
- Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
- Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика-9. - М.: Просвещение, 1990.
Домашнее задание
- Каким законом мы пользуемся при составлении уравнений?
- Какие величины одинаковы у тел, связанных нерастяжимой нитью?
- Интернет-портал Bambookes.ru ( ).
- Интернет-портал 10klass.ru ().
- Интернет-портал Festival.1september.ru ().
При записи уравнений движения связанных тел необходимо иметь в виду, что второй закон Ньютона формулируется для тела (одного) массой m . Следовательно, при описании движения связанных тел уравнение движения должно быть записано для каждого тела в отдельности, а действие тел друг на друга определяется силой реакции опоры, натяжения нити и т. д.
Задача 10. На столе находится небольшой деревянный брусок массой 290 г, к которому привязана нить, перекинутая через невесомый блок, закрепленный на краю стола. Ко второму концу нити привязан груз массой 150 г. С каким ускорением будут двигаться эти тела, если коэффициент трения дерева о стол равен 0,32?
|
Дано:
|
|
Решение. |
|
|
На брусок (рис. 10), расположенный на столе, очевидно (см. задачу 8), действуют четыре силы: сила тяжести; сила реакции опоры; сила натяжения нити и сила трения. На груз, подвешенный на нити, перекинутой через блок, очевидно (см. задачу 7), действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. для каждого из этих тел, полагая, что их размерами в данной задаче можно пренебречь:
Координатные оси можно выбрать отдельно для каждого тела, поскольку после взятия проекций в формулах останутся только модули векторов (их длины), которые одинаковы во всех системах координат. Возьмем проекции векторов на координатные оси, добавим формулу для силы трения и получим:
Поскольку движущиеся тела связаны, то за одинаковый промежуток времени они будут проходить одинаковое расстояние. Отсюда следует, что модули ускорений, с которыми движутся эти тела, одинаковы. Силы натяжения нити, приложенные к бруску и к грузу, возникают вследствие взаимодействия этих тел и по модулю равны друг другу (более подробное объяснение равенства модулей этих сил будет приведено при изучении вращательного движения тел).
Решение системы уравнений выполним в следующем порядке: из второго уравнения выразим силу реакции опоры и подставим в третье уравнение, а получившееся при этом выражение для силы трения подставим в первое:
Сложим левые и правые части уравнений системы, при этом в правой части полученного выражения взаимно уничтожится неизвестная сила натяжения нити, а затем выразим ускорение:
;
Ответ
:
тела будут двигаться с ускорением
.
Движение под действием переменных сил
Если силы, действующие на тело, при его движении изменяются с течением времени, то ускорение, с которым движется тело, не будет оставаться постоянным. Это обстоятельство делает невозможным использование формул кинематики равноускоренного движения и требует применения дифференциального и интегрального исчисления при решении задач такого типа.
Задача
11.
Водный мотоцикл массой 160 кг (без водителя)
движется по спокойной воде. После падения
водителя на крутом вираже и автоматической
остановки двигателя скорость мотоцикла
при его дальнейшем движении по прямой
за 4,5 с уменьшилась в 10 раз. Считая силу
сопротивления движению пропорциональной
скорости (
),
найти коэффициент сопротивления
.
|
Дано:
|
|
|
|
Д
вижение
вод-ного мотоцикла пос-ле остановки
двигателя происходит под действием
трех сил: силы тяжести, направленной
вертикально вниз, силы Архимеда,
направленной вверх, и силы сопротивления,
направленной против скорости.
На
основании второго закона Ньютона запишем
уравнение движения
:
.
Выберем
ось Ox
вдоль направления движения. Тогда для
этой оси уравнение можно переписать
с учетом того, что проекции силы тяжести
и силы Архимеда на горизонтальную ось
равны нулю, а проекция силы сопротивления
:
.
Из уравнения видно, что ускорение, с которым движется водный мотоцикл, не остается постоянным с течением времени, а изменяется вместе с изменением скорости. По определению для ускорения при одномерном движении и произвольном характере зависимости ускорения от времени можно записать:
(именно поэтому в уравнении не взяты проекции скорости и ускорения).
Подставляя формулу в уравнение, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором неизвестной является функция скорости от времени:
.
Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения, полагая, что секундомер был включен в момент выключения двигателя:
.
С учетом формулы Ньютона-Лейбница и правил потенцирования, получим:
.
Если необходимо получить зависимость скорости от времени, то следует взять экспоненту от обеих частей выражения и применить к левой части основное логарифмическое тождество. В данной задаче искомую величину выразим непосредственно из формулы:
;
.
Ответ
:
коэффициент сопротивления движению
.