«Разложение вектора по двум неколлинеарным» - Геометрия 9 класс. Доказательство: Доказательство: Пусть а и b - неколлинеарные векторы. Тогда р = уb , где у – некоторое число. Докажем, что любой вектор р можно разложить по векторам а и b. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора. Пусть р коллинеарен b .
«Два мороза» - А как добрались до места, ещё хуже мне стало. А к вечеру встретились опять в чистом поле. Ну, думаю, погоди у меня теперь. Два мороза. Старший брат, Мороз – Синий нос, посмеивается, да рукавицей об рукавицу похлопывает. Покачал головой Мороз - Синий нос и говорит: - Э, молод ты, брат, и глуп. Гуляли по чистому полю два Мороза, два родных брата.
«Толстой Два брата» - Сказка Л. Н. Толстого. Л. Н. Толстой участвовал в обороне Севастополя. Я готов к работе. Открыл в 1859 году школу в Ясной Поляне для крестьянских детей. Подле-возле (около). Зачин Концовка Волшебство Трёхкратные повторы. Сейчас я начну учиться. Главная мысль сказки. Память моя крепка. Голова мыслит ясно.
«Интерференция двух волн» - Устойчивая интерференционная картина наблюдается при условии когерентности налагающихся волн. Интерференция света. Разность хода волн зависит от толщины пленки. Бритва удерживается на воде поверхностным натяжением нефтяной пленки. Мыльные пленки. Интерференция механических волн звука. Интерференция.
«Признак перпендикулярности двух плоскостей» - Упражнение 7. Упражнение 8. Упражнение 3. Ответ: Да. Плоскость? перпендикулярна плоскости?. Будет ли всякая прямая плоскости? перпендикулярна плоскости?? Существует ли пирамида, у которой три боковые грани перпендикулярны основанию? Существует ли треугольная пирамида, у которой три грани попарно перпендикулярны?
«Линейное уравнение с двумя переменными» - Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными. Алгоритм доказательства, что данная пара чисел является решением уравнения: Определение: -Что называется уравнением с двумя переменными? Приведите примеры. -Какое уравнение с двумя переменными называется линейным? Линейное уравнение с двумя переменными.
Задание 15. Две сосны растут на расстоянии 15 м одна от другой. Высота одной сосны 30 м, а другой - 22 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
Задание 16. В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 48°, AD - биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Задание 17. Точка О - центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что углы ABC = 69° и OAB = 48°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.
Задание 18. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВС = 7, AD = 9, АС = 32. Найдите АО.
Задание 19.
Задание 20.
1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой
Задание 15. Две сосны растут на расстоянии 20 м одна от другой. Высота одной сосны 27 м, а другой - 12 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
Задание 16. В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 84°, AD - биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Задание 17. Точка О - центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что углы ABC = 56° и OAB = 15°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.
Задание 18. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВС = 6, AD = 13, АС = 38. Найдите АО.
Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Задание 20.
1) Все равнобедренные треугольники подобны.
2) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
3) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Задание 15. Две сосны растут на расстоянии 16 м одна от другой. Высота одной сосны 27 м, а другой - 15 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
Задание 16. В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 28°, AD - биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Задание 17. Точка О - центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что углы ABC = 54° и OAB = 41°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.
Задание 18. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВС = 2, АВ = 5, АС = 28. Найдите АО.
Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Задание 20. Какое из следующих утверждений верно?
1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
3) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
Задание 15. Проектор полностью освещает экран А высотой 70 см, расположенный на расстоянии 140 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран В высотой 150 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.
Задание 16. Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 17. Площадь круга равна 88. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 90°.
Задание 18. В ромбе ABCD угол ABC равен 134°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Задание 19.
Задание 20. Какие из следующих утверждений верны?
1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Задание 15. Проектор полностью освещает экран А высотой 240 см, расположенный на расстоянии 300 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран В высотой 80 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.
Задание 16.
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 17. Площадь круга равна 72. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 90°.
Задание 18. В ромбе ABCD угол ABC равен 40°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС.
Задание 20. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
3) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
Задание 15. Проектор полностью освещает экран А высотой 50 см, расположенный на расстоянии 140 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран В высотой 260 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.
Задание 16. Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 17. Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.
Задание 18. В ромбе ABCD угол ABC равен 84°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС.
Задание 20. Какое из следующих утверждений верно?
1) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
3) Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов.
Задание 15. Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если её верхний конец находится на высоте 1,6 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м. Ответ дайте в метрах.
Задание 16. В треугольнике ABC известно, что АС = 32, ВМ - медиана, ВМ = 23. Найдите AM.
Задание 17. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что угол NBA = 36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Задание 18. Основания трапеции равны 1 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Задание 19.
Задание 20. Какое из следующих утверждений верно?
1) Боковые стороны любой трапеции равны.
2) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
3) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
Задание 15. Две сосны растут на расстоянии 24 м одна от другой. Высота одной сосны 17 м, а другой - 10 м. Найдите расстояние (в метрах) между их вершинами.
Задание 16. В треугольнике ABC известно, что АС = 52, ВМ - медиана, ВМ = 36. Найдите AM.
Задание 17. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что угол NBA = 32°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Задание 18. Основания трапеции равны 16 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Задание 20. Какие из следующих утверждений верны?
1) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.
2) В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.
3) Все диаметры окружности равны между собой.
Задание 15. Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну третьего этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах.
Задание 16. Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 17. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором АВ = ВС и угол ABC = 88°. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.
Задание 18. Сторона ромба равна 8, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 2. Найдите площадь этого ромба.
Задание 19.
Задание 20. Какие из следующих утверждений верны?
1) Диагонали ромба равны.
2) Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.
3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
Задание 15. Две сосны растут на расстоянии 36 м одна от другой. Высота одной сосны 25 м, а другой - 10 м. Найдите расстояние (в метрах) между их вершинами.
Задание 16. Сторона треугольника равна 24, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 17. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором АВ = ВС и угол ABC = 25°. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.
Задание 18. Сторона ромба равна 12, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 1. Найдите площадь этого ромба.
Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Задание 20. Какие из следующих утверждений верны?
1) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
2) Все квадраты имеют равные площади.
3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
Подготовка к ОГЭ по математике
Задачи 1 части
Модуль «Геометрия»
Задание 15.
Задание проверяет умение использовать приобретенные знания и умения в
практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и
исследовать простейшие математические модели (исследовать построенные
модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать
практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.)
1. Две сосны растут на расстоянии 15 м одна от другой. Высота одной сосны 30 м,
а другой – 22 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
2. Две сосны растут на расстоянии 20 м одна от другой. Высота одной сосны 27 м,
а другой – 12 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
3. Две сосны растут на расстоянии 16 м одна от другой. Высота одной сосны 27 м,
а другой – 15 м. найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
4. Проектор полностью освещает экран А высотой 70 см, расположенный на
проектора нужно расположить экран В высотой 150 см, чтобы он был
дайте в сантиметрах.
А В
5. Проектор полностью освещает экран А высотой 240 см, расположенный на
расстоянии 300 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от
проектора нужно расположить экран В высотой 80 см, чтобы он был полностью
освещен, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в
сантиметрах.
В А
6. Проектор полностью освещает экран А высотой 50 см, расположенный на
расстоянии 140 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от
проектора нужно расположить экран В высотой 260 см, чтобы он был
полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ
дайте в сантиметрах.
А В
7. Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если ее верхний конец
находится на высоте 1,6 м над землей, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2
м. Ответ дайте в метрах.
Две сосны растут на расстоянии 24 м одна от другой. Высота одной сосны 17 м,
8.
9. Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну третьего этажа дома.
Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте расположено
окно? Ответ дайте в метрах.
10.Две сосны растут на расстоянии 36 м одна от другой. Высота одной сосны 25 м,
а другой – 10 м. Найдите расстояние (в метрах) между их вершинами.
11.Колесо имеет 45 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите угол,
который образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах
12.Фонарь закреплен на столбе на высоте 5,4 м. Человек стоит на расстоянии 6 м
от столба и отбрасывает тень длиной 3 м. Какого роста человек? Ответ дайте в
метрах.
13.Колесо имеет 6 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину
угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
14.Человек ростом 190 см стоит на расстоянии 5 м от столба, на котором висит
фонарь. Длина тени человека равна 2,5 м. На какой высоте установлен фонарь?
Ответ дайте в метрах.
15.Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 25 минут?
16.Человек ростом 1,9 м стоит на расстоянии 24 м от столба. На столбе на высоте
7,6 м висит фонарь. Найдите длину тени, которую отбрасывает человек. Ответ
дайте в метрах.
17.Какой угол (в градусах) образует минутная и часовая стрелки часов в 10:00?
18.Найдите периметр участка земли прямоугольной формы, если площадь участка
равна 2700 м2, а одна сторона в 3 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.
19.Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами
равен 60о?
20. Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами
равен 40о?
21.Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении,
находится на высоте 4,8 м от земли. Длина троса равна 5 м найдите расстояние
от точки основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте
в метрах.
22.Флагшток удерживается в вертикальном положении при помощи троса.
Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно
1,6 м. Длина троса равна 3,4 м. Найдите расстояние от земли до точки
крепления троса. Ответ дайте в метрах.
23.Найдите периметр участка земли прямоугольной формы, если площадь участка
равна 3600 м2, а одна сторона в 4 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.
24.Паркет состоит из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 20 см. Паркет
продаётся упаковками по 2 кв.м в одной упаковке. Сколько дощечек в такой
упаковке?
25. На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2
м, а длинное плечо – 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча,
6м
2 м
26.На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2 м,
а длинное плечо – 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча,
когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
4м
2 м
27. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания
между малой и большой опорами. Высота малой опоры 2,25 м, высота большой
опоры 2,85 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах.
крыша
2,25м? 2,85м
28.Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания
которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине
между малой и большой опорами. Высота малой опоры 2,2 м, высота средней
опоры 2,5 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ дайте в метрах.
крыша
2,2 м 2,5 м?
29.Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний
её конец находится на высоте 1,6 м над землёй, а нижний отстоит от ствола
дерева на 1,2 м?
30.Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний
её конец находится на высоте 2,4 м над землёй, а нижний отстоит от ствола
дерева на 0,7 м?
31.Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания
которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине
между малой и большой опорами. Высота малой опоры 1,7 м, высота средней
опоры 2,1 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ дайте в метрах.
крыша
1,7 м 2,1 м?
32.Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания
которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине
между малой и большой опорами. Высота средней опоры 2,2 м, высота большей
опоры 2,5 м. Найдите высоту меньшей опоры. Ответ дайте в метрах.
крыша
? м 2,2 м 2,5
33.Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 29 минут?
34.Паркет продаётся упаковками по 1,5 кв.м в каждой упаковке. Каждая дощечка
имеет форму прямоугольника со сторонами 5 см и 20 см. Сколько дощечек в
такой упаковке?
35.Проектор полностью освещает экран А высотой 80 см, расположенный на
проектора нужно расположить экран В высотой 160 см, чтобы он был
полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными? Ответ
дайте в сантиметрах.
А В
36.Проектор полностью освещает экран А высотой 80 см, расположенный на
расстоянии 250 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от
проектора нужно расположить экран В высотой 240 см, чтобы он был
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель работы: Разработать модель решения геометрических задач практического содержания из вариантов ГИА 9 класса и создать демонстрационную презентацию данного метода.
Литература: Открытый банк заданий по математике ГИА 2012 www.mathgia.ru
Этапы решения задачи:
- Постановка задачи
Формулируется условие задачи, выделяются исходные данные и результаты.
Строится математическая модель решения задачи, например, выполняется геометрический чертеж, в котором реальные объекты заменены на геометрические фигуры.- Вычислительный этап
Производится сопоставление теоретического материала с созданной математической моделью. Выписываются расчетные формулы, выделяются существенные свойства геометрических объектов.
Производятся расчеты. - Анализ полученных результатов
Производится сопоставление результата решения задачи реальной действительности.
Задача 1 . В 24 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 23 м, а другой – 16 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
| Этапы решения задачи | Содержание |
| Постановка задачи | Условие задачи: В 24 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 23 м, а другой – 16 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками. Исходные данные: Высоты деревьев – 23 м и 16 м, расстояние между их основаниями – 24 м. Результат: Расстояние между верхушками сосен. |
| Создание математической модели |  AB=23 м, CD=16 м, АС=24 м Найти BD |
| Вычислительный этап | Теоретический минимум: В прямоугольнике противоположные стороны равны. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Решение: Проведем DH перпендикулярно АВ, ACDH – прямоугольник, DC=AH, AC=DH. ВН=АВ-АН. Таким образом, DH=24 м, BH=23–16=7 м. По теореме Пифагора: |
| Можно сопоставить полученный результат 25 м, например, с расстоянием между соснами 24 м. |
Задача 2 . Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?
| Этапы решения задачи | Содержание |
| Постановка задачи | Условие задачи: Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? Исходные данные: Рост человека – 1,7 м, тень человека – 4 шага, расстояние от человека до столба – 8 шагов. Результат: Высота столба (в метрах). |
| Создание математической модели |
 AB=1,7 м, SA=4 шага, AC=8 шагов Найти СD |
| Вычислительный этап | Теоретический минимум: Первый признак подобия треугольников (по двум углам). Длина отрезка равна сумме длин частей, из которых состоит этот отрезок. Решение: CS=AC+AS=4+8=12 шагов. DS – луч света от фонаря. ΔABS~ΔCDS (по двум углам). Тогда ;  . |
| Анализ полученных результатов | Можно сопоставить полученный результат 5,1 м, например, с ростом человека 1,7 м. |
Прототипы задач с практическим содержанием из открытого банка заданий ГИА 2012
- Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?
- Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?
- Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка – 3 км/ч. Какое расстояние (в километров) будет между ними через 30 минут?
- Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 2 часа?
- В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой – 6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
- Колесо имеет 18 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
- Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 18°?
- Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 5 ч?
- Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 10 мин?
- Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 20 мин?
- На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка пока часовая проходит 2°?
- Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?
- Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.
- Площадь прямоугольного земельного участка равна 9 га, ширина участка равна 150 м. Найдите длину этого участка в метрах.
- Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 800 м2 и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.
- Сколько досок длиной 2 м, шириной 20 см и толщиной 10 мм выйдет из четырехугольной балки длиной 100 дм, имеющей в сечении прямоугольник размером 50 см × 80 см?
- Сколько коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размерами 30×40×100 (см) можно поместить в кузов машины размерами 2,4×8×2,8 (м)?
- Две трубы, диаметры которых равны 45 см и 60 см, требуется заменить одной, не изменяя пропускную способность. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.
- Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 30 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,7 м и 4,8 м?
- Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 8 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?
- Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 19600 м 2 и одна сторона в 4 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.
- Площадь прямоугольного земельного участка равна 14 га, ширина участка равна 100 м. Найдите длину этого участка в метрах.
При написании данной работы «ОГЭ по математике 2018. Вариант 2» было использовано пособие «ОГЭ 2018. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ / И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2018″.
Часть 1
Модуль «Алгебра»
Показать решение
Чтобы сложить две дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае - это число 20 :
Ответ:
5,45
- В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты.
| Команда | I эстафета, баллы | II эстафета, баллы | III эстафета, баллы | IV эстафета, баллы |
| «Удар» | 3 | 3 | 2 | 1 |
| «Рывок» | 4 | 1 | 4 | 2 |
| «Взлёт» | 1 | 2 | 1 | 4 |
| «Спурт» | 2 | 4 | 3 | 3 |
При подведении итогов баллы каждой команды по всем эстафетам суммируются. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов. Какая команда заняла первое место?
- «Удар»
- «Рывок»
- «Взлёт»
- «Спурт»
Показать решение
В первую очередь суммируем баллы, набранные каждой командой
«Удар» = 3 + 3 + 2 + 1 = 9
«Рывок» = 4 + 1 + 4 + 2 = 11
«Взлёт» = 1 + 2 + 1 + 4 = 8
«Спурт
» = 2 + 4 + 3 + 3 = 12
Судя по результату: первое место у команды «Спрут».
Ответ:
Первое место заняла команда «Спрут», номер 4.
- На координатной прямой точки A, B, C и D соответсвуют числам: 0,098; -0,02; 0,09; 0,11.
Какой точке соответствует число 0,09 ?
Показать решение
На координатной прямой положительные числа находятся справа от начала координат, а отрицательные - слева. Значит единственное отрицательное число -0,02 соответсвует точке A. Самое большое положительное число - это 0,11, а значит оно соответсвует точке D (крайней справа). Учитывая, что оставшееся число 0,098 больше числа 0,09, то и принадлежат они точкам C и B соотвественно. Отобразим это на чертеже:
Ответ:
Число 0,09 соответсвует точке B, номер 2.
- Найдите значение выражения
Показать решение
В данном примере необходимо проявить смекалку. Если корень из 36 равен 6, поскольку 6 2 = 36, то корень из 3,6 найти простым путём достаточно сложно. Однако, после нахождения корня из числа 3,6 его нужно тут же возвести в квадрат. Таким образом, два действия: нахождение квадратного корня и возведение в квадрат аннулируют друг друга. Поэтому получаем:
Ответ:
2,4
- На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной - давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 360 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.
Показать решение
Найдем на графике линию соответствующую 360 мм ртутного столба. Далее определим место её пересечения с кривой зависимости атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На графике прекрасно видно это место пересечения. Проведем от точки пересечения вниз прямую до шкалы высот. Искомая величина 5,5 километров.
Ответ:
Атмосферное давление равно 360 миллиметрам ртутного столба на высоте 5,5 километров.
- Решите уравнение x 2 - 6x = 16
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ напишите меньший из корней.
Показать решение
x 2 - 6x = 16
Перед нами обычное квадратное уравнение:
x 2 + 6x - 16 = 0
Для его решения необходимо найти дискриминант:
D = (-6) 2 - 4 * 1 * (-16) = 36 + 64 = 100
Так как D > 0, то уравнение иеет два корня
х1 = (-(-6) + √100) / 2 * 1 = (6 + 10) / 2 = 16 / 2 = 8
х2 = (-(-6) - √100) / 2 * 1 = (6 - 10) / 2 = -4 / 2 = -2
Выполним проверку:
8 2 - 6 * 8 - 16 =0
64 - 48 - 16 = 0
(-2) 2 - 6 * (-2) - 16 =0
Следовательно, х1 = 8 и х2 = -2 - корни заданного квадратного уравнения.
х1 = -2 - меньший корень уравнения.
Ответ:
Наименьший корень данного уравнения: -2
- Поступивший в продажу в январе мобильный телефон стоил 1600 рублей. В мае он стал стоить 1440 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с января по май?
Показать решение
Итак, 1600 рублей - 100%
1600 - 1440 = 160 (р) - сумма на которую подешевел телефон
160 / 1600 * 100 = 10 (%)
Ответ:
Цена на мобильный телефон в период с января по май снизилась на 10%
- На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км 2) стран мира.
Какие из следующих утверждений верны ?
1) Афганистан входит в семёрку крупнейших по площади территории страна мира.
2) Площадь территории Бразилии составляет 8,5 млн км 2 .
3) Площадь территории Индии больше площади территории Австралии.
4) Площадь территории России больше площади территории США на 7,6 млн км 2 .
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Показать решение
Исходя из графика, Афганистан отсутсвует в списке представленных стран, а значит первое утверждение неверное .
Над гистограммой Бразилии указана площадь 8,5 млн км 2 , что соответсвует второму утверждению, верное .
Площадь территории Индии согласно графика равна 3,3 млн км 2 , а площадь Австралии - 7,7 млн км 2 , что не соответсвует утверждению в третьем пункте, неверное .
Площадь территории России равна 17,1 млн км 2 , а площадь США - 9,5 млн км 2 , получаем 17,1 - 9,5 = 7,6 млн км 2 . А значить утверждение 4 верное
.
Ответ:
24
- В каждой восьмой бутылке газировки согласно условиям акции под крышкой есть приз. Призы распределены случайно. Вася покупает бутылку газировки. Найдите вероятность того, что Вася не найдет приз.
Показать решение
Решение данной задачи основано на классической формуле определения вероятности:
где, m - число благоприятных исходов события, а n - общее количество исходов
Получаем
Таким образом, вероятность того, что Вася не найдёт приз составит 7/8 или
Ответ:
Вероятность того, что Вася не найдёт приз составит 0,875
- Установите соответствие между функциями и их графиками.
В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.
Показать решение
- Изображённая на рисунке 1 гипербола расположена второй и четвертой четвертях, следовательно, данному графику может соответствовать функция В. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(1/-6*3) = 0,05; б) при х = -2, y = -(1/-2*3) = 0,17; в) при х = 2, y = -(1/2*3) = -0,17; г) при х = 6, y = -(1/6*3) = -0,05. Что и требовалось доказать.
- Изображённая на рисунке 2 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может соответсnвовать функция А. Выполнение проверки проведите самостоятельно, по аналогии с первым примером.
- Изображённая на рисунке 3 гипербола расположена во второй и четвертой четвертях, следовательно, данному графику может соответствовать функция Б. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(3/-6) = 0,5; б) при х = -2, y = -(3/-2) = 1,5; в) при х = 2, y = -(3/2) = -1,5; г) при х = 6, y = -(3/6) = -0,5. Что и требовалось доказать.
Ответ:
А - 2 ; Б - 3 ; В - 1
- Арифметическая прогрессия (a n) задана условиями:
a 1 = 48, a n+1 = a n - 17.
Найдите сумму первых семи её членов.
Показать решение
a 1 = 48, a n+1 = a n - 17
a n + 1 =a n - 17 ⇒ d = -17
a n = a 1 + d(n-1)
a 7 = a 1 + d(n-1) = 48 - 17 (7 - 1) = 48 - 102 = -54
S 7 = (a 1 + a 7)∙7 / 2
S 7 = (a 1 + a 7)∙3.5
S 7 = (48 - 54)∙3.5 = -21
Ответ:
-21
- Найдите значение выражения
Показать решение
Раскрываем скобки. Не забываем, что первая скобка - это квадрат разницы.
Ответ:
50
- Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле
где d 1 и d 2 - длины диагоналей четырёхугольника, a - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 2 , если
Показать решение
Помните правило, если у нас трёх-этажная дробь, то нижнее значение переносится наверх
Ответ:
17
- Укажите решение неравенства
3 - x > 4x + 7
|
|
|
|
|
Показать решение
Для решения данного неравенства необходимо сделать следующее:
а) перенесём член 4х в левую часть неравенства, а -3 - в правую часть, не забыв поменять знаки на противоположные. Получим:
б) Умножим обе части неравенства на отрицательное число -1 и заменим знак неравенства на противоположный.
в) найдём значение х
г) множеством решений данного неравенства будет числовой промежуток от -∞ до -2, что соответсвует ответу 2
Ответ:
2
Модуль «Геометрия»
- Две сосны растут на расстоянии 30 м одна от другой. Высота одной сосны 26 м, а другой - 10м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
Показать решение
Решение
На рисунке мы изобразили две сосны. Расстояние между ними - а = 30 м; разницу в высоте мы обозначили, как b; ну и расстояние между верхушками - это c.
Как видите, у нас получился обычный прямоугольный треугольник состоящий из гипотенузы (c) и двух катетов (a и b). Для нахождения длины гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c 2 = a 2 + b 2
b = 26 - 10 = 16 (м)
Итак, расстояние между верхушками сосен 34 метра
Ответ:
34
- В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6, AC = 4. Найдите cos∠ABC
Показать решение
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a
2
=
b
2
+
c
2
– 2
bc
cosα
АС² = АВ² + ВС² - 2·АВ·ВС·cos∠ABC
4² = 5² + 6² - 2·5·6·cos∠ABC
16 = 25 + 36 - 60·cos∠ABC
60·cos∠ABC = 25 + 36 - 16
60·cos∠ABC = 45
cos∠ABC = 45 / 60 = 3/4 = 0,75
Ответ:
cos∠ABC = 0,75
- На окружности с центром в точке О отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 18 о. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги AB .
Показать решение
Известно, что круг составляет 360 о. Исходя из этого, 18 о составляет:
360 о / 18 о = 20 - кол-во сегментов в круге по 18 о
Итак, 18 о составляют 1/20 часть всей окружности, значит оставшаяся часть круга:
т.е. оставшиеся 342 о (360 о - 18 о = 342 о) составляют 19-ю часть всей окружности
Если длина меньшей дуги AB равна 5, то длина большей дуги AB составит:
5 * 19 = 95
Ответ:
95
- В трапеции ABCD известно, что AB = CD , ∠BDA = 18 о и ∠BDC = 97 о. Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.
Показать решение
По условию задачи перед нами равнобедренная трапеция. Углы в основании равнобедренной трапеции (верхнем и нижним) равны.
∠ADC = 18 + 97 = 115°
∠DAB = ∠ADC = 115°
Теперь рассмотрим треугольник ABD в целом. Нам известно, что сумма углов треугольника равна 180 °. Отсюда:
∠ABD = 180 – ∠ADB – ∠DAB = 180 – 18 – 115 = 47°.
Ответ:
47°
- На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Показать решение
Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h):
a - длина основания треугольника
h - высота треугольника.
Из рисунка мы видим, что основание треугольника равно 6 (клеткам), а высота - 5 (клеткам). Исходя из чего получаем:
Ответ:
15
- Какое из следующих утверждений верно?
- Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
- Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Часть 2
Модуль «Алгебра»
- Решите уравнение
Показать решение
Перенесем выражение √5-x с правой стороны в левую
Сократим оба выражения √5-x
Перенесём 18 в левую часть уравнения
Перед нами обычное квадратное уравнение.
Область допустимых значений в данном случае составляет: 5 - х ≥ 0 ⇒ x ≤ 5
Для решения уравнения, необходимо найти дискриминант:
D = 9 + 72 = 81 = 9 2
х 1 = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6 - не является решением
х 2 = (3 - 9)/2 = -6/2 = -3
х = -3
Ответ:
-3
- Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.
Показать решение
х - это собственная скорость теплохода, тогда
х + 5 - скорость теплохода по течению
х - 5 - скорость теплохода против течения
35 - 23 = 12 (ч) - время движения теплохода из пункта отправления в пункт назначения и обратно без учета стоянки
80 * 2 = 160 (км) - общее расстояние, пройденное теплоходом
Исходя из выше сказанного получим уравнение:
приводим к общему знаменателю и решаем:
Для дальнейшего решения уравнения, необходимо найти дискриминант:
Собственная скорость теплохода составляет 15 км/ч
Ответ:
y = x 2 + 2x + 1 (график, изображенный красной линией)
y = -36/x (график, изображенный синий линией)
Рассмотрим обе функции:
- y=x 2 +2x+1 на промежутке [–4;+∞) – это квадратичная функция, графиком является парабола, а=1 > 0 – ветви направлены вверх. Если мы её сократим по формуле квадрата суммы двух чисел, то получим: у=(х+1) 2 – сдвиг графика влево на 1 единицу, что и видно из графика.
- у=–36/х – это обратная пропорциональность, график гипербола, ветви расположены во 2 и 4 четвертях.
На графике хорошо видно, что прямая у=m имеет с графиком одну общую точку при m=0 и m > 9 и две общие точки при m=9, т.е. ответ: m=0 и m≥9, проверяем:
Одна общая точка в вершине параболы y = x 2 + 2x + 1
x 0 = -b/2a = -2/2 = -1
y 0 = -1 2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 ⇒ с = 0
Две общие точки при х = – 4 ; у = 9 ⇒ с = 9
Ответ:
0; }