Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость
Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши . Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.
Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.
Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:
А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.
Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях , эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».
В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:
Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака . Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов .
Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.
Признак Лейбница : Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.
Или в два пункта:
1) Ряд является знакочередующимся.
2) Члены ряда убывают по модулю: , причём, убывают монотонно.
Если выполнены эти условия, то ряд сходится .
Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики , но для удобства ещё раз:
Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду 
. Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа
. Мы увидим, что каждый следующий
член ряда меньше
, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:
– Члены ряда без учёта знака
убывают.
– Члены ряда убывают по модулю
.
– Члены ряда убывают по
абсолютной величине
.
– Модуль
общего члена ряда стремится к нулю:
// Конец справки
Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.
Члены ряда строго монотонно
убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю
МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:
А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю
меньше, чем предыдущий: .
Члены ряда нестрого монотонно
убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: 
Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю
не больше предыдущего: .
В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю , но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.
Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:
Пример 1
В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:
1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно 
и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».
2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел , который чаще всего является очень простым.
– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела 
не существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда .
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость 
После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам , которые не менее монотонны и однообразны интересны.
Если для знакочередующегося числового ряда
Выполняются два условия:
1. Члены ряда убывают по модулю u 1 >u 2 >…>u n >…,
2. 
то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.
Следствие. Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е.
Если в знакочередующемся ряде члены ряда монотонно убывают по абсолютным значениям и imU n =0 (nà∞), то ряд сходится.
Дано: U 1 >U 2 >U 3 >... ; imU n =0 (nà∞); U 1 -U 2 +U 3 -U 4 +... , U i >0
Доказательство: S 2 n ¾ чётная частичная сумма:
S 2n =+U 1 -U 2 +U 3 -U 4 +...-U 2n ;
S 2n =(U 1 -U 2)+(U 3 -U 4)+...+(U 2n-1 -U 2n);
S 2n >0 ¾ возрастает.
S 2n =U 1 -(U 2 -U 3)-(U 4 -U 5)-...-U 2n ; S 2n 0; imS 2n =S {nà∞}
imS 2n+1 {nà∞} = im(S 2n +U 2n+1)=S;
Чётные и нечётные суммы с одним пределом => ряд сходится.
1) Заметим, что S>0, т.е. знак суммы совпадает со знаком первого члена.
38. Абсол и условная сходимость.
О. Ряд вида 
(1)
наз знакочеред-ся.
Признак Лейбница (сх-ть знакочер ряда).
Для того, чтобы ряд (1) сх-ся достаточно, чтобы абсол значения убывали и →0 при возрастании n, т.е.
О. Если ряд, сост из абсол значений величин 
сх-ся, то ряд наз абсолютно сходящимся.
Теорема: Если ряд явл абсол сх-ся, то исх ряд сх-ся.
Док-во:восп-ся 1 признаком сравнения
Рассм-м ряд 
- ряд из абсол значений величин
Доказана сх-ть по 2-му признаку сравнения, след-но исх ряд сх-ся абсолютно.
О. Если ряд, образ из абсол значений его величин расх-ся, а исх ряд сх-ся, то он наз условно сх-ся.
39. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
Ряд вида , где - числа, называемые коэффициентами ряда, x – переменная, наз-ся степенным рядом. Интервал (-R;R) наз интервалом сх-ти степ ряда. Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться. Для нахождения радиуса сходимости можно воспольз-ся, признаками Даламбера или Коши. Теорема. Если существует | a n +1 / a n |=L, то R=1/L= | a n / a n +1 |. (Док-во. Рассмотрим ряд a n x n . Применим к нему признак Даламбера. | a n +1 x n +1 / a n x n |= | a n +1 / a n |∙| x | =L∙| x |. Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.) Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ . Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x 0 =0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда a n x n есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зав-ти от рез-тов этого исслед-я обл-ю сх-ти ряда м. б. один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]. Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд a n x n сходится при x=x 0 , то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x 1 |. (Док-во 1)Так как числовой ряд a n x 0 n сходится, то a n x 0 n =0. Это означает, что числовая последовательность {a n x 0 n } ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде a 0 + a 1 x 0 (x/x 0) + a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) +…+…= a n x 0 n (x/x 0) 2 . Рассмотрим ряд из абсолютных величин. |a 0 | + |a 1 x 0 (x/x 0) | + |a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |> x 1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)
Определение. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки.
Примерами знакочередующихся рядов могут служить геометрические прогрессии с отрицательными знаменателями.
Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий, чувствительный и практичный признак сходимости, принадлежащий Лейбницу.
Теорема (признак сходимости Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующего ряда
образуют монотонно невозрастающую последовательность, стремящуюся к нулю, т. е. если
то ряд (4.32) сходится.
Доказательство. Мы имеем для любого
или, объединяя члены в группы (сумма содержит только конечное число слагаемых, и потому основные законы действий справедливы здесь без каких-либо ограничений),
На основании невозрастания последовательности абсолютных величин членов ряда во всех скобках стоят неотрицательные числа. Следовательно,
Поэтому частичные суммы ряда (4.32) с четными номерами составляют ограниченную последовательность.
С другой стороны, в силу той же монотонности
и поэтому последовательность частичных сумм с четными номерами является неубывающей. Следовательно, эта последовательность имеет предел
Оба предела справа существуют, причем второй из них по условию равен нулю. Следовательно, существует и предел слева, и для него
Вместе с (4.35) это дает нам
что и требовалось.
Следствие. Для знакочередующегося ряда удовлетворяющего признаку сходимости Лейбница, остаток можно сверху оценить по абсолютной величине:
В самом деле, остаток можно рассматривать как сумму ряда
которая, как следует из доказанной теоремы, не превосходит по абсолютной величине своего первого члена, которым в данном случае является
Пример. В применении к ряду
признак Лейбница дает
что означает сходимость ряда. (Непосредственными выкладками эта сходимость была установлена в § 2.)
Мы видим, что признак сходимости Лейбница является довольно широким по применимости, весьма практичным и идеально чувствительным. Это не противоречит сказанному в конце § 5 главы 3: условная сходимость знакочередующегося ряда является «в среднем», если можно так выразиться, более широким фактом, чем сходимость ряда с положительными членами; поэтому и распознать ее оказывается в каком-то смысле легче.
Заметим, наконец, что признак Лейбница является не только достаточным, но и необходимым признаком сходимости для знакочередующихся рядов с монотонно убывающими членами: если то на основании необходимого признака сходимости из § 6 главы 2 ряд
сходиться не может.
Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд
сходится, если выполняются оба условия:
Следствие
Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычесления неполной суммы ряда:
Остаток сходящегося знакочередующегося ряда R n = S − S n будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:
Источники
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. - Изд. 7-е, стереотипное. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. - С. 296.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Признак Лейбница" в других словарях:
Признак Дирихле теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле. Содержание … Википедия
Признак Дини признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из сходится к ней в смысле нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее, при некоторых… … Википедия
Признак сравнения утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство … Википедия
Признак сходимости числового ряда, предложенный Лобачевским между 1834 и 1836. Пусть есть убывающая последовательность положительных чисел, тогда ряд сходится или расходится одновременно с рядом … Википедия
Признак сходимости рядов Фурье: если периодическая функция имеет ограниченную вариацию на отрезке, то её ряд Фурье сходится в каждой точке к числу; если при этом функция непрерывна на отрезке … Википедия
- (признак Раабе Дюамеля) признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный Йозефом Людвигом Раабе (Joseph Ludwig Raabe) и независимо Жан Мари Дюамелем. Содержание 1 Формулировка 2 Формул … Википедия
Признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Жозефом Бертраном. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия
Общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1812 году Карлом Гауссом, при исследовании сходимости гипергеометрического ряда. Формулировка Пусть дан ряд и ограниченная числовая последовательность. Тогда если… … Википедия
Признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей чувствительностью. Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория… … Википедия
Признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Пьером Жамэ. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия