Мн.: 1973.- 560 с.
Учебное пособие для математических, химических, биологических, геофизических факультетов университетов и педагогических институтов. Данной руководство по составление обыкновенных дифференциальных уравнений, а также простейший уравнений адресована широкому кругу лиц, встречающихся с составлением дифференциальных уравнений в учебной и производственной работе и практике. В приложениях математики к различным отраслям науки дифференциальные уравнения занимают важное место. Использование ПК - наиболее эффективное и распространенное средство решения прикладных задач естествознания и техники.
Формат: pdf
Размер: 5 Мб
Смотреть, скачать: yandex.disk
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие " . I 3
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 5
§ 1. Дифференциальные уравнения 5
§ 2. Классификация дифференциальных уравнений. 5
§ 3. Общее семейство решений, частное и особое решения 6
§ 4. Элементарные дифференциальные уравнения 7.
§ 5. Выделение индивидуальных решений 8
§ 6. Построение решения в виде степенного ряда 10
§ 7. Метод последовательных приближений И
§ 8. Продолжение решений 12
ГЛАВА II. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЯМ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Общие принципы.. тз
§ 2. Методика составления дифференциальных уравнений 13
§ 3. Схема составления дифференциального уравнения 15
ГЛАВА III. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Об)
§ 1. Притяжение стержня и материальной точки........ ^Чб"
§ 2. Движение тел постоянной массы 18
§ 3. Движение тел переменной массы (без учета внешних сил) ..... 26
§ 4. Растяжение упругой нитн.. 30
§ 5. Работа опорожнения сосудов 34
§ 6. Изменение яркости света в стеклянной пластине....... 35
§ 7. Нагрев тела 37
§ 8. Изменение состояния газов в сосудах 40
ГЛАВА IV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 1. Охлаждение тел, 43
§ 2. Нагрев тел. 46
§ 3. Распределение температуры внутри тел, 48
§ 4. Брус равного напряжения 51
§ 5. Давление зерна на стенки хранилища. 53
§ 6. Барометрическая формула и глубинное давление. 55
§ 7. Прямолинейное горизонтальное движение.....».? 58
§ 8. Вертикальное движение тел 65
§ 9. Падение тел переменной массы. . , SI
§ 10. Криволинейное движение (кривая погони) 83
§ 11. Вращение тел в жидкости. 86
§ 12. Закон всемирного тяготения 88
§ 13. Радиоактивный распад., 94
§ 14. Электрические заряды 95
§ 15. Поверхность фрезы,.. 99
§ 16. Трение ременной передачи,.., 101
§ 17. Истечение жидкости из сосудов 103
§ 18. Наполнение сосудов,... 108
§ 19. Установление уровня в сообщающихся сосудах.. 108
§ 20. Кривая депрессии «,.,.. ПО
§ 21. Обеднение раствора...... s .. 112
§ 22. Растворение твердых тел ИЗ
§ 23. Вентиляция производственного помещения. . . , . , . 119
§ 24. Газовые смеси. . 120
§ 25. Ионизация газов.,. 121
§ 26. Химические реакции 122
§ 27. Рост населения 133
§ 28. Процессы роста в природе н производстве 142
§ 29. Экология популяций 150
§ 30. Плотность муравьев вне муравейника. . . . * , . . 157
§ 31. Рост денежных вкладов 161
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА,
§ 1. Изогональные траектории. ТБЗ
§ 2. Геометрические приложения. 165
§ 3. Зеркало, фокусирующее параллельные лучи. 170
§ 4. Траектории полета самолетов 171
ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ПОЛНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
§ 1. Параболическое зеркало 180
§ 2. Концентрация вещества в жидкости 182
ГЛАВА VII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
§ 1. Геометрические приложения «ю
§ 2. Движение материальной точки 188
§ 3. Температура охлаждающего тела
§ 4. Нагрев тела при стационарном теплопотоке
§ 5. Электрические цепи
§ 6. Рационализаторские предложения
§ 7. Работа сердца
§ 8. Задача о сигарете.
ГЛАВА VIII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА (УРАВНЕНИЯМ БЕРНУЛЛИ, РИККАТИ, ЛАГРАНЖА И КЛЕРО)
§ 1. Уравнение Бернулли
§ 2. Уравнение Риккати
| 3. Уравнение Лагранжа
§ 4. Уравнение Клеро
ГЛАВА IX. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ (у"=с)
§ I. Скольжение тела под наклоном!Ш
§ 2. Движение в горизонтальной плоскости при сопротивлении, пропорциональном
силе тяжести 220
§ 3. Выброс вверх (без учета треиия) 231
§ 4. Распределение теплоты в стержне 231
§ 5. Расстояние между фермами железнодорожного моста. . . ... 233
ГЛАВА X. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО
ПОРЯДКА С 236^
I. Уравнения типа y"=f(x)
§ 1. Переходная кривая железнодорожного пути 237
§ 2. Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости 230
§ 3. Упругая линия балок 242
II. Уравнения типа «/"=/((«/)
§" 4. Геометрические приложения 255
§ 5. Движение материальной точки под действием силы притяжения. 256
III. Уравнения типа y"=f(y")
§ 6. Определение кривой по радиусу кривизны 257
§ 7. Горизонтальное движение тела при наличии трения 259
§ 8. Движение в вертикальной плоскости 274
§ 9. Равновесие тяжелой нити 280
§ 10. Гибкая иить равного сопротивления 283
IV. Уравнения типа y"=f(x,y")
§ II. Кривая и раднус кривизны 285
V. Уравнения типа y"-f(y, у")
§ 12. Нахождение уравнения кривой по нормали и радиусу кривизны. . . 286
ГЛАВА XI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО
ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 288 \
I. Неполные линейные дифференциальные уравнения
§ I. Гармонические колебания 296
§ 2. Движение тела без трения 307
§ 3. Дифференциальный манометр 312
§ 4. Распределение теплоты в стержнях 313
§ 5. Продольный изгнб прямого стержня 320
§ 6. Движение шарика в трубке (задача Ампера) 328
II. Линейные дифференциальные уравнения
§ 7. Затухающие колебания 330
§ 8. Затухающие колебания в электрической цепи 335
§ 9. Колебания магнитной стрелки без и при наличии успокоителя 3
§ 10. Вынужденные колебания механических систем 350
ГЛАВА XII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С
РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 363
I. Уравнение Эйлера ^*-^
§ 1. Распределение температуры в продольном ребре параболического сечсннн 303
II. Линейное однородное уравнение с рациональными коэффициентами
§ 2. Толстостенная цилиндрическая оболочка под давлением (задача Лямэ) . . 366
III. Линейное неоднородное уравнение с рацио и ильным и коэффициентами
§ 3. Скорость течения жидкости в трубопроводе Я74
§ 4. Изгиб круглой пластины, 970
ГЛАВА XIII. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (УРАВНЕНИЯМ БЕССЕЛЯ.
ЛЕЖАНДРА И МАТЬЕ) Г 385 ^
I. Уравнение Бесселя
§ 1. Устойчивость стержня формы усеченного конуса, сжимаемого продольной силой
390
§ 2. Устойчивость цилиндрического стержня под действием собственного веса 392
§ 3. Устойчивость вращения гибкой нити 395
§ 4. Распределение температуры в кольцевом ребре прямоугольного профиля 398
П. Обобщенное уравнение Бесселя
§ 5. Маятник переменной длины 400
§ 6. Устойчивость стержня переменного сечения под действием переменной
распределенной нагрузки 402
III. Дифференциальные уравнения в частных производных
§ 7. Колебания круглой мембраны 405
IV. Уравнение Лежандра
§ 8. Электрический потенциал двух равносильных зарядов 413
§ 9. Дифференциальное уравнение в частных производных потенциала. . . 415
§ 10. Потенциал притягивающих масс 417
V. Уравнение Матье
§ 11. Динамическая устойчивость стержня под действием переменной_продолыюй силы
424
ГЛАВА XIV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ1ЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА (436
§ 1. Разложение вещества ^~4ЦЙ-"
§ 2. Относительная кривая погони (442
§ 3. Давление в системе двух соединенных цилиндров с газом 445
§ 4. Напряженное состояние диска под действием центробежных сил. . . 447
§ 5. Превращение одного вещества в другое 453
ГЛАВА XV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ, высших
ПОРЯДКОВ
§ 1. Линия прогиба неразрезиой балки от распределенной нагрузки. . . ТЗв
ГЛАВА XVI. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (463 }
§ 1. Паровая машина с регулятором ^4вт
ГЛАВА XVII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Колебания вала от действия центробежных сил, ^~?72
§ 2. Балка (железнодорожный рельс) на упругом основании 477
§ 3. Колебания однородной балки (приведение дифференциального уравнения в
частных производных к обыкновенному) . . . 482
ГЛАВА XVIII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ НЕОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 485
§ I. Деформация стенок цилиндрического резервуара 487
§ 2. Железнодорожная шпала 490
ГЛАВА XIX. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА 495
§ 1. Движение материальной точки под действием отталкивающей силы,
пропорциональной расстоянию * 497
§ 2. Выброс тела под углом 500
§ 3. Сброс груза с самолета в заданную точку 503
§ 4. Движение планет 504
§ 5. Система двух связанных электрических контуров 509
§ 6. Изменение потенциала электрической линии по времени (приведение системы
дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных
уравнений) 513
§ 7. Стационарные линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами в теории систем современной техники и естествознания. . 519
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 529
I. Дифференциальные уравнения первого порядка.... 529
II. Дифференциальные уравнения второго порядка.. 545
III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка. . . . 555
IV. Системы дифференциальных уравнений второго порядка. 557
ПРЕДИСЛОВИЕ
В приложениях математики к различным отраслям науки дифференциальные уравнения
занимают важное место. Использование ИК-- наиболее эффективное и
распространенное средство решения прикладных задач естествознания и техники.
Многие реальные процессы с помощью дифференциальных уравнений описываются просто
н полно. Поэтому вполне понятно то внимание, которое уделяет-СИ вопросу
составления дифференциальных уравнений.
Однако многочисленные и разнообразные приложения теории обыкновенных
дифференциальных уравнений требуют в первую очередь знания соответствующих
теоретических положений и законов естествознания, техники и других отраслей,
которые изучаются обычно после дифференциальных уравнений. По этой причине в
курсе дифференциальных уравнений решению практических задач на составление
уделяется все еще недостаточное внимание. Прослу-Шйншие этот курс не имеют
достаточного навыка в решении задач, выдвигаемых жизнью, производством. Кроме
того, в учебниках и учебных пособиях вопросы-составления дифференциальных
уравнений обычно ограничиваются элементарными задачами геометрического или
кинематического типа. Поэтому целесообразно вернуться к составлению
дифференциальных уравнений при изложении специальных дисциплин, а также в
процессе практической или научно-исследовательской работы.
Цель автора - создание учебного пособия, которое широко охватило бы различные
задачи естествознания и техники и способствовало овладению современной методикой
составления дифференциальных уравнений прикладных задач, возникающих в процессе
производства или научной деятельности.
Характерной особенностью освоения навыков составления дифференциальных уравнений
является изучение многочисленных примеров. В связи с этим полнота изложения
имеет здесь существенное значение.
Книга содержит 325 задач на составление дифференциальных уравнений, из которых
194 задачи анализируются подробно.
Рассматриваемые задачи классифицируются по их математическому пришаку:
описываемые обыкновенными дифференциальными ураииениями первого, второго,
третьего и четвертого порядков, системами этих уравнений первого и второго
порядков, а также дифференциальными уравнениями в частных производных,
приводящимися к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Для самостоятельного решения подобрана 131 задача, большинство на которых
аналогичны разобранным и снабжены ответами, а более трудные - краткими
пояснениями к решению.
Учебное пособие предназначено для студентов всех отделение математических,
физических, механических, химических, биологических, геофизических,
экономических факультетов университетов г. педагогических институтов, а также
высших технических учебных заведений.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, встречающихся с дифференциальными
уравнениями в учебно-методической, производственной и научно-исследовательской
практике.
Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
Уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Приведем пример:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Пример решения ДУ с разделяющимися переменными
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":
Дифференциальным называют уравнением, связывающее аргументх , искомую функциюу и ее производныеу ’ ,у ” , ...,у (n ) различных порядков. В общем виде дифференциальное уравнение можно записать:
F (x, y, у ’ ,у ” , ...,у (n) ) = 0 .
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком входящей в него производной.
Примером дифференциального уравнения является второй закон Ньютона, определяющей силу F как произведение массы телаm на приобретенное под действием силы ускорениеа: F = ma .
Учитывая, что ускорение есть первая производная от скорости v, запишем второй закон Ньютона в виде дифференциального уравнения первого порядка:
Или, поскольку ускорение является второй производной от пути S этот закон может представлен в виде дифференциального уравнения второго порядка:
Если известен конкретный характер действующей силы,то, решая уравнение (2), установим вид движения, т.е, найдем, как для данного случая путь зависит от времени: S = f(t).
Решением дифференциального уравнения является такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Пример. Решить уравнение:у ’ - х = 0 (3)
Перепишем исходное уравнение в виде:
(4)
В уравнении (4) выполнено разделение переменных, состоящее в том, что искомая функция и ее дифференциал выносятся в одну часть уравнения, а аргумент и его дифференциал - в другую.
Для получения решения необходимо в уравнении (4) избавиться от дифференциалов, - поэтому произведем интегрирование его левой и правой части:
(5)
При нахождении неопределенных интегралов появляются произвольные постоянные С 1 иС 2 . Их следует объединить в одну постояннуюС . Окончательно:
Формула (6) есть общее решение дифференциального уравнения (3), содержащее столько производных постоянных, каков порядок дифференциального уравнения.
Легко доказать, что функция (6) действительно решение уравнения (3), поскольку ее подстановка в уравнении (3) обращает последнее в тождество.
Произвольная постоянная С может быть определена, если наряду с исходным дифференциальным уравнением заданы некоторые добавочные сведения - их называют начальными условиями.
Например: при х = 0 у = 1. Это начальное условия при подстановке его в общее решение (6) позволяет найти постояннуюС :
1 = 0 + С С = 1.
Тогда из общего решения (6) для данного начального условия получим частное решение уравнения (3), не содержащее произвольной постоянной:
2. Этапы решения задач при использовании дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения - математический аппарат, который позволяет решать не только чисто математические или физические задачи, но и количественно описывать самые разнообразные процессы (медико-биологические, экономические, социальные и др.). Несмотря на разнообразие рассматриваемых явлений, использование аппарата дифференциальных уравнений для их исследования должно происходить в определенной общей логической последовательности.
2.1. Составление дифференциального уравнения. Этот этап наиболее сложный и ответственный. Здесь необходимо учесть все факторы, которые влияют на течение исследуемого процесса, возможно, сделать некоторые допущения, определить начальные условия. При этом исследователь должен основываться на твердо установленных экспериментальных фактах или логических посылках. Например, при создании математических моделей работы сердца их практическая полезность (получение новых сведений, позволяющих улучшить диагностику сердечно-сосудистых заболеваний и повысить эффективность их лечения) определится полнотой и корректностью математического учета физиологических данных и клинической практики.
2.2. Решение уравнения. Этот этап может считаться более простым, чем первый, поскольку он предполагает выполнение чисто математических операций. Если невозможно получить решение дифференциального уравнения в аналитическом виде, то оно может быть решено расчетным путем с применением современной вычислительной техники.
2.3. Оценка и анализ результата. Получив решение дифференциального уравнения (или системы уравнений), необходимо оценить, какова теоретическая и практическая полезность полученных результатов - установлены ли новые закономерности в протекании, например, физиологических процессов; определено ли количественно влияние выбранных факторов на,например, степень развития и характер патологии и т.п.
Кроме того, следует сопоставить полученные результаты с имеющимися установленными фактами. Если из математического описания физиологического процесса следуют неожиданные и неизвестные ранее сведения, то это может означать: 1) действительно установлено новое явление, которое впоследствии может быть подтверждено экспериментальными исследованиями; 2) полученный результат возник из-за того, что на этапе составления дифференциального уравнения не учтены все необходимые факторы или сделаны слишком грубые допущения.
Решение задач физики или механики с помощью дифференциальных уравнений распадается в соответствии со сказанным в п. 1 на следующие этапы:
а) составление дифференциального уравнения;
б) решение этого уравнения;
в) исследование полученного решения.
1. Установить величины, изменяющиеся в данном явлении, и выявить физические законы, связывающие их.
2. Выбрать независимую переменную и функцию этой переменной, которую мы хотим найти.
3. Исходя из условий задачи, определить начальные или краевые условия.
4. Выразить все фигурирующие в условии задачи величины
через независимую переменную, искомую функцию и ее производные.
5. Исходя из условий задачи и физического закона, которому подчиняется данное явление, составить дифференциальное уравнение.
6. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.
7. По начальным или краевым условиям найти частное решение.
8. Исследовать полученное решение.
Во многих случаях составление дифференциального уравнения первого порядка основывается на так называемой «линейности процесса в малом», т. е. на дифференцируемости функций, выражающих зависимость величин. Как правило, можно считать, что все участвующие в том или ином процессе величины в течение малого промежутка времени изменяются с постоянной скоростью. Это позволяет применить известные из физики законы, описывающие равномерно протекающие явления, для составления соотношения между значениями , т. е. величинами, участвующими в процессе, и их приращениями. Получающееся равенство имеет лишь приближенный характер, поскольку величины меняются даже за короткий промежуток времени, вообще говоря, неравномерно. Но если разделить обе части получившегося равенства на и перейти к пределу, когда стремится к нулю, получится точное равенство. Оно содержит время t, меняющиеся с течением времени физические величины и их производные, т. е. является дифференциальным уравнением, описывающим данное явление. То же самое уравнение в дифференциальной форме можно получить, заменив приращение на дифференциал , а приращение функций - соответствующими дифференциалами.
Таким образом, при составлении дифференциального уравнения мы делаем как бы «мгновенный снимок» процесса
в данный момент времени, а при решении уравнения по этим мгновенным снимкам восстанавливаем течение процесса. Итак, в основе решения физических задач с помощью дифференциальных уравнений лежит общая идея линеаризации - замены функций на малых промежутках изменения аргумента линейными функциями. И хотя встречаются процессы (например, броуновское движение), для которых линеаризация невозможна, потому что не существует скорости изменения некоторых величин в данный момент времени, в подавляющем большинстве случаев метод дифференциальных уравнений действует безотказно.
Пример 1. В дне цилиндрического сосуда, наполненного водой и имеющего высоту Н и радиус основания R, сделано небольшое отверстие площади 5 (рис. 2). За какой промежуток времени через отверстие вытечет вся вода, если треть воды вытекает за ?
Решение. Если бы истечение воды происходило равномерно, то решить задачу не представляло бы никаких затруднений - вся вода вытечет за 3 с. Но наблюдения показывают, что сначала вода вытекает быстро, а по мере снижения уровня воды в сосуде скорость ее истечения уменьшается. Поэтому надо учесть зависимость между скоростью истечения v и высотой h столба жидкости над отверстием. Проведенные итальянским физиком Торричелли эксперименты показали, что скорость v приближенно выражается формулой , где g - ускорение свободного падения и k - «безразмерный» коэффициент, зависящий от вязкости жидкости и формы отверстия (например, для воды в случае круглого отверстия .
Сделаем «мгновенный снимок» процесса истечения за промежуток времени Пусть в начале этого промежутка высота жидкости над отверстием равнялась , а в конце его она понизилась и стала , где - «приращение» высоты (которое, очевидно, отрицательно). Тогда объем жидкости, вытекшей из сосуда, равен объему цилиндра с высотой и площадью основания т. е. .
Эта жидкость вылилась в виде цилиндрической струйки, имеющей площадь основания S. Ее высота равна пути, пройденному вытекающей из сосуда жидкостью за промежуток времени . В начале этого промежутка времени скорость истечения равнялась по закону Торричелли а в конце его она равнялась .
Если весьма мало, то тоже очень мало и потому полученные выражения для скорости почти одинаковы. Поэтому путь, пройденный жидкостью за промежуток времени выражается формулой
где . Значит, объем вылившейся за промежуток времени жидкости вычисляется по формуле
Мы получили два выражения для объема жидкости, вылившейся из сосуда за промежуток времени Приравнивая эти выражения, получаем уравнение
Недостатком уравнения (1) является то, что нам неизвестно выражение для а. Чтобы устранить этот недостаток, разделим обе части уравнения (1) на и перейдем к пределу при Поскольку , получаем дифференциальное уравнение
Физики обычно рассуждают короче. Они исследуют процесс в течение «бесконечно малого промежутка времени и считают, что за промежуток времени не изменяется скорость истечения жидкости из сосуда. Поэтому вместо приближенного уравнения (1) они получают точное уравнение
которое является не чем иным, как дифференциальной формой уравнения (2).
Чтобы решить получившееся уравнение, разделим переменные и обозначим для краткости дробь через А. Интегрируя обе части получившегося уравнения получим ответ в виде
Мы получили зависимость между t и , в которую входят две постоянные А и С. Постоянная А зависит от размеров и формы отверстия, вязкости жидкости и других
физических параметров, а постоянная С возникла в ходе решения задачи. Их значения нам неизвестны, но их можно найти, учитывая не использованные еще условия задачи.
Сначала найдем значение С. Для этого используем начальные условия. По условию задачи в начале истечения сосуд был наполнен, т. е. высота столба жидкости равнялась . Иными словами, при имеем: . Подставляя в формулу (3) значения получаем: и потому Поэтому равенство (3) можно переписать в виде
Чтобы найти значение А, вспомним, что за первые мин вытекла треть всей жидкости. Этому соответствует понижение уровня жидкости на . Иными словами, при имеем: . Отсюда находим, что
Теперь уже легко найти время опорожнения сосуда: нам надо найти такое значение t, при котором :
Полученное значение раз больше значения , которое получилось в предположении, что жидкость вытекает равномерно.
Разумеется, и это решение не является безукоризненно точным - мы пренебрегли, например, явлениями
капиллярности (а они существенны, если диаметр отверстия мал), завихрениями жидкости, так называемым пограничным слоем (слоем жидкости вблизи стенок отверстия, на котором происходит переход значений скорости от нуля до и) и многими иными факторами. Но все же оно точнее, чем решение, основанное на предположении о равномерности истечения жидкости.
Исследуем в заключение полученное решение. Для этого подставим в равенство (4) значение , найдем и получим, что
Ясно, что, чем больше значения R и Н (размеры сосуда), тем дольше будет вытекать из него жидкость, как это и следует из полученного ответа. Далее, чем больше S, т. е. площадь отверстия, тем быстрее вытечет жидкость из сосуда. В том же направлении действует и увеличение ускорения g, а также коэффициента к (чем больше к, тем больше скорость истечения жидкости по формуле Бернулли).
Таким образом, полученная формула выдержала «испытание на здравый смысл». Ее надо еще испытать на размерность. Заметим, что в формуле Бернулли коэффициент k безразмерен и потому имеем:
Проведенный контроль подтверждает, что задача решена правильно.
Во многих случаях составление дифференциального уравнения по условию задачи облегчается тем, что соответствующий закон физики связывает между собой значения некоторой величины и скорости ее изменения либо связывает друг с другом значения величины, скорости ее изменения и ускорения.
Пример 2. Парашютист падает под действием силы тяжести. Найдем закон изменения высоты парашютиста над уровнем земной поверхности, если сопротивление воздуха пропорционально скорости его падения, а в начале падения он находился на высоте Я, причем был в состоянии покоя.
Решение. По второму закону Ньютона имеем: . Если выбрать направление координатной оси так, как показано на рисунке 3, то (сила тяжести направлена в отрицательном направлении, а сила сопротивления воздуха направлена в сторону, противоположную скорости падения). Поэтому равенство принимает вид: Так как ускорение является производной от скорости , то получаем дифференциальное уравнение , т. е.
Начальное условие имеет вид: (начальная скорость падения равна нулю).
Разделяя переменные в уравнении (5) и интегрируя, получим:
Так как при имеем: , то и потому
Отсюда находим:
Мы получили закон изменения скорости с течением времени. Найдем теперь закон изменения высоты А парашютиста. Для этого заметим, что , и потому получаем дифференциальное уравнение
Из него вытекает, что
По условию при имеем: . Подставляя эти значения в (8), получаем, что и потому
При малых значениях t имеем:
Сохраняя лишь первые два слагаемых, получаем из формулы (7), что Это показывает, что в начале падения парашютист движется почти равноускоренно. Однако в дальнейшем влияние сопротивления воздуха становится ощутимым, и при имеем: потому стремится к . Иными словами, движение становится почти равномерным со скоростью направленной вниз. Эта скорость пропорциональна силе тяжести действующей на парашютиста, и обратно пропорциональна
коэффициенту k, показывающему силу сопротивления воздуха.
Из формулы (9) можно приближенно найти время, за которое парашютист упадет на земную поверхность. Для этого учтем, что и напишем по формуле (9) приближенное равенство Из него находим, что Заметим, что слагаемое равно времени, которое заняло бы падение парашютиста, с постоянной скоростью а добавка - произошла потому, что вначале падение было более медленным.
Методика составления и решения прикладных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Составление дифференциального уравнения по условию задачи (механической, физической, химической или технической) состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями.
В ряде случаев дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений - за счет их предварительного учета. Например, представляя скорость выражением , мы не привлекаем приращений ∆s и ∆t, хотя они фактически учтены в силу того, что
.
Ускорение в какой-нибудь момент времени t выражается зависимостью:
.
При составлении дифференциальных уравнений приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Изучение любого процесса сводится:
1) к определению его отдельных моментов;
2) к установлению общего закона его хода.
Отдельный момент процесса (т. н. элементарный процесс) выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными - дифференциальным уравнением; закон общего хода процесса выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса, но уже без дифференциалов этих величии.
Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения технических задач с применением теории обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к следующему:
1.Подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть.
2.Составление дифференциального уравнения рассматриваемого процесса.
3.Интегрирование составленного дифференциального уравнения и определение общего решения этого уравнения.
4.Определение частного решения задачи на основании данных начальных условий.
5.Определение, по мере необходимости, вспомогательных пара
метров (например, коэффициента пропорциональности и др.),
используя для этой цели дополнительные условия задачи.
6. Вывод общего закона рассматриваемого процесса и число
вое определение искомых величии.
7. Анализ ответа и проверка исходного положения задачи.
Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера
задачи могут отсутствовать.
Как и при составлении алгебраических уравнений, при решении прикладных задач по дифференциальным уравнениям многое зависит от навыков, приобретаемых упражнением. Однако здесь еще в большей степени требуется изобретательность и глубокое понимание сути изучаемых процессов.
Рассмотрим процесс решения следующих задач:
Задача 3.1.
Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин. падает от 100 0 до 60 0 (рис. 3.1). Температура воздуха равна 25 0 . Через сколько времени от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30 0 ?
Решение:
В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это – процесс неравномерный. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет:
где Т – температура хлеба;
t – температура окружающего воздуха (в нашем случае 25 0);
k – коэффициент пропорциональности;
Скорость охлаждения хлеба.
Пусть - время охлаждения.
Тогда, разделяя переменные, получим:
или для условий данной задачи:
Виду того, что
интегрируя, получаем:
Потенцируя обе части последнего равенства, имеем:
то окончательно
Произвольную постоянную С определяем, исходя из начального условия: при мин, Т=100 о.
или С=75.
Величину определяем, исходя из данного дополнительного условия: при мин, Т=60 о.
Получаем:
и 
.
Таким образом, уравнение охлаждения хлеба при условиях нашей задачи примет вид:
. (2)
Из уравнения (2) легко определяем искомое время при температуре хлеба Т=30 о:
Или.
Окончательно находим:
мин.
Итак, после 1 часа 11 мин. Хлеб охлаждается до температуры 30 о С.
Задача 3.2. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности k=1,00017. Температура трубы 160о; температура внешнего покрова 30о (рис.8). Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество теплоты, отдаваемого одним погонным метром трубы.
Решение. Если тело находится в стационарном тепловом состоянии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной координаты х, то согласно закону теплопроводности Фурье количество теплоты, испускаемое в секунду.