Если множество рациональных чисел дополнить множеством иррациональных чисел, то вместе они составят множество действительных чисел. Множество действительных чисел обычно обозначают буквой R; используют также символическую запись (-оо, +оо) или (-оо, оо).
Множество действительных чисел можно описать так: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей; конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби — рациональные числа, а бесконечные десятичные непериодические дроби — иррациональные числа.
Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка координатной прямой имеет действительную координату. Математики обычно, говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное со ответствие. Координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел; по этой причине для координатной прямой часто используют термин числовая прямая.
Вдумайтесь в этот термин: не кажется ли он вам противоестественным? Ведь число — объект алгебры, а прямая — объект геометрии. Нет ли тут «смешения жанров»? Нет, все логично, все продумано. Этот термин в очередной раз подчеркивает единство различных областей математики, дает возможность
отождествления понятий «действительное число» и «точка на координатной (числовой) прямой».
Обратите внимание: координатной прямой вы пользовались начиная с 5-го класса. Но, оказывается, в ваших знаниях был вполне оправданный пробел: не для любой точки координатной прямой вы сумели бы найти координату — просто учитель оберегал вас от такой неприятности.
Рассмотрим пример. Дана координатная прямая, на ее единичном отрезке построен квадрат (рис. 100), диагональ квадрата ОВ отложена на координатной прямой от точки О вправо, получилась точка D. Чему равна координата точки D? Она равна длине диагонали квадрата, т. е. . Это число, как
мы теперь знаем, не целое и не дробь. Значит, ни в 5-м, ни в 6-м, ни в 7-м классе координату точки D вы бы найти не смогли.
Потому мы до сих пор и говорили «координатная прямая», а не «числовая прямая».
Заметим, что был еще один оправданный пробел в ваших знаниях по алгебре. Рассматривая выражения с переменными, мы всегда подразумевали, что переменные могут принимать любые допустимые значения, но только рациональные, ведь других-то не было. На самом деле переменные могут принимать
любые допустимые действительные значения. Например, в тождестве
(а + Ь){а-b) = а 2 -b 2 в роли а и b могут выступать любые числа, не обязательно
рациональные. Этим мы уже пользовались в конце предыдущего параграфа. Этим же мы пользовались и в § 18 — в частности, в примерах 6, 7, 8 из указанного параграфа.
Для действительных чисел а, b, с выполняются привычные законы:
а + b = b + а;
аЬ = bа;
a + (b + c) = (a + b) + c
a(bc) =(ab)c
(а + b) с = ас + bc и т. д.
Выполняются и привычные правила: произведение (частное) двух положительных чисел — положительное число;
произведение (частное) двух отрицательных чисел — положительное число;
произведение (частное) положительного и отрицательного числа — отрицательное число.
Действительные числа можно сравнивать друг с другом, используя следующее определение.
Определение . Говорят, что действительное число а больше (меньше) действительного числа b, если их разность а - b — положительное (отрицательное) число. Пишут а > b (а < b).
Из этого определения следует, что всякое положительное число а больше нуля (поскольку разность а - 0 = а — положительное число), а всякое отрицательное число b меньше нуля (поскольку разность b - 0 = b — отрицательное число).
Итак, а > 0 означает, что а — положительное число;
а < 0 означает, что а — отрицательное число;
а>b означает, что а -b — положительное число, т. е. а - b > 0;
a т.е. а - b < 0.
Наряду со знаками строгих неравенств (<, >) используют знаки нестрогих неравенств:
а 0 означает, что а больше нуля или равно нулю, т. е. а — неотрицательное число (положительное или 0), или что а не меньше нуля;
а 0 означает, что а меньше нуля или равно нулю, т. е. а — неположительное число (отрицательное или 0), или что а не больше нуля;
а b означает, что а больше или равно b, т. е. а - b — неотрицательное число, или что а не меньше b; а - b 0;
а b означает, что а меньше или равно b, т. е. а - b — неположительное число, или что а не больше Ь; а - b 0.
Например, для любого числа а верно неравенство а 2 0;
для любых чисел а и b верно неравенство (а - b) 2 0.
Впрочем, для сравнения действительных чисел необязательно каждый раз составлять их разность и выяснять, положительна она или отрицательна. Можно сделать соответствующий вывод, сравнивая записи чисел в виде десятичных дробей.
Геометрическая модель множества действительных чисел, т. е. числовая прямая, делает операцию сравнения чисел особенно наглядной: из двух чисел а, b больше то, которое располагается на числовой прямой правее.
Таким образом, к сравнению действительных чисел нужно подходить достаточно гибко, что мы и используем в следующем примере.
Пример 1. Сравнить числа:
Пример 2. Расположить в порядке возрастания числа
Является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х 2 +2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы - малыми буквами a, b,... ...,х,у,...
Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х Î X; запись хÏ Х или х Î X означает, что элемент х не принадлежит множеству X.
Например, запись А={1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А={х:0≤х≤2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.
Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так АÌ В («А включено в В») или ВÉ А («множество В включает в себя множество А»).
Говорят, что множества A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если АÌ В и ВÌ А. Другими словами, множества , состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.
Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ={х:хєА или хєВ}.
Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А∩В (или А*В). Кратко можно записать А∩В={х:хєА и хєВ}
В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:
ΑÞ ß - означает «из предложения α следует предложение ß»;
ΑÛ ß - «предложения α и ß равносильны», т. е. из α следует ß и из ß следует α;
" - означает «для любого», «для всякого»;
$ - «существует», «найдется»;
: - «имеет место», «такое что»;
→ - «соответствие».
Например:
1) запись "
xÎ
А:α означает: «для всякого элемента хÎ
А имеет место предложение α»;
2) (х єA U В) <==> (х є А или х є В); эта запись определяет объединение множеств
А и В.
13.2. Числовые множества . Множество действительных чисел
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:
N={1; 2; 3; ...; n; ... } - множество натуральных чисел;
Zo={0; 1; 2; ...; n; ... } - множество целых неотрицательных чисел;
Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} - множество целых чисел;
Q={m/n: mÎ Z,nÎ N} - множество рациональных чисел.
R-множество действительных чисел.
Между этими множествами существует соотношение
NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.
Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... - рациональные числа.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррационалъными.
Теорема 13.1.
Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.
▼Допустим, что существует рацыональное число, представленное несократимой дробью m/n, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:
(m/n) 2 =2, т. е. m 2 =2n 2 .
Отсюда следует, что m 2 (а значит, и m) - четное число, т. е. m=2k. Подставив m=2k в равенство m 2 =2n 2 , получим 4k 2 = 2n 2 , т. е. 2k 2 =n 2 ,
Отсюда следует, что число n-четное, т. е. n=2l.Но тогда дробь m/n=2k/2l сократима. Это противоречит допущению, что m/n дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2. ▲
Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так,√2=1,4142356...- иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать
R={х: х=α,α 1 α 2 α 3 ...}, где аєZ, а i є{0,1,...,9}.
Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами.
1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел α и b имеет место одно из двух соотношений а
2. Множество
R плотное: между любыми двумя различными числами a и b
содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел,
удовлетворяющих неравенству a<х Так, если a
(a
3. Множество
R непрерывное. Пусть множество R разбито на два непустых класса
А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и
для каждой пары чисел aєА и bєВ выполнено неравенство a Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие
между множеством
всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это
означает, что каждому числу хєR соответствует определенная (единственная) точка
числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное
(единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят
«точка». 13.3 Числовые промежутки. Окрестность точки
Пусть a и b-дейсвительнее числа,причем a Числовыми промежутками
(интервалами) называют подмножества всех
действительных чисел, имеющих следующий вид: = {х: α ≤ х ≤ b} - отрезок (сегмент, замкнутый промежуток); Числа a и b называются соответственно левым и правым концами этих
промежутков. Символы -∞ и +∞ не числа, это символическое обозначение процесса
неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо. Пусть х о -любое действительное число (точка на числовой прямой).
Окрестностью точки хо называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0. В
частности, интервал (х о -ε,х о +ε), где ε >0, называется
ε-окрестностью точки х о. Число х о называется центром. Если хÎ
(х 0 -ε; х 0
+ε), то выполняется неравенство x 0 -ε<х<х 0 +ε, или, что то
же, |х-х о |<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание
точки х в ε -окрестность точки х о (см. рис. 97). Исторически первыми возникли натуральные числа $N$, как результат пересчета пердметов. Множество этих чисел бесконечно и образует натуральный ряд $N=\{1, 2, 3, ..., n, ...\}$. В этом множестве выполнимы операции сложения и умножения. Для выполнения операции вычитания потребовались новые числа, что привело к появлению множества целых чисел: $Z$. $Z=N_+\cup N_- \cup \{0\}$. Таким образом в множестве целых чисел всегда выполняются операции сложения, умножения, вычитания. Необходимость выполнения деления привела к множеству рациональных чисел $Q$. $Q=\{\frac{m}{n}, m\in Z, n\in N\}$. Определение.
Два рациональных числа равны: $\frac{m_1}{n_1}=\frac{m_2}{n_2}$ - если $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. Это означает, что всякое рациональное число можно представить единственным образом в виде несократмой дроби $\frac{m}{n}$. $НОД(m, n)=1$. 1. В результате арифметических операций над рациональными числами (сложение, умножение, вычитание, деление, кроме деления на ноль) получается рациональное число. 2. Множество рациональных чисел упорядочено, то есть для любой пары рациональных чисел $a$ и $b$ либо $ab$. 3. Множество рациональных чисел плотно, то есть для любой пары рациональных чисел $a$ и $b$ существует такое рациональное число $c$, что $a
Всякое положительное рациональное число всегда можно представить в виде десятичной дроби: либо конечной, либо бесконечной периодической. Например: $\frac{3}{5}=0,6$, $\frac{1}{3}=0,333...=0,(3)$. $\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$. $b_1b_2b_3...b_n...$ - называется периодом десятичной дроби, где не все $b_i=0$. Заметим, что конечная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической с нулем в периоде. $\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$. Однако, чаще встречается другое представление рациональных чисел в виде десятичной дроби: $\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$. Отрицательные рациональные числа $-\frac{m}{n}$ записываютсяв виде десятичного разложения рационального числа вида $\frac{m}{n}$, взятого с противоположным знаком. Число $0$ представляется в виде $0,000...$. Таким образом, всякое рациональное число всегда представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби не содержащей $0$ в периоде, кроме самого числа $0$. Такое представление единственное. Множество рациональных чисел замкнуто относительно четырёх арифметических операций. Однако в множестве рациональных чисел не всегда имеет место решение простейшего уравнения вида $x^2-n=0$. Поэтому возникает необходимость введения новых чисел. Покажем, что среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен трём. Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что существует рациональное число $\frac{m}{n}$ такое, что его квадрат равен трём: $\left(\frac{m}{n}\right)^2=3\;\;\;(1)$. $\frac{m^2}{n^2}=3$, $m^2=3n^2.\;\;\;(2)$ Правая часть равенства (2) делится на 3. Значит и $m^2$ делится на 3, следовательно $m$ делится на 3, а это значит, что $m=3k$. Подставим в равенство (2), получим: $3k^2=n^2.\;\;\;(3)$ Левая часть равенства $(3)$ делится на $3$, значит и правая часть делится на $3$. Следовательно $n^2$ делится на $3$, значит и $n$ делится на $3$, откуда $n=3p$. В результате получаем: $\frac{m}{n}=\frac{3k}{3p}$, то есть дробь $\frac{m}{n}$ оказалась сократимой, что противоречит предположению. Значит, среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен трём. Но число, квадрат которого равен трём, существует. Оно представимо в виде бесконечной непериодической дроби. И мы получили новый вид чисел. Назовём их иррациональными. Определение.
Иррациональным числом называется любая бесконечная непериодическая дробь. Множество всех бесконечных непериодических дробей называется множеством иррациональных чисел и обозначается $I$. Объединение множества рациональных чисел $Q$ и иррациональных чисел $I$ даёт множество действительных чисел $R$: $Q\cup I=R$. Таким образом всякое действительное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби: периодической в случае рационального числа и непериодической в случае иррационального числа. Для действительных чисел $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ сравнение осуществляется следующим образом: 1) Пусть $a$ и $b$ оба положительны: $a>0$, $b>0$, тогда: $a=b$, если для любого $k$ $a_k=b_k$; $a>b$, если $\exists s$ $\forall k
(a;) = {х: а < х < b} - интервал (открытый промежуток);
= {х: а < х ≤ b} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
(-∞; b] = {х: х ≤ b};
[α, +∞) = {х: х ≥ α};
(-∞; b) = {х: х а};
(-∞, ∞) = {х: -∞<х<+∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки).Рациональные числа
Свойства множества рациональных чисел
Иррациональные числа
Действительные числа
Сравнение действительных чисел
b_s$.