Что такое точка экстремума. Задачи для самостоятельного решения

Урок на тему: "Нахождение точек экстремумов функций. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.

4. Как вычислять экстремумы?
5. Примеры.

Введение в экстремумы функций

Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них. До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого - опять возрастает. Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:


Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

Посмотрим на график вот такой функции:


Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 - это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 - это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

Точки минимума и максимума

Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).

Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).

Ребята, а что такое окрестность?

Определение: Окрестность точки - множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка минимума.

Ребята, давайте введем обозначения:

Y min - точка минимума,
y max - точка максимума.

Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

Экстремумы функции

Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

Как же искать экстремумы функции?

Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.

Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

Как вычислять экстремумы?

Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:


Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.

На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

Обобщим полученные знания утверждением:

Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:

  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x 0, а при x> x0 выполняется f’(x) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:


Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

  • Найти производную y’.
  • Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
  • Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
  • По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

Примеры нахождения точки экстремумов

1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x - x 3

Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 12 - 3x 2 ,
б) y"= 0, при x= ±2,

Точка x= -2 - точка минимума функции, точка x= 2 - точка максимума функции.
Ответ: x= -2 - точка минимума функции, x= 2 - точка максимума функции.

2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
а) б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя, Область определения функции: , в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю: в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= 3 - точка минимума функции.
Ответ: x= 3 - точка минимума функции.

3) Найти точки экстремума функции y= x - 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.

Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -5π/6 - точка максимума функции.
Точка x= -π/6 - точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 - точка максимума функции, x= -π/6 - точка минимума функции.

4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:
а)
б) найдем значения в которой производная равна нулю: y"= 0 при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 точка минимума функции.
Точка x= 2 - точка минимума функции.
В точке x= 0 функция не существует.
Ответ: x= ±2 - точки минимума функции.

Задачи для самостоятельного решения

а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5x 3 - 15x - 5.
б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) - x при π ≤ x ≤ 3π.
г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Функции, вовсе необязательно знать о наличии первой и второй производной и понимать их физический смысл. Для начала нужно уяснить следующее:

  • экстремумы функции максимизируют или, наоборот, минимизируют значение функции в сколь угодно малой окрестности;
  • в точке экстремума не должно быть разрыва функции.

А теперь то же самое, только простым языком. Посмотрите на кончик стержня шариковой ручки. Если ручку расположить вертикально, пишущим концом вверх, то самая середина шарика будет экстремумом — наивысшей точкой. В этом случае говорят о максимуме. Теперь, если повернуть ручку пишущим концом вниз, то на середке шарика уже будет минимум функции. С помощью рисунка, приведенного здесь же, можно представить перечисленные манипуляции для канцелярского карандаша. Итак, экстремумы функции — это всегда критические точки: ее максимумы или минимумы. Прилегающий участок графика может быть сколь угодно острым или плавным, но он должен существовать с обеих сторон, только в этом случае точка является экстремумом. Если график присутствует лишь с одной стороны, точка эта экстремумом являться не будет даже в том случае, если с одной ее стороны условия экстремума выполняются. Теперь изучим экстремумы функции с научной точки зрения. Дабы точка могла считаться экстремумом, необходимо и достаточно, чтобы:

  • первая производная равнялась нулю или не существовала в точке;
  • первая производная меняла свой знак в этой точке.

Условие трактуется несколько иначе с точки зрения производных более высокого порядка: для функции, дифференцируемой в точке, достаточно, чтобы существовала производная нечетного порядка, неравная нулю, при том, что все производные более низшего порядка должны существовать и быть равными нулю. Это максимально простое толкование теорем из учебников Но для самых обычных людей стоит пояснить этот момент примером. За основу берется обыкновенная парабола. Сразу оговоримся, в нулевой точке у нее имеется минимум. Совсем немного математики:

  • первая производная (X 2) | = 2X, для нулевой точки 2Х = 0;
  • вторая производная (2Х) | = 2, для нулевой точки 2 = 2.

Таким нехитрым образом проиллюстрированы условия, определяющие экстремумы функции и для производных первого порядка, и для производных высшего порядка. Можно к этому добавить, что вторая производная как раз является той самой производной нечетного порядка, неравной нулю, о которой говорилось чуть выше. Когда речь заходит про экстремумы функции двух переменных, то условия должны выполняться для обоих аргументов. Когда происходит обобщение, то в ход идут частные производные. То есть необходимо для наличия экстремума в точке, чтобы обе производные первого порядка равнялись нулю, либо хотя бы одна из них не существовала. Для достаточности наличия экстремума исследуется выражение, представляющее собой разность произведения производных второго порядка и квадрата смешанной производной второго порядка функции. Если это выражение больше нуля, значит, экстремум имеет место быть, а если присутствует равенство нулю, то вопрос остается открытым, и нужно проводить дополнительные исследования.

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x) , изображенной на рисунке.

Значение функции в точке x 1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x 1 . В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум. В точке x 3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x 2 , то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум. Аналогично для точки x 4 .

Функция y=f(x) в точке x 0 имеет максимум , если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x 0 , т.е. если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x ≠x 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) <f(x 0 ) .

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x 0 , если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x ≠x 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) >f(x 0 .

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x 1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x 1 . В частности, f (x 1) < f (x 4) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x 0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство . Пусть для определенности в точке x 0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x 0 + Δx) 0 ) , т.е. Но тогда

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx → 0 и учитывая, что производная f "(x 0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Так как f " (x 0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f " (x 0) = 0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

Примеры .

  1. y =|x |.

    Функция не имеет производной в точке x =0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y (0)=0, а при всех x ≠ 0y > 0.

    2. Функция не имеет производной при x =0, так как обращается в бесконечность приx =0. Но в этой точке функция имеет максимум.

    Функция не имеет производной при x =0, так как при x →0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x) =0 и при x <0f(x) <0, а при x >0f(x) >0.

    Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

    Однако, если в некоторой точке x 0 мы знаем, что f "(x 0 ) =0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x 0 функция имеет экстремум.

    Например . .

    Но точка x =0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox , а справа выше.

    Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками .


    Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

    Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x 0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x 0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x 0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x 0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

    Таким образом, если

    Доказательство . Предположим сначала, что при переходе через x 0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x , близких к точке x 0 f "(x)> 0 для x< x 0 , f "(x)< 0 для x> x 0 . Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), где c лежит между x и x 0 .

    1. Пусть x < x 0 . Тогда c< x 0 и f "(c)> 0. Поэтомуf "(c)(x- x 0)< 0и, следовательно,

      f(x) - f(x 0 )< 0,т.е. f(x)< f(x 0 ).

    2. Пусть x > x 0 . Тогда c> x 0 и f "(c)< 0. Значитf "(c)(x- x 0)< 0. Поэтому f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

    Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x 0 f(x) < f(x 0 ) . А это значит, что в точке x 0 функция имеет максимум.

    Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

    Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f "(x 1 ) =0 и для любых x, достаточно близких к x 1 , выполняются неравенства

    f "(x)< 0 при x< x 1 , f "(x)> 0 при x> x 1 .

    Тогда слева от точки x 1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x 1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

    Аналогично можно рассматривать точки x 2 и x 3 .


    Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

    Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

    1. Найти область определения функции f(x).
    2. Найти первую производную функции f "(x) .
    3. Определить критические точки, для этого:
      1. найти действительные корни уравнения f "(x) =0;
      2. найти все значения x при которых производная f "(x) не существует.
    4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.
    5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

    Примеры . Исследовать функции на минимум и максимум.


    НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

    Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

    Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b ]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

    Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b ] :

    1. Найти все критические точки функции в интервале (a, b ) и вычислить значения функции в этих точках.
    2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b .
    3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Экстремумы функции

Определение 2

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.

Определение 3

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

Определение 4

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Теорема 2

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f"(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) >0$ или производная $f"\left(x\right)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

Правило исследования функции на экстремум

2) Найти производную $f"(x)$;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f"(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f"\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f"(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f"\left(x\right)0$ функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения - все действительные числа;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

Рисунок 3.

6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом промежутке:

\ \}