Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.
Рассмотрим плоскость , многоугольник 
, лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами.
Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр
. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.
Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.
Комментарий репетитора
:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.
Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.
Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA
Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным
, а второй реберным
. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.
Формула объема пирамиды
:
1) 
, где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) 
, где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.
Свойство основания высоты пирамиды:
Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням
Комментарий репетитора по математике : обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.
Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте
Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек , входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды . И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины - настоящий ад.
Сегодня мы займемся правильной четырехугольной пирамидой. Есть еще треугольная пирамида (она же - тетраэдр ). Это более сложная конструкция, поэтому ей будет посвящен отдельный урок.
Для начала вспомним определение:
Правильная пирамида - это такая пирамида, у которой:
- В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т.д.;
- Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр.
В частности, основанием четырехугольной пирамиды является квадрат . Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше.
Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются - просто числа будут другими.
Вершины четырехугольной пирамиды
Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , где S - вершина, основание ABCD - квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:
Вводим систему координат с началом в точке A :
- Ось OX направлена параллельно ребру AB ;
- Ось OY - параллельно AD . Поскольку ABCD - квадрат, AB ⊥ AD ;
- Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD .
Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH - высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A , B , C и D лежат в плоскости OXY , их координата z = 0. Имеем:
- A = (0; 0; 0) - совпадает с началом координат;
- B = (1; 0; 0) - шаг на 1 по оси OX от начала координат;
- C = (1; 1; 0) - шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY ;
- D = (0; 1; 0) - шаг только по оси OY .
- H = (0,5; 0,5; 0) - центр квадрата, середина отрезка AC .
Осталось найти координаты точки S . Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ . Осталось найти координату z для точки S .
Рассмотрим треугольники ASH и ABH :
- AS = AB = 1 по условию;
- Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH - высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;
- Сторона AH - общая.
Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD . Но BD - диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:
Итого координаты точки S :
В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:
Что делать, когда ребра разные
А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS :
Треугольник AHS - прямоугольный , причем гипотенуза AS - это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD . Катет AH легко считается: AH = 0,5 · AC . Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора . Это и будет координата z для точки S .
Задача. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , в основании которой лежит квадрат со стороной 1. Боковое ребро BS = 3. Найдите координаты точки S .
Координаты x и y этой точки мы уже знаем: x = y = 0,5. Это следует из двух фактов:
- Проекция точки S на плоскость OXY - это точка H ;
- Одновременно точка H - центр квадрата ABCD , все стороны которого равны 1.
Осталось найти координату точки S . Рассмотрим треугольник AHS . Он прямоугольный, причем гипотенуза AS = BS = 3, катет AH - половина диагонали. Для дальнейших вычислений нам потребуется его длина:
Теорема Пифагора для треугольника AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Имеем:
Итак, координаты точки S :
- апофема — высота боковой грани правильной пирамиды , которая проведена из ее вершины (кроме того, апофемой является длина перпендикуляра, который опущен из середины правильного многоугольника на 1-ну из его сторон);
- боковые грани (ASB, BSC, CSD, DSA) — треугольники, которые сходятся в вершине;
- боковые ребра ( AS , BS , CS , DS ) — общие стороны боковых граней;
- вершина пирамиды (т. S) — точка, которая соединяет боковые ребра и которая не лежит в плоскости основания;
- высота ( SO ) — отрезок перпендикуляра, который проведен через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами такого отрезка будут вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
- диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, которое проходит через вершину и диагональ основания;
- основание (ABCD) — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Свойства пирамиды.
1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:
- около основания пирамиды легко описать окружность , при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
- боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы ;
- кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.
2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:
- около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
- высоты боковых граней имеют равную длину;
- площадь боковой поверхности равняется ½ произведения периметра основания на высоту боковой грани.
3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу.
4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.
Простейшая пирамида.
По количеству углов основания пирамиды делят на треугольные, четырехугольные и так далее.
Пирамида будет треугольной , четырехугольной , и так далее, когда основанием пирамиды будет треугольник, четырехугольник и так далее. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр . Четырехугольная — пятигранник и так далее.