Логическое высказывание - это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:
НЕ Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна - спутник Земли " (А); "Луна - не спутник Земли " ().
И "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками или & ). Высказывание А. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" - ложны.
ИЛИ Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio - разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" - истинны.
ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками "если..., то", "из... следует", "... влечет...", называется импликацией (лат. implico - тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда ", "необходимо и достаточно ", "... равносильно ...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3", "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3" истинны, а высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5", "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3" ложны.
Высказывания А
и В,
образующие составное высказывание , могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: "три больше двух"
(А
), "пингвины живут в Антарктиде"
(В
). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания "три не больше двух"
(), "пингвины не живут в Антарктиде"
(). Образованные из высказываний А
и В
составные высказывания A
B
и истинны, а высказывания A
и B
- ложны.
Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции - дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь - импликация.
Умозаключение как форма мышления.
Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение). Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.
Логическое умножение (конъюнкция) – о бъединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза “и”. Истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
Логическое сложение (дизъюнкция) - Объединение высказываний с помощью союза “или”. Истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.
Логическое отрицание (инверсия) - присоединение частицы “не”. Делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное - истинным.
Логическая ИМПЛИКАЦИЯ (следование). Высказываниеявляется ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
Логическая ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность ) Высказывание является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
Логические операции имеют приоритет: действия в скобках, инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.
Ложное и истинное высказывание часто употребляется в языковой практике. Первая оценка воспринимается как отрицание истинности (неистинности). В реальности используют и иные виды оценки: неопределенность, недоказуемость (доказуемость), неразрешимость. Рассуждая над тем, для какого числа x истинно высказывание, необходимо рассмотреть законы логики.
Возникновение «многозначной логики» привело к использованию неограниченного числа показателей истинности. Ситуация с элементами истинности запутана, усложнена, поэтому важно внести в нее ясность.
Принципы теории
Истинное высказывание - это значение свойства (признака), рассматривается всегда для определенного действия. Что такое истина? Схема следующая: «Высказывание Х обладает значением истинности Y в том случае, когда истинно высказывание Z».
Давайте рассмотрим пример. Нужно понять, для какого из приведенных истинно высказывание: «Предмет а имеет признак В». Это высказывание неверно в том, что у предмета есть признак В, и неверно в том, что а не обладает признаком в». Термин «неверно» в данном случае употребляется в качестве внешнего отрицания.
Определение истинности
Как определяется истинное высказывание? Вне зависимости от структуры высказывания Х допускается только следующее определение: «Высказывание Х истинно тогда, когда есть Х, только Х».
Данное определение дает возможность ввести в язык термин «истинно». Оно определяет акт принятия согласия или высказывания с тем, о чем говорится в нем.
Простые высказывания
В них истинное высказывание без определения. Можно ограничиться при высказывании «Не-Х» общим определением, если это высказывание не является истинным. Истинна конъюнкция "X и Y", если будут истинны X и Y.
Пример высказывания
Как понять, для каких x истинно высказывание? Чтобы ответить на этот вопрос, используем выражение: «Частица а находится в области пространства b». Рассмотрим для этого высказывания следующие случаи:
- невозможно наблюдать частицу;
- можно наблюдать частицу.
Второй вариант предполагает определенные возможности:
- частица реально находится в определенной области пространства;
- ее нет в предполагаемой части пространства;
- частица движется так, что сложно определить область ее расположения.
В данном случае можно использовать четыре термина значений истинности, которые соответствуют приведенным возможностям.
Для сложных структур уместно использование большего количества терминов. Это свидетельствует о неограниченности значений истинности. Для какого числа истинно высказывание, зависит от практической целесообразности.
Двузначности принцип
В соответствии с ним, любое высказывание либо ложно, либо истинно, то есть, характеризуется одним из двух вероятных истинностных значений - «ложно» и «истинно».
Данный принцип является основой классической логики, которую именуют двузначной теорией. Двузначности принцип использовался Аристотелем. Этот философ, рассуждая над тем, для какого числа х истинно высказывание, считал его неподходящим к тем высказываниям, которые касаются будущих случайных событий.
Он устанавливал логическую взаимосвязь между фатализмом и принципом двузначности, положением о предопределенности любых действий человека.
В последующие исторические эпохи ограничения, которые накладывались на данный принцип, объяснялись тем, что он существенно затрудняет анализ высказываний о планируемых событиях, а также о несуществующих (ненаблюдаемых) объектах.
Задумываясь о том, какие высказывания истинные, этим методом не всегда можно было найти однозначный ответ.
Появляющиеся сомнения в логических системах были развеяны только после того, как была разработана современная логика.
Чтобы понять, для какого из приведенных чисел истинно высказывание, подходит двухзначная логика.
Принцип многозначности
Если переформулировать вариант двухзначного высказывания для выявления истинности, можно превратить его в частный случай многозначности: любое высказывание будет иметь одно п значение истинности, если п равно либо больше 2, или же меньше бесконечности.
В качестве исключений дополнительных значений истинности (выше «ложно» и «истинно») выступают многие логические системы, базирующиеся на принципе многозначности. Двузначная классическая логика характеризует типичные варианты использования некоторых логически знаков: «или», «и», «не».
Многозначная логика, претендующая на их конкретизацию, не должна противоречить результатам двузначной системы.
Ошибочным считают то убеждение, согласно которому, принцип двузначности всегда приводит к констатации фатализма и детерминизма. Также неверна и мысль, согласно которой, многократную логику рассматривают в качестве необходимого средства осуществления индетерминистических рассуждений, что принятие ее соответствует отказу от использования строгого детерминизма.
Семантика логических знаков
Чтобы понять, для какого числа Х истинно высказывание, можно вооружиться таблицами истинности. Семантика логическая представляет раздел металогики, который исследует отношение к обозначаемым объектам, их содержанию разнообразных языковых выражений.
Данная проблема рассматривалась уже в античном мире, но в виде полноценной самостоятельной дисциплины она была сформулирована только на рубеже XIX—XX веков. Работы Г. Фреге, Ч. Пирса, Р. Карнапа, С. Крипке позволили выявить суть данной теории, ее реалистичность и целесообразность.
На протяжении длительного временного периода семантическая логика опиралась в основном на анализ формализованных языков. Только в последнее время большая часть исследований стала посвящаться естественному языку.
В данной методике выделяют две основные области:
- теорию обозначения (референции);
- теорию смысла.
Первая предполагает исследование отношения разнообразных языковых выражений к обозначаемым объектам. В качестве ее основных категорий можно представить: «обозначение», «имя», «модель», «интерпретация». Данная теория является основой для доказательств в современной логике.
Теория смысла занимается поиском ответа на вопрос относительно того, что представляет собой смысл языкового выражения. Она объясняет их тождественность по смыслу.
Существенную роль теория смысла имеет при обсуждении семантических парадоксов, при решении которых любой критерий приемлемости считается важным и актуальным.
Логическое уравнение
Данный термин используется в метаязыке. Под логическим уравнением можно представить запись F1=F2, в которой F1и F2 являются формулами расширенного языка логических высказываний. Решить такое уравнение означает, определить те наборы истинных значений переменных, которые будут входить в одну из формул F1 либо F2, при которых будет соблюдаться предложенное равенство.
Знак равенства в математике в некоторых ситуациях свидетельствует о равенстве исходных объектов, а в ряде случаев он ставится для демонстрации равенства их значений. Запись F1=F2 может свидетельствовать о том, что речь идет об одной и той же формуле.
В литературе довольно часто под формальной логикой подразумевают такой синоним, как «язык логических высказываний». В качестве «правильных слов» выступают формулы, служащие семантическими единицами, используемыми для построения рассуждений в неформальной (философской) логике.
Высказывание выступает в качестве предложения, которое выражает конкретное суждение. Иными словами, оно выражает мысль о присутствии некоего положения дел.
Данный факт стал основой пропозициональной логики. Существует подразделение высказываний на простые и сложные группы.
При формализации простых вариантов высказываний применяют элементарные формулы языка нулевого порядка. Описание сложных высказываний возможно только с применением формул языка.
Логические связки необходимы для обозначения союзов. При их применении простые высказывания превращаются в сложные виды:
- «не»,
- «неверно, что…»,
- «или».
Заключение
Формальная логика помогает выяснять, для какого имени истинно высказывание, предполагает конструирование и анализ правил преобразования определенных выражений, которые сохраняют их истинное значение независимо от содержания. В качестве отдельного раздела философской науки она появилась только в конце девятнадцатого века. Вторым направлением является неформальная логика.
Основной задачей этой науки является систематизация правил, которые позволяют выводить новые утверждения на основе доказанных утверждений.
Фундаментом логики является возможность получения каких-то идей в качестве логического следствия иных утверждений.
Подобный факт позволяет адекватно описывать не только определенную проблему в математической науке, но и переносить логику в художественное творчество.
Логическое исследование предполагает отношение, которое существует между посылками и заключениями, выводимыми из них.
Его можно отнести к числу исходных, фундаментальных понятий современной логики, которую часто именуют наукой «что из него следует».
Сложно представить себе без подобных рассуждений доказательство теорем в геометрии, объяснение физических явлений, пояснение механизмов протекания реакций в химии.
Лекция: Высказывания, логические операции, кванторы, истинность высказывания
Логическое высказывание
Давайте для начала пройдемся по терминологии.
Алгебраическая логика – это раздел логики, в котором для решения поставленных задач используют алгебраические действия.
Логическое высказывание – это некое рассуждение, которое можно отнести к истинным или ложным высказываниям.
Любое простое высказывание можно заменить некоторым символом или буквой, при этом, если высказывание сложное, то будут использоваться сочетание букв или даже слов, например: или, тогда, если и другое.
При этом логическое высказывание может принимать только два значения: правда или ложь.
Логические операции
Если некоторая операция приводится к одному результату, то она называется унарной. Если же операция имеет два решения, то она бинарная.
Инверсия – это операция, которая приводит к тому, что получается новая операция в результате отрицания первоначальной.
Геометрический смысл инверсии:
То есть если некая операция приводит к отрицанию, то она находится за пределами правды.
Если некая операция соединяет несколько высказываний, то её называют конъюнкция . То есть одновременно используют два или более события.
Таблица истинности операции конъюнкции:
Дизъюнкция – это операция, обратная конъюнкции. То есть существуют все случаи, кроме тех, когда несколько множеств пересекается.
Если при конъюнкции используют логическое высказывание «и», то для дизъюнкции используется «или». То есть можно оба варианта, но не одновременно.
Таблица истинности операции дизъюнкции:
Существует так же строго разделительная дизъюнкция. В данном случае имеется выбор либо одно множество, либо другое.
Таблица истинности операции строгой дизъюнкции:
Импликация – это такая операция, при которой справедливы следующие логические высказывания: «если..., то…».
Данная операция предлагает некое следствие после определенной операции.
Таблица истинности операции импликации:
Эквивалентность – это такая операция, при которой любые несколько событий считаются равноправными.
Таблица истинности операции эквивалентности:
Понятие «высказывание» первично. Под высказыванием в логике понимают повествовательное предложение, о котором можно говорить, что оно истинно или ложно. Любое высказывание либо истинно, либо ложно, и никакое высказывание не является одновременно истинным и ложным.
Примеры высказываний: есть четное число», «1 есть простое число». Истинностное значение первых двух высказываний - «истина», истинностное значение последних двух
Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями. Определения не являются высказываниями. Например, определение «целое число называется четным, если оно делится на 2» не является высказыванием. Однако повествовательное предложение «если целое число делится на 2, то оно четное» есть высказывание, и притом истинное. В логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания, ограничиваясь рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.
В дальнейшем будем понимать под значением высказывания его истинностное значение («истина» или «ложь»). Высказывания будем обозначать прописными латинскими буквами, а их значения, т. е. «истина» или «ложь» - соответственно буквами И и Л.
Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части, внутренняя структура которых нас не будет интересовать.
Логические операции над высказываниями.
Из элементарных высказываний с помощью логических операций можно получать новые, более сложные высказывания. Истинностное значение сложного высказывания зависит от истинностных значений высказываний, составляющих сложное высказывание. Эта зависимость устанавливается в данных ниже определениях и отражается в истинностных таблицах. В левых столбцах этих таблиц размещаются всевозможные распределения истинностных значений для высказываний, непосредственно составляющих рассматриваемое сложное высказывание. В правом столбце пишут истинностные значения сложного высказывания соответственно распределениям в каждой строке.
Пусть А и В - произвольные высказывания, относительно которых мы не предполагаем, что известны их истинностные значения. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно. Отрицание А обозначается через и читается «не A» или «неверно, что А». Операция отрицания полностью определяется истинностной таблицей
Пример. Высказывание «неверно, что 5 - четное число», имеющее значение И, есть отрицание ложного высказывания «5 - четное число».
С помощью операции конъюнкции из двух высказываний получается одно сложное высказывание, обозначаемое А Д В. По определению, высказывание А Д В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым членами конъюнкции А Д В. Запись «А Д В» читается как «Л и В». Истинностная таблица для конъюнкции имеет вид
Пример. Высказывание «7 - простое число и 6 - нечетное число» ложно, как конъюнкция двух высказываний, одно из которых ложно.
Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое , истинное в том и только в том случае, когда хотя бы одно из высказываний А и В истинно.
Соответственно этому высказывание А V В ложно в том и только том случае, когда и А и В оба ложны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым членами дизъюнкции А V В. Читается запись А V В как «A или В». Союз «или» в данном случае носит неразделительный смысл, поскольку высказывание А V В истинно и при истинности обоих членов. Дизъюнкция имеет следующую истинностную таблицу:
Пример. Высказывание «3 Высказывание, обозначаемое , ложное в том и только в том случае, когда А истинно, а В ложно, называется импликацией с посылкой А и заключением В. Высказывание А-+ В читается как «если А, то 5», или «A влечет В», или «из A следует В». Истинностная таблица для импликации такова:
Отметим, что между посылкой и заключением могут отсутствовать причинно-следственные связи, но это не может повлиять на истинность или ложность импликации. Например, высказывание «если 5 - простое число, то биссектриса равностороннего треугольника является медианой» будет истинным, хотя в обычном понимании второе не следует из первого. Истинным также будет высказывание «если 2 + 2 = 5, то 6 + 3 = 9», поскольку истинно его заключение. При данном определении, если заключение истинно, импликация будет истинной независимо от истинностного значения посылки. В том случае, когда ложна посылка, импликация будет истинна независимо от истинностного значения заключения. Эти обстоятельства кратко формулируют так: «истина следует из чего угодно», «из ложного следует все, что угодно».