Биссектрисой треугольника называется отрезок, который делит угол треугольника на два равных угла. К примеру, если угол треугольника 120 0 , то проведя биссектрису, мы построим два угла по 60 0 .
А так как в треугольнике имеется три угла, то можно провести три биссектрисы. Все они имеют одну точку пресечения. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник. По-другому эту точку пересечений называют инцентром треугольника.
При пересечении двух биссектрис внутреннего и внешнего угла, получается угол 90 0 . Внешний угол в треугольнике угол, смежный с внутренним углом треугольника.
Рис. 1. Треугольник, в котором проведены 3 биссектрисы
Биссектриса делит противоположную сторону на два отрезки, которые имеют связь со сторонами:
$${CL\over{LB}} = {AC\over{AB}}$$
Точки биссектрисы равноудаленные от сторон угла, это значит, что они находятся на одинаковом расстоянии от сторон угла. То есть, если из любой точки биссектрисы опустить перпендикуляры на каждую из сторон угла треугольника, то эти перпендикуляры будут равны..
Если с одной вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана будет самым длинным отрезком, а высота самым коротким.
Некоторые свойства биссектрисы
В определенных видах треугольников, биссектриса имеет особые свойства. В первую очередь это относится к равнобедренному треугольнику. Эта фигура имеет две одинаковые боковые стороны, а третья называется основанием.
Если из вершины угла равнобедренного треугольника провести биссектрису к основанию, то она будет иметь свойства одновременно и высоты и медианы. Соответственно, длина биссектрисы совпадает с длиной медианы и высоты.
Определения:
- Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к противоположной стороне..
- Медиана – отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны.
Рис. 2. Биссектриса в равнобедренном треугольнике
Это касается и равностороннего треугольника, то есть треугольника, в котором все три стороны равны.
Пример задания
В треугольнике ABC: BR биссектриса, причем AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Вычесть длину третей стороны.
Рис. 3. Биссектриса в треугольнике
Решение:
Биссектриса делит сторону треугольника в определенной пропорции. Воспользуемся этой пропорцией и выразим AR. После найдем длину третьей стороны как сумму отрезков, на которые эту сторону поделила биссектриса.
- ${AB\over{BC}} = {AR\over{RC}}$
- $RC={6\over{4}}*2=3 см$
Тогда весь отрезок AC = RC+ AR
AC = 3+2=5 см.
Всего получено оценок: 107.
Тема урока
Биссектриса угла
Цели урока
Пополнить знания школьников о биссектрисе угла и ее свойствах;
Ознакомить с новой информацией о биссектрисе угла;
Расширить знания учеников о том, что теорему о свойствах биссектрисы можно доказывать разными способами;
Развивать логическое мышление, интерес к математическим наукам, настойчивость и способность к анализу.
Задачи урока
Расширить знания учеников о биссектрисе угла;
Закрепить навыки построения биссектрисы угла при помощи чертежных инструментов;
Получить дополнительные и интересные сведения по данной теме;
Дать сведения о значении теоремы в развитии математики;
Закрепить полученные знания путем решения задач;
Воспитывать усидчивость, любознательность и желание изучать математические науки.
План урока
1. Раскрытие главной темы урока о биссектрисе угла;
2. Повторение пройденного материала;
3. Занимательная информация о биссектрисе.
4. Историческая справка, греческая геометрия.
5. Домашнее задание.
Биссектриса угла
Сегодняшний урок мы с вами посвятим теме биссектрисы. Давайте вспомним определения биссектрисы.
Биссектрисой является геометрическое место точек, равноудаленное от сторон угла.
Если говорить проще, то биссектриса – это линия, разделяющая угол пополам.
Биссектрисой угла - луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два других равных угла.
Слово «биссектриса» в переводе с французского языка обозначает, как надвое рассекающая или равноделящая угол пополам.
Биссектриса треугольника
Кроме биссектрисы угла еще бывает биссектриса треугольника, ведь треугольник содержит целых три угла, соответственно каждый треугольник может иметь три разных биссектрисы.
Что же такое биссектриса треугольника? Биссектриса треугольника является отрезком биссектрисы угла, соединяющим в треугольнике его вершину с точкой на противоположной стороне.
Биссектриса треугольник обладает определенными уникальными свойствами. Так, например, она разделяет противоположную сторону на отрезки, которые являют пропорциональными другим двум сторонам.
Что касается прямоугольного треугольника, то его биссектрисы именно острых углов, когда пересекаются, образуют угол именно в 45 градусов.
К тому же, не стоит забывать и такое свойство биссектрис треугольника, как то, что пересекаются они строго в центре вписанного в треугольник круга.
Ну а самое интересное то, что для равнобедренного треугольника линия, которая проведена к основанию, будет и биссектрисой, и медианой, и высотой. Соответственно и обратное правило, что если медиана, высота и биссектриса, которое проведены из одной вершины треугольника, совпадают, то перед нами равнобедренный треугольник.
А какие вы можете вспомнить свойства прямоугольного и равнобедренного треугольника?
Построение биссектрисы
Биссектрису угла строится с помощью транспортира, при использовнии его градусной меры. Чтобы приступить к построению биссектрисы, мы берем и делим градусную меру пополам и, отложив на одной стороне вершины градусную меру половинного угла, и тогда вторая половина становится биссектрисой заданного угла.
Берем заданный угол, который имеет градусную меру в девяносто градусов, и с помощью биссектрисы получаем два построенных угла по 45 градусов.
Развернутый угол при помощи биссектрисы разделяет угол на 2 прямых угла. Тупой же угол при построении биссектрисы разделяет его на 2 острых угла.
Из определения биссектрисы нам известно, что она является лучом, разделяющим угол пополам. Чтобы построить биссектрису, значит, нужно угол разделить пополам.
Алгоритм построения биссектрисы угла
1. Вначале чертим окружность с центром в вершине угла таким образом, чтобы она пересекала его стороны.
3. Чертим 2 окружности радиусом так, чтобы они имели точку пересечения внутри этого угла.
4. Теперь проводим из вершины угла луч таким методом, чтобы он проходил через точку пересечения этих окружностей. Этот луч и является биссектрисой данного угла.
А теперь давайте попробуем доказать, что полученный луч является биссектрисой этого угла. Возьмем на примере двух треугольников, у которых одна сторона общая, то есть отрезок от вершины до точки пересечения окружностей, которую мы получили в 3п.
2-я пара соответствующих сторон – это полученные в 1п., отрезки, которые идут от вершины угла до точек пересечения окружности с его сторонами.
Третья пара соответствующих сторон - это соответственно отрезки, полученные в 1п. от точек пересечения окружности, до точки пересечения окружностей, но полученных в 3п.
Следовательно, 2 пары данных отрезков равны, поскольку являются радиусами одной или двух окружностей, но с одинаковым радиусом. Отсюда следует, что по всем трем сторонам треугольники равны. Известно, что когда треугольники равны, то равны и их углы. Поэтому при вершине два новых угла и данных угла по условию задачи равны, следовательно, что построенный луч будет биссектрисой.
Занимательная информация о биссектрисе
Знали ли вы, что существует такая наука, которая называется мнемоника, что в переводе с греческого языка обозначает искусство запоминания. И чтобы лучше запомнить определение биссектрисы существует такое мнемоническое правило, по которому биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.
Известно ли вам, что еще Архимед использовал теорему о биссектрисе. Он ее применял для деления основания на части, которые пропорциональны боковым сторонам с целью определения длины полу сторон двенадцати угольника, 24-угольника и т. д.
Легенда о биссектрисе угла
Сказка о двух Углах и Биссектрисе, или Образование Смежного угла.
Однажды два угла повстречались на одной площади. Старшему углу было около 130 градусов, а младшему всего пятьдесят. Так как это сказка, то заменим годы на градусы. Вот они встретились и начали спорить, кто из них лучше и важнее. Старший считал, что приоритет на его стороне, так как он старше, мудрее и больше на своем веку повидал за свои 130°. Младший наоборот твердил, что он моложе, потому сильнее и выносливее. И чтобы спор не длился вечность, они приняли решение провести турнир. Об этих состязаниях узнала Биссектриса и решила победить своих врагов одновременно и возглавить Геометрию.
И вот настало долгожданное время турнира, на котором было 2 Угла. В момент полного разгара сражений появилась Биссектриса и решила принять участие. Но тут в бой с Биссектрисой вступил вначале старший Угол, затем подтянулся и младший, и победа все равно оказалась на стороне Биссектрисы.
Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 259) и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М с продолжением стороны АВ. Так как ВК - биссектриса угла ABC, то . Далее, как соответственные углы при параллельных прямых, и как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда и поэтому - равнобедренный, откуда . По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем а ввиду получим , что и требовалось доказать.
Биссектриса внешнего угла В треугольника ABC (рис. 260) обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от вершин А и С до точки L пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС пропорциональны сторонам треугольника:
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рис. 260 проведена вспомогательная прямая СМ, параллельная биссектрисе BL. Читатель сам убедится в равенстве углов ВМС и ВСМ, а значит, и сторон ВМ и ВС треугольника ВМС, после чего требуемая пропорция получится сразу.
Можно говорить, что и биссектриса внешнего угла делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам; нужно лишь условиться допускать «внешнее деление» отрезка.
Точка L, лежащая вне отрезка АС (на его продолжении), делит его внешним образом в отношении если Итак, биссектрисы угла треугольника (внутреннего и внешнего) делят противолежащую сторону (внутренним и внешним образом) на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Задача 1. Боковые стороны трапеции равны 12 и 15, основания равны 24 и 16. Найти стороны треугольника, образованного большим основанием трапеции и ее продолженными боковыми сторонами.
Решение. В обозначениях рис. 261 имеем для отрезка служащего продолжением боковой стороны пропорцию откуда легко находим Аналогичным способом определяем вторую боковую сторону треугольника Третья сторона совпадает с большим основанием: .
Задача 2. Основания трапеции равны 6 и 15. Чему равна длина отрезка, параллельного основаниям и делящего боковые стороны в отношении 1:2, считая от вершин малого основания?
Решение. Обратимся к рис. 262, изображающему трапецию. Через вершину С малого основания проведем линию, параллельную боковой стороне АВ, отсекающую от трапеции параллелограмм. Так как , то отсюда находим . Поэтому весь неизвестный отрезок KL равен Заметим, что для решения этой задачи нам не нужно знать боковых сторон трапеции.
3адача 3. Биссектриса внутреннего угла В треугольника ABC рассекает сторону АС на отрезки на каком расстоянии от вершин А и С пересечет продолжение АС биссектриса внешнего угла В?
Решение. Каждая из биссектрис угла В делит АС в одном и том же отношении, но одна внутренним, а другая внешним образом. Обозначим через L точку пересечения продолжения АС и биссектрисы внешнего угла В. Так как АК Обозначим неизвестное расстояние AL через тогда и мы будем иметь пропорцию Решение которой и дает нам искомое расстояние
Рисунок выполните самостоятельно.
Упражнения
1. Трапеция с основаниями 8 и 18 разбита прямыми, параллельными основаниям, на шесть полос равной ширины. Найти длины отрезков прямых, разбивающих трапецию на полосы.
2. Периметр треугольника равен 32. Биссектриса угла А делит сторону ВС на части, равные 5 и 3. Найти длины сторон треугольника.
3. Основание равнобедренного треугольника равно а, боковая сторона b. Найти длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов основания с боковыми сторонами.
Что такое биссектриса угла треугольника? На этот вопрос у некоторых людей с языка срывается небезызвестная крыса, бегающая по углам и делящая угол пополам". Если ответ должен быть "с юмором", то, возможно, он правилен. Но с научной точки зрения ответ на этот вопрос должен был бы звучать примерно так: начинающийся в вершине угла и делящий последний на две равные части". В геометрии эта фигура также воспринимается как отрезок биссектрисы до ее пересечения с противолежащей сторонй треугольника. Это не является ошибочным мнением. А что еще известно о биссектрисе угла, кроме ее определения?
Как и у любого геометрического места точек, у нее имеются свои признаки. Первый из них - скорее, даже не признак, а теорема, которую можно кратко выразить так: "Если биссектрисой разделить противоположную ей сторону на две части, то их отношение будет соответствовать отношению сторон большого треугольника".
Второе свойство, которое она имеет: точка пересечения биссектрис все углов называется инцентром.
Третий признак: биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в центре одной из трёх в нее вписанных окружностей.
Четвертое свойство биссектрисы угла треугольника в том, что если каждый из них равен, то последний является равнобедренным.
Пятый признак тоже касается равнобедренного треугольника и является главным ориентиром по его распознаванию на чертеже по биссектрисам, а именно: в равнобедренном треугольнике она одновременно выполняет роль медианы и высоты.
Биссектриса угла может быть построена с помощью циркуля и линейки:
Шестое правило гласит, что невозможно построить треугольник с помощью последних только при имеющихся биссектрисах, как и невозможно построить таким способом удвоение куба, квадратуру круга и трисекцию угла. Собственно говоря, это и есть все свойства биссектрисы угла треугольника.
Если вы внимательно читали предыдущий абзац, то, возможно, вас заинтересовало одно словосочетание. "Что такое трисекция угла?" - наверняка спросите вы. Триссектриса немного схожа с биссектрисой, но если начертить последнюю, то угол поделится на две равные части, а при построении трисекции - на три. Естественно, что биссектриса угла запоминается легче, ведь трисекцию в школе не учат. Но для полноты картины расскажу и о ней.
Триссектрису, как я уже сказала, нельзя построить только циркулем и линейкой, но ее возможно создать с помощью правил Фудзиты и некоторых кривых: улитки Паскаля, квадратрисы, конхоиды Никомеда, конических сечений,
Задачи по трисекции угла достаточно просто решаются при помощи невсиса.
В геометрии существует теорема о триссектрисах угла. Называется она теоремой Морли (Морлея). Она утверждает, что точки пересечения находящихся посередине триссектрис каждого угла будут вершинами
Маленький черный треугольник внутри большого всегда будет равносторонним. Эта теорема была открыта британским ученым Фрэнком Морли в 1904 году.
Вот сколько всего можно узнать о разделении угла: триссектриса и биссектриса угла всегда требуют детальных объяснений. А ведь здесь было приведено множество еще не раскрытых мной определений: улитка Паскаля, конхоида Никомеда и т.д. Не сомневайтесь, о них можно написать еще больше.
Среди многочисленных предметов среднеобразовательной школы есть такой, как «геометрия». Традиционно считается, что родоначальниками этой систематической науки являются греки. На сегодняшний день греческую геометрию называют элементарной, так как именно она начала изучение простейших форм: плоскостей, прямых, и треугольников. На последних мы и остановим свое внимание, а точнее на биссектрисе этой фигуры. Для тех, кто уже подзабыл, биссектриса треугольника представляет собой отрезок биссектрисы одного из углов треугольника, который делит его пополам и соединяет вершину с точкой, размещенной на противолежащей стороне.
Биссектриса треугольника имеет ряд свойств, которые необходимо знать при решении тех или иных задач:
- Биссектриса угла представляет собой геометрическое место точек, удаленных на равных расстояниях от прилегающих к углу сторон.
- Биссектриса в треугольнике делит противоположную от угла сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам. Например, дан треугольник MKB, где из угла K выходит биссектриса, соединяющая вершину этого угла с точкой A на противолежащей стороне MB. Проанализировав данное свойство и наш треугольник, имеем MA/AB=MK/KB.
- Точка, в которой пересекаются биссектрисы всех трех углов треугольника, является центром окружности, которая вписана в этот же треугольник.
- Основание биссектрис одного внешнего и двух внутренних углов находятся на одной прямой, при условии, что биссектриса внешнего угла не является параллельной противоположной стороне треугольника.
- Если две биссектрисы одного то этот
Необходимо отметить, что если заданы три биссектрисы, то построение треугольника по ним, даже с помощью циркуля, невозможно.
Очень часто при решении задач биссектриса треугольника неизвестна, а необходимо определить ее длину. Для решения такой задачи необходимо знать угол, который делится биссектрисой пополам, и прилегающие к этому углу стороны. В этом случае искомая длина определяется как отношение удвоенного произведения прилегающих к углу сторон и косинуса угла деленного пополам к сумме прилегающих к углу сторон. Например, дан все тот же треугольник MKB. Биссектриса выходит из угла K и пересекает противоположную сторону МВ в точке А. Угол, из которого выходит биссектриса, обозначим y. Теперь запишем все то, что сказано словами в виде формулы: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).
Если величина угла, из которого выходит биссектриса треугольника, неизвестна, но известны все его стороны, то для вычисления длины биссектрисы мы воспользуемся дополнительной переменной, которую назовем полупериметр и обозначим буквой P: P=1/2*(MK+KB+MB). После этого внесем некоторые изменения в предыдущую формулу, по которой определялась длина биссектрисы, а именно, в числитель дроби ставим удвоенный из произведения длин сторон, прилегающих к углу, на полупериметр и частное, где из полупериметра вычитается длина третьей стороны. Знаменатель оставим без изменения. В виде формулы это будет выглядеть так: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).
Биссектриса равнобедренного треугольника вместе с общими свойствами имеет и несколько своих. Вспомним, что это за треугольник. У такого треугольника две стороны равны, и равны прилегающие к основанию углы. Отсюда следует, что биссектрисы, которые опускаются на боковые стороны равнобедренного треугольника, равны между собой. Кроме того, биссектриса, опущенная на основание, одновременно является и высотой, и медианой.