Полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник , конус становится пирамидой .
"== Связанные определения ==
- Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .
- Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой ) поверхностью конуса . Образующая поверхность конуса является конической поверхностью .
- Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса .
- Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым . При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
- Косой (наклонный ) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
- Круговой конус - конус, основание которого является кругом.
- Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
- Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
- Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом .
Свойства
- Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
- Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
- Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен
- Площадь боковой поверхности такого конуса равна
- Объем кругового конуса равен
- Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях - эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).
Обобщения
В алгебраической геометрии конус - это произвольное подмножество векторного пространства над полем , для которого для любого
См. также
- Конус (топология)
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Конус (геометрическая фигура)" в других словарях:
Конус: В математике Конус геометрическая фигура. Конус над топологическим пространством. Конус(Теория Категорий). В технике Конус инструментальный метод сопряжения инструмента и шпинделя в станках. Конусное устройство узел… … Википедия
Геометрия раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми… … Энциклопедия Кольера
Визуализация изображения информации на экране дисплея (монитора). В отличие от воспроизведения изображения на бумаге или ином носителе, изображение, созданное на экране, можно почти немедленно стереть или (и) подправить, сжать или растянуть,… … Энциклопедический словарь
История науки … Википедия
История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия
- (греч. geodaisia, от ge Земля и daio делю, разделяю), наука об определении положения объектов на земной поверхности, о размерах, форме и гравитационном поле Земли и других планет. Это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией,… … Энциклопедия Кольера
Конус (с греческого «konos») – сосновая шишка. Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.
Конус (круговой конус) – тело, которое состоит из круга – основание конуса, точки, не принадлежащей плоскости этого круга, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса и точки окружности основания. Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Конус называется прямым, если прямая, которая соединяет вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.
Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.
Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.
Объём конуса равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:
S бок = πRl,
Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:
S кон = πRl + πR 2 ,
где R – радиус основания, l – длина образующей.
Объём кругового конуса равен
V = 1/3 πR 2 H,
где R – радиус основания, Н – высота конуса
Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:
S бок = π(R + r)l,
Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:
S кон = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,
где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей.
Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:
V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),
где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
а плоскостью, параллельной основанию (рис. ). Объём У. к. равен , где r 1 и r 2 – радиусы оснований, h – высота.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Усечённый конус" в других словарях:
Геометрическое тело, отсечённое от конуса плоскостью, параллельной основанию (рис.). Объём усечённого конуса равен. * * * УСЕЧЕННЫЙ КОНУС УСЕЧЕННЫЙ КОНУС, геометрическое тело, отсеченное от конуса плоскостью, параллельной основанию. Объем… … Энциклопедический словарь
усечённый конус - — Тематики нефтегазовая промышленность EN truncated cone … Справочник технического переводчика
УСЕЧЁННЫЙ, усечённая, усечённое; усечён, усечена, усечено. 1. прич. страд. прош. вр. от усечь (книжн.). 2. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию (о конусе, пирамиде; мат.). Усечённый конус. Усеченная пирамида … Толковый словарь Ушакова
усечённый - ая, ое.; матем. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию. Усечённый конус. У ая пирамида … Словарь многих выражений
УСЕЧЁННЫЙ, ая, ое. В математике: такой, у к рого вершинная часть отделена, отсечена плоскостью, параллельной основанию. У. конус. Усечённая пирамида. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Ая, ое. 1. прич. страд. прош. от усечь. 2. в знач. прил. мат. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию. Усеченный конус. Усеченная пирамида. 3. в знач. прил. грамм., лит. С усечением (во 2 знач.), представляющий … Малый академический словарь
Прямой круговой конус. Прямой и … Википедия
- (лат. conus, от греч. konos) коническая поверхность множество прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки нек рой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства. Простейший К. круглый, или прямой круговой, направляющей к … Большой энциклопедический политехнический словарь
- (лат. conus, от греч. konos) (математика), 1) К., или коническая поверхность, геометрическое место прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки некоторой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства.… … Большая советская энциклопедия
Окружающий нас мир динамичен и разнообразен, и далеко не всякий объект можно просто обмерить линейкой. Для подобного переноса используются специальные техники, как то триангуляция. Потребность в составлении сложных развёрток, как правило,… … Википедия
Рис. 1. Предметы из жизни, имеющие форму усеченного конуса
Как вы думаете, откуда в геометрии берутся новые фигуры? Все очень просто: человек в жизни сталкивается с похожими объектами и придумывает, как бы их назвать. Рассмотрим тумбу, на которой сидят львы в цирке, кусок морковки, который получается, когда мы нарезали только часть ее, действующий вулкан и, например, свет от фонарика (см. рис. 1).
Рис. 2. Геометрические фигуры
Мы видим, что все эти фигуры похожей формы - и снизу, и сверху они ограничены кругами, но они сужаются кверху (см. рис. 2).
Рис. 3. Отсечение верхней части конуса
Это похоже на конус. Только не хватает верхушки. Мысленно представим, что мы берем конус и отсекаем от него верхнюю часть одним взмахом острого меча (см. рис. 3).
Рис. 4. Усеченный конус
Получается как раз наша фигура, называется она усеченный конус (см. рис. 4).
Рис. 5. Сечение, параллельное основанию конуса
Пусть дан конус. Проведем плоскость, параллельную плоскости основания этого конуса и пересекающую конус (см. рис. 5).
Она разобьет конус на два тела: одно из них - конус меньшего размера, а второе и называется усеченным конусом (см. рис. 6).
Рис. 6. Полученные тела при параллельном сечении
Таким образом, усеченный конус - это часть конуса, заключенная между его основанием и параллельной основанию плоскостью. Как и в случае с конусом, усеченный конус может иметь в основании круг - в этом случае его называют круговым. Если исходный конус был прямым, то и усеченный конус называют прямым. Как и в случае с конусами, мы будем рассматривать исключительно прямые круговые усеченные конусы, если специально не указано, что речь идет о непрямом усеченном конусе или в его основаниях не круги.
Рис. 7. Вращение прямоугольной трапеции
Наша глобальная тема - тела вращения. Усеченный конус - не исключение! Вспомним, что для получения конуса мы рассматривали прямоугольный треугольник и вращали его вокруг катета? Если полученный конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то от треугольника останется прямоугольная трапеция. Ее вращение вокруг меньшей боковой стороны и даст нам усеченный конус. Заметим снова, что речь, разумеется, идет только о прямом круговом конусе (см. рис. 7).
Рис. 8. Основания усеченного конуса
Сделаем несколько замечаний. Основание полного конуса и круг, получающийся в сечении конуса плоскостью, называют основаниями усеченного конуса (нижним и верхним) (см. рис. 8).
Рис. 9. Образующие усеченного конуса
Отрезки образующих полного конуса, заключенные между основаниями усеченного конуса, называют образующими усеченного конуса. Так как все образующие исходного конуса равны и все образующие отсеченного конуса равны, то и образующие усеченного конуса равны (не путать отсеченный и усеченный!). Отсюда и следует равнобедренность трапеции осевого сечения (см. рис. 9).
Отрезок оси вращения, заключенный внутри усеченного конуса, называют осью усеченного конуса. Этот отрезок, разумеется, соединяет центры его оснований (см. рис. 10).
Рис. 10. Ось усеченного конуса
Высота усеченного конуса - это перпендикуляр, проведенный из точки одного из оснований к другому основанию. Чаще всего, в качестве высоты усеченного конуса рассматривают его ось.
Рис. 11. Осевое сечение усеченного конуса
Осевое сечение усеченного конуса - это сечение, проходящее через его ось. Оно имеет вид трапеции, чуть позже мы докажем ее равнобедренность (см. рис. 11).
Рис. 12. Конус с введенными обозначениями
Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса. Пусть основания усеченного конуса имеют радиусы и , а образующая равна (см. рис. 12).
Рис. 13. Обозначение образующей отсеченного конуса
Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса как разность площадей боковых поверхностей исходного конуса и отсеченного. Для этого обозначим через образующую отсеченного конуса (см. рис. 13).
Тогда искомая .
Рис. 14. Подобные треугольники
Осталось выразить .
Заметим, что из подобия треугольников , откуда (см. рис. 14).
Можно было бы выразить , разделив на разность радиусов, но нам это не нужно, ведь в искомом выражении как раз фигурирует произведение . Подставив вместо него , окончательно имеем: .
Несложно теперь получить и формулу для площади полной поверхности. Для этого достаточно добавить площади двух кругов оснований: .
Рис. 15. Иллюстрация к задаче
Пусть усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее высоты . Средняя линия трапеции равна , а большая боковая стороны - (см. рис. 15). Найти площадь боковой поверхности полученного усеченного конуса.
Решение
По формуле мы знаем, что 
.
Образующей конуса будет являться большая сторона исходной трапеции, то есть Радиусы конуса - это основания трапеции. Найти их мы не можем. Но нам и не надо: нужна лишь их сумма, а сумма оснований трапеции вдвое больше ее средней линии, то есть она равна . Тогда .
Обратите внимание, что, когда мы говорили о конусе, мы проводили параллели между ним и пирамидой - формулы были аналогичными. Так же и здесь, ведь усеченный конус очень похож на усеченную пирамиду, так что формулы для площадей боковой и полной поверхностей усеченного конуса и пирамиды (а скоро будут и формулы для объема) аналогичны.
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Радиусы оснований усеченного конуса равны и , а образующая равна . Найти высоту усеченного конуса и площадь его осевого сечения (см. рис. 1).
Полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник , конус становится пирамидой .
"== Связанные определения ==
- Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .
- Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой ) поверхностью конуса . Образующая поверхность конуса является конической поверхностью .
- Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса .
- Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым . При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
- Косой (наклонный ) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
- Круговой конус - конус, основание которого является кругом.
- Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
- Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
- Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом .
Свойства
- Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
- Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
- Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен
- Площадь боковой поверхности такого конуса равна
- Объем кругового конуса равен
- Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях - эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).
Обобщения
В алгебраической геометрии конус - это произвольное подмножество векторного пространства над полем , для которого для любого
См. также
- Конус (топология)
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Прямой круговой конус" в других словарях:
Прямой круговой конус. Прямой и … Википедия
Прямой круговой конус Конус тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих … Википедия
Конус - Прямой круговой конус. КОНУС (от латинского conus, от греческого konos шишка), геометрическое тело, ограниченное круглой конической поверхностью и плоскостью, не проходящей через вершину конической поверхности. Если вершина лежит на… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
- (лат. conus; греч. konos). Тело, ограниченное поверхностью, образующейся от обращения прямой, коей один конец неподвижен (вершина конуса), а другой двигается по окружности данной кривой; с виду похож на сахарную голову. Словарь иностранных слов,… … Словарь иностранных слов русского языка
КОНУС - (1) в элементарной геометрии геометрическое тело, ограниченное поверхностью, образуемой движением прямой (образующей конуса) через неподвижную точку (вершину конуса) вдоль направляющей (основание конуса). Образуемая поверхность, заключённая между … Большая политехническая энциклопедия
- (прямой круговой) геометрическое тело, образуемое вращениемпрямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенузаназывается образующей; неподвижный катет высотой; круг, описываемыйвращающимся катетом основанием. Боковая поверхность К.… … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
- (прямой круговой К.) геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенуза называется образующей; неподвижный катет высотой; круг, описываемый вращающимся катетом основанием. Боковая поверхность …
- (прямой круговой) геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенуза называется образующей; неподвижный катет высотой; круг, описываемый вращающимся катетом основанием. Боковая поверхность К … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
- (лат. conus, от греч. konos) (математика), 1) К., или коническая поверхность, геометрическое место прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки некоторой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства.… … Большая советская энциклопедия