Проще можно сказать, что это такие неравенства, в которых есть переменная только в первой степени, и она не находится в знаменателе дроби.
Примеры:\(\frac{3y-4}{5}\) \(\leq1\)
\(5(x-1)-2x>3x-8\)
Примеры не линейных неравенств:
\(3>-2\) – здесь нет переменных, только лишь числа, значит это числовое неравенство
\(\frac{-14}{(y-3)^{2}-5}\)
\(\leq0\) – есть переменная в знаменателе, это
\(5(x-1)-2x>3x^{2}-8\) - есть переменная во второй степени, это
Решение линейных неравенств
Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа.
Например, для неравенства \(x-2>0\) число \(5\) будет решением, т.к. при подстановке пятерки вместо икса мы получим верное числовое: \(3>0\). А вот число \(1\) решением не будет, так как при подстановке получится неверное числовое неравенство:\(-1>0\) . Но решением неравенства будут не только пятерка, но и \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) и еще бесконечное множество чисел: любое число, больше двойки.
Поэтому линейные неравенства не решают перебором и подстановкой значений. Вместо этого их с помощью приводят к одному из видов:
\(x
После чего ответ отмечается на числовой оси и записывается в виде (также называемого интервалом).
Вообще, если вы умеете решать , то и линейные неравенства вам под силу, потому что процесс решения очень схож. Есть лишь одно важное дополнение:
Пример.
Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:
Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)
Особый случай №1: решение неравенства – любое число
В линейных неравенствах возможна ситуация, когда ему в качестве решения пойдет абсолютно любое число – целое, дробное, отрицательное, положительное, ноль… Например, вот такое неравенство \(x+2>x\) будет верным при любом значении икса. Ну, а как же может быть иначе, ведь слева к иксу прибавили двойку, а справа – нет. Естественно, что слева будет получаться большее число, какой бы икс мы не взяли.
Пример.
Решить неравенство \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Решение:
Ответ: \(x\in(-\infty;\infty)\)
Особый случай №2: неравенство не имеет решений
Возможна и обратная ситуация, когда у линейного неравенства вообще нет решений, то есть никакой икс не сделает его верным. Например, \(x-2>x\) не будет верным никогда, ведь слева из икса вычитают двойку, а справа – нет. Значит, слева всегда будет меньше, а не больше.
Пример.
Решить неравенство \(\frac{x-5}{2}\)
\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)
\(-1\)
Решение:
|
\(\frac{x-5}{2}\) \(>\) \(\frac{3x+2}{6}\) \(-1\) |
Нам мешают знаменатели. Сразу же избавляемся от них, умножая всё неравенство на общий знаменатель всех , то есть – на 6 |
|
|
\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac{3x+2}{6}\) \(-1\)\()\) |
Раскроем скобки |
|
|
\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac{3x+2}{6}\) \(-6\) |
Сократим то, что можно сократить |
|
|
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\) |
Слева раскроем скобку, а справа приведем подобные слагаемые |
|
|
\(3x-15>3x-4\) |
|
Перенесем \(3x\) влево, а \(-15\) вправо, меняя знаки |
|
\(3x-3x>-4+15\) |
|
Вновь приводим подобные слагаемые |
|
|
Получили неверное числовое неравенство. И оно будет неверным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса решением не будет. |
Ответ: \(x\in\varnothing\)
Для начала — немного лирики, чтобы почувствовать проблему, которую решает метод интервалов. Допустим, нам надо решить вот такое неравенство:
(x − 5)(x + 3) > 0
Какие есть варианты? Первое, что приходит в голову большинству учеников — это правила «плюс на плюс дает плюс» и «минус на минус дает плюс». Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны: x − 5 < 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Более продвинутые ученики вспомнят (может быть), что слева стоит квадратичная функция, график которой — парабола. Причем эта парабола пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3. Для дальнейшей работы надо раскрыть скобки. Имеем:
x 2 − 2x − 15 > 0
Теперь понятно, что ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент a = 1 > 0. Попробуем нарисовать схему этой параболы:
Функция больше нуля там, где она проходит выше оси OX . В нашем случае это интервалы (−∞ −3) и (5; +∞) — это и есть ответ.
Обратите внимание: на рисунке изображена именно схема функции , а не ее график. Потому что для настоящего графика надо считать координаты, рассчитывать смещения и прочую хрень, которая нам сейчас совершенно ни к чему.
Почему эти методы неэффективны?
Итак, мы рассмотрели два решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В первом решении возникает — вы только вдумайтесь! — совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.
Это было очень простое неравенство. В нем всего 2 множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:
(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9) < 0
Как решать такое неравенство? Перебирать все возможные комбинации плюсов и минусов? Да мы уснем быстрее, чем найдем решение. Рисовать график — тоже не вариант, поскольку непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости.
Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.
Что такое метод интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x ) > 0 и f (x ) < 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Решить уравнение f (x ) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
- Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
- Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x ) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x ) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
- Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.
Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f (x ) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f (x ) < 0.
На первый взгляд может показаться, что метод интервалов — это какая-то жесть. Но на практике все будет очень просто. Стоит чуть-чуть потренироваться — и все станет понятно. Взгляните на примеры — и убедитесь в этом сами:
Задача. Решите неравенство:
(x − 2)(x + 7) < 0
Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:
(x − 2)(x + 7) = 0
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
x
− 2 = 0 ⇒ x
= 2;
x
+ 7 = 0 ⇒ x
= −7.
Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:
Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:
f
(x
) = (x
− 2)(x
+ 7);
x
= 3;
f
(3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;
Получаем, что f (3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.
Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.
Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:
Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:
(x − 2)(x + 7) < 0
Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.
Задача. Решите неравенство:
(x + 9)(x − 3)(1 − x ) < 0
Шаг 1: приравниваем левую часть к нулю:
(x
+ 9)(x
− 3)(1 − x
) = 0;
x
+ 9 = 0 ⇒ x
= −9;
x
− 3 = 0 ⇒ x
= 3;
1 − x
= 0 ⇒ x
= 1.
Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.
Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:
Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:
f
(x
) = (x
+ 9)(x
− 3)(1 − x
);
x
= 10;
f
(10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f
(10) = −1197 < 0.
Шаг 4: расставляем остальные знаки. Помним, что при переходе через каждый корень знак меняется. В итоге наша картинка будет выглядеть следующим образом:
Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:
(x + 9)(x − 3)(1 − x ) < 0
Это неравенство вида f (x ) < 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)
Это и есть ответ.
Замечание по поводу знаков функции
Практика показывает, что наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие ученики начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.
Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:
- Непрерывная функция меняет знак только в тех точках, где она равна нулю . Такие точки разбивают координатную ось на куски, внутри которых знак функции никогда не меняется. Вот зачем мы решаем уравнение f (x ) = 0 и отмечаем найденные корни на прямой. Найденные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.
- Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала. Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать x = −4, x = 0, x = 4 и даже x = 1,29374, если нам захочется. Почему это важно? Да потому что многих учеников начинают грызть сомнения. Мол, что если для x = −4 мы получим плюс, а для x = 0 — минус? А ничего — такого никогда не будет. Все точки на одном интервале дают один и тот же знак. Помните об этом.
Вот и все, что нужно знать про метод интервалов. Конечно, мы разобрали его в самом простом варианте. Существуют более сложные неравенства — нестрогие, дробные и с повторяющимися корнями. Для них тоже можно применять метод интервалов, но это тема для отдельного большого урока.
Теперь хотел бы разобрать продвинутый прием, который резко упрощает метод интервалов. Точнее, упрощение затрагивает только третий шаг — вычисление знака на самом правом куске прямой. По каким-то причинам этот прием не проходят в школах (по крайней мере, мне никто такого не объяснял). А зря — ведь на самом деле этот алгоритм очень прост.
Итак, знак функции на правом куске числовой оси. Этот кусок имеет вид (a ; +∞), где a — самый большой корень уравнения f (x ) = 0. Чтобы не взрывать мозг, рассмотрим конкретный пример:
(x
− 1)(2 + x
)(7 − x
) < 0;
f
(x
) = (x
− 1)(2 + x
)(7 − x
);
(x
− 1)(2 + x
)(7 − x
) = 0;
x
− 1 = 0 ⇒ x
= 1;
2 + x
= 0 ⇒ x
= −2;
7 − x
= 0 ⇒ x
= 7;
Мы получили 3 корня. Перечислим их в порядке возрастания: x = −2, x = 1 и x = 7. Очевидно, что наибольший корень — это x = 7.
Для тех, кому легче рассуждать графически, я отмечу эти корни на координатной прямой. Посмотрим, что получится:
Требуется найти знак функции f (x ) на самом правом интервале, т.е. на (7; +∞). Но как мы уже отмечали, для определения знака можно взять любое число из этого интервала. Например, можно взять x = 8, x = 150 и т.д. А теперь — тот самый прием, который не проходят в школах: давайте в качестве числа возьмем бесконечность. Точнее, плюс бесконечность , т.е. +∞.
«Ты че, обкурился? Как можно подставить в функцию бесконечность?» — возможно, спросите вы. Но задумайтесь: нам ведь не нужно само значение функции, нам нужен только знак. Поэтому, например, значения f (x ) = −1 и f (x ) = −938 740 576 215 значат одно и то же: функция на данном интервале отрицательна. Поэтому все, что от вас требуется — найти знак, который возникает на бесконечности, а не значение функции.
На самом деле, подставлять бесконечность очень просто. Вернемся к нашей функции:
f (x ) = (x − 1)(2 + x )(7 − x )
Представьте, что x — это очень большое число. Миллиард или даже триллион. Теперь посмотрим, что будет происходить в каждой скобке.
Первая скобка: (x − 1). Что будет, если из миллиарда вычесть единицу? Получится число, не особо отличающееся от миллиарда, и это число будет положительным. Аналогично со второй скобкой: (2 + x ). Если к двойке прибавить миллиард, по получим миллиард с копейками — это положительное число. Наконец, третья скобка: (7 − x ). Здесь будет минус миллиард, от которого «отгрызли» жалкий кусочек в виде семерки. Т.е. полученное число мало чем будет отличаться от минус миллиарда — оно будет отрицательным.
Осталось найти знак всего произведения. Поскольку в первых скобках у нас был плюс, а в последней — минус, получаем следующую конструкцию:
(+) · (+) · (−) = (−)
Итоговый знак — минус! И неважно, чему равно значение самой функции. Главное, что это значение — отрицательное, т.е. на самом правом интервале стоит знак минус. Осталось выполнить четвертый шаг метода интервалов: расставить все знаки. Имеем:
Исходное неравенство имело вид:
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) < 0
Следовательно, нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. Выписываем ответ:
x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)
Вот и весь прием, который я хотел рассказать. В заключение — еще одно неравенство, которое решается методом интервалов с привлечением бесконечности. Чтобы визуально сократить решение, я не буду писать номера шагов и развернутые комментарии. Напишу только то, что действительно надо писать при решении реальных задач:
Задача. Решите неравенство:
x (2x + 8)(x − 3) > 0
Заменяем неравенство уравнением и решаем его:
x
(2x
+ 8)(x
− 3) = 0;
x
= 0;
2x
+ 8 = 0 ⇒ x
= −4;
x
− 3 = 0 ⇒ x
= 3.
Отмечаем все три корня на координатной прямой (сразу со знаками):
Справа на координатной оси стоит плюс, т.к. функция имеет вид:
f (x ) = x (2x + 8)(x − 3)
А если подставить бесконечность (например, миллиард), получим три положительных скобки. Поскольку исходное выражение должно быть больше нуля, нас интересуют только плюсы. Осталось выписать ответ:
x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)
Неравенство
это выражение с, ≤, или ≥. Например, 3x - 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно.
Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений
. Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами
.
Линейные неравенства
Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.Принципы решения неравенств
Для любых вещественных чисел a, b,
и c
:
Принцип прибавления неравенств
: Если a
Принцип умножения для неравенств
: Если a 0 верно, тогда ac
Если a bc также верно.
Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.
Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами
.
Пример 1
Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
a) 3x - 5
b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Решение
Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
Множество решений есть {x|x
Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y 1 = 3x - 5 и y 2 = 6 - 2x. Тогда отсюда видно, что для x
Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже. 
Двойные неравенства
Когда два неравенства соединены словом и
, или
, тогда формируется двойное неравенство
.
Двойное неравенство, как
-3
и
2x + 5 ≤ 7
называется соединённым
, потому что в нём использовано и
. Запись -3
Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.
Пример 2
Решите -3
Решение
У нас есть
Множество решений {x|x ≤ -1 или
x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения
или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.
Для проверки, нарисуем y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или
x > 3}, y 1 ≤ y 2 или
y 1 > y 3 .
Неравенства с абсолютным значением (модулем)
Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x|
|x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.
Например,
|x|
|y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или
y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
Пример 4
Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
Решение
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] }