КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ - совокупность методов оценки связи между случайными явлениями и событиями, основанных на математической теории корреляции. При этом используются простейшие характеристики, требующие минимума вычислений. Термин «корреляция» обычно отождествляется с понятиями «связь» и «взаимозависимость». Однако они не адекватны. Корреляция является только одним из видов связи между признаками, к-рая проявляется в среднем и носит линейный характер. Если между двумя величинами существует однозначная связь, то такая связь называется функциональной и по одной из величин (причине) можно однозначно определить значение другой величины (следствие). Функц, зависимость является частным выражением случайной (вероятностной, стохастической) зависимости, когда связь проявляется не для каждых значений двух величин, а только в среднем.
К. а. применяется при изучении двух или большего количества случайных величин с целью выявления двух важнейших количественных характеристик: математического уравнения связи между этими величинами и оценки тесноты связи между ними. Исходными данными для определения этих характеристик служат синхронные результаты наблюдения (измерения, эксперимента), т. е. одновременно полученные из опыта статистические данные по признакам, связь между к-рыми изучается. Исходные данные могут быть заданы в виде таблиц с записями результатов наблюдения или их равноценных представлений на магнитной ленте, перфоленте или перфокартах.
К. а. нашел широкое применение в медицине и биологии для определения тесноты и уравнений связи между различными признаками, напр, результаты анализов клин, признаков или специальных обследований, проведенных над здоровыми или больными людьми (см. Корреляция функций организма). Результаты К. а. используются для составления объективных прогнозов заболеваний, оценки состояния больного, течения болезни (см. Прогнозирование). Априори, только по результатам теоретических биол, и мед. исследований, трудно или вовсе невозможно предсказать, как связаны между собой изучаемые признаки. Для того чтобы ответить на этот вопрос, проводят наблюдение или специальный эксперимент.
Двухмерный корреляционный анализ применяется при обработке опытных данных проявления каких-либо двух признаков.
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТАБЛИЦА. Примечание. В таблице приведены интервалы признаков X и Y, а также частоты их появления (в центре таблицы), подсчитанные по результатам морфометрического анализа микроциркуляторного русла бульбоконъюнктивальной области, где Y - диаметр венулы, а X - диаметр артериолы (в ммк).
Каждый результат опыта представляет собой случайную величину, а объективные закономерности проявляются только во всей совокупности результатов измерения. Поэтому выводы делаются по результатам обработки всей совокупности экспериментальных данных, а не по отдельным значениям, которые являются случайными. Для уменьшения влияния случайного события исходные данные объединяются в группы, что достигается путем составления корреляционной таблицы (см. табл.). Такая таблица содержит интервалы (или их середины) значений двух признаков - У и X, а также частоту появлений значений X и Y в соответствующем интервале этих значений. Эти частоты, подсчитанные по результатам опыта, представляют собой практическую оценку вероятности совместного появления значений X и Y конкретного интервала. Построение корреляционной таблицы является первым этапом обработки исходной информации. Построение корреляционных таблиц и их дальнейшую полную обработку осуществляют быстро на универсальных или специализированных ЭВМ (см. Электронная вычислительная машина). По сгруппированным данным корреляционной таблицы рассчитывают эмпирические характеристики уравнения и тесноты связи. Для определения уравнения связи между Y и X рассчитывают средние значения признака Y в каждом интервале признака X. Т. о. получают для каждого i-го интервала значение Yxi, соединение которых для всех i-интервалов дает эмпирическую линию регрессии, характеризующую форму связи признака Y с признаком X в среднем - график функции Yx= f(x). Если бы между признаками Y и X существовала однозначная связь, уравнения связи было бы достаточно для решения практических и теоретических задач, т. к. с его помощью всегда можно определить значение признака Y, если задано значение X. На практике же связь между Y и X не является однозначной, эта связь является случайной и одному значению X соответствует ряд значений Y. Поэтому необходима еще одна характеристика, измеряющая силу, тесноту связи между Y и X. Такими характеристиками являются дисперсионное (корреляционное) отношение ηух и коэффициент корреляции ryx. Первая из этих величин служит характеристикой тесноты связи между Y и X в произвольной функции f, а ryx - используется только в случае, когда f является линейной функцией.
Величины ηyx и ryx также просто определяются по корреляционной таблице. Расчет обычно ведут в следующем порядке: определяют средние значения обоих признаков X и Y, их средние квадратические отклонения σx и σy, а затем ηxy по формуле:
и ryx по формуле:
где n - общее число опытов, Xcpi - среднее значение X i-го интервала, Ycpj - среднее значение Y j-го интервала, k, l - количество интервалов признаков X и Y соответственно, mi(x) - частота (количество) значений Xcpi. Количественными характеристиками точности определения ηyx и ryx служат их средние квадратические отклонения, которые равны
Значения коэффициента η лежат в пределах между нулем и единицей (0=<ηyx=<1). Если ηyx= 0 (рис., а), то это свидетельствует о том, что признаки Y и X недисперсированы, т. е. регрессия Yx = f(x) не дает связи между признаками Y и X, а при ηyx = 1 существует однозначная связь между Y и X (рис., б, ж). Для ηyx<1 признак Y только частично определяется признаком X, и необходимо изучение дополнительных признаков для повышения достоверности определения Y (рис., г, д, е, и).
Значение коэффициента r лежит в пределах между -1 и +1 (-1= Многомерный корреляционный анализ - определение уравнения и тесноты связи в случаях, когда число изучаемых признаков больше двух. Так, если Y является сложным признаком и его исход зависит от появления множества признаков Х1, Х2, ..., Хn, то, по экспериментальным данным, должны быть определены: а) уравнение связи признака Y с совокупностью признаков Х1, Х2,..., Хn, т.е. Yx1x2...xn = F(x1, x2...,xn) ; б) теснота связи между Y и совокупностью X1, Х2,..., Хn. Предварительная обработка результатов наблюдения при многомерном К. а. заключается в том, что для каждой пары признаков определяются значения дисперсионных отношений ηyxi (i = 1,2,..., n) и ηxixj (i!=j) коэффициентов корреляции ryxi и rxixj, а также парные регрессии Yxi = fi(xi). По этим данным затем определяются уравнения множественной регрессии Yx1x2...xn = F (x1,x2,...,xn), множественное дисперсионное отношение ηyx1x2...xn и множественный коэффициент корреляции Ryx1x2...xn. Уравнение множественной регрессии дает возможность определить значение признака Y по совокупности значений X1, Х2, ..., Xn, т. е. при наличии этого уравнения можно прогнозировать значения Y по результатам конкретных значений полученной совокупности (напр., результатов анализа по признакам X1, Х2...Хn). Значение ηyx1x2...xn используется в качестве характеристики тесноты связи между Y и совокупностью признаков Х1, Х2, ...Xn для произвольной функции F, a Ryx1x2...xn - для случая, когда функция F линейна. Коэффициенты ηyx1x2....xn и Ryx1x2...xn принимают значения между нулем и единицей. Включение в рассмотрение при многомерном К. а. дополнительных признаков дает возможность получить значения ηyx1x2...xn, Ryx1x2...xn ближе к единице и таким образом повысить точность прогноза признака Y по множественному уравнению регрессии. В качестве примера рассмотрим результаты парного К. а., а также уравнение множественной регрессии и множественный коэффициент корреляции между признаками: Y - устойчивый псевдопарез, X1 - латерализация моторного дефекта в конечностях справа, Х2 - то же в конечностях слева, Х3 - вегетативные кризы. Значения дисперсионных отношений и коэффициентов парной корреляции для них будут соответственно ηyx1 = 0,429, ηyx2 = 0,616, ηyx3 = -0,334, a ryx1 = 0,320, ryx2 = 0,586, ryx3 = -0,325. По уравнению множественной линейной регрессии Yх1х2х3 = 0,638 x1 + 0,839 x2 - 0,195 x3. Коэффициент множественной корреляции будет выражаться величиной Ryx1x2x3 =0,721. Из примера видно, что по данным Х1, Х2 и Х3 с достаточной для практики точностью можно прогнозировать устойчивый псевдопарез. Методы К. а. дают также возможность получить динамические характеристик и. В этом случае изучаемые признаки (напр., ЭКГ, ЭЭГ и т. д.) рассматриваются как случайные функции Y(t) и Х(t). По результатам наблюдения над этими функциями также определяются две важнейшие характеристики: а) оценка оператора связи (математического уравнения) между Y (t) и X(t); б) оценка тесноты связи между ними. В качестве характеристик тесноты связи принимаются дисперсионные и корреляционные функции случайных функций Y (t) и X(t). Эти функции представляют собой обобщение дисперсионных отношений и коэффициентов корреляции. Так, нормированная взаимная дисперсионная функция ηyx(t) каждого фиксированного значения t представляет собой дисперсионное отношение между значениями признаков Y (t) и Х(t). Аналогично нормированная взаимная корреляционная функция Ryx(t) представляет собой для каждого фиксированного значения t коэффициент корреляции между признаками Y(t) и X(t). Характеристика линейной связи (зависимости) для одной и той же исследуемой величины в различные моменты времени носит название автокорреляции. К. а. является одним из методов решения задачи идентификации, нашедшей широкое распространение при получении математических моделей и автоматизации мед.-биол, исследования и лечения. Библиография:
Вычислительные системы и автоматическая диагностика заболеваний сердца, под ред. Ц. Касереса и Л. Дрейфуса, пер. с англ., М., 1974; Гутман С. Р. О двух моделях электроэнцефалограммы, сходящихся к нормальному случайному процессу, в кн.: Управление и информ. процессы в живой природе, под ред. В. В. Ларина, с. 205, М., 1971; Заславская Р. М., Перепел-кин Е. Г. и Ахметов К. Ж. Корреляционные связи между показателями гемокоагуляции и липидного обмена у больных.стенокардией в течение суток, Кардиология, т. 17, № 6, с. 111, 1977; К р а м e р Г. Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1975; Пастернак Е. Б. и др. Исследование электрической активности предсердий при мерцательной аритмии с помощью приборного корреляционного анализа, Кардиология, т. 17, Хя 7, с. 50, 1977; Синицын Б. С. Автоматические корреляторы и их применение, Новосибирск, 1964, библиогр.; У р-б а х В. Ю. Статистический анализ в биологических и медицинских исследованиях, М., 1975, библиогр. В. Н. Райбман, Н. С. Райбман.
При наличии двух рядов значений, подвергающихся ранжированию, рационально рассчитывать ранговую корреляцию Спирмена. Такие ряды могут представляться:
Метод предполагает проведение ранжирования показателей в отдельности для каждого из признаков. Наименьшее значение имеет наименьший ранг. Этот метод относится к непараметрическому статистическому методу, предназначенному для установления существования связи изучаемых явлений: Статистический метод, предназначенный для выявления существования зависимости между 2 и более случайными величинами (переменными), а также ее силы, получил название корреляционного анализа. Получил свое название от correlatio (лат.) – соотношение. При его использовании возможны варианты развития событий:
В случае установления зависимости между переменными речь идет об их коррелировании. Иными словами, можно сказать, что при изменении значения Х, обязательно будет наблюдаться пропорциональное изменение значения У. В качестве инструментов используются различные меры связи (коэффициенты). На их выбор оказывает влияние:
Существование корреляционной связи может отображаться графически (графики) и с помощью коэффициента (числовое отображение). Корреляционная связь характеризуется такими признаками:
Корреляционный анализ не позволяет установить причинную зависимость между исследуемыми переменными. Он проводится с целью:
Метод Пирсона применим для расчетов требующих точного определения силы, существующей между переменными. Изучаемые с его помощью признаки должны выражаться только количественно. Для применения метода Спирмена или ранговой корреляции нет жестких требований в выражении признаков – оно может быть, как количественным, так и атрибутивным. Благодаря этому методу получается информация не о точном установлении силы связи, а имеющая ориентировочный характер. В рядах переменных могут содержаться открытые варианты. Например, когда стаж работы выражается такими значениями, как до 1 года, более 5 лет и т.д. Статистическая величина характеризующая характер изменения двух переменных получила название коэффициента корреляции либо парного коэффициента корреляции. В количественном выражении он колеблется в пределах от -1 до +1. Наиболее распространены коэффициенты:
Получение недостоверных данных при расчете коэффициента корреляции возможно в тех случаях, когда:
Для оценки статистических величин используется понятие их значимости или же достоверности, характеризующей вероятность случайного возникновения величины либо крайних ее значений.
Наиболее распространенным методом определения значимости корреляции является определение критерия Стьюдента. Его значение сравнивается с табличным, количество степенней свободы принимается как 2. При получении расчетного значения критерия больше табличного, свидетельствует о значимости коэффициента корреляции. При проведении экономических расчетов достаточным считается доверительный уровень 0,05 (95%) либо 0,01 (99%). Коэффициент ранговой корреляции Спирмена позволяет статистически установить наличие связи между явлениями. Его расчет предполагает установление для каждого признака порядкового номера – ранга. Ранг может быть возрастающим либо убывающим. Количество признаков, подвергаемых ранжированию, может быть любым. Это достаточно трудоемкий процесс, ограничивающий их количество. Затруднения начинаются при достижении 20 признаков. Для расчета коэффициента Спирмена пользуются формулой:
в которой: n – отображает количество ранжируемых признаков; d – не что иное как разность между рангами по двум переменным; а ∑(d2) – сумма квадратов разностей рангов. Статистическое сопровождение психологических исследований позволяет сделать их более объективными и высоко репрезентативными. Статистическая обработка данных полученных в ходе психологических экспериментов способствует извлечению максимума полезной информации. Наиболее широкое применение в обработке их результатов получил корреляционный анализ. Уместным является проведение корреляционного анализа результатов, полученных при проведении исследований:
Проведение корреляционного анализа с использованием метода Спирмена выполняется по следующему алгоритму:
Необходимо установить наличие корреляционной связи между рабочим стажем и показателем травматизма при наличии следующих данных: Наиболее подходящим методом анализа является ранговый метод, т.к. один из признаков представлен в виде открытых вариантов: рабочий стаж до 1 года и рабочий стаж 7 и более лет. Решение задачи начинается с ранжирования данных, которые сводятся в рабочую таблицу и могут быть выполнены вручную, т.к. их объем не велик: Появление дробных рангов в колонке связано с тем, что в случае появления вариант одинаковых по величине находится среднее арифметическое значение ранга. В данном примере показатель травматизма 12 встречается дважды и ему присваиваются ранги 2 и 3, находим среднее арифметическое этих рангов (2+3)/2= 2,5 и помещаем это значение в рабочую таблицу для 2 показателей. Отрицательное значение коэффициента свидетельствует о наличии обратной связи между признаками и позволяет утверждать, что небольшой стаж работы сопровождается большим числом травм. Причем, сила связи этих показателей достаточно большая. В научных исследованиях часто возникает необходимость в нахождении связи между результативными и факторными переменными (урожайностью какой-либо культуры и количеством осадков, ростом и весом человека в однородных группах по полу и возрасту, частотой пульса и температурой тела и т.д.). Вторые представляют собой признаки, способствующие изменению таковых, связанных с ними (первыми). Существует множество Исходя из вышеизложенного, можно сказать, что корреляционный анализ — это метод, применяющийся с целью проверки гипотезы о статистической значимости двух и более переменных, если исследователь их может измерять, но не изменять. Есть и другие определения рассматриваемого понятия. Корреляционный анализ — это метод обработки заключающийся в изучении коэффициентов корреляции между переменными. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков, для установления между ними статистических взаимосвязей. Корреляционный анализ — это метод по изучению статистической зависимости между случайными величинами с необязательным наличием строгого функционального характера, при которой динамика одной случайной величины приводит к динамике математического ожидания другой. При проведении корреляционного анализа необходимо учитывать, что его можно провести по отношению к любой совокупности признаков, зачастую абсурдных по отношению друг к другу. Порой они не имеют никакой причинной связи друг с другом. В этом случае говорят о ложной корреляции. Исходя из приведенных выше определений, можно сформулировать следующие задачи описываемого метода: получить информацию об одной из искомых переменных с помощью другой; определить тесноту связи между исследуемыми переменными. Корреляционный анализ предполагает определение зависимости между изучаемыми признаками, в связи с чем задачи корреляционного анализа можно дополнить следующими: Метод корреляционного анализа часто не ограничивается нахождением тесноты связи между исследуемыми величинами. Иногда он дополняется составлением уравнений регрессии, которые получают с помощью одноименного анализа, и представляющих собой описание корреляционной зависимости между результирующим и факторным (факторными) признаком (признаками). Этот метод в совокупности с рассматриваемым анализом составляет метод Результативные факторы зависят от одного до нескольких факторов. Метод корреляционного анализа может применяться в том случае, если имеется большое количество наблюдений о величине результативных и факторных показателей (факторов), при этом исследуемые факторы должны быть количественными и отражаться в конкретных источниках. Первое может определяться нормальным законом — в этом случае результатом корреляционного анализа выступают коэффициенты корреляции Пирсона, либо, в случае, если признаки не подчиняются этому закону, используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена. При применении данного метода необходимо определиться с факторами, оказывающими влияние на результативные показатели. Их отбирают с учетом того, что между показателями должны присутствовать причинно-следственные связи. В случае создания многофакторной корреляционной модели отбирают те из них, которые оказывают существенное влияние на результирующий показатель, при этом взаимозависимые факторы с коэффициентом парной корреляции более 0,85 в корреляционную модель предпочтительно не включать, как и такие, у которых связь с результативным параметром носит непрямолинейный или функциональный характер. Результаты корреляционного анализа могут быть представлены в текстовом и графическом видах. В первом случае они представляются как коэффициент корреляции, во втором — в виде диаграммы разброса. При отсутствии корреляции между параметрами точки на диаграмме расположены хаотично, средняя степень связи характеризуется большей степенью упорядоченности и характеризуется более-менее равномерной удаленностью нанесенных отметок от медианы. Сильная связь стремится к прямой и при r=1 точечный график представляет собой ровную линию. Обратная корреляция отличается направленностью графика из левого верхнего в нижний правый, прямая — из нижнего левого в верхний правый угол. Помимо традиционного 2D-представления диаграммы разброса в настоящее время используется 3D-отображение графического представления корреляционного анализа. Также используется матрица диаграммы рассеивания, которая отображает все парные графики на одном рисунке в матричном формате. Для n переменных матрица содержит n строк и n столбцов. Диаграмма, расположенная на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, представляет собой график переменных Xi по сравнению с Xj. Таким образом, каждая строка и столбец являются одним измерением, отдельная ячейка отображает диаграмму рассеивания двух измерений. Теснота корреляционной связи определяется по коэффициенту корреляции (r): сильная — r = ±0,7 до ±1, средняя — r = ±0,3 до ±0,699, слабая — r = 0 до ±0,299. Данная классификация не является строгой. На рисунке показана несколько иная схема. В Великобритании было предпринято любопытное исследование. Оно посвящено связи курения с раком легких, и проводилось путем корреляционного анализа. Это наблюдение представлено ниже. Профессиональная группа смертность Фермеры, лесники и рыбаки
Шахтеры и работники карьеров
Производители газа, кокса и химических веществ
Изготовители стекла и керамики
Работники печей, кузнечных, литейных и прокатных станов
Работники электротехники и электроники
Инженерные и смежные профессии
Деревообрабатывающие производства Кожевенники
Текстильные рабочие
Изготовители рабочей одежды
Работники пищевой, питьевой и табачной промышленности
Производители бумаги и печати
Производители других продуктов
Строители
Художники и декораторы
Водители стационарных двигателей, кранов и т. д.
Рабочие, не включенные в другие места
Работники транспорта и связи
Складские рабочие, кладовщики, упаковщики и работники разливочных машин
Канцелярские работники
Продавцы
Работники службы спорта и отдыха
Администраторы и менеджеры
Профессионалы, технические работники и художники
Начинаем корреляционный анализ. Решение лучше начинать для наглядности с графического метода, для чего построим диаграмму рассеивания (разброса).
Корреляционный анализ
Цели корреляционного анализа
Методы корреляционного анализа
Данный анализ может выполняться с использованием:
Коэффициент корреляции
Ограничения использования коэффициента корреляции
Проверка значимости корреляции
Ранги Спирмена
Применение корреляционного анализа в психологии
Краткая инструкция к проведению корреляционного анализа по критерию Спирмена
Пример корреляции Спирмена
Рабочий стаж
Число травм
Порядковые номера
(ранги)
Разность рангов
Квадрат разности рангов
d(х-у)
до 1 года
24
1
5
-4
16
1-2
16
2
4
-2
4
3-4
12
3
2,5
+0,5
0,25
5-6
12
4
2,5
+1,5
2,5
7 и более
6
5
1
+4
16
Σ d2 = 38,5
Выполнив подстановку полученных значений в рабочую формулу и произведя несложные расчёты получаем коэффициент Спирмена равный -0,92
Следующим этапом расчётов является определение достоверности полученного коэффициента:
рассчитывается его ошибка и критерий Стьюдента
Понятие о корреляционном анализе
Понятие о ложности корреляции
Задачи корреляционного анализа
Связь корреляционного анализа с регрессионным
Условия использования метода
Правила отбора факторов корреляционного анализа
Отображение результатов
Трехмерное представление диаграммы разброса (рассеивания)
Оценка тесноты связи
Пример применения метода корреляционного анализа
Исходные данные для корреляционного анализа
Она демонстрирует прямую связь. Однако на основании только графического метода сделать однозначный вывод сложно. Поэтому продолжим выполнять корреляционный анализ. Пример расчета коэффициента корреляции представлен ниже.
С помощью программных средств (на примере MS Excel будет описано далее) определяем коэффициент корреляции, который составляет 0,716, что означает сильную связь между исследуемыми параметрами. Определим статистическую достоверность полученного значения по соответствующей таблице, для чего нам нужно вычесть из 25 пар значений 2, в результате чего получим 23 и по этой строке в таблице найдем r критическое для p=0,01 (поскольку это медицинские данные, здесь используется более строгая зависимость, в остальных случаях достаточно p=0,05), которое составляет 0,51 для данного корреляционного анализа. Пример продемонстрировал, что r расчетное больше r критического, значение коэффициента корреляции считается статистически достоверным.
Использование ПО при проведении корреляционного анализа
Описываемый вид статистической обработки данных может осуществляться с помощью программного обеспечения, в частности, MS Excel. Корреляционный предполагает вычисление следующих парамет-ров с использованием функций:
1. Коэффициент корреляции определяется с помощью функции КОРРЕЛ (массив1; массив2). Массив1,2 — ячейка интервала значений результативных и факторных переменных.
Линейный коэффициент корреляции также называется коэффициентом корреляции Пирсона, в связи с чем, начиная с Excel 2007, можно использовать функцию с теми же массивами.
Графическое отображение корреляционного анализа в Excel производится с помощью панели «Диаграммы» с выбором «Точечная диаграмма».
После указания исходных данных получаем график.
2. Оценка значимости коэффициента парной корреляции с использованием t-критерия Стьюдента. Рассчитанное значение t-критерия сравнивается с табличной (критической) величиной данного показателя из соответствующей таблицы значений рассматриваемого параметра с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы. Эта оценка осуществляется с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР (вероятность; степени_свободы).
3. Матрица коэффициентов парной корреляции. Анализ осуществляется с помощью средства «Анализ данных», в котором выбирается «Корреляция». Статистическую оценку коэффициентов парной корреляции осуществляют при сравнении его абсолютной величины с табличным (критическим) значением. При превышении расчетного коэффициента парной корреляции над таковым критическим можно говорить, с учетом заданной степени вероятности, что нулевая гипотеза о значимости линейной связи не отвергается.
В заключение
Использование в научных исследованиях метода корреляционного анализа позволяет определить связь между различными факторами и результативными показателями. При этом необходимо учитывать, что высокий коэффициент корреляции можно получить и из абсурдной пары или множества данных, в связи с чем данный вид анализа нужно осуществлять на достаточно большом массиве данных.
После получения расчетного значения r его желательно сравнить с r критическим для подтверждения статистической достоверности определенной величины. Корреляционный анализ может осуществляться вручную с использованием формул, либо с помощью программных средств, в частности MS Excel. Здесь же можно построить диаграмму разброса (рассеивания) с целью наглядного представления о связи между изучаемыми факторами корреляционного анализа и результативным признаком.
Определение корреляционного анализа
При решении задач экономического характера, а именно прогнозирования, зачастую используется корреляционный анализ. В его основе находятся некоторые значения случайной величины, представленной переменной, которая зависит от случая и может принимать некоторые значения с определенной вероятностью. При этом соответствующий закон распределения может показывать частоту конкретных значений в их общей совокупности. Корреляционный анализ в статистике базируется на стохастической зависимости при проведении исследований взаимосвязи между некоторыми экономическими показателями.
Разновидности корреляционного анализа
Использование корреляционного анализа в статистике
Корреляционный анализ широко используется в математической статистике.
При этом основной его задачей является определение тесноты связи и характера между независимыми (факторными) и зависимыми (результативными) признаками в процессе или явлении. Корреляционная связь обнаруживается лишь при масштабном факторном сопоставлении. Так, ее теснота может быть определена с помощью определенного коэффициента корреляции, специально рассчитываемого и располагающегося в интервале [-1;+1]. Характер связи между указанными показателями может быть определен по корреляционному полю. В случае, когда Y является зависимым признаком, X - независимым, то при принятии каждого случая в виде X(j) корреляционное поле будет иметь координаты (x j ;y j).
Корреляционный анализ в экономике
Экономическая деятельность субъектов хозяйствования зависит от огромного количества различных факторов. При этом необходимо рассматривать именно их комплекс, так как каждый из них отдельно не может определить изучаемое явление во всей его полноте. Поэтому лишь набор факторов в их тесной взаимосвязи дает четкое представление об исследуемом объекте. Многофакторный корреляционный анализ может состоять из нескольких этапов. В первую очередь определяются те факторы, с помощью которых оказывается максимальное воздействие на исследуемый показатель, и выбираются самые существенные для проведения анализа. Второй этап предусматривает сбор и оценку исходной информации, которая необходима для корреляционного анализа. На третьем проводится изучение характера, а также моделируется связь между итоговыми показателями и прочими факторами. Другими словами, обосновывается сформированное математическое уравнение, наиболее точно выражающее сущность анализируемой зависимости. И последний этап предусматривает оценку результатов проведенного корреляционного анализа с практическим его применением.
Основные понятия корреляционного анализа
Выделяют несколько видов связи между переменными:
Корреляционная зависимость предполагает взаимную согласованность изменений переменных величин, а также то, что эти изменения можно измерить однократно или многократно (в данном случае говорят о плотности связи переменных, но не о причинно-следственных связях); например, в современном российском обществе чем выше возраст, тем ниже социальный статус человека; отдельные проявления геронтократии эту закономерность не нарушают.
Функциональное воздействие предполагает, что изменения независимой переменной сопровождаются все более ускоряющимися изменениями зависимой переменной (причинно-следственные связи фиксируют влияние независимой переменной на зависимую); например, чем более радикальными политическими взглядами обладает человек, тем в большей степени он не приемлет существующий политический режим; в то же время нельзя утверждать, что чем в большей степени человек негативно оценивает власть, тем более радикальными взглядами он обладает.
Функциональная зависимость - связь переменных, означающая, что изменение одной переменной оказывает воздействие на изменение другой, которая в свою очередь воздействует на первую переменную, т.е. это связи взаимодействия; например, информированность человека о политике напрямую связана с интересом к ней; чем больше человек политикой интересуется, тем больше в ней разбирается.
Связь может быть нелинейной и немонотонной.
Каким бы в итоге ни оказался тип связи между переменными, необходимо убедиться в ее наличии в принципе. Корреляционный анализ применяется для выяснения взаимодействия и тенденций изменения характеристик изучаемого явления.
Первоначальной стадией его развития считается период 1870- 1880-х годов, а автором понятия «коэффициент корреляции» - Фрэнсис Гальтон. Наиболее серьезные разработки в области корреляционного анализа на рубеже XIX-XX вв. выполнил Карл Пирсон. Традиционно кбрреляционный анализ используется для проверки гипотезы о статистической зависимости двух или нескольких переменных. В качестве вспомогательного средства анализ корреляций можно использовать при проверке пригодности экспериментальных гипотез и для включения переменных в факторный и регрессионный анализ. Корреляционный анализ осуществляется с помощью сравнения и сопоставления рядов распределения, построенных на основании группировок по различным признакам.
Корреляция - наличие статистической взаимосвязи признаков, когда каждому определенному значению одного признака X соответствует определенное значение У (или комплекс значений К-ряда распределения). Корреляционный анализ выясняет функциональную зависимость между переменными величинами, которая характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне опреде- тенпое значение другой. Однако корреляционный анализ не предполагает выявления каузальных связей, поэтому при интерпретации ре- 1ультатов формулировки типа «переменная х влияет на переменную у» или «переменная х зависит от переменной у» недопустимы.
Различают парную и множественную корреляции. Парная корреляция характеризует тип, форму и плотность связи между двумя признаками, множественная - между несколькими.
Корреляционная зависимость возникает чаще всего там, где одно явление находится под воздействием большого числа факторов, действующих с разной силой, поэтому существуют специальные меры корреляционной связи, называемые коэффициентами корреляции. Коэффициенты (в статистике их общее количество исчисляется десятками) показывают степень взаимосвязи явлений (плотность корреляционной связи, иногда исследователи говорят об интенсивности связи) и характер этой связи (направленность ). Связь может быть прямой и обратной. Например, чем старше избиратель, тем более активно он участвует в выборах. Чем выше уровень доходов людей, тем в меньшей степени они склонны участвовать в выборах в качестве избирателей (обратная связь). Чем выше коэффициент корреляции между двумя переменными, тем точнее можно предсказать значения одной из них по значениям другой. Характер связи также определяется в категориях «монотонная » (направление изменения одной переменной не меняется при изменении второй переменной) и «немонотонная » связь. Помимо оценки плотности и направленности связи необходимо учитывать надежность (достоверность ) связи.
Корреляционный анализ последовательно решает три практические задачи:
определение корреляционного поля и составление корреляционной (в данном случае это комбинированная) таблицы;
вычисление выборочных корреляционных отношений или коэффициентов корреляции;
проверка статистической гипотезы значимости связи.
Коэффициент корреляции не содержит информации о том, является ли данная связь между ними причинно-следственной или сопутствующей (порожденной общей причиной). Этот вопрос исследователь должен решать самостоятельно на основе содержательных представлений о структуре, динамике изучаемых социальных объектов, корреляций между изучаемыми признаками, использовать иные способы статистического анализа (регрессионный, факторный, дискриминантный, путевой и т.д.). Но величина коэффициента позволяет оценить плотность связи как меньшую (незначимую) или большую. По знаку коэффициента корреляции для порядковых рядов мы можем сказать, является ли эта связь прямой или обратной (для номинальных рядов знак коэффициента не несет смысловой нагрузки).
Для установления корреляционной связи между двумя признаками необходимо доказать, что все другие переменные не оказывают воздействия на отношения двух переменных, являющихся предметом изучения. В противном случае возникает ситуация ложной корреляции. Секрет возникновения ложной корреляции заключается в том, что у двух явлений, связь которых формально подкрепляется наличием статистической связи, есть общая причина, в равной степени влияющая на каждое из них.
Корреляционному анализу предшествует стадия расчета статистики х 2 - Но на основании полученного значения статистики х 2 мы ничего не можем сказать о плотности связи анализируемых переменных. Цля решения такой задачи необходимо обратиться к коэффициентам корреляционной связи.
Традиционным для выполнения корреляционного анализа является обращение к коэффициенту корреляции Пирсона (Pearson) Р (в литературе он обозначается и через г).
Если при описании политического объекта определяется лишь наличие или отсутствие признака или если изучается связь между альтернативными признаками, то корреляционные таблицы (таблицы сопряженного признака) - 4-клеточные. В этом случае применяются коэффициент Юла(О) и коэффициент контингенции (ф). Они основаны на принципе совместного появления событий (значений признаков у объекта исследования) и пригодны для анализа любых признаков (метрических, порядковых и даже номинальных).
В случае если номинальные шкалы имеют большее число значений, чем два, то для определения зависимости между признаками пользуются коэффициентами сопряженности Пирсона (Р ), Чупрова (7) и Крамера (К). При этом определенное значение имеет размерность таблицы с на к, в которой отображены значения двух признаков. Коэффициенты Чупрова и Крамера считаются более «строгими», чем коэффициент сопряженности Пирсона. Но поскольку вычисления в них строятся с учетом статистики х 2 , то все связанные с ней ограничения распространяются и на эти коэффициенты.
Множественный коэффициент корреляции (IV), который иногда называют коэффициентом конкордации, применяется для оценки согласованности двух или нескольких рядов ранжированных значений переменных.
Вариантов расчета коэффициентов корреляции между признаками в статистическом пакете SPSS два.