Перейдем к описанию свойств линейных пространств. В первую очередь к ним относятся отношения между его элементами.
Линейной комбинацией элементов над полем действительных чиселR называется элемент
Определение. Множество элементов ,называется линейно независимым, если из равенства
с необходимостью следует, что ,. Ясно, что любая часть элементов изтакже линейно независимая. Если хотя бы одно из,, то множествоназывается линейно зависимым.
Пример III .6. Пусть дано векторное множество . Если один из векторов, например,, то такая система векторов линейно зависима. В самом деле, пусть множество,, …,,, …,линейно независимо, тогда из равенстваследует, что.
Добавляя к этому множеству вектор, умноженный на, по-прежнему имеем равенство
Следовательно, множество векторов, как, впрочем, и любых других элементов, содержащих нулевой элемент, всегда линейно зависимо ▼.
Замечание. Если множество векторов пусто, то оно линейно независимо. В самом деле, если нет никаких индексов, то невозможно выбрать им соответствующие не равные нулю числа, чтобы сумма вида (III.2) была равна 0. Такая интерпретация линейной независимости может быть принята за доказательство, тем более что такой результат хорошо согласуется с теорией 11.
В связи со сказанным определение линейной независимости можно сформулировать так: множество элементов линейно независимо, еслии нет ни одного индекса, для которого. В частности, это множество может быть и пустым.
Пример III .7. Любые два скользящих вектора линейно зависимы. Напомним, что скользящими векторами называются векторы, лежащие на одной прямой. Взяв единичный вектор , можно получить любой другой вектор умножением на соответствующее действительное число, то естьили. Следовательно, уже любые два вектора в одномерном пространстве линейно зависимы.
Пример III .8. Рассмотрим пространство полиномов, где ,,,. Запишем
Полагая ,,, получим, тождественно поt
то есть множество линейно зависимо. Заметим, что любое конечное множество вида,линейно независимо. Для доказательства рассмотрим случай, тогда из равенства
в случае предположения о его линейной зависимости, следовало бы, что существуют не все равные нулю числа 1 , 2 , 3 , что тождественно для любого выполняется (III.3), но это противоречит основной теореме алгебры: любой многочлен n -ой степени имеет не более чем n действительных корней. В нашем случае это уравнение имеет только два корня, а не бесконечное их множество. Получили противоречие.
§ 2. Линейные комбинации. Базисы
Пусть . Будем говорить, чтоестьлинейная комбинация элементов .
Теорема III .1 (основная). Множество ненулевых элементов линейно зависимо тогда и только тогда, когда некоторый элемент,является линейной комбинацией предшествующих элементов.
Доказательство . Необходимость . Предположим, что элементы ,, …,линейно зависимы и пустьпервое натуральное число, для которого элементы,, …,линейно зависимы, тогда
при не всех равных нулю и обязательно(иначе этим коэффициентом было бы, что противоречило бы заявленному). Отсюда имеем линейную комбинацию
Достаточность очевидна, поскольку, каждое множество, содержащее линейно зависимое множество, само линейно зависимо ▼.
Определение. Базисом (координатной системой) линейного пространства L называется множество A линейно независимых элементов, такое, что каждый элемент из L является линейной комбинацией элементов из A , 11.
Мы будем рассматривать конечномерные линейные пространства ,.
Пример III .9. Рассмотрим трехмерное векторное пространство . Возьмем единичные векторы,,. Они образуют базис при.
Покажем, что векторы линейно независимы. В самом деле, имеем
или . Отсюда по правилам умножения вектора на число и сложения векторов (примерIII.2) получим
Следовательно, ,,▼.
Пусть – произвольный вектор пространства, тогда исходя из аксиом линейного пространства получаем
Аналогичные рассуждения справедливы для пространства с базисом, . Из основной теоремы следует, что в произвольном конечномерном линейном пространствеL любой элемент может быть представлен как линейная комбинация его базисных элементов,, …,, то есть
Причем такое разложение единственно. В самом деле, пусть имеем
тогда после вычитания получаем
Отсюда, в силу независимости элементов ,,
То есть ▼.
Теорема III .2 (о дополнении до базиса). Пусть – конечномерное линейное пространство и– некоторое множество линейно независимых элементов. Если они не образуют базис, то вможно найти такие элементы,, …,, что множество элементовобразуют базис в. То есть, каждое линейно независимое множество элементов линейного пространства может быть дополнено до базиса.
Доказательство . Поскольку пространство – конечномерное, то у него есть базис, состоящий, например, изn элементов, пусть это элементы . Рассмотрим множество элементов.
Применим основную теорему. В порядке следования элементов рассмотрим множество A . Оно заведомо линейно зависимое, поскольку любой из элементов есть линейная комбинация,,. Так как элементы,, …,– линейно независимые, то добавляя к нему последовательно элементыдо тех пор, пока не появится первый элемент, например,, такой, что он будет линейной комбинацией предыдущих векторов этого множества, то есть. Выбрасывая этот элемент из множестваA , получим . Продолжаем эту процедуру до тех пор, пока в этом множестве не останетсяn линейно независимых элементов, среди которых все элементы ,, …,иn -m из элементов . Полученное множество и будет базисом ▼.
Пример III .10. Доказать, что векторы ,,иобразуют линейно зависимое множество, а любые три из них линейно независимы.
Покажем, что существуют не все равные нулю числа , для которых
В самом деле, при ,имеем
Линейная зависимость доказана. Покажем, что тройка векторов, например ,,, образует базис. Составим равенство
Выполняя действия с векторами, получим
Приравнивая соответствующие координаты в правой и левой частях последнего равенства, получим систему уравнений ,,, решая ее, получим.
Аналогичное рассуждение справедливо и для оставшихся троек векторов ,,или,,.
Теорема III .3 (о размерности пространства). Все базисы конечномерного линейного пространства L состоят из одинакового числа базисных элементов.
Доказательство . Пусть даны два множества , где;,. Каждому из них припишем одно из двух свойств, определяющих базис: 1) через элементы множестваA линейно выражаются любые элементы из L , 2) элементы множества B представляют линейно независимую совокупность, но не обязательно всю из L . Будем считать, что элементы A и B упорядочены.
Рассмотрим множество A и применим к его элементам m раз метод из основной теоремы. Так как элементы из B линейно независимы, то получим, по-прежнему, линейно зависимое множество
В самом деле, если бы , то получилось бы линейно независимое множество, а оставшиесяn элементов множества B линейно выражались бы через них, что невозможно, значит . Но этого тоже быть не может, так как по построению множество (III.4) обладает свойством базиса множества A . Поскольку пространство L конечномерное, то остается только , то есть два разных базиса пространстваL состоят из одинакового числа элементов ▼.
Следствие. В любом n -мерном линейном пространстве () можно найти бесконечно много базисов.
Доказательство следует из правила умножения элементов линейного (векторного) пространства на число.
Определение. Размерностью линейного пространства L называется число элементов, составляющих его базис.
Из определения следует, что пустое множество элементов – тривиальное линейное пространство – имеет размерность 0, что, как следует заметить, оправдывает терминологию линейной зависимости и позволяет заявить: n -мерное пространство имеет размерностьn , .
Таким образом, подводя итоги сказанному, получаем, что каждое множество из n +1 элемента n -мерного линейного пространства линейно зависимо; множество из n элементов линейного пространства является базисом тогда и только тогда, когда оно линейно независимое (или каждый элемент пространства является линейной комбинацией элементов его базиса); в любом линейном пространстве число базисов бесконечно.
Пример III .11 (теорема Кронекера – Капелли).
Пусть имеем систему линейных алгебраических уравнений
где A – матрица коэффициентов системы, расширенная матрица коэффициентов системы
Где , (III.6)
эта запись эквивалентна системе уравнений (III.5).
Теорема III .4 (Кронекера – Капелли). Система линейных алгебраических уравнений (III.5) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу матрицы , то есть.
Доказательство . Необходимость . Пусть система (III.5) совместна, тогда у нее существует решение: ,,. Учитывая (III.6), , но в этом случаеесть линейная комбинация векторов,, …,. Следовательно, через множество векторов,,, …,можно выразить любой вектор из. Это означает, что.
Достаточность . Пусть . Выберем любой базис из,, …,, тогдалинейно выражается через базис (это могут быть как все векторы, так и их часть) и тем самым, через все векторы,. Это означает, что система уравнений совместна ▼.
Рассмотрим n -мерное линейное пространство L . Каждый вектор можно представить линейной комбинацией , где множество,состоит из базисных векторов. Перепишем линейную комбинацию в видеи установим взаимнооднозначное соответствие между элементами и их координатами
Это означает, что между n -мерным линейным векторным пространством векторов надn -мерным полем действительных чисел установлено взаимно-однозначное соответствие.
Определение. Два линейных пространства инад одним и тем же скалярным полемизоморфны , если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие f , так чтобы
то есть под изоморфизмом понимается взаимнооднозначное соответствие, сохраняющее все линейные отношения. Ясно, что изоморфные пространства имеют одинаковую размерность.
Из примера и определения изоморфизма следует, что с точки зрения изучения проблем линейности изоморфные пространства одинаковы, поэтому формально вместо n -мерного линейного пространства L над полем можно изучать только поле.
Пусть - поле скаляров и F - его основное множество. Пусть - -мерное арифметическое пространство над - произвольная система векторов пространства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейной комбинацией системы векторов называется сумма вида где . Скаляры называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один ее коэффициент отличен от нуля. Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех линейных комбинаций векторов системы называется линейной оболочкой этой системы и обозначается через . Линейной оболочкой пустой системы считается множество, состоящее из нулевого вектора.
Итак, по определению,
Легко видеть, что линейная оболочка данной системы векторов замкнута относительно операций сложения векторов, вычитания векторов и умножений векторов на скаляры.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов называется линейно независимой, если для любых скаляров из равенства следуют равенства . Пустая система векторов
считается линейно независимой.
Другими словами, конечная система векторов линейно независима в том и только в том случае, когда всякая нетривиальная линейная комбинация векторов системы не равна нулевому вектору.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры не все равные нулю, такие, что
Другими словами, конечная система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация векторов системы, равная нулевому вектору.
Система векторов
называется системой единичных векторов векторного пространства Эта система векторов линейно независима. В самом деле, для любых скаляров из равенства следует равенство и, значит, равенства
Рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
СВОЙСТВО 1.1. Система векторов, содержащая нуле вой вектор, линейно зависима.
Доказательство. Если в системе векторов один из векторов, например вектор нулевой, то линейная комбинация векторов системы, все коэффициенты которой нулевые, за исключением коэффициента при равна нулевому вектору. Следовательно, такая система векторов линейно зависима.
СВОЙСТВО 1.2. Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима.
Доказательство. Пусть - линейно зависимая подсистема системы причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Тогда Следовательно, система векторов линейно зависима.
СЛЕДСТВИЕ. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.
СВОЙСТВО 1.3. Система векторов
в которой линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией предшествующих векторов.
Доказательство. Пусть система (1) линейно зависима и Тогда существуют скаляры не все равные нулю, такие, что
Обозначим через k наибольшее из чисел удовлетворяющее условию Тогда равенство (2) можно записать в виде
Отметим, что ибо в противном случае следовательно, поскольку . Из (3) следует равенство
Предположим теперь, что вектор есть линейная комбинация предшествующих ему векторов, т. е. Тогда , т. е. подсистема системы (1) линейно зависима. Следовательно, по свойству 1.2, линейно зависима и исходная система (1).
СВОЙСТВО 1.4. Если система векторов линейно независима, а система векторов
линейно зависима, то вектор v линейно выражается через векторы
и притом единственным образом.
Доказательство. По условию система (2) линейно зависима, т. е. существуют скаляры не все равные нулю, такие, что
При этом так как при что противоречит линейной независимости системы (1). Из (3) следует равенство
В силу линейной независимости системы (1) отсюда следует, что
СВОЙСТВО 1.5. Если и
Доказательство. Условие означает что найдутся такие скаляры что
Условие означает, что существуют такие скаляры что
В силу (1) и (2) получаем
ТЕОРЕМА 1.2. Если
то система векторов линейно зависима. Доказательство (проводится индукцией по ).
Зададим в (действительном или комплексном) систему из векторов
По определению система (1) линейно независима, если из векторного равенства
где , , ..., - числа (соответственно действительные или комплексные), следует, что
Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существуют числа , , ..., , одновременно не равные нулю, для которых выполняется равенство (2). Если для определенности считать, что , то из (2) следует, что
Таким образом, если система из векторов линейно зависима, то один из них есть, как говорят, линейная комбинация остальных, или, как еще говорят, зависит от остальных.
Так как все время будет идти речь о линейной зависимости, то термин линейный будем позволять себе иногда опускать. Будем также говорить зависимые или независимые векторы вместо зависимая или независимая система векторов.
Один вектор тоже образует систему - линейно независимую, если , и зависимую, если .
Если система векторов линейно независима, то любая часть этой системы тем более линейно независима. Иначе нашлась бы нетривиальная система чисел ,…,, для которой выполнялось бы
но тогда для системы , ..., , , которая тоже нетривиальна, имело бы место
Из сказанного следует, что если система векторов линейно зависима то любая пополненная система
обладает тем же свойством. В частности, система векторов, содержащая в себе нулевой вектор, всегда линейно зависима.
Составим матрицу, определяемую векторами системы (1):
Теорема 1. Если ранг , т.е. ранг равен числу векторов, то система (1) линейно независима.
Если же ранг , то система (1) линейно зависима.
Пример 1. Два вектора , в действительном пространстве образуют линейно независимую систему, если определитель
потому что векторное уравнение
эквивалентно двум уравнениям для соответствующих компонент
Но если , то система (5) имеет единственное тривиальное решение
Если же , то уравнениям (5) удовлетворяет некоторая нетривиальная система , т.е. при система векторов , линейно зависима.
Очевидно, сказать, что в действительном пространстве векторы и коллинеарны или линейно зависимы - это все равно. Но тогда сказать, что векторы и не коллинеарны или линейно независимы - это тоже все равно.
Пример 2. Система векторов , , ...., в действительном пространстве всегда линейно зависима. Геометрически это ясно из рис. 33: если произвольный вектор и , - неколлинеарные векторы, то всегда можно указать такие числа , , что
Это показывает, что система , , линейно зависима. Если же и - коллинеарные векторы, то они линейно зависимы. Тем более линейно зависимы , , .
По теореме 1, чтобы исследовать пару векторов , , мы должны записать матрицу из их координат
В данном случае .
а) Если ранг , то теорема утверждает, что векторы , линейно зависимы.
б) Если же ранг , то векторы , линейно независимы.
Это совпадает с приведенными выводами, потому что в случае а) и б).
Тот факт, что три произвольных вектора , , в линейно зависимы, тоже предусмотрен теоремой - ведь ранг
Пример 3. В трехмерном действительном пространстве два вектора
линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
В самом деле, пусть , коллинеарны. Если один из данных векторов нулевой, то они линейно зависимы. Если же и коллинеарны и не нулевые, то
где - некоторое число. Последнее означает, что , линейно зависимы.
Обратно, если , линейно зависимы, то один из них зависит от другого, например
т.е. векторы коллинеарны.
Если в этом случае рассмотреть матрицу
то элементы строк матрицы пропорциональны, и поэтому
т.е. наше утверждение согласуется с теоремой 1.
Пример 4. Рассмотрим теперь три вектора в :
Векторному уравнению
эквивалентна система из трех уравнений
Если , то система (7") имеет единственное тривиальное решение . Но тогда и уравнение (7) имеет единственное тривиальное решение и система векторов , , , линейно независима.
Если , то система (7"), следовательно, и уравнение (7) имеют нетривиальное решение (). Но тогда система векторов (, , ) линейно зависима. Но здесь можно различать детали:
1) Пусть ранг, где
Тогда по крайней мере одна из строк , пусть для определенности первая, имеет хотя бы один элемент, не равный нулю. Рассмотрим матрицу
Она имеет ранг 1, поэтому все порождаемые ею определители второго порядка равны нулю
Но тогда, очевидно, компоненты векторов и пропорциональны.
Аналогично, учитывая, что в матрице
тоже все определители второго порядка равны нулю, получим, что
где - некоторое число. Таким образом, в этом случае векторы , , коллинеарны.
2) Пусть теперь ранг . Тогда одна из матриц, состоящих из двух строк матрицы , имеет ранг 2. Пусть для определенности это есть матрица (см. (8)). На основании примера 3 векторы и , линейно независимы. Но система , , зависима, т. е. для некоторой нетривиальной тройки чисел ()
Здесь , потому что иначе , и в силу независимости системы , было бы . Но тогда равенство (9) можно разрешить относительно :
Таким образом, если , а ранг (см. (8)), то векторы и неколлинеарны, а вектор , принадлежит к плоскости этих векторов.. Существует не равный нулю определитель уравнений системы (2") удовлетворяются найденными числами (см.(11)) и произвольными числами . На основании утверждения 2) §4 (правила решения систем) числа удовлетворяют и остальным уравнениям системы (2"), т. е. числа , (не все равные нулю) удовлетворяют остальным уравнениям системы (2").
Таким образом, векторы линейно зависимы, и теорема доказана и в этом случае.
Определение 1 . Линейной комбинацией векторовназывается сумма произведений этих векторов на скаляры:
Определение 2 . Система векторовназывается линейно зависимой системой, если линейная комбинация их (2.8) обращается в нуль:
причем среди чиселсуществует хотя бы одно, отличное от нуля.
Определение 3 . Векторыназываются линейно независимыми, если их линейная комбинация (2.8) обращается в нуль лишь в случае, когда все числа.
Из этих определений можно получить следующие следствия.
Следствие 1 . В линейно зависимой системе векторов хотя бы один вектор может быть выражен как линейная комбинация остальных.
Доказательство . Пусть выполнено (2.9) и пусть для определенности, коэффициент. Имеем тогда:. Заметим, что справедливо и обратное утверждение.
Следствие 2. Если система векторовсодержит нулевой вектор, то эта система (обязательно) линейно зависима – доказательство очевидно.
Следствие 3 . Если средиn векторовкакие либоk () векторов линейно зависимы, то и всеn векторов линейно зависимы (опустим доказательство).
2 0 . Линейные комбинации двух, трех и четырех векторов . Рассмотрим вопросы линейной зависимости и независимости векторов на прямой, плоскости и в пространстве. Приведем соответствующие теоремы.
Теорема 1 . Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Необходимость . Пусть векторыилинейно зависимы. Это означает, что их линейная комбинация=0 и (ради определенности). Отсюда следует равенство, и (по определению умножения вектора на число) векторыиколлинеарны.
Достаточность . Пусть векторыиколлинеарны (║) (предполагаем, что они отличны от нулевого вектора; иначе их линейная зависимость очевидна).
По теореме (2.7) (см. §2.1,п.2 0) тогдатакое, что, или– линейная комбинация равна нулю, причем коэффициент приравен 1 – векторыилинейно зависимы.
Из этой теоремы вытекает следующее следствие.
Следствие . Если векторыине коллинеарны, то они линейно независимы.
Теорема 2 . Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Необходимость . Пусть векторы,илинейно зависимы. Покажем, что они компланарны.
Из определения линейной зависимости векторов следует существование чисел итаких, что линейная комбинация, и при этом (для определенности). Тогда из этого равенства можно выразить вектор:=, то есть векторравен диагонали параллелограмма, построенного на векторах, стоящих в правой части этого равенства (рис.2.6). Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости.
Достаточность . Пусть векторы,икомпланарны. Покажем, что они линейно зависимы.
Исключим случай коллинеарности какой либо пары векторов (ибо тогда эта пара линейно зависима и по следствию 3 (см.п.1 0) все три вектора линейно зависимы). Заметим, что такое предположение исключает также существование нулевого вектора среди указанных трех.
Перенесем три компланарных вектора в одну плоскость и приведем их к общему началу. Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторами; получим при этом векторыи(рис.2.7) – их существование обеспечено тем, что векторыине коллинеарные по предположению векторы. Отсюда следует, что вектор=+. Переписав это равенство в виде (–1)++=0, заключаем, что векторы,илинейно зависимы.
Из доказанной теоремы вытекает два следствия.
Следствие 1 . Пустьине коллинеарные векторы, вектор– произвольный, лежащий в плоскости, определяемой векторамии, вектор. Существуют тогда числаитакие, что
Следствие 2 . Если векторы,ине компланарны, то они линейно независимы.
Теорема 3 . Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство опустим; с некоторыми изменениями оно копирует доказательство теоремы 2. Приведем следствие из этой теоремы.
Следствие . Для любых некомпланарных векторов,,и любого вектораитакие, что
Замечание . Для векторов в (трехмерном) пространстве понятия линейной зависимости и независимости имеют, как это следует из приведенных выше теорем 1-3, простой геометрический смысл.
Пусть имеются два линейно зависимых вектора и. В таком случае один из них является линейной комбинацией второго, то есть просто отличается от него численным множителем (например,). Геометрически это означает, что оба вектора находятся на общей прямой; они могут иметь одинаковое или противоположное направления (рис.2.8 хх).
Если же два вектора расположены под углом друг к другу (рис.2.9 хх), то в этом случае нельзя получить один из них умножением другого на число – такие векторы линейно независимы. Следовательно, линейная независимость двух векторов иозначает, что эти векторы не могут быть уложены на одну прямую.
Выясним геометрический смысл линейной зависимости и независимости трех векторов.
Пусть векторы ,илинейно зависимы и пусть (для определенности) векторявляется линейной комбинацией векторови, то есть расположен в плоскости, содержащей векторыи. Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости. Справедливо и обратное утверждение: если векторы,илежат в одной плоскости, то они линейно зависимы.
Таким образом, векторы ,илинейно независимы в том и только в том случае, если они не лежат в одной плоскости.
3 0 . Понятие базиса . Одним из важнейших понятий линейной и векторной алгебры является понятие базиса. Введем определения.
Определение 1 . Пара векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор этой пары считается первым, а какой вторым.
Определение 2. Упорядоченная пара,неколлинеарных векторов называется базисом на плоскости, определяемой заданными векторами.
Теорема 1 . Всякий векторна плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,:
и это представление единственно.
Доказательство . Пусть векторыиобразуют базис. Тогда любой векторможно представить в виде.
Для доказательства единственности предположим, что имеется еще одно разложение . Имеем тогда=0, причем хотя бы одна из разностей отлична от нуля. Последнее означает, что векторыилинейно зависимы, то есть коллинеарны; это противоречит утверждению, что они образуют базис.
Но тогда – разложение единственно.
Определение 3 . Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор ее считается первым, какой вторым, а какой третьим.
Определение 4 . Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве.
Здесь также справедлива теорема разложения и единственности.
Теорема 2 . Любой векторможет быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,,:
и это представление единственно (опустим доказательство теоремы).
В разложениях (2.12) и (2.13) величины называются координатами векторав заданном базисе (точнее, аффинными координатами).
При фиксированном базисе иможно писать.
Например, если задан базис и дано, что, то это означает, что имеет место представление (разложение).
4 0 . Линейные операции над векторами в координатной форме . Введение базиса позволяет линейные операции над векторами заменить обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов.
Пусть задан некоторый базис . Очевидно, задание координат вектора в этом базисе полностью определяет сам вектор. Имеют место следующие предложения:
а) два вектора иравны тогда и только тогда, когда равны их соответственные координаты:
б) при умножении вектора на числоего координаты умножаются на это число:
в) при сложении векторов складываются их соответственные координаты:
Доказательства этих свойств опустим; докажем лишь для примера свойство б). Имеем
Замечание . В пространстве (на плоскости) можно выбрать бесконечно много базисов.
Приведем пример перехода от одного базиса к другому, установим соотношения между координатами вектора в различных базисах.
Пример 1 . В базисной системезаданы три вектора:,и. В базисе,,векторимеет разложение. Найти координаты векторав базисе.
Решение . Имеем разложения:,,; следовательно,=+2+= =, то естьв базисе.
Пример 2 . Пусть в некотором базисечетыре вектора заданы своими координатами:,,и.
Выяснить, образуют ли векторы базис; в случае положительного ответа найти разложение векторав этом базисе.
Решение . 1) векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим линейную комбинацию векторов() и выясним, при какихиона обращается в нуль:=0. Имеем:
По определению равенства векторов в координатной форме получим следующую систему (линейных однородных алгебраических) уравнений: ;;, определитель которой=1, то есть система имеет (лишь) тривиальное решение. Это означает линейную независимость векторови, следовательно, они образуют базис.
2) разложим вектор в этом базисе. Имеем:=или в координатной форме.
Переходя к равенству векторов в координатной форме, получим систему линейных неоднородных алгебраических уравнений: ;;. Решая ее (например, по правилу Крамера), получим:,,и (). Имеем разложение векторав базисе:=.
5 0 . Проекция вектора на ось. Свойства проекций. Пусть имеется некоторая осьl , то есть прямая с выбранным на ней направлением и пусть задан некоторый вектор.Определим понятие проекции векторана осьl .
Определение . Проекцией векторана осьl называется произведение модуля этого вектора на косинус угла между осьюl и вектором (рис.2.10):
Следствием этого определения является утверждение о том, что равные векторы имеют равные проекции (на одну и ту же ось).
Отметим свойства проекций.
1) проекция суммы векторов на некоторую ось l равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:
2) проекция произведения скаляра на вектор равна произведению этого скаляра на проекцию вектора на ту же ось:
Следствие . Проекция линейной комбинации векторов на ось равна линейной комбинации их проекций:
Доказательства свойств опустим.
6 0 . Прямоугольная декартова система координат в пространстве .Разложение вектора по ортам осей. Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных орта; для них вводим специальные обозначения. Поместив их начала в точкуO , направим по ним (в соответствии с ортами) координатные осиOx ,Oy иOz (ось с выбранным на ней положительным направлением, началом отсчета и единицей длины называется координатной осью).
Определение . Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.
Ось Ox называется осью абсцисс,Oy – осью ординат иOz – осью аппликат.
Займемся разложением произвольного вектора по базису . Из теоремы (см.§2.2,п.3 0 , (2.13)) следует, чтоможет быть и единственным образом разложен по базису(здесь вместо обозначения координатупотребляют):
В (2.21) суть (декартовы прямоугольные) координаты вектора. Смысл декартовых координат устанавливает следующая теорема.
Теорема . Декартовы прямоугольные координатывектораявляются проекциями этого вектора соответственно на осиOx ,Oy иOz .
Доказательство. Поместим векторв начало системы координат – точкуO . Тогда его конец будет совпадать с некоторой точкой.
Проведем через точку три плоскости, параллельные координатным плоскостямOyz ,Oxz иOxy (рис.2.11 хх). Получим тогда:
В (2.22) векторы иназываются составляющими векторапо осямOx ,Oy иOz .
Пусть через иобозначены соответственно углы, образованные векторомс ортами. Тогда для составляющих получим следующие формулы:
= =, = =, = =(2.23)
Из (2.21), (2.22) (2.23) находим:
– координаты вектораесть проекции этого вектора на координатные осиOx ,Oy иOz соответственно.
Замечание . Числаназываются направляющими косинусами вектора.
Модуль вектора (диагональ прямоугольного параллелепипеда) вычисляется по формуле:
Из формул (2.23) и (2.24) следует, что направляющие косинусы могут быть вычислены по формулам:
Возводя обе части каждого из равенств в (2.25) и складывая почленно левые и правые части полученных равенств, придем к формуле:
– не любые три угла образуют некоторое направление в пространстве, но лишь те, косинусы которых связаны соотношением (2.26).
7 0 . Радиус-вектор и координаты точки .Определение вектора по его началу и концу . Введем определение.
Определение . Радиусом-вектором (обозначается) называется вектор, соединяющий начало координатO с этой точкой (рис.2.12 хх):
Любой точке пространства соответствует определенный радиус-вектор (и обратно). Таким образом, точки пространства представляются в векторной алгебре их радиус-векторами.
Очевидно, координаты точкиM являются проекциями ее радиус-векторана координатные оси:
и, таким образом,
– радиус-вектор точки есть вектор, проекции которого на оси координат равны координатам этой точки. Отсюда следует две записи: и.
Получим формулы для вычисления проекций вектора по координатам его начала – точкеи конца – точке.
Проведем радиус-векторы и вектор(рис.2.13). Получим, что
– проекции вектора на координатные орты равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.
8 0 . Некоторые задачи на декартовы координаты .
1) условия коллинеарности векторов . Из теоремы (см.§2.1,п.2 0 , формула (2.7)) следует, что для коллинеарности векторовинеобходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:=. Из этого векторного равенства получаем три в координатной форме равенства:, откуда следует условие коллинеарности векторов в координатной форме:
– для коллинеарности векторов инеобходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.
2) расстояние между точками . Из представления (2.29) следует, что расстояниемежду точкамииопределяется формулой
3) деление отрезка в данном отношении . Пусть даны точкиии отношение. Нужно найти– координаты точкиM (рис.2.14).
Имеем из условия коллинеарности векторов: , откудаи
Из (2.32) получим в координатной форме:
Из формул (2.32’) можно получить формулы для вычисления координат середины отрезка , полагая:
Замечание . Будем считать отрезкииположительными или отрицательными в зависимости от того, совпадает их направление с направлением от началаотрезка к концу, или не совпадает. Тогда по формулам (2.32) – (2.32”) можно находить координат точки, делящей отрезоквнешним образом, то есть так, что делящая точкаM находится на продолжении отрезка, а не внутри его. При этом конечно,.
4) уравнение сферической поверхности . Составим уравнение сферической поверхности – геометрического места точек, равноудаленных на расстояниеот некоторого фиксированного центра – точки. Очевидно, что в данном случаеи с учетом формулы (2.31)
Уравнение (2.33) и есть уравнение искомой сферической поверхности.
Задача. Пионерский отряд отправился из города в поход. Сейчас он находится в
5 км от города и идёт со скоростью 3 км в час. На каком расстоянии от города он будет через х часов?
Решение. За х часов отряд пройдет километров, Да ещё ранее он прошёл 5 км. Значит, через х часов расстояние от города будет равно километрам. Обозначив это расстояние через у, будем иметь;
Это равенство выражает зависимость пути от времени, но это уже не будет прямо пропорциональная зависимость, как легко видеть из следующей таблицы
Отношение пути ко времени здесь не равно одному и тому же числу.
Определение. Зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой где к и - числа, называется линейной зависимостью.
В частности, если то
Значит, прямо пропорциональная зависимость является частным случаем линейной зависимости.
2. График линейной зависимости.
Построим график какой-либо данной линейной зависимости; положим, например,
Поступим следующим образом. Построим сначала график зависимости
Это будет прямая, проходящая через начало координат (черт. 26).
Посмотрим, как будут расположены относительно этой прямой точки графика линейной зависимости:
Составим, например, такую таблицу значений х и у:
Мы видим, что при любой абсциссе ордината точки второго графика на 3 единицы больше ординаты точки первого графика. Значит, и соответствующая точка второго графика будет на 3 единицы выше точки первого.
Построив эти точки, получим прямую, параллельную первой прямой (черт. 26).
Графиком линейной зависимости является прямая.
Отсюда следует, что для построения графика линейной зависимости достаточно найти две его точки.
Покажем это на рассмотренном примере
Положив получим . Итак, одну точку мы нашли. Положив ещё получим Вторая точка (2; 7). Построив эти точки и проведя через них прямую, получим искомый график, то есть график линейной зависимости, выраженной формулой
Обычно для построения графика линейной зависимости берут две точки, в которых прямая пересекает оси координат. Так, полагая получим Полагая получим Проведя прямую через точки получим искомый график (черт. 27).