Наибольший общий делитель – это еще один показатель, позволяющий упростить работу с дробями. Очень часто в результате вычислений получаются дроби с очень большими значениями числителя и знаменателя. Сокращать поэтапно такие числа можно, но это крайне долго, поэтому проще сразу найти НОД и сократить на него. Разберемся в теме подробнее.
Что такое НОД?
Наибольший общий делитель (НОД) ряда чисел – это наибольшее число, на которое можно без остатка разделить каждое из чисел ряда.
Как найти НОД?
Для того, чтобы найти НОД необходимо каждое из чисел разложить на простые множители и выделить общую часть.
Специальной формулы для этого не придумали, зато есть алгоритм вычисления.
Приведем пример нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел: 540 и 252. Разложим 640 на простые множители. Последовательность действий такова:
- Делим число на наименьший из возможных простых чисел. То есть, если число можно разделить на 2, 3 или 5, то сначала нужно делить на 5. Просто, чтобы не запутаться.
- Получившийся результат делим на наименьшее из возможных простых чисел.
- Повторяем деление каждого полученного результата, пока не получим простое число.
Теперь проведем ту же процедуру на практике.
- 540: 2=270
- 270:2=135
- 135: 3 =45
- 45: 3=15
- 15: 5 = 3
Запишем результат в виде равенства 540=2*2*3*3*3*5. Для того, чтобы записать результат, нужно последнее получившееся число умножить на все делители.
Аналогично поступим с числом 252:
- 252: 2=126
- 126: 2=63
- 63: 3=21
- 21: 3 = 7
Запишем результат: 252=2*2*3*3*7.
В каждом разложении есть одинаковые числа. Найдем их, это два числа 2 и два числа 3. Отличаются только 7 и 3*5.
Для того, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множетели. То есть в произведении будет две двойки и две тройки.
НОД=2*2*3*3=36
Как можно это использовать?
Задача: сократить дробь $$252\over540$$.
НОД для двух этих чисел мы уже находили, теперь просто воспользуемся уже посчитанным значением.
Сократим числитель и знаменатель дроби на 36 и получим ответ.
$${252\over540} ={7\over15}$$ - чтобы быстро сократить, достаточно посмотреть на разложение чисел.
Если 540=2*2*3*3*3*5, а НОД=36=2*2*3*3, то 540 = 36*3*5. И если мы поделим 540 на 36, то получим 3*5=15.
Без НОД нам пришлось бы в одну длинную строку писать сокращения. К тому же, бывают случаи, когда непонятно, можно ли сократить дробь вообще. Для таких ситуаций в математике и придумали разложение чисел на простые множители и НОД.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое наибольший общий делитель пары чисел, разобрались, как можно использовать показатель на практике, решили задачу на нахождение НОД и применение НОД для сокращения дробей. Поняли, что с использованием НОД можно проще и быстрее сократить громоздкие дроби, найдя НОД для числителя и знаменателя.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.3 . Всего получено оценок: 204.
Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК - наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД . Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.
Навигация по странице.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД . Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .
Решение.
В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.
Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .
Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .
Ответ:
НОК(126, 70)=630 .
Пример.
Чему равно НОК(68, 34) ?
Решение.
Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .
Ответ:
НОК(68, 34)=68 .
Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители . Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .
Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).
Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .
Пример.
Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.
Решение.
Разложим числа 441 и 700 на простые множители:
Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .
Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
Ответ:
НОК(441, 700)= 44 100 .
Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .
Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Решение.
Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .
Ответ:
НОК(84, 648)=4 536 .
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.
Теорема.
Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .
Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.
Пример.
Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .
Решение.
В этом примере a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .
Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .
Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .
Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .
Ответ:
НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .
Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее .
Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Решение.
Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число , оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .
Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .
Алгоритм Евклида – это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел.
Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.
Алгоритм нахождения НОД делением
- Большее число делим на меньшее.
- Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).
- Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
- Переходим к пункту 1.
Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 / 18 = 1 (остаток 12)
18 / 12 = 1 (остаток 6)
12 / 6 = 2 (остаток 0)
Конец: НОД – это делитель 6.
НОД (30, 18) = 6
a = 50 b = 130 while a != 0 and b != 0 : if a > b: a = a % b else : b = b % a print (a + b)
В цикле в переменную a или b записывается остаток от деления. Цикл завершается, когда хотя бы одна из переменных равна нулю. Это значит, что другая содержит НОД. Однако какая именно, мы не знаем. Поэтому для НОД находим сумму этих переменных. Поскольку в одной из переменных ноль, он не оказывает влияние на результат.
Алгоритм нахождения НОД вычитанием
- Из большего числа вычитаем меньшее.
- Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла).
- Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.
- Переходим к пункту 1.
Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое.
НОД (30, 18) = 6
a = 50 b = 130 while a != b: if a > b: a = a - b else : b = b - a print (a)
НОК - наименьшее общее кратное. Такое число, на которое без остатка будет делится все заданные числа.
Например, если заданные числа 2, 3, 5, то НОК=2*3*5=30
А если заданные числа 2,4,8, то НОК =8
что такое НОД?
НОД - наибольший общий делитель. Такое число, которым можно разделить каждое из заданных чисел, без остатка.
Логично что если заданные числа будут простыми, то НОД равен единице.
А если заданны числа 2, 4, 8 то НОД равен 2.
Расписывать его в общем виде не будем, а просто покажем решение на примере.
Заданы два числа 126 и 44. Найти НОД.
Тогда если нам даны два числа вида
То НОД высчитывается как
где min - минимальное значение из всех значений степеней числа pn
а НОК как
где max - максимальное значение из всех значений степеней числа pn
Смотря на вышеприведенные формулы, можно легко доказать что НОД двух и более чисел будет равен единице, тогда когда среди хотя бы одной пары заданных значений, окажутся взаимно простые числа.
Поэтому легко ответить на вопрос чему равен НОД вот таких чисел 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 ничего не вычисляя.
числа 3 и 7 взаимно простые, а следовательно НОД=1
Рассмотрим пример.
Даны три числа 24654, 25473 и 954
Каждое число раскладывается в следующие множители
Или, если мы запишем в альтернативном виде
То есть НОД этих трех чисел равен трем
Ну а НОК можем вычислить аналогично, и он равен
Наш бот, поможет Вам вычислить НОД и НОК любых целых чисел, двух, трех или десяти.
Делимое, которое делится на данный делитель без остатка, иначе называют кратным . Например, 48 кратно 8, число 48 - кратное, число 8 - делитель.
Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называют общим кратным . Например, число 77 общее кратное чисел: 1, 7, 11, 77.
Ещё пример. Числу 3 кратны числа 12, 15 , 24, 27, 30 и т. д. Числу 5 кратны числа 10, 15 , 25, 30 , 35 и т. д. Числа 3 и 5 имеют общие кратные 15 и 30.
Найти общее кратное нескольких чисел довольно просто, можно просто перемножить данные числа, в результате, произведение этих чисел и будет их общим кратным.
НОК
Из всех общих кратных для данных чисел, особый интерес представляет наименьшее общее кратное.
Наименьшим общим кратным (сокращённо НОК) нескольких данных чисел называется самое маленькое число, которое делится нацело на каждое из данных чисел.
Например, для трёх чисел: 3, 5 и 12 наименьшим общим кратным является число 60, так как никакое другое число меньше 60 не делится нацело на 3, на 5 и на 12.
Обычно наименьшее общее кратное записывают так: НОК (a , b , ...) = x .
Согласно этому, запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 5 и 12:
НОК (3, 5, 12) = 60.
Калькулятор НОК
Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК.