Из курса оптики известно, что целый ряд оптических явлений удается последовательно описать с волновой точки зрения; примерами служат хорошо известные явления интерференции и дифракции света. С другой стороны (сошлемся на рассмотренный в предыдущем параграфе эффект Комптона), свет столь же явно демонстрирует свою корпускулярную природу. Этот дуализм "волна-частица" надо рассматривать как экспериментальный факт, и поэтому последовательная теория света должна быть корпускулярно-волновой. Разумеется, в каких-то предельных случаях могут оказаться достаточными только волновое или только корпускулярное описания.
Оказывается, и при этом мы вновь сошлемся на эксперимент, что и частицы вещества с ненулевой с массой (к ним относятся, например, электроны, протоны, нейтроны, атомы, молекулы и т. д.) также обнаруживают волновые свойства, так что между ними и фотонами нет принципиального различия.
В этом пункте при переходе от макро — к микрообъектам возникает известная трудность в понимании существа физических явлений. Действительно, на уровне макроявлений корпускулярное и волновое описание четко разграничены. На уровне микроявлений эта граница в значительной степени размывается и движение микрообъекта становится одновременно и волновым, и корпускулярным. Иными словами, более адекватной действительности становится ситуация, при которой микрообъект в какой-то мере похож на корпускулу, в какой-то мере на волну, причем эта мера зависит от физических условий наблюдения микрообъекта.
Последовательной теорией, учитывающей эту особенность всех микрочастиц, является квантовая теория. Но прежде чем перейти к изложению ее основных идей, необходимо установить каким образом один и тот же физический объект в принципе может проявлять то корпускулярные, то волновые свойства и какая существует сопоставимость этих двух различных способов описания.
В оптических явлениях установлен критерий применимости понятия луча (т. е. корпускулярной картины) и найдены правила перехода от волновых понятий к корпускулярным. Продолжая рассуждения в этом направлении, можно надеяться! что здесь же лежит переход в обратном направлении: от корпускулярных понятий классической механики к волновым представлениям квантовой механики.
Соответствующие идеи, использующие оптико-механическую аналогию, были высказаны французским физиком Л. де Бройлем в 1924 г. Де Бройль выдвинул смелую гипотезу о том, что дуализм "волна-частица" не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальную применимость во всей физике микромира. В своей книге "Революция в физике" он писал: "В оптике в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалось ли в теории материи обратной ошибки? Не думали ли мы слишком много о картине "частиц" и не пренебрегали ли чрезмерно картиной волн?”
К допущению волновых свойств у материальных частиц его привели также следующие соображения. В конце 20-х годов XIX в. В. Гамильтон обратил внимание на удивительную аналогию между геометрической оптикой и классический (ньютоновской) механикой. Было показано, что основные законы этих столь непохожих на первый взгляд разделов физики представимы в математически тождественной форме. В результате вместо того, чтобы рассматривать движение частицы во внешнем поле с потенциальной энергией , можно изучать распространение светового луча в оптически неоднородной среде с подобранным соответствующим образом показателем преломления . Разумеется, эта эквивалентность описаний допускает и обратный переход.
Отмеченная аналогия распространялась Гамильтоном только на геометрическую оптику и классическую механику. Но, как уже отмечалось, геометрическая оптика является приближением более общей волновой оптики и не описывает сугубо волновых свойств света. В свою очередь, классическая механика также имеет ограниченную область применимости: она, как известно, не может объяснить существование дискретных уровней энергии в атомных системах.
Идея де Бройля заключалась в том, чтобы расширить аналогию между оптикой и механикой и волновой оптике сопоставить волновую механику, попытавшись применить последнюю к внутриатомным явлениям. "Попытка приписать электрону, и вообще всем частицам, подобно фотонам, двойственную природу, наделить их волновыми корпускулярными свойствами, связанными между собой квантом действия (постоянной Планка ), – такая задача представлялась крайне необходимой и плодотворной… Необходимо создать новую механику волнового характера, которая будет относиться к старой механике как волновая оптика к геометрической оптике", – писал де Бройль в книге "Революция в физике".
За открытие волновых свойств вещества Л. де Бройль в 1929 г. был удостоен Нобелевской премии.
Обратимся теперь к формальной стороне вопроса. Пусть мы имеем микрочастицу (например, электрон) с массой M , движущуюся в вакууме с постоянной скоростью . Пользуясь корпускулярным описанием, припишем частице энергию E и импульс в соответствии с формулами (рассмотрим общий случай релятивистской частицы).
. (1.2.1)
С другой стороны, в волновой картине мы используем понятия частоты и длины волны (или волнового числа ). Если оба описания являются различными аспектами одного и того же физического объекта, то между ними должна быть однозначная связь. Следуя де Бройлю, перенесем на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, справедливые в применении к свету:
(1.2.2)
Соотношения (1.2.2) получили название Формул де Бройля . Длина волны, связанная с частицей, определяется выражением
(1.2.3)
Ее называют Длиной волны де Бройля . Нетрудно сообразить по аналогии со светом, что именно эта длина волны должна фигурировать в критериях применимости волновой или корпускулярной картин.
Наиболее простым типом волны в вакууме с определенной частотой и волновым вектором является плоская монохроматическая волна
Высказал смелую гипотезу о сходстве между светом и частицами вещества, что если свет обладает корпускулярными свойствами, то и материальные частицы, в свою очередь, должны обладать волновыми свойствами. Движению любой частицы, обладающей импульсом , сопоставляется волновой процесс с длиной волны:
Это выражение называется длиной волны де Бройля для материальной частицы.
Существование волн де Бройля может быть установлено лишь на основе опытов, в которых проявляется волновая природа частиц. Так как волновая природа света проявляется в явлениях дифракции и интерференции, то для частиц, обладающих по гипотезе де Бройля волновыми свойствами, должны также обнаруживаться эти явления.
Трудности наблюдения волновых свойств частиц были связаны с тем, что в макроскопических явлениях эти свойства не проявляются.
Зафиксировать такую короткую длину волны не удается ни в одном из опытов. Однако если рассматривать электроны, масса которых очень мала, то длина волны станет достаточной для ее экспериментального обнаружения. В 1927 г. гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в опытах американских физиков Дэвиссона и Джермера.
Простые расчеты показывают, что длины волн, связанных с частицами, должны быть очень малы, т.е. значительно меньше длин волн видимого света. Поэтому дифракцию частиц можно было обнаружить не на обычной дифракционной решетке для видимого света (с постоянной решетки ), а на кристаллах, атомы в которых расположены в определенном порядке на расстояниях друг от друга ≈ .
Вот почему в своих опытах Дэвиссон и Джермер изучали отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе.
Схема опыта представлена на рис. 20.1. В вакууме узкий пучок моноэнергетических электронов, получаемый с помощью электронно-лучевой трубки 1, направлялся на мишень 2 (поверхность монокристалла никеля, сошлифованная перпендикулярно к большой диагонали кристаллической ячейки). Отраженные электроны улавливались детектором 3, соединенным с гальванометром. Детектором, который можно было устанавливать под любым углом относительно падающего луча, улавливались только те электроны, которые испытывали упругое отражение от кристалла.
По силе электрического тока в гальванометре судили о количестве электронов, зарегистрированных детектором. Оказалось, что при отражении электронных пучков от поверхности металла наблюдается картина, которую невозможно предсказать на основе классической теории. Число электронов, отраженных в некоторых направлениях, оказалось больше, а в некоторых меньше, чем следовало ожидать. То есть возникало избирательное отражение в определенных направлениях. Особенно интенсивно рассеяние электронов происходило под углом при ускоряющем напряжении .
Объяснить результаты эксперимента оказалось возможным лишь на основе волновых представлений об электронах. Атомы никеля, расположенные на шлифованной поверхности, образуют регулярную отражательную дифракционную решетку. Ряды атомов перпендикулярны плоскости падения. Расстояние между рядами d = 0,091 нм . Эта величина была известна из рентгенографических исследований. Энергия электронов невелика и они не проникают глубоко в кристалл, поэтому рассеяние электронных волн происходит на поверхностных атомах никеля. В некоторых направлениях рассеянные от каждого атома волны усиливают друг друга, в других - происходит их гашение. Усиление волн произойдет в тех направлениях, в которых разность расстояний от каждого атома до точки наблюдения равняется целому числу длин волн (рис. 20.2).
 |
Для бесконечно удалённой точки условие усиления рассеянных волн запишется в виде 2dsinθ = nλ (формула Бреггов , n − порядки дифракционных максимумов). Для и значения угла дифракции соответствует длина волны
нм. (20.2)
Поэтому движение каждого электрона можно описать с помощью волны с длиной 0,167 нм .
Формула де Бройля (20.1) приводит к такому же результату для длины волны. Электрон, ускоренный в электрическом поле разностью потенциалов , обладает кинетической энергией . Так как модуль импульса частицы связан с ее кинетической энергией соотношением , то выражение (20.1) для длины волны можно записать в виде: . (20.3)
Подставив в (20.3) численные значения величин, получим:
Оба результата хорошо совпадают, что подтверждает наличие волновых свойств у электронов.
В 1927 г. волновые свойства электронов были подтверждены в независимых экспериментах Томсона и Тартаковского. Ими были получены дифракционные картины при прохождении электронов через тонкие металлические пленки.
В опытах Томсон электроны в электрическом поле разгонялись до больших скоростей при ускоряющем напряжении , что соответствовало длинам волн электронов от до (согласно формуле (20.3)). При этом вычисления проводились по релятивистским формулам. Тонкий пучок быстрых электронов направлялся на золотую фольгу толщиной Использование быстрых электронов связано с тем, что более медленные электроны сильно поглощаются фольгой. За фольгой помещали фотопластинку (рис.20.3).
 |
Действие электронов на фотопластинку аналогично действию быстрых фотонов рентгеновского диапазона при прохождения их через фольгу из алюминия.
Другое доказательство дифракции электронов в кристаллах дают сходные снимки электронограммы и рентгенограммы одного и того же кристалла. С помощью этих снимков можно определить постоянную кристаллической решетки. Вычисления, проведенные с помощью двух различных методов, приводят к одинаковым результатам.После продолжительной бомбардировки фольги электронами на фотопластинке образовывалось центральное пятно, окруженное дифракционными кольцами. Происхождение дифракционных колец такое же, как и в случае дифракции рентгеновских лучей.
Наиболее наглядные экспериментальные результаты, подтверждающие волновую природу электронов, получены в опытах по дифракции электронов
Рис. 20.4
на двух щелях (рис. 20.4), выполненных впервые в 1961 г. К. Йёнсоном. Эти опыты - прямая аналогия опыта Юнга для видимого света.
Поток электронов, ускоренных разностью потенциалов 40 кВ, после прохождения двойной щели в диафрагме попадал на экран (фотопластинку). В местах попадания электронов на фотопластинке образуются темные пятна. При большом числе электронов на фотопластинке наблюдается типичная интерференционная картина в виде чередующихся максимумов и минимумов интенсивности электронов, полностью аналогичная интерференционной картине для видимого света. Р 12 − вероятность попадания электронов в различные участки экрана на расстоянии x от центра. Максимальная вероятность соответствует дифракционному максимуму, нулевая вероятность - дифракционному минимуму
Характерно, что все описанные результаты опытов по дифракции электронов наблюдаются и в том случае, когда электроны пролетают через экспериментальную установку “поодиночке”. Этого можно добиться при очень малой интенсивности потока электронов, когда среднее время пролета электрона от катода до фотопластинки меньше, чем среднее время между испусканием двух последующих электронов с катода. На рис. 20.5 показаны фотопластинки после попадания различного числа электронов (экспозиция возрастает от рис. 20.5а к рис. 20.5в).
Последовательное попадание на фотопластинку все возрастающего количества одиночных электронов постепенно приводит к возникновению четкой дифракционной картины. Описанные результаты означают, что в данном эксперименте электроны, оставаясь частицами, проявляют также волновые свойства, причем эти волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности, а не только системе из большого числа частиц.
В 1929 г. Штерн и Эстерман показали, что и атомы гелия () и молекулы водорода () также претерпевают дифракцию. Для тяжелых химических элементов длина волны де Бройля очень мала, поэтому дифракционные картины либо совсем не получались, либо были весьма расплывчатыми. Для легких атомов гелия и молекул водорода средняя длина волны при комнатной температуре порядка 0,1 нм, то есть того же порядка, что и постоянная кристаллической решетки. Пучки этих атомов не проникали вглубь кристалла, поэтому дифракция молекул осуществлялась на плоских двумерных решетках поверхности кристалла, аналогично дифракции медленных электронов на плоской поверхности кристалла никеля () в опытах Дэвиссона и Джермера. В результате наблюдались четкие дифракционные картины. Позднее была обнаружена дифракция на решетках кристаллов очень медленных нейтронов.
Бор опубликовал свои результаты в 1913 г. Для мира физики они стали одновременно и сенсацией, и загадкой. Но Англия, Германия и Франция - эти три колыбели новой физики - были вскоре захвачены другой проблемой. Эйнштейн заканчивал работу над созданием новой теории тяготения (одно из следствий ее было проверено в 1919 г. во время международной экспедиции, участники которой измерили отклонение луча света, идущего от звезды, при прохождении его вблизи Солнца во время затмения). Несмотря на огромный успех теории Бора, объяснившей спектр излучения и другие свойства атома водорода, попытки обобщить ее на атом гелия и атомы других элементов оказались мало успешными. И хотя накапливалось все больше сведений о корпускулярном поведении света при его взаимодействии с веществом, очевидная несогласованность постулатов Бора (загадка атома Бора ) оставалась необъясненной.
В двадцатые годы возникло несколько направлений исследований, которые привели к созданию так называемой квантовой теории. Хотя эти направления казались вначале совершенно не связанными между собой, позднее (в 1930 г.) было показано, что все оно эквивалентны и являются просто различными формулировками одной и той же идеи. Проследим за одной из них.
В 1923 г. Луи де Бройль, тогда еще аспирант, выдвинул предположение, что частицы (например, электроны) должны обладать волновыми свойствами. «Мне кажется, - писал он, - …что основная идея квантовой теории состоит в невозможности представить отдельную порцию энергии, не связав с нею определенной частоты».
Объекты волновой природы обнаруживают свойства частиц (например, свет при его излучении или поглощении ведет себя подобно частице). Это было показано Планком и Эйнштейном и использовано Бором в его модели атома. Почему же тогда объекты, которые мы обычно рассматриваем как частицы (скажем, электроны), не могут обнаруживать свойства волн? Действительно, почему? Такая симметрия между волной и частицей была для де Бройля тем же, чем были круговые орбиты для Платона, гармоничные соотношения между целыми числами для Пифагора, правильные геометрические формы для Кеплера или солнечная система, центром которой является светило, для Коперника.
Каковы же эти волновые свойства? Де Бройль предложил следующее. Было известно, что фотон излучается и поглощается в виде дискретных порции, энергия которых связана с частотой формулой:
В то же время соотношение между энергией и импульсом релятивистского кванта света (частицы с нулевой массой покои) имеет вид:
Вместе эти соотношения дают:
Отсюда де Бройль получил связь между длиной волны и импульсом:
для объекта волнового типа - фотона, который, судя по наблюдениям, излучался и поглощался в виде определенных порций.
Далее де Бройль предположил, что со всеми объектами независимо от того, какого они типа - волнового или корпускулярного, связана определенная длина волны, выражающаяся через их импульс точно такой же формулой. Электрону, например, и вообще любой частице соответствует волна, длина волны которой равна:
Что это за волна, де Бройль в то время еще не знал. Однако, если предположить, что электрон в некотором смысле обладает какой-то длиной волны, то мы получим из этого предположения определенные следствия.
Рассмотрим квантовые условия Бора для стационарных орбит электрона. Допустим, что стабильные орбиты таковы, что на их длине укладывается целое число длин волн, т. е. выполняются условия существования стоячих волн. Стоячие волны, будь они на струне или в атоме неподвижны и сохраняют свою форму со временем. При заданных размерах колеблющейся системы они обладают лишь определенными длинами волн.
Предположим, говорил де Бройль, что разрешенными орбитами в атоме водорода являются только те, для которых выполнены условия существования стоячих волн. Для этого на длине орбиты должно укладываться целое число длин волн (фиг. 89), т. е.
nλ = 2πR, n = 1, 2, 3,…. (38.7)
Но связанная с электроном длина волны выражается через его импульс по формуле:
Тогда выражение (38.7) можно записать в виде:
nh/p = 2πR (38.8)
pR = L = nh/2π (38.9)
В результате получается условие квантования Бора. Таким образом, если с электроном связать определенную длину волны, то боровское условие квантования означает, что орбита электрона устойчива, когда на ее длине укладывается целое число стоячих волн. Иными словами, квантовое условие становится теперь не особым свойством атома, а свойством самого электрона (и в конце концов, всех остальных частиц ).
Гипотеза де Бройля. Дифракция микрочастиц. Принцип неопределённости Гейзенберга. Задание состояния микрочастицы. Волновая функция, ее статистический смысл и условия, которым она должна удовлетворять. Принцип суперпозиции квантовых состояний. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.
Гипотеза де Бройля
В 1924 году французский физик Луи де Бройль высказал гипотезу о том, что все материальные объекты в природе обладают как корпускулярными, так и волновыми свойствами. По гипотезе де Бройля корпускулярно-волновой дуализм является всеобщим свойством материи, и поэтому любая частица (электрон, протон, нейтрон и др.) обладает волновыми свойствами. При этом наличие у частицы волновых свойств принципиально изменяет характер её движения и способ описания такого движения.
По гипотезе де Бройля волновые свойства свободной частицы, движущейся по инерции в отсутствие внешних силовых полей, описывает плоская волна де Бройля , частота и длина волны которой связаны с корпускулярными характеристиками частицы – энергией и импульсом . Эта связь имеет вид:
.
Направление распространения волны де Бройля совпадает с направлением движения частицы, и можно показать, что групповая скорость волны и скорость частицы одинаковы.
В теории волновых процессов уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся в направлении оси , имеет вид:
Его часто записывают в комплексной форме:
учитывая, что гармоническая функция является действительной частью комплексной функции , где - мнимая единица.
Уравнение плоской волны определяет амплитуду волны , её круговую частоту и волновое число . Начальная фаза волны в выражениях для выбрана равной нулю. Так как для плоской волны де Бройля 
, то уравнение плоской волны де Бройля можно записать в виде:
.
Плоская волна де Бройля описывает волновые свойства свободной частицы, имеющей энергию и импульс . Сравнивая квадраты амплитуд волн де Бройля в различных областях пространства, можно оценить вероятности нахождения частицы в этих областях. Вероятность обнаружения частицы в данной области пространства тем больше, чем больше квадрат амплитуды волны де Бройля, т.е. её интенсивность.
Волны де Бройля, которые часто называют волнами материи, как и волны любой природы, могут отражаться, преломляться, интерферировать друг с другом, испытывать дифракцию при взаимодействии с неоднородностями. Тогда можно говорить, например, о дифракции частиц и наблюдать дифракционные эффекты в различных экспериментах с неоднородными средами. Один из первых опытов по дифракции электронов на кристалле был выполнен в 1927 году американскими учёными Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером.
Опыт Дэвиссона-Джермера .
В опыте Дэвиссона-Джермера ускоренные в электронной пушке электроны попадали на кристалл никеля под некоторым углом скольжения . Регулировкой величины ускоряющей разности потенциалов в электронной пушке изменялись кинетическая энергия и импульс вылетающих электронов и, следовательно, их длина волны де Бройля. По току детектора в опыте измерялось число отражённых от кристалла электронов. Структура кристалла никеля была хорошо известна из данных рентгеноструктурного анализа
Было обнаружено резкое увеличение числа отражённых от кристалла электронов в тех случаях, когда для электронных волн де Бройля выполнялось условие Вульфа-Брэггов, (это условие было получено в опытах по дифракции рентгеновских лучей на кристалле никеля).
Недостатки теории Бора указывали на необходимость пересмотра основ квантовой теории и представлений о природе микрочастиц (электронов, протонов и т.п.). Возник вопрос о том, насколько исчерпывающим является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризующейся определенными координатами и определенной скоростью.
Мы уже знаем, что в оптических явлениях наблюдается своеобразный дуализм. Наряду с явлениями дифракции, интерференции (волновыми явлениями) наблюдаются и явления, характеризующие корпускулярную природу света (фотоэффект, эффект Комптона).
В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью только оптических явлений , а имеет универсальный характер. Частицы вещества также обладают волновыми свойствами .
«В оптике, – писал Луи де Бройль, – в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории вещества обратная ошибка?» Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые, де Бройль перенес на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света.
Если фотон обладает энергией и импульсом , то и частица (например электрон), движущаяся с некоторой скоростью, обладает волновыми свойствами, т.е. движение частицы можно рассматривать как движение волны.
Согласно квантовой механике, свободное движение частицы с массой m и импульсом (где υ – скорость частицы) можно представить как плоскую монохроматическую волну (волну де Бройля ) с длиной волны
| (3.1.1) |
распространяющуюся в том же направлении (например в направлении оси х ), в котором движется частица (рис. 3.1).
Зависимость волновой функции от координаты х даётся формулой
| , | (3.1.2) |
где – волновое число ,а волновой вектор направлен в сторону распространения волны или вдоль движения частицы:
| . | (3.1.3) |
Таким образом, волновой вектор монохроматической волны , связанной со свободно движущейся микрочастицей, пропорционален её импульсу или обратно пропорционален длине волны .
Поскольку кинетическая энергия сравнительно медленно движущейся частицы , то длину волны можно выразить и через энергию:
| . | (3.1.4) |
При взаимодействии частицы с некоторым объектом – с кристаллом, молекулой и т.п. – её энергия меняется: к ней добавляется потенциальная энергия этого взаимодействия, что приводит к изменению движения частицы. Соответственно, меняется характер распространения связанной с частицей волны, причём это происходит согласно принципам, общим для всех волновых явлений. Поэтому основные геометрические закономерности дифракции частиц ничем не отличаются от закономерностей дифракции любых волн. Общим условием дифракции волн любой природы является соизмеримость длины падающей волны λ с расстоянием d между рассеивающими центрами : .
Гипотеза Луи де Бройля была революционной, даже для того революционного в науке времени. Однако, она вскоре была подтверждена многими экспериментами.