ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Продолжаем изучение сферы.
На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.
Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка — центр сферы.
Заданное расстояние — радиус сферы.
Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.
Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.
Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.
1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).
2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С(x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.
МС=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.
3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть
R=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 или
R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 .
4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.
5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром
С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2
Применим полученные знания при решении задач.
Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).
1.Запишем уравнение сферы с центром
А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2
2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:
(x+2)2+(y-2)2+(z-0)2 = R2
Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:
(x+2)2+(y-2)2+z2 = R2
3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:
R2=(5+2)2+(0-2)2+(-1)2 =49+4+1=54
Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:
(x+2)2+(y-2)2+z2 = 54
Сфера задана уравнением:
x2+ y2+ z2+2y-4z=4
1) Найти координаты центра и радиус сферы;
2) Найти значение m, при котором точки
А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.
1. Уравнение данной сферы имеет вид:
x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4
Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:
x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4
Уравнение примет вид:
x2+(y+1)2+(z-2)2-5=4 или
x2+(y+1)2+(z-2)2=9
Таким образом, центр сферы имеет координаты:
О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3
2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:
x2+(y+1)2+(z-2)2=9
Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:
02+(m+1)2+(2-2)2=9
12+(1+1)2+(m-2-2)2=9
Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:
Таким образом, мы получили 4 значения m:
m=-4; m=2; m=6; m=2.
Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.
Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением
x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке
О (0;-1;2) и радиусом R=3.
В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр С (α; β; γ) и радиус r, определяется уравнением (х - α) 2 + (y - β) 2 + (z - γ) 2 = r 2 . Сфера радиуса r, центр которой находится в начале координат, имеет уравнение х 2 + у 2 + z 2 = r 2 .
1084. Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:
1) сфера имеет центр С (0; 0; 0) и радиус r = 9;
2) сфера имеет центр С (5; -3; 7) и радиус r = 2;
3) сфера проходит через начало координат и имеет центр С (4; -4; -2);
4) сфера проходит через точку A(2; -1; -3) и имеет центр. С (3; -2; 1);
5) точки А (2; -3; 5) и В (4; 1; -3) являются концами одного из диаметров сферы;
6) центром сферы является начало координат, ц плоскость 16x - 14у - 12z + 75 = 0 является касательной к сфере;
7) сфера имеет. центр С (3; -5; -2) и плоскость 2х - у - 3z + 11 = 0 является касательной к сфере;
8) сфера проходит через три точки M 1 (3; 1; -3), М 2 (-2; 4; 1) и М 3 (-5; 0; 0), а ее центр лежит на плоскости 2х + y - z + 3 = 0;
9) сфера проходит через четыре точки:
М 1 (1; -2; -1), М 2 (-5; 10; -1),
M 3 (4; 1; 11), М 4 (- 8; -2, 2).
1085. Составить уравнение сферы радиуса r = 3, касающейся плоскости x + 2y + 2z - 3 = 0 в точке М 1 (1; 1; -3).
1086. Вычислить радиус R сферы, которая касается плоскостей Зx + 2y - 6z - 15 = 0, Зх + 2y - 6z + 55 = 0.
1087. Сфера, центр которой лежит на прямой
касается плоскостей х + 2у - 2z - 2 = 0, х + 2y - 2z + 4 = 0. Составить уравнение этой сферы.
1088. Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей 6x - Зу - 2z - 35 = 0, 6x - - Зу - 2z + 63 = 0, причем одной из них в точке M 1 (5; -1; -1).
1089. Составить уравнение сферы с центром С (2, 3; - 1), которая отсекает от прямой
хорду, имеющую длину, равную 16.
1090. Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной одним из следующих уравнений:
1) (x - 3) 2 + (y + 2) 2 + (z - 5) 2 = 16;
2) (x + 1) 2 + (y - 3) 2 + z 2 = 9;
3) x 2 + y 2 + z 2 - 4x - 2у + 2z - 19 = 0;
4) х 2 + y 2 + z 2 - 6z = 0;
5) x 2 + у 2 + z 2 + 20у = 0.
1091. Составить параметрические уравнения диаметра сферы x 2 + y 2 + z 2 + 2х -6y + z - 11 = 0, перпендикулярного к плоскости 5x - y + 2z - 17 = 0.
1092. Составить канонические уравнения диаметра сферы х 2 + y 2 + z 2 - х + 3y + z - 13 = 0, параллельного прямой х = 2t - 1, y = -3t + 5, z = 4t + 7,
1093. Установить, как расположена точка A (2; -1; 3) относительно каждой из следующих сфер - внутри, вне или на поверхности:
1) (х - 3) 2 + (y + 1) 2 + (z - 1) 2 = 4;
2) (х + 14) 2 + (y - 11) 2 + (z + 12) 2 = 625;
3) (х - 6) 2 + (y - 1) 2 + (z - 2) 2 = 25;
4) х 2 + y 2 + z 2 - 4х + 6y - 8z + 22 = 0;
5) х 2 + y 2 + z 2 - х + Зу - 2z - 3 = 0.
1094. Вычислить кратчайшее расстояние от точки А до данной сферы в следующих случаях:
а) А (-2; 6; -3), х 2 + y 2 + z 2 = 4;
б) А (9; -4; -3), х 2 + у 2 + z 2 + 14х - 16y - 24z + 241 = 0;
в) A(1; -1; 3), х 2 + y 2 + z 2 - 6х + 4y - 10z - 62 = 0.
1095. Определить, как расположена плоскость относительно сферы - пересекает ли, касается или проходит вне ее; плоскость и сфера заданы следующими уравнениями:
1) z = 3, х 2 + y 2 + z 2 - 6х + 2y - 10z + 22 = 0;
2) y = 1, х 2 + y 2 + z 2 + 4х - 2y - 6z + 14 = 0;
3) х = 5, х 2 + y 2 + z 2 - 2х + 4y - 2z - 4 = 0.
1096. Определить, как расположена прямая относительно сферы - пересекает ли, касается или проходит вне ее; прямая и сфера заданы следующими уравнениями:
1) х = -2t + 2, y = 3t - 7/2, z = t - 2,
х 2 + y 2 + z 2 + х - 4y - 3z + 1/2 = 0;
2) (x - 5)/3 = y/2 = (z + 25)/-2,
x 2 + y 2 + z 2 - 4х - 6y + 2z - 67 = 0;
1097. На сфере (x - 1) 2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 = 23 найти точку М 1 , ближайшую к плоскости 3x - 4z + 19 = 0, и вычислить расстояние d от точки М 1 до этой плоскости.
1098. Определить центр С и радиус R окружности
1099. Точки A(3; -2; 5) и B(-1; 6; -3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С(1; -4; 1). Составить уравнения этой окружности.
1100. Точка С (1; -1; -2) является центром,окружности, отсекающей от прямой
хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения этой окружности.
1101. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки М 1 (3; - 1; -2), М 2 (1; 1; -2) и М 3 (-1; 3; 0).
1102. Даны две сферы
(х - m 1) 2 + (у - n 1) 2 + (z - p 1) 2 = = R 1 2 ,
{х - m 2) 2 + (у - n 2) 2 + (z - p 2) 2 = R 2 2 ,
которые пересекаются по окружности, лежащей в некоторой плоскости τ. Доказать, что любая сфера, проходящая через окружность пересечения данных сфер, а также плоскость τ могут быть представлены уравнением вида
α | (х - m 1) 2 + (у - n 1) 2 + (z - р 1) 2 - R 1 2 ] + β [(x - m 2) 2 + (y - n 2) 2 + (z - р 2) 2 - R 2 2 ] = 0
при надлежащем выборе чисел α и β.
1103. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух сфер:
2х 2 + 2y 2 + 2z 2 + Зх - 2у + z - 5 = 0,
х 2 + у 2 + z 2 - х + 3у - 2z + 1 = 0.
1104. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность
1105. Составить уравнение сферы, проходящей через окружность
и точку A (2; -1; 1).
1106. Составить уравнение сферы, проходящей через две окружности:
1107. Составить уравнение касательной плоскости к сфере х 2 + у 2 + z 2 = 49 в точке М 1 (6; -3; -2).
1108. Доказать, что плоскость 2х - 6у + 3z - 49 = 0 касается сферы х 2 + у 2 + z 2 = 49. Вычислить координаты точки касания.
1109. При каких значениях а плоскость х + y + z = а касается сферы х 2 + y 2 + z 2 = 12.
1110. Составить уравнение касательной плоскости к сфере (х - 3) 2 + (y - 1) 2 + (z + 2) 2 = 24 в точке М 1 (-1; 3; 0).
1111. Точка М 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) лежит на сфере x 2 + y 2 + z 2 = r 2 Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М 1 .
1112. Вывести условие, при котором плоскость Ах + Ву + Cz + D = 0 касается сферы х 2 + у 2 + z 2 = R 2 .
1113. Точка М 1 (x 1 ; у 1 ; z 1) лежит на сфере (х - α) 2 + {у - β) 2 + (z - γ) 2 = r 2 . Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М
1114. Через точки пересечения прямой х = 3t - 5, у = 5t - 11, z = -4t + 9 и сферы (х + 2) 2 + (у - 1) 2 + (z + 5) 2 = 49 проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения.
1115. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере x 2 + y 2 + z 2 = 9 и параллельных плоскости х + 2y - 2z + 15 = 0.
1116. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере (x - З) 2 + {у + 2) 2 + (z - 1) 2 = 25 и параллельных плоскости 4x + 3z - 17 = 0.
1117. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере x 2 + y 2 + z 2 - 10х + 2y + 26z - 113=0 и параллельныx прямых (x + 5)/2 = (y - 1)/-3 = (x + 13)/2 , (x + 7)/3 = (y + 1)/-2 = (z - 8)/0
1118. Доказать, что через прямую
можно провести две плоскости, касательные к сфере х 2 + y 2 + z 2 + 2x - 6y + 4z - 15 = 0, и составить их уравнения.
1119. Доказать, что через прямую (x + 6)/2 = у + 3 = z + 1 нельзя провести плоскость, касательную к сфере x 2 + y 2 + z 2 - 4х + 2у - 4z + 4 = 0.
1120. Доказать, что через прямую х = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1 можно провести только одну плоскость, касательную к сфере х 2 + у 2 + z 2 - 2х + 6y + 2z + 8 = 0, и составить ее уравнение.
Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0), и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы. Решение так, как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х0;у0;z0) имеет вид (х-х0)2 + (у-у0)2 + (z-z0)2=R2, а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5, то уравнение данной сферы (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25 Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25. Ур. Сферы.
Слайд 9 из презентации ««Сфера и шар» 11 класс» . Размер архива с презентацией 507 КБ.Геометрия 11 класс
краткое содержание других презентаций««Конус» геометрия 11 класс» - Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус. Усеченный конус. Площадь поверхности конуса. Примеры конусов из жизни. Площадь боковой поверхности. Строгое доказательство теорем. Архимед. Конус получен вращением. Конус. Усечённый конус. История изучения. Понятие конуса. Коническая поверхность. Аполлоний Пергский. Осевое сечение конуса.
«Задачи в координатах» - Решение задач. Цели урока. Вектор AB. Координаты вектора a { x ; y ; z }. Решение задач: (по карточкам). Найти длину вектора а, если он имеет координаты: {-5; -1; 7}. Вектор А имеет координаты {-3; 3; 1}. Как вычислить длину вектора по его координатам. Угол между векторами. С – середина отрезка. Как найти координаты середины отрезка. Найти расстояние между точками А и В. Расстояние между точками А и В.
«Тела вращения вокруг нас» - В космическом пространстве. Круглые башни. Конус. Ель конусная лесная. Космические тела. Дом Мельникова. Тела вращения вокруг нас. Промышленное оборудование. Падающая башня в Италии. Найти тела вращения. История Круглого здания.
«Задачи на вычисление площади треугольника» - Выберите утверждение. Личностные цели. Вычислить площадь фигуры. Решение одной задачи. Площадь фигуры. Математический диктант. Девиз урока. Найти площадь фигуры. Площадь. Проверка выполнения. Способы нахождения площади треугольника. Айвен Нивен. Физкультминутка.
«Понятие цилиндра» - Здание. Задачи на тему «Цилиндр». Что такое цилиндр. Дружба переросла в любовь. Тетрадь. Прямоугольник. Площадь поверхности цилиндра. Решение задач. Кружки. В честь шляпы. Вписанный и описанный цилиндр. Не правда ли захватывает дух. Помощник архитектора. Цилиндр стал мужским головным убором. Сечения цилиндра. Чудо. Цилиндр. Ножницы. Тело вращения. Научное пособие. Строение. Цилиндры вокруг нас. Кружочки.
«Координаты вектора в пространстве» - Действия над векторами в пространстве. Величина и направление вектора. Рисунок. Произведение вектора. Длина отрезка. Абсолютная величина. Учебник. Сумма векторов. Векторы в пространстве. Доказательство. Решение. Общее начало. Плоскости. Разность векторов. Скалярное произведение векторов. Координата.