Треугольник MNP со сторонами MP=6\sqrt{3} и MN=NP лежит в основании прямой призмы MNPM_{1}N_{1}P_{1} . Точка K выбрана на ребре NN_{1} таким образом, что NK:N_{1}K=3:4 . При этом угол между плоскостью MNP и плоскостью MKP составляет 60^{\circ} .
а) Докажите, что расстояние между прямыми MN и M_1P_1 равно боковому ребру призмы.
б) При условии KP=9 , вычислите расстояние между прямыми MN и M_{1}P_{1} .
Показать решениеРешение
а) Прямая MN лежит в плоскости \left (MNN_{1} \right) , \left (M_{1}P_{1} \right) и пересекает \left (MNN_{1} \right) в точке M_{1} , тогда по признаку скрещивающихся прямых MN и M_{1}P_{1} — скрещивающиеся прямые.
Плоскости MNP и M_{1}N_{1}P_{1} параллельны как основания призмы. По условию, призма прямая, значит, каждое боковое ребро перпендикулярно основаниям, следовательно, является расстоянием между скрещивающимися прямыми MN и M_{1}P_{1} , что и требовалось доказать.
б) Проведем NH\perp MP , тогда NH — высота и медиана в равнобедренном \bigtriangleup MNP . KH — медиана \bigtriangleup MKP . NH — проекция KH на \left (MPN \right) и NH\perp MP . Следовательно, KH\perp MP (по теореме о трех перпендикулярах).
\angle KHN — линейный угол двугранного угла KMPN , откуда \angle KHN = 60^{\circ} .
В \bigtriangleup KPH катет KH=\sqrt{KP^{2}-PH^{2}}= \sqrt{81-27}=\sqrt{54}=3\sqrt{6} .
Задание C2 №29
В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник
Добавлено 22.03.2011 23:17
Условие:
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC, у которого основание BC равно 3. Боковая поверхность призмы равна 32. Найдите площадь сечения призмы плоскости проходящей через CB1 параллельно высоте основания AD. Расстояние от A до плоскости сечения равно 6/5.Решение:
1. Разберёмся с сечением. Поскольку оно параллельно AD, то его плоскости принадлежит прямая LK, параллельная AD и проходящая через середину CB1. Отрезок LK равен AD, а поскольку K - середина CB1, то L - середина AA1.
2. Раз L - середина AA1, то LC = LB1, а значит, треугольник CLB1 - равнобедренный, и его площадь, которую нам надо найти, равна CB1*LK/2.
3. Пусть x = AD = LK, у = AA1 = BB1 = CC1.
Тогда из условий, что площадь боковой поверхности призмы равна 32, а BC=3, получаем
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, или
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Расстояние AH от точки A до плоскости CLB1 равно расстоянию от A до прямой LM, параллельной CB1 и проходящей через точку L.
LAM - прямоугольный треугольник, где AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Его площадь равна
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Отсюда получаем
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*sqrt((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. Из уравнения (2)
находим, что высота призмы y = 4.
6. Из уравнения (1)
, зная y, находим, что высота основания призмы x = 2.
7. Площадь треугольника CLB1
S = x*sqrt(3^2+y^2)/2 = 2*sqrt(9+16)/2 = 5
Задание C2 №29
В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник
Добавлено 22.03.2011 23:17
Условие:
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC, у которого основание BC равно 3. Боковая поверхность призмы равна 32. Найдите площадь сечения призмы плоскости проходящей через CB1 параллельно высоте основания AD. Расстояние от A до плоскости сечения равно 6/5.Решение:
1. Разберёмся с сечением. Поскольку оно параллельно AD, то его плоскости принадлежит прямая LK, параллельная AD и проходящая через середину CB1. Отрезок LK равен AD, а поскольку K - середина CB1, то L - середина AA1.
2. Раз L - середина AA1, то LC = LB1, а значит, треугольник CLB1 - равнобедренный, и его площадь, которую нам надо найти, равна CB1*LK/2.
3. Пусть x = AD = LK, у = AA1 = BB1 = CC1.
Тогда из условий, что площадь боковой поверхности призмы равна 32, а BC=3, получаем
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, или
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Расстояние AH от точки A до плоскости CLB1 равно расстоянию от A до прямой LM, параллельной CB1 и проходящей через точку L.
LAM - прямоугольный треугольник, где AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Его площадь равна
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Отсюда получаем
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*sqrt((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. Из уравнения (2)
находим, что высота призмы y = 4.
6. Из уравнения (1)
, зная y, находим, что высота основания призмы x = 2.
7. Площадь треугольника CLB1
S = x*sqrt(3^2+y^2)/2 = 2*sqrt(9+16)/2 = 5