Теоремы и общие сведения
X. Стереометрия без формул.
I. Прямые и плоскости.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
2. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Признак параллельности прямой и плоскости:
3. Если прямая, принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Признак параллельности плоскостей:
4. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
5. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах:
6. Для того, чтобы прямая лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.
II. Многогранники.
Призма. Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания призмы) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани – параллелограммы, плоскости которых параллельны одной прямой.
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям, называется прямой призмой. Прямая призма называется правильной , если ее основания – правильные многоугольники.
Параллелепипед и куб. Параллелепипедом называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы.
Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основаниям.
Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники.
Кубом называется прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, представляет собой многоугольник, а все остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.
7. Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих условий:
А) все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;
Б) длины всех боковых ребер равны.
Тогда вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.
8. Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих условий:
А) все боковые грани образуют с плоскостью основания равные углы;
Б) длины всех апофем боковых граней равны.
Тогда вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
III. Тела вращения.
Прямым круговым цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон.
Прямым круговым конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет.
Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром . Поверхность, образуемая при этом, называется сферой .
IV. Основные формулы стереометрии.
1. Произвольная призма. ( - боковое ребро; - периметр основания; - площадь основания; - высота; - периметр перпендикулярного сечения; - площадь перпендикулярного сечения; - площадь боковой поверхности; - объем):
4. Куб ( - ребро): и .
5. Произвольная пирамида
6. Произвольная усеченная пирамида ( , - площади оснований, - высота):
7. Правильная усеченная пирамида ( , - периметры оснований, - апофема):
8. Цилиндр ( -радиус основания).
Общий обзор. Формулы стереометрии!
Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье решил сделать общий обзор задач по стереометрии, которые будут на ЕГЭ по математик е. Нужно сказать, что задачи из этой группы довольно разнообразны, но не сложны. Это задачи на нахождение геометрических величин: длин, углов, площадей, объёмов.
Рассматриваются: куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, составной многогранник, цилиндр, конус, шар. Печалит тот факт, что некоторые выпускники на самом экзамене за такие задачи даже не берутся., хотя более 50% из них решаются элементарно, практически устно.
Остальные требуют небольших усилий, знаний и специальных приёмов. В будущих статьях мы с вами будем рассмотривать эти задачи, не пропустите, подпишитесь на обновление блога.
Для решения необходимо знать формулы площадей поверхности и объёмов параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара. Сложных задач нет, все они решаются в 2-3 действия, важно "увидеть" какую формулу необходимо применить.
Все нужные формулы представлены ниже:
Шар или сфера. Шаровой, или сферической поверхностью (иногда просто сферой) называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки - центра шара.
Объем шара равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара
Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.
Круглый конус может быть получен вращениемпрямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называт также конусом вращения. См. также Площадь поверхности круглого конуса
Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H:
(H - высота ребра куба)
Параллелепипедом называется призма, основание которой параллелограмм. Параллелепипедимеет шесть граней, и все они - параллелограммы. Параллелепипед, четыре боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед у которого все шесть граней прямоугольники, называется прямоугольным.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
(S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды)
Пирамида - это многогранник, у которого одна грань - основание пирамиды - произвольный многоугольник, а остальные - боковые грани - треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.
Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением - это усеченная пирамида.
Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcde) , нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.
| 1. | V = |
n - число сторон правильного многоугольника - основания правильной пирамиды
a - сторона правильного многоугольника - основания правильной пирамиды
h - высота правильной пирамиды
Правильная треугольная пирамида - этомногогранник, у которого одна грань - основание пирамиды - правильныйтреугольник, а остальные - боковые грани - равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.
Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS)
a - сторона правильного треугольника - основания правильной треугольной пирамиды
h - высота правильной треугольной пирамиды
Вывод формулы объема тетраэдра
Объем тетраэдра расчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее необходимо подставитьвысоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.
Объем тетраэдра - равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух в знаменателе двенадцать, помноженной на куб длины ребра тетраэдра
(h - длина стороны ромба)
Длина окружности p составляет примерно три целых и одну седьмую длины диаметра круга. Точное отношение длины окружности к ее диаметру обозначается греческой буквой π
В итоге периметр круга или длина окружности вычисляется по формуле
| π r n |
(r - радиус дуги, n - центральный угол дуги в градусах.)