Анализ движения гармонических осцилляторов. Уравнение гармонического осциллятора

Лекция 1

КОЛЕБАНИЯ. ВОЛНЫ. ОПТИКА

Первыми учёными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей и Христиан Гюйгенс. Галилей установил независимость периода колебаний от амплитуды. Гюйгенс изобрёл часы с маятником.

Любая система, которая, будучи слегка выведена из положения равновесия, совершает устойчивые колебания, называется гармоническим осциллятором. В классической физике такими системами являются математический маятник в пределах малых углов отклонения, груз в пределах малых амплитуд колебаний, электрический контур, состоящий из линейных элементов ёмкости и индуктивности.

(1.1.1)

где х А

Скорость колеблющейся материальной точки

а

.

Если периодически повторяющийся процесс описывается уравнениями, не совпадающими с (1.1.1), он н6азывается ангармоническим. Система, совершающая ангармонические колебания, называется ангармоническим осциллятором.

1.1.2 . Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Комплексная форма представления гармонических колебаний

В природе очень распространены малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения равновесия. Если система, выведенная из положения равновесия, предоставлена себе, то есть на неё не действуют внешние силы, то такая система будет совершать свободные незатухающие колебания. Рассмотрим систему с одной степенью свободы.

q

,

где

, (1.1.4)

Выражений (1.1.5) совпадает с уравнением (1.1.3) свободных гармонических колебаний при условии, что

,

, где A=Xe-iα

1.1.3 . Примеры колебательных движений различной физической природы

Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (140.6);

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными).

1. Пружинный маятник - это груз массой т , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = – kx , где k - жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х=А со s (w 0 t + j ) с циклической частотой

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

2. Физический маятник - это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О , не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a , то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде

где J - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве­са О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, F t = – mg sin a » – mg a . - возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F t и a всегда противоположны; sin a » a соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w 0 (см. (142.5)) и периодом

где L = J / (ml ) - приведенная длина физического маятника.

Точка О’ на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L , называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим

т. е. ОО’ всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О’ обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса

станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Математический маятник - это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

где l - длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физичес­кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке - центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний

КОЛЕБАНИЯ

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний

Колебание – один из самых распространённых процессов в природе и технике. Колебания – это процессы, повторяющиеся во времени. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведённых часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни. Звук – это колебания давления воздуха, радиоволны – периодические изменения напряжённости электрического и магнитного поля, свет – это тоже электромагнитные колебания. Землетрясения – колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровней морей и океанов, вызываемые притяжением луны и т.д.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и др. Несмотря на такое многообразие, все колебания описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями.

Гармонический осциллятор можно считать линейным, если смещение от положения равновесия прямо пропорционально возмущающей силе. Частота колебаний гармонического осциллятора не зависит от амплитуды. Для осциллятора выполняется принцип суперпозиции — если действуют несколько возмущающих сил, то эффект их суммарного действия может быть получен как результат сложения эффектов от действующих сил в отдельности.

Гармонические колебания описываются уравнением (рис.1.1.1)

(1.1.1)

где х -смещение колеблющейся величины от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, равная величине максимального смещения, — фаза колебаний, определяющая смещение в момент времени , — начальная фаза, определяющая величину смещения в начальный момент времени, — циклическая частота колебаний.

Время одного полного колебания называется периодом, , где — число колебаний, совершенных за время .

Частота колебаний определяет число колебаний, совершаемых в единицу времени, она связана с циклической частотой соотношением , тогда период .

Таким образом, скорость и ускорение гармонического осциллятора также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает по фазе смещение на , а ускорение – на (рис.1.1.2).

Из сопоставления уравнений движения гармонического осциллятора (1.1.1) и (1.1.2) следует, что , или

Это дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением гармонического осциллятора. Его решение содержит два постоянные а и , которые определяются заданием начальных условий

.

Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором её потенциальная энергия имеет минимум (q – обобщённая координата системы). Отклонение системы от положения равновесия приводит к возникновению силы , которая стремится вернуть систему обратно. Значение обобщённой координаты, соответствующей положению равновесия, обозначим , тогда отклонение от положения равновесия

Будем отсчитывать потенциальную энергию от минимального значения . Примем Полученную функцию разложим в ряд Маклорена и оставим первый член разложения, имеем: о

,

где . Тогда с учётом введённых обозначений:

, (1.1.4)

С учётом выражения (1.1.4) для силы, действующей на систему, получаем:

Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения системы имеет вид: ,

и имеет два независимых решения: и , так что общее решение:

,

Из формулы (1.1.6) следует, что частота определяется только собственными свойствами механической системы и не зависит от амплитуды и от начальных условий движения.

Зависимость координаты колеблющейся системы от времени можно определить в виде вещественной части комплексного выражения , где A=Xe-iα – комплексная амплитуда, её модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент – с начальной фазой.

Справочник химика 21

Химия и химическая технология

Закон движения гармонический

Механические, в которых вращательное движение преобразуется в колебательное (преимущественно эксцентриковые и кулачковые механизмы). Закон движения ведомого звена может быть близким к гармоническому. Эти возбудители применяют в некоторых типах грохотов, вибрационных центрифугах, червячных смесителях.

В классической механике для нахождения закона движения системы точек (координат qi как функций времени) нужно решить систему уравнений Ньютона. При произвольно выбранной системе координат общее рещение этих уравнений с потенциалом (VII, 7) не приводит к гармоническому виду q (t). Однако легко показать, что с помощью линейных комбинаций из координат q,- можно построить новые координаты, каждая из которых изменяется по гармоническому закону с определенной частотой (в. Такие координаты

Действительно, колебания двух атомов, соединенных связью, аналогичны колебанию пары сфер, скрепленных пружиной. При малых сдвигах возвращающая сила пропорциональна смещению, и если такую систему привести в движение, колебания будут описываться законом простого гармонического движения.

Наилучшие условия работы регенератора создались бы в том случае, если бы поршень совершал не гармоническое движение, а останавливался в конце каждого хода. Однако достаточно высокий к. п. д. можно получить и при использовании, ввиду его простоты, гармонического закона движения поршня.

При колебаниях рабочей среды в трубопроводе или в каком-либо другом напорном канале распределение скоростей течения по сечению потока отличается от закона, описывающего это распределение в случае установившегося движения среды. Так, при колебаниях ламинарного потока жидкости в круглой цилиндрической трубе нарушается параболическое распределение скоростей, которое, как известно из гидравлики, является характерным для ламинарного установившегося движения жидкости в трубе. При гармоническом изменении градиента давления вдоль трубы распределение скоростей можно найти с помощью формулы (9.42). Для этого в формулу следует вместо (s) подставить изображение по Лапласу гармонического закона изменения градиента давления и затем выполнить обратное преобразование. Полученная таким образом функция (t, г) приведена в работе .

Понятно, что нет необходимости реализовать цикл с прерывистым движением поршней в конструкциях промышленных машин. При любом законе движения поршней, в частности при гармоническом (для кривошипно-шатунного привода), термодинамический к. п. д. идеальной машины Стирлинга равен единице.

В этих установках был принят упрощенный, близкий к гармоническому, закон движения штанг - шарнирный четырехзвенник станка-качалки заменен кривошипным механизмам. Такое допущение общепринято и, как показали эксперименты, вполне оправдан для условий проведенных экспериментов.

Внутреннее состояние двухатомной молекулы определено, если задано состояние ее электронной оболочки, а также характеристики вращательного движения молекулы как целого и колебательного движения ядер. Вращение и колебания в первом приближении считают не зависящими от электронного состояния молекулы. Простейшей моделью при описании вращательного и колебательного движений двухатомной молекулы является модель жесткий ротатор - гармонический осциллятор, согласно которой независимо рассматриваются вращение молекулы как жесткого ротатора и колебания ядер по гармоническому закону. Классическое описание этой модели см. гл. IV., 5. Запишем в том же приближении выражение для энергии двухатомной молекулы, используя квантовомеханические формулы (VII. 19), (VII.20) и (УП.22)

Изменение амплитуды колебаний, а также переход от гармонического к ударному режиму вибрации достигается путем установки сменных эксцентриков, профиль которых определяет закон движения толкателя с рабочим столиком и закрепленным на нем блоком коаксиальных цилиндров.

В разделе е отмечалось, что если энергия молекул выра-жается суммой некоторого числа членов, являющихся квадра тичными либо относительно пространственных координат (), либо относительно импульсов (/з), то форма закона распределения не зависит от того, сколько именно членов входит в выражение для кинетической и сколько - в выражение для потенциальной энергии. Однако вывод закона упрощается, если рассматривается одинаковое число членов, выражающих потенциальную кинетическую энергию. Физически это соответствует допущению, что полное движение молекул представлено числом 5 независимых гармонических осцилляторов. Энергию молекулы в этом случае можно записать так

В спектрометрах с постоянным ускорением относительная скорость движения источника и поглотителя периодически меняется по линейному или гармоническому закону, что позволяет регистрировать исследуемый спектр в заданном интервале скоростей. Обычно в таких спектрометрах информация записывается в памяти многоканального анализатора, работающего во временном режиме, когда каналы памяти открываются синхронно с циклом скорости.

Одним из выражений квантовых законов является дискретность уровней энергии тела, совершающего периодические движения. Рассмотрим в качестве примера гармоническое колебание осциллятора. Энергия классического гармонического осциллятора может непрерывно изменяться. Эта энергия равна уА 2 (наибольшее значение потенциальной энергии при х = А). Упругая постоянная

Вынужденные колебания. Рассмотрим продольные колебания линейной упругой системы с одной степенью свободы под действием вынуждающей силы Р if), изменяющейся по гармоническому закону. Первоначально примем допущение, что неупругие силы сопротивления отсутствуют. Уравнение движения в этом случае (рис. 3.7, а) имеет вид тх = -Ру + Р (/), что после подстановок Р =сх, dm = соц и Р (/) = Ро sin (oi) дает

Если бы имели дело с классической системой, то тогда при определенных начальных условиях, в принципе, можно было бы возбудить такое движение, при котором менялась бы только одна из нормальных координат Тогда при изменении этой нормальной координаты наблюдали бы изменения всех длин связей, валентных углов итд, пропорциональные этой координате с коэффициентами Если нормальные координаты менялись бы по гармоническому закону, то тогда все геометрические параметры молекулы также менялись бы по гармоническому закону, причем все геометрические параметры проходили бы через свои равновесные значения в одной и той же фазе Пример нормальных колебаний для молекулы ХУ2 типа воды показан на рис 8 2

Если электроны вещества несколько смещаются от положений равновесия, то они подвергаются действию возвращающей сплы, величина которой по предположению пропорциональна смещению. В этом случае движение электронов оказывается простым гармоническим колебанием. Прохождение света через систему, содержащую ряд таких электрических осцилляторов, эквивалентно возникновению дополнительной электрической силы, которая, по теории Максвелла, оказывается одной пз компонент электромагнитных колебаний света. При прохождении света электрическое поле изменяется с соответствующей частотой и влияет на движение колеблющегося электрона согласно закону сохранения энергии. Скорость (а следовательно, и кинетическая энергия) распространения света в веществе меньше, чем в вакууме следовательно, при этом возрастает кинетическая энергия электронов, взаимодействующих со светом. Таким образом, свет стремится изменить движение электронов в молекуле и действует в направлении, противоположном силе, стремящейся сохранить электрон в исходном положении.

Этот вариант измерений может быть реализован и при крутильных колебаниях трубчатого образца, если наружный цилиндр установить неподвижно, внутренний закрепить на торсионе и задать действующий на него по гармоническому закону крутящий момент. Если теперь измерять разность фаз между моментом и углом поворота цилиндра, а также амплитуду угла закручивания, то расчетная схема определения О сведется к выше рассмотренным формулам (VI. 15) и (VI. 16). Однако если измерять отношение крутящего момента к угловой скорости движения цилиндра, то это отвечает задаче о,б определении импеданса системы.

В заключение отметим, что с точки зрения полного и физически разумного количественного описания динамики жидкостей все рассмотренные модели являются только первым приближением для описания диффузии и колебаний в воде, поскольку при их построении использован целый ряд упрощений. Только в пределе больших времен оседлой жизни (это может иметь место при низких температурах) или при сильной электрострикции молекул воды в гидратной оболочке ионов гармоническое приближение и простая модель прыжковой диффузии [уравнение (4-5) табл. 4] являются законными. При высоких температурах и в растворах, в которых связи между молекулами воды ослаблены ионами, колебания становятся резко ангармоническими, замедленными релаксационным и диффузионным движениями. В этом случае поведение жидкости больше соответствует поведению системы свободных частиц [ уравнение(37)]. Предположение об отсутствии корреляции между диффузионным и колебательным движениями также является спорным вопросом. Недавно Раман и др.

В следующем, разд. 11,3 будет разобран ряд простых примеров, позволяющих оценить вклады в теплоемкость отдельных разлагаемых степеней свободы. При этом большее внимание будет уделено системе, состоящей из частиц с двумя возможными энергетическими состояниями, и гармоническому осциллятору, так как на их примере можно относительно просто и в то же время достаточно полно проанализировать связь между молекулярным движением и теплоемкостью системы. Для более сложных систем часто можно легко оценить теплоемкость при средних температурах, исходя из классического закона равномерного распределения по степеням свободы.

Законы движения микрочастиц в квантовой механике существенно отличаются от классических. С одной стороны, они ведут себя (например, при столкновениях) как частицы, обладающие неделимыми зарядами и массой, с другой - как волны, обладающие определенной частотой (длиной волны) и характеризующиеся волновой функцией а1з - свойством, отрал Смотреть страницы где упоминается термин Закон движения гармонический Нотариусы в Новоалексеевке Бесплатные объявления в разделе Нотариусы в Новоалексеевке. Пока нет объявлений, успейте быть первым! Предшественников современных нотариусов можно было встретить в древнем Египте, […]

Колебания гармонического осциллятора Гармоничным осциллятором называется физический объект, эволюция которого со временем описывается дифференциальным уравнением

Где q – обобщенная координата гармонического осциллятора, t – время, ? – характерная частота гармонического осциллятора. Две точки над переменной означают вторую производную по времени. Величина q совершающий гармонические колебания.
Задача о гармоничном осциллятор играет центральную роль как в классической, так и в квантовой физике.
Большое количество физических систем ведут себя как гармоничные осциллятора при малом отклонении от равновесия. К ним относятся математический и физический маятники, колебания атомов в молекулах и твердых телах, электрические колебательные контуры и многие другие.
Малые колебания маятника являются гармоническими

Энергия, функция Лагранжа и Гамильтона
Кинетическая энергия гармонического осциллятора задается выражением

Потенциальная энергия гармонического осциллятора задается выражением

Соответственно, считая величину q обобщенной координатой, функция Лагранжа гармоничного осцлятора записывается

.

Обобщенный импульс

Функция Гамильтона

.

Вынужденные колебания
Под действием внешней периодической силы с частотой, которая не обязательно совпадает с собственной частотой гармонического осциллятора, осциллятор совершает гармонические колебания, аплитуда которых определяется величиной внешней силы и соотношением внешней частоты и собственной частоты осциллятора.
Вынужденные колебания гармонического осциллятора с частотой? 0 под действием силы с частотой?описуються уравнением

Где f 0 – амплитуда внешней силы.
Частное решение этого уравнения, описывающий вынужденные колебания имеет вид

.

Гармоничный осцитор под действием внешней силы совершающий гармонические колебания с амплитудой . При амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности. Это явление называется резонансом.
Гармонический осциллятор с затуханием
При учете сил трения или сопротивления другого рода, который приводит к диссипации энергии осциллятора и превращении ее в тепло, уравнение гармонического осциллятора меняются. В частности очень распространенный случай, когда силы сопротивления пропорциональны скорости изменения величины q. Тогда уравнение гармонического осциллятора принимает вид

Такие колебания затухают со временем по закону

Вынужденные колебания гармонического осциллятора с затуханием
При действии периодической внешней силы даже при затухании для осциллятора устанавливаются гармонические колебания с амплитудой, зависящей от приложенной силы, соотношение частот, а также от величины затухания.
Амплитуда вынужденных колебаний с учетом затухания определяется формулой

.

Это конечная величина при всех частотах внешней силы.
Математический маятник при небольшом начальном отклонении от вертикали совершающий гармонические колебания с частотой

Колебательный контур гармоническим осциллятором, с частотой

Где L – индуктивность, C – емкость.
Подробнее см. Квантовый осциллятор.
Спектр собственных значений и собственных функциях
Волновые функции первых шести состояний с квантовыми числами от n = 0 до 5. На оси ординат отложена обобщенная координата Гамильтониан гармонического осциллятора получается заменой в функции Гамильтона импульса p на

.

Спектр гармонического осциллятора находится со стационарного уравнения Шредингера и задается формулой

.

Здесь n – квантовое число, пробегает значения от нуля до бесконечности. Энергетические уровни гармонического осциллятора эквидистантных. Характерной особенностью гармонического осциллятора является то, что даже в основном состоянии гармоничный осциллятор имеет отличную от нуля энергию

Эта низкая энергия называется энергией нулевых колебаний.
Собственные функции гармонического осциллятора, соответствующих квантовому числу n задаются формулами

,

Где , А H n (x) – полиномы Эрмита.
При четном n собственные функции гармонического осциллятора парные, при Непрану – нечетные. Гамильтониан гармонического осциллятора коммутирует с оператором замены x на – x (оператором четности), а потому имеет общие собственные функции с этим оператором.
Операторы рождения и уничтожения
Если определить оператор рождения

И оператор уничтожения

,

.

Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют коммутационном соотношению:

Собственные функции гармонического осциллятора тогда имеют вид

Или, используя нотацию кет и бра-векторов:

Всего действие оператора рождения на гармоничное оператор в состоянии | n> приводит к переходу в состояние | n +1>:

Действие оператора уничтожения на состояние | n> приводит к переходу в состояние | n-1>:

Оператор

Называют оператором числа частиц, поскольку для него справедливо соотношение.

Правила отбора
При излучении или поглощении фотона разрешенными переходами для гармонического осциллятора есть такие, при которых квантовое число n изменяется на единицу. Учитывая еквидистантнисть уровней, это правило отбора приводит к тому, что, несмотря на бесконечное число уровней, в спектре оптического поглощения или излучения гармонического осциллятора есть только одна линия с частотой?.
В реальных колебательных спектрах молекул возможны отклонения от этого правила, обусловленные ангармоничнистю реального потенциала межатомного взаимодействия, квадрупольными переходами и т.д.

Простейшей моделью колебательного движения атомов в двухатомной молекуле может служить система из двух масс т / и ш?, связанных упругой пружиной. Колебание двух атомов относительно центра масс может быть заменено колебанием одной эквивалентной

массы относительно начальной нулевой точки R= 0, где

R - расстояние между массами, R e - положение точки равновесия.

При классическом рассмотрении предполагается, что пружина идеальна - упругая сила F прямо пропорциональна деформации - отклонению от равновесия х = R-R e , по закону Гука:

где к - константа упругости. Таким образом, сила направлена в сторону возвращения к равновесному положению.

Совместно используя законы Гука и Ньютона (F -та), можно записать:

(обозначая ). Решением такого уравнения, как известно,

служат гармонические функции

где хо - амплитуда, а

Используя приведенную массу /л получаем:

Мерой потенциальной энергии системы V служит работа

В квантовой механике анализ колебательного движения для простой модели гармонического осциллятора достаточно сложен. Он основан на решении уравнения Шредингера

(у/ - колебательная волновая функция, Е - общая энергия частицы) и выходит за рамки нашего изложения.

Для квантового осциллятора возможен только дискретный ряд значений энергии Е и частот в соответствии с формулой E=hv. Кроме того, минимальное значение энергии осциллятора не равно нулю. Эта величина называется нулевой энергией, она соответствует низшему энергетическому уровню осциллятора и равна , её существование можно объяснить, исходя из соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Таким образом, в соответствии с квантовой механикой энергия гармонического осциллятора квантуется:

где v - колебательное квантовое число, которое может принимать значение у=0, 1, 2, 3,....

При взаимодействии осциллятора с квантами электромагнитного излучения следует учитывать три фактора: 1) заселенность уровней (вероятность нахождения молекулы на данном энергетическом уровне); 2) правило частот (Бора), согласно которому энергия кванта должна соответствовать разности энергии каких-либо двух уровней;

3) правило отбора для квантовых переходов: вероятность перехода, т.е. интенсивность линий в спектре поглощения определяется величиной дипольного момента перехода (см. теоретическое введение). В случае простейшего гармонического осциллятора правило отбора получается из рассмотрения волновых функций. Оно гласит, что переходы могут осуществляться только между соседними уровнями («на одну ступеньку»): колебательное квантовое число изменяется на единицу Av = 1. Поскольку расстояния между соседними уровнями одинаковы, то в спектре поглощения гармонического осциллятора должна присутствовать только одна линия с частотой

Так как в соответствии с распределением Больцмана при комнатной и более низких температурах заселен самый нижний колебательный уровень, то наиболее интенсивен переход с самого низкого уровня (d=0), и частота этой линии совпадает с частотой более слабых переходов с вышележащих уровней на соседний, более высокий уровень.

Графики волновых функций гармонического осциллятора для разных значений энергии приведены на рисунке 2.3. Они представляют собой решения уравнения Шредингера для гармонического осциллятора

где N, - нормирующий множитель, Н 0 - полиномы Эрмита, х = R-R e - отклонение от положения равновесия.

Дипольный момент перехода для колебательных переходов, R 0 (или М„) равен:

где ju - дипольный момент молекулы; колеба

тельные волновые функции исходного и конечного состоянийсоответственно. Из формулы видно, что переход разрешен ,

если в точке равновесия - дипольный момент молекулы

изменяется вблизи положения точки равновесия, (кривая ju=f(R) в этой точке не проходит через максимум). Интеграл (второй сомножитель в формуле) также должен быть не равным нулю. Можно показать, что это условие соблюдается, если переход совершается между соседними уровнями, отсюда дополнительное правило отбора Аи = 1.

В случае двухатомных молекул колебательные спектры могут наблюдаться только для гетероядерных молекул, у гомоядерных молекул дипольный момент отсутствует и не изменяется при колебаниях. В колебательных спектрах СО2 проявляются колебания (валентные антисимметричные и деформационные), при которых изменяется дипольный момент, но не проявляются симметричные колебания, при которых он неизменен.

Систему, описываемую уравнением , где , будем называть гармоническим осциллятором. Решение этого уравнения, как известно, имеет вид:

.

Следовательно, гармонический осциллятор представляет собой систему, которая совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Для гармонического осциллятора справедливы все результаты, полученные ранее для гармонического колебания.

Рассмотрим и обсудим ещё дополнительно к ним два вопроса.

Найдем импульс гармонического осциллятора. Продифференцируем выражение по t и, умножив полученный результат на массу осциллятора, получим:

В каждом положении, характеризуемом отклонением “x”, осциллятор имеет некоторое значение ”p”. Чтобы найти ”p” как функцию ”x”, нужно исключить ”t” из написанных для ”p” и ”x” уравнений, Представим эти уравнения в виде:

(8.9)

Возведя эти выражения в квадрат и складывая, получим:

. (8.10)

Нарисуем график, показывающий зависимость ”p” импульса гармонического осциллятора от отклонения ”x” (рис. 8.6). Координатную плоскость (”p”, ”x”) принято называть фазовой плоскостью , а соответствующий график – фазовой траекторией . Фазовая траектория гармонического осциллятора представляет собой эллипс с полуосями “A” и ”A·m·w 0 ”. Каждая точка фазовой траектории изображает состояние осциллятора для некоторого момента времени (т.е. его отклонение и импульс). С течением времени точка, изображающая состояние, перемещается по фазовой траектории, совершая за период колебания полный обход. Причем это перемещение совершается по часовой стрелке [а именно, если в некоторый момент времени t¢ x=A, p=0, то в следующий момент времени ”x” будет уменьшаться, а ”p” принимать все возрастающие по модулю отрицательные значения, т.е. движение изобразительной точки (т.е. точки изображающей состояние) будет происходить по часовой стрелке].

Найдем теперь площадь эллипса . Или

.

Здесь , где n 0 – собственная частота осциллятора, являющаяся для данного осциллятора величиной постоянной.

Следовательно, . Откуда

Таким образом, полная энергия гармонического осциллятора пропорциональна площади эллипса, причем коэффициентом пропорциональности служит собственная частота осциллятора.

8.6. Малые колебания системы вблизи положения равновесия.

Рассмотрим произвольную механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины “x”. Величиной ”x”, определяющей положение системы может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой.

Потенциальная энергия такой системы будет функцией одной переменной ”x”: E p =E p (x).


Выберем начало отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия x=0. Тогда функция E p (x) будет иметь минимум при x=0.

(ввиду малости “x” остальными членами пренебрегаем)

Так как E p (x) при x=0 имеет минимум, то , а . Обозначим E p (x) = b и , тогда .

Это выражение идентично с выражением для потенциальной энергии системы, в которой действует квазиупругая сила (константу “b” можно положить равной 0).

Сила, действующая на систему, может быть определена по формуле: . Получено с учетом, что работа совершается за счет убыли потенциальной энергии .

Итак, потенциальная энергия системы при малых отклонениях от положения равновесия оказывается квадратичной функцией смещения, а сила, действующая на систему, имеет вид квазиупругой силы. Следовательно, при малых отклонениях от положения равновесия любая механическая система будет совершать колебания, близкие к гармоническим.

8.7. Математический маятник.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: математическим маятником будем называть идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Отклонение маятника от положения равновесия будет характеризоваться углом j (рис. 8.7). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент , он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, поэтому моменту M и угловому смещению j нужно приписать разные знаки.

Гармони́ческий осцилля́тор (в классической механике) - система , которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F , пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):

F = − k x {\displaystyle F=-kx}

где k - коэффициент жёсткости системы.

Если F - единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором . Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), , торсионный маятник и акустические системы. Среди других аналогов гармонического осциллятора стоит выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь).

Энциклопедичный YouTube

    1 / 5

    Элементарные частицы | квантовая теория поля | этюд номер 6 | квантовый осциллятор

    Вынужденные колебания линейного осциллятора | Общая физика. Механика | Евгений Бутиков

    Элементарные частицы | квантовая теория поля | этюд номер 5 | классический осциллятор

    Осцилляторы: что это и как их использовать? Обучение для трейдеров от I-TT.RU

    Sytrus 01 из 16 Работа с формой осциллятора

    Субтитры

Свободные колебания

Консервативный гармонический осциллятор

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы m , закреплённый на пружине жёсткостью k .

Пусть x - смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила:

F = − k x . {\displaystyle F=-kx.}

Подставляем в дифференциальное уравнение.

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) , {\displaystyle {\ddot {x}}(t)=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi),} − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0. {\displaystyle -A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi)+\omega _{0}^{2}A\sin(\omega t+\varphi)=0.}

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое - это означает, что груз покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени t . Таким образом, остаётся условие для частоты колебаний:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , {\displaystyle -\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}=0,} ω = ± ω 0 . {\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}.} U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ (ω 0 t + φ) , {\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\varphi),}

тогда полная энергия имеет постоянное значение

E = 1 2 k A 2 . {\displaystyle E={\frac {1}{2}}kA^{2}.}

Простое гармоническое движение - это движение простого гармонического осциллятора , периодическое движение, которое не является ни вынужденным , ни затухающим . Тело в простом гармоническом движении подвергается воздействию единственной переменной силы , которая по модулю прямо пропорциональна смещению x от положения равновесия и направлена в обратную сторону.

Это движение является периодическим: тело колеблется около положения равновесия по синусоидальному закону. Каждое последующее колебание такое же, как и предыдущее, и период , частота и амплитуда колебаний остаются постоянными. Если принять, что положение равновесия находится в точке с координатой, равной нулю, то смещение x тела от положения равновесия в любой момент времени даётся формулой:

x (t) = A cos ⁡ (2 π f t + φ) , {\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \right),}

где A - амплитуда колебаний, f - частота, φ - начальная фаза.

Частота движения определяется характерными свойствами системы (например, массой движущегося тела), в то время как амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями - перемещением и скоростью тела в момент начала колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии системы также зависят от этих свойств и условий.

Простое гармоническое движение можно рассматривать как математическую модель различных видов движения, таких, например, как колебание пружины . Другими случаями, которые могут приближённо рассматриваться как простое гармоническое движение, являются движение маятника и вибрации молекул .

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье , суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз-пружина, в которой груз присоединён к пружине. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил, и груз находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется, и с её стороны на груз будет действовать сила, которая будет стремиться вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз-пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука :

F = − k x , {\displaystyle F=-kx,} F - возвращающая сила, x - перемещение груза (деформация пружины), k - коэффициент жёсткости пружины.

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

  1. Когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие.
  2. Возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Система груз-пружина удовлетворяет обоим этим условиям.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его, и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть, в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Пока в системе нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение называется периодическим.

Дальнейший анализ покажет, что в случае системы груз-пружина движение является простым гармоническим.

Динамика простого гармонического движения

Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m  d²x /dt ² ) и закон Гука (F = −kx , как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

m d 2 x d t 2 = − k x , {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,} m - масса тела, x - его перемещение относительно положения равновесия, k - постоянная (коэффициент жёсткости пружины).

Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным ; одно из решений таково:

x (t) = A cos ⁡ (ω t + φ) , {\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),}

где A , ω и φ - постоянные величины, и положение равновесия принимается за начальное. Каждая из этих постоянных представляет собой важное физическое свойство движения: A - это амплитуда, ω = 2πf - круговая частота , и φ - начальная фаза.

U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ (ω t + φ) . {\displaystyle U(t)={\frac {1}{2}}kx(t)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi).}

Универсальное движение по окружности

Простое гармоническое движение в некоторых случаях можно рассматривать как одномерная проекция универсального движения по окружности.

Если объект движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса r , центром которой является начало координат плоскости x − y , то такое движение вдоль каждой из координатных осей является простым гармоническим с амплитудой r и круговой частотой ω .

Груз как простой маятник

В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ с ускорением свободного падения g даётся формулой

T = 2 π ℓ g . {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}

Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от ускорения свободного падения g , поэтому при той же самой длине маятника, на Луне он будет качаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Указанное приближение является корректным только при небольших углах отклонения, поскольку выражение для углового ускорения пропорционально синусу координаты:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α , {\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,}

где I - момент инерции ; в данном случае I = m ℓ 2 .

ℓ m g θ = I α {\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha } ,

что делает угловое ускорение прямо пропорциональным углу θ , а это удовлетворяет определению простого гармонического движения.

Гармонический осциллятор с затуханием

Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и прямо пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

F = − k x − α v {\displaystyle F=-kx-\alpha v}

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}

Здесь введено обозначение: 2 γ = α m {\displaystyle 2\gamma ={\frac {\alpha }{m}}} . Коэффициент γ {\displaystyle \gamma } носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) {\displaystyle x(t)=Ae^{-\gamma t}sin(\omega _{f}t+\varphi)} ,

где ω f = ω 0 2 − γ 2 {\displaystyle \omega _{f}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}} - частота свободных колебаний.

x (t) = (A + B t) e − γ t {\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t}} x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t {\displaystyle x(t)=Ae^{-\beta _{1}t}+Be^{-\beta _{2}t}} ,

где β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 {\displaystyle \beta _{1,2}=\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}} .

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы стрелка успокаивалась максимально быстро для считывания его показаний.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью . Добротность обычно обозначают буквой Q {\displaystyle Q} . По определению, добротность равна:

Q = ω 0 2 γ {\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\gamma }}}

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; теоретически со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность, меньшая или равная 0,5, соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной частотой колебаний их амплитуда устанавливается примерно в Q {\displaystyle Q} раз больше, чем при возбуждении с той же интенсивностью на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e {\displaystyle e} раз, умноженному на π {\displaystyle \pi } .

В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:

  • Время жизни колебаний (оно же время затухания , оно же время релаксации ) τ - время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.
τ = 1 / γ . {\displaystyle \tau =1/\gamma .} Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя формально свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

Вынужденные колебания

Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону. Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону. Возможно также воздействие трением, когда, например, среда, с которой груз испытывает трение, совершает движение по заданному закону.