В области геометрии я неудачница. Так что, пожалуйста, прошу вас помочь, ибо нужно очень срочно. Заранее огромное спасибо.
ABCD - параллелограмм. На стороне AD отмечена точка М так, что AM:MD=1:2.
Выразите векторы АС, МВ, МС, DM через векторы АВ=а и АD=b.
- Итак, рисунок с условием выложил, начину объяснять по этому рисунку.
1)Для начала выразим вектор AC через вектора a и b. Тут всё просто, достаточно увидеть, что вектор AB отложен от начала вектора AC, а затем от конца вектора AB отложен BC и подходит прямо к концу этого вектора, то есть AC = AB + BC = AB + AD = a + b(вектора BC и AD равные, так что я легко могу заменить один другим для удобства).
2)Выразим вектор MB через a и b. Для этого будем рассуждать таким образом. Ну наверное вектор MB тоже является суммой некий векторов(а иначе и быть не может!), тогда мы просто отметим начало вектора MB(точку M) и пойдём к его концу(точке B). Соберём все векторы, которые попадутся у нас на пути.
MB = MA + AB. Основная задача, выразить вектор MA через вектор b. Заметим, что длина отрезка AM составляет 1/3 от AD, а MA противоположно направлен вектору AD. Отсюда MA = -1/3 * AD. Теперь всё подставляем обратно и получим:
MB = -1/3 AD + AB = -1/3 * b + a. Задача выполнена.3)Здесь практически полная аналогия. Приведу сразу решение без рассуждений
MC = MD + DC.
DC = AB = a
MD = 2/3 AD = 2/3 b
MC = 2/3 b + a4)Вектор DM противоположно направлен вектору AD, то есть берём его уже со знаком -. Кроме того, MD = 2/3 AD, откуда
DM = -2/3 AD = -2/3 b
Внимание, только СЕГОДНЯ!
В трапеции abcd ab|| cd,ab=3cd.Выразите через векторы m=DA и n=dc,векторы am и mn, где м-середина вс,а n-точка на стороне ab,такая,что an:nb=2:3 Люди помогите срочно надо прям вообще срочняк!! пожалуйста как-то…
Точка К лежит на стороне АВ, а точка М- на стороне СD параллелограмма АBCD, причем АК=КВ, СМ:MD=2:5а) Выразите вектор КМ через вектор p=АВ и q=AD б) Может ли при каком-нибудь…
Ответы на вопросы к главе 9 из геометрии, на странице 213… Ответы на вопросы к главе 9 из геометрии, на странице 213 анастасян.Плиз побыстрее ответьте буду очень благодарен) 1) Перемещение, скорость, сила тяжести, сила трения, ускорение, импульс2) вектор - это отрезок,…
«ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ГИА И ЕГЭ 2012 ГОДА» Бисярина Н. В., учитель математики ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ПРОДОЛЖАЕТ СОВЕРШЕНСТВОВАТЬСЯ: 1. В КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ГИА ВКЛЮЧАЮТСЯ ЗАДАНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ. 2. В ЗАДАНИЯХ ГИА СТАНЕТ БОЛЬШЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ, В КОТОРЫХ ПРОВЕРЯЕТСЯ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКАЯ КОМПЕТЕНТНОСТЬ ВЫПУСКНИКА. КОЛИЧЕСТВО ЗАДАНИЙ: 1 часть – 18 заданий, из них 4 – по геометрии; 2 часть – 5 заданий, из них 2 по геометрии. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ В 2012 ГОДУ ГОСУДАРСТВЕННОЙ (ИТОГОВОЙ) АТТЕСТАЦИИ (В НОВОЙ ФОРМЕ) ПО МАТЕМАТИКЕ. Пример 1. Укажите номера верных утверждений: 1) Диагонали параллелограмма равны. 2) Два различных диаметра окружности пересекаются в точке, являющейся центром этой окружности. 3) Сумма углов трапеции равна 360°. 4) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов. 5) Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Ответ: 235 ОСОБЕННОСТИ ЗАДАНИЯ: 1. Для выполнения этого задания необходимо знать: Свойства параллелограмма. Свойства окружности. Свойства трапеции. Формулу площади прямоугольного треугольника. Формулу нахождения sin острого угла. 2. Возможность выбора нескольких вариантов. 3. Специфика задания: «Укажите номера верных (или НЕ верных) утверждений» ПРИМЕР 2. Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса AD пересекает медиану ВК в точке Е, при этом BD:CD = 3:2. Найдите площадь четырехугольника EDCK. ДАНО: B S = 40. BD: CD = 3:2 НАЙТИ: SEDCK РЕШЕНИЕ: 1. По св. медианы АК = КС = х AB BD 3 2. По св. биссектрисы => AС CD 2 AB 3 AB 3 => АВ 2 х 3 3 хA => AС 2 2х 2 3. Рассмотрим ∆ ABK 2 АВ ВЕ 3 х 3 АК КЕ х BC h K => ВЕ 3 КЕ 4. Пусть S – площадь ∆ АВС, тогда S 2 и S ACD DC S 2S CD 2 S h S ACD S S BC BC CB 5 Тогда S AEK KE S ABK KE AK S BK S EDCK S ADC S AEK BK AC D E C DC h 2 x x S S 3x x 2 x 8 2 S 2 1 16 5 S S () S () 11 5 8 5 8 40 40 5. Т.о. Ответ: 11 КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ Критерии оценивания выполнения задания Баллы Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ 4 Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно; или: решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ 3 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0 Максимальный балл 4 О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ В ЕГЭ. ИЗ 6 ЗАДАЧ РАЗДЕЛА С ЭКЗАМЕНА ЕГЭ 2011 ГОДА ЗАДАЧИ С2 И С4 - ПО ГЕОМЕТРИИ: - С2 - ЗАДАЧА ПО СТЕРЕОМЕТРИИ, - С4 - ПО ПЛАНИМЕТРИИ. С5: НАЙДИТЕ ВСЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ А, ПРИ КАЖДОМ ИЗ КОТОРЫХ СИСТЕМА ИМЕЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ РЕШЕНИЕ). 2 2 х 5 y 4 4 2 2 x 2 y a Задача является также геометрической, соответствуя таким разделам планиметрии как «Окружность» и «Координатный метод». РАССМОТРИМ ЗАДАЧУ ПО ГЕОМЕТРИИ ОДНОГО ИЗ ВАРИАНТОВ ЕГЭ 2011 ГОДА. Задача С4 (планиметрическая, максимальный балл - 3). Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 5/6. ДВА РЕШЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЧЕРТЕЖА. ЗАДАЧУ МОЖНО РЕШИТЬ ЕЩЕ И БЕЗ ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛ ТРИГОНОМЕТРИИ. ЕСЛИ УЧАЩИЙСЯ ЗАМЕТИЛ, ЧТО ОКРУЖНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ ВНЕВПИСАННОЙ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ANM, ТО ОН МОЖЕТ НАЙТИ ЕЕ РАДИУС, ИСПОЛЬЗУЯ ФОРМУЛУ ДЛЯ РАДИУСА ВНЕВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ: 7 6 S AM MN 21 4 ra p a AM AN MN 7 25 6 4 4 4 ТАБЛИЦА КРИТЕРИЕВ: 3 БАЛЛА - ЗА ВЕРНЫЙ ОТВЕТ; 2 БАЛЛА - ЗА ВЕРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ОДНОГО ИЗ ДВУХ СЛУЧАЕВ; 1 БАЛЛ - ЗА РАССМОТРЕНИЕ ХОТЯ БЫ ОДНОГО ИЗ ВОЗМОЖНЫХ СЛУЧАЕВ, СОДЕРЖАЩЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ОШИБКУ, ПРИВЕДШУЮ К НЕВЕРНОМУ ОТВЕТУ. ДЛЯ РАЗВИТИЯ НАВЫКОВ РЕШЕНИЯ ПОДОБНЫХ ЗАДАЧ НЕОБХОДИМО: 1. На уроках геометрии, разобрать не простую задачу, для которой легко создать подобную, после чего предложить учащимся в качестве домашнего задания самостоятельно придумать несколько подобных задач и решить их. На следующем уроке необходимо уделить внимание разбору домашней работы и авторов лучших задач поощрить положительной отметкой. 2. Решить на уроке (или задать на дом) несколько весьма простых задач, в которых требуется рассмотреть два или более вариантов решения. РЕЗУЛЬТАТ РАБОТЫ: 1. Отработка навыков применения знаний, полученных на уроках. 2. Развитие творческой активности учащихся. 3. Выработка умений и навыков быстрого нахождения связей между уже решенными и новыми, более трудными, задачами. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ: АВ 2 Задача 1. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем АС 3 Найдите АВ, если АС =15. (Два варианта.) Задача 2. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем точка С расположена вдвое дальше от одной из точек А и В, чем от другой. Найдите АВ, если АС = 18. (Четыре варианта.) Задача 3. Катет прямоугольного треугольника равен 5, а один из углов в два раза больше другого. Найдите периметр треугольника. (Три варианта.) Задача 4. Даны два подобных треугольника. Стороны первого равны 8; 10 и 16. Одна из сторон второго равна 2. Найдите периметр второго треугольника. (Три варианта.) С4 Найти длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34. Решение. Возможны два случая: В 23 Н А 7 О Н В 23 О1 О 7 34 О1 34 А ОАВО1 – прямая трапеция, ОН=АВ - высота ОНО1 – прямоугольный, AB OO 21 R r AB OO 21 R r 342 162 30 342 302 16 2 Ответ: 30 или 16 ОН=АВ - высота 2 №2 В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. А Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Рассмотрим 1 случай. А E E F F С В D 8ч 3ч С В 8ч 3ч D №3 В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. А Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Рассмотрим 1 случай. Найдем: BD 3 36 8 96 BC , DC BC . 11 11 11 11 AD DC AC AD DC 9 , 2 2 Из ADВ, DF AD BD AB AD BD 15 . 2 2 Значит, 6 DC BD 63 EF DE DF . 2 11 Из ADC, DE E F С В D 8ч 3ч В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. А Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Рассмотрим 2 случай. E F С В 8ч 3ч 5 96 BC DC 8, DC , 8 5 96 36 BD DC BC 12 . 5 5 Из ADC, DE AD DC AC AD DC 9 , 2 2 AD BD AB AD BD 15 . Из ADВ, DF 2 2 D 6 DC BD Значит, EF DE DF 9. 63 . Ответ: 9 или 11 2 №2 Точка H – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14 , опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M . Найдите HM . Пусть АВ = 10, ВС = 12, АС = 14. Решение. AB 2 BC 2 AC 2 100 144 196 1 cos B . 2 AB BC 2 10 12 5 А АВН – прямоугольный, BН = АВ·cosB = 2. 10 14 По условию АВСНВМ, и имеют общий угол В, значит возможны два случая. М 1 случай. ВМН = ВАС; С 12 Н В значит, k BH 2 1 , BC 12 6 1 1 7 HM AC 14 . 6 6 3 BH 2 1 , значит, HM 1 AC 1 14 14 . 2 случай. ВМН = АСВ; k 5 5 5 AB 10 5 7 14 или. Ответ: 3 5 №3 Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке O , отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C , пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N . Найдите площадь четырехугольника OMPN , если одно из оснований трапеции втрое больше другого. Решение. S ABCD Возможно два вида трапеции. В обоих случаях: BC 1) ADнижнееa основание 3a 4вдвое больше верхнего, BC = a, АD = 2a, h h ah 2ah 240, ah 120. 2) верхнее основание 2 2 2вдвое больше нижнего, AD = a, BC = 2a. Найдем площадь ОMPN: SMONP=SAOD – SAMP – SPND. В С O Рассмотрим первый случай. N M А P D а По условию BC = a, АD = 3a, аh = 120. SMONP=SAOD – SAMP – SPND. h 1) BOCAOD , по трем углам k 3а BC a 1 . AD 3a 3 Значит высота AOD равна 3 ,h 4 тогда: 1 3 3 9 SAOD AD h 3ah 120 135. 2 4 8 8 2) BMCAMP , по трем углам, k BC a 2 . AP 3a / 2 3 Тогда высота треугольника АМР равна 3/5 высоты трапеции. 1 3 1 3a 3 9 SAMP SPND AD h h 120 54. 2 5 2 2 5 20 SMONP=SAOD – 2SAMP =135 - 2·54 = 27. 3) Находим искомую площадь: 3а В С По условию BC = 3a, АD = a, аh = 120. SMONP=SAOD – SAMP – SPND. h 1) BOCAOD , по трем углам O M А k N P а D Значит высота AOD равна 1 1 1 1 SAOD AD h ah 120 15. 2 4 8 8 2) BMCAMP , по трем углам, BC 3a 3. AD a k 1 ,h 4 тогда: BC 3a 6. AP a / 2 Тогда высота треугольника АМР равна 1/7 высоты трапеции. 1 1 1 a 1 1 30 SAMP SPND AD h h 120 . 2 7 2 2 7 28 7 30 3) Находим искомую площадь: SMONP SAOD 2SAMP 15 2 5. 7 Ответ: 27 или 5. В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. №4 Решение. Пусть О – точка пересечения биссектрис. По условию B BM 1 1, значит М лежит между точками В и N. MN 7 М N C O B М C N 12 O A D A Возможны два случая. 1) точка О – лежит внутри параллелограмма; 2) точка О – лежит вне параллелограмма. Рассмотрим первый случай. D №4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. Пусть О – точка пересечения биссектрис. По условию М B 1,5 BM 1 1, значит М лежит между точками В и N. MN 7 N 10,5 C 1,5 ВNА=NAD- накрест лежащие; АN – биссектриса А, 12 O A 1) ABN – равнобедренный, т.к. D значит ВNА= ВAN и AB=BN=12, 1 1 тогда BM BN 12 1,5. 8 8 Найдем MN=BN-BM=12-1,5=10,5. 2) Аналогично, DMC – равнобедренный, MC=DC=12. Тогда NC= MC-MN=12-10,5=1,5. 3) Значит, ВС=ВМ+MN+NC=13,5. Рассмотрим первый случай. №4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. Рассмотрим второй случай: точка О – лежит вне параллелограмма. O B 12 М N C 12 1)ABМ– равнобедренный, т.к. ВMА=MAD- накрест лежащие; 12 12 АМ – биссектриса А, значит ВMА= ВAM. D A По условию BM 1 значит, MN 7 1 BM BN , BN 8 12 96. 8 2) Аналогично DNC– равнобедренный, 3) Значит, ВС=ВN+NC=96+12=108. Ответ: 13,5 или 108. Тогда АВ=ВМ=12. тогда NC=DC=12. Презентация к урокам по геометрии по теме «ПАРАЛЛЕЛОГРАММ» Параллелограмм определение В Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны называется А параллелограммом ABCD – четырехугольник AB ║CD BC ║AD => ABCD -параллелограмм С D Свойства параллелограмма В С O А D 1.Противоположные стороны попарно равны AD=BC AB=CD 2.Противоположные углы попарно равны В = D А = С 3.Диагонали точкой пересечения делятся пополам AO=OC BO=OD Свойства параллелограмма В А F N К С D 4.Сумма смежных углов равна180 А + В = 180 5.Биссектриса угла отсекает от него равнобедренный треугольник. BF – биссектриса, ∆ ABF –равнобедренный, AB=BF 6.Биссектрисы соседних углов перпендикулярны. AF, BK – биссектрисы, AF BK 7.Биссектрисы противоположных углов параллельны или совпадают. AF, CN – биссектрисы, AF|| CN Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник параллелограмм. В ABCD – четырехугольник AB || CD AB = CD С => ABCD- параллелограмм А D Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм ABCD – четырехугольник ВС = АD AB = CD В С => ABCD- параллелограмм А D Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм В ABCD – четырехугольник AО = CО ВО = ОD С => ABCD- параллелограмм О А D ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА СУММА СОСЕДНИХ УГЛОВ РАВНА 180 ГРАДУСОВ: Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон параллелограмма: Задачи на готовых чертежах В 1) С F В 2) 10 см С 60 2 см 32 А E D ABCD – параллелограмм Найти C , D Ответ:С 64, D 116 А D ABCD – параллелограмм Найти AD , CD Ответ:AD=4 cм, CD=10 см Задачи на готовых чертежах В F С 25 60 С 40 N M NMCF – параллелограмм Найти все углы NMCF Ответ: F M 115, N C 65 А 2 см E 3 см ABCD – параллелограмм Найти PABCD Ответ: PABCD 16см D Задачи на готовых чертежах В С F В С E 60 M 5 см F N А 4 см M NBCM – параллелограмм Найти BF, FM Ответ: BF=4 см, FM=5cм А K ABCD – параллелограмм PABCD = 20 cм Найти ME, MK Ответ: ME=3 см, MK=7см D кроссворд 4 2 3 1.Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны 8 1 5 11 3.Отрезок, соединяющий две несмежные вершины 6 9 4.Луч, делящий угол пополам 7 10 Посмотреть ответ 8.(вертикаль) Точка из которой исходят стороны многоугольника 9. «+», 2.Единица измерения угла - это … 10.Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. 11Отрезок исходящий из вершины треугольника к середине противоположной стороны (множественное число). 5.Множество точек прямой, заключенных между двумя точками. 6.Фигура,состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. 7.Сколько сантиметров в метре? 8.(горизонталь) Отрезок, перпендикулярный к стороне. кроссворд 4 б и 2 г 3 д с 8 в р и с е п а р а л л е л о г р т г к ш д 5 р у г о л т и е н р н с 9 а з н а и л 7 т о с 10 ь к а т а ы с о т а 2.Единица измерения угла а м м е д и к а н е т ы 3.Отрезок, соединяющий две несмежные вершины 4.Луч, делящий угол пополам назад 8.(вертикаль) Точка из которой исходят стороны многоугольника 9. «+», 1.Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны - это … 10.Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. 11Отрезок исходящий из вершины треугольника к середине противоположной стороны (множественное число). 5.Множество точек прямой, заключенных между двумя точками. 6.Фигура,состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. 7.Сколько сантиметров в метре? 8.(горизонталь) Отрезок, перпендикулярный к стороне. ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 7 – 9 КЛАССЕ ВЛЕЧЕТ ЗА СОБОЙ РАЗВИТИЕ ОБРАЗНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ, ЧТО ЯВЛЯЕТСЯ ОДНИМ ИЗ ВАЖНЕЙШИХ ФАКТОРОВ В ДОСТИЖЕНИИ УСПЕХА В ДАЛЬНЕЙШЕМ ОБУЧЕНИИ. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, НЕОБХОДИМОЙ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ГИА 2012. 1. ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. 2. ФЕДЕРАЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ ГОСУДАРСТВЕННОГО СТАНДАРТА ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ. МАТЕМАТИКА. ОСНОВНОЕ ОБЩЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ. 3. МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС. ПОДГОТОВКА К ГИА 2012. ПОД РЕД. Ф. Ф. ЛЫСЕНКО, Ф. Ю. КАЛАБУХОВА. 4. ГЕОМЕТРИЯ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКЗАМЕНА В 9 КЛАССЕ. А. Д. БЛИНКОВ, Т. М. МИЩЕНКО. 5. ЕГЭ 2011. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ / И.Р. ВЫСОЦКИЙ [И ДР.]; ПОД РЕД. А.Л. СЕМЕНОВА И И.В. ЯЩЕНКО. - М.: 1 НАЦИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ, 2010. 6. ГОРДИН Р.К. ЕГЭ 2011. МАТЕМАТИКА. ЗАДАЧА С4. ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ / ПОД РЕД. А.Л. СЕМЕНОВА И И.В. ЯЩЕНКО. - М.: МЦНМО, 2011. 7. ПОТОСКУЕВ Е.В, ЗВАВИЧ Л.И. ГЕОМЕТРИЯ, 10 КЛАСС: ЗАДАЧНИК ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ С УГЛУБЛЕННЫМ И ПРОФИЛЬНЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ / ПОД НАУЧ. РЕД. А.Р. РЯЗАНОВСКОГО. - М.: ДРОФА, 2003-2011. 8. ПОТОСКУЕВ Е.В, ЗВАВИЧ Л.И. ГЕОМЕТРИЯ: КОНТРОЛЬНЫЕ И ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ. 10-11 КЛАССЫ. - М.: ДРОФА, 2007. 9. ЗВАВИЧ Л.И., РЯЗАНОВСКИЙ А.Р. ГЕОМЕТРИЯ В ТАБЛИЦАХ. 7-11 КЛ.: СПРАВ, ПОСОБИЕ. - М.: ДРОФА, 1997-2011. 10. ПОТОСКУЕВ Е.В, ЗВАВИЧ Л.И. ГЕОМЕТРИЯ. 10 КЛАСС: УЧЕБ. ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ С УГЛУБЛЕННЫМ И ПРОФИЛЬНЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ / ПОД НАУЧ. РЕД. А.Р. РЯЗАНОВСКОГО. - М.: ДРОФА, 2003-2011. 11. СМИРНОВ В.А. ЕГЭ 2011. МАТЕМАТИКА. ЗАДАЧА С2. ГЕОМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ / ПОД РЕД. А.Л. СЕМЕНОВА И И.В. ЯЩЕНКО. - М.: МЦНМО, 2011. 12. ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. СПАСИБО ЗА Спасибо за ВНИМАНИЕ! внимание!
Амонжалова Лариса Геннадьевна
Должность:
учитель математики
Учебное заведение:
ГБОУ средняя общеобразовательная школа № 644
Населённый пункт:
город Санкт-Петербург
Наименование материала:
Статья
Тема:
Векторы на плоскости. Метод координат
Дата публикации:
10.11.2016
Раздел:
среднее образование
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике занимает не
малую часть времени из жизни выпускника. В современном
мире много информации и много источников, которые могут
использовать учащиеся и их учителя при подготовке к
экзаменам. Однако, среди всего множества тем существует одна,
которая освещена не так глубоко как остальные. Но это не
умаляет ее значимости, ведь благодаря знаниям этой темы
задачи части С формата ЕГЭ решаются намного проще. Тема
«Векторы» рассматривается как в курсе общего среднего
образования, так и в курсе полного среднего образования, как в
геометрии, так и в физике. Предлагаю вашему вниманию более
150 заданий по этой теме, из которых вы можете составить
тесты любого уровня сложности для повторения и закрепление
материала 9 класса темы «Векторы».
Список литературы:
1. Тесты по геометрии. 9кл. к учебн. Атанасяна_Фарков
А.В_2009 -96с
Геометрия. 9кл. КИМы_Рязановский А.Р_2016 -80с
3. Геометрия. 9кл. Экспресс-диагностика_Мельникова Н.Б_2015
4. Геометрия. 9кл. 148 диагност. вариантов_Панарина В.И.
5. Математика. Комплекс материалов для подготовки
учащихся. ОГЭ 2016-192с
Тема «Векторы на плоскости. Метод координат»
1.Понятие вектора. Длина вектора
Понятие коллинеарных векторов. Сонаправленные,
противоположно направленные вектора. Равные вектора
1.01
. Векторной величиной является:
а) масса тела;
б) скорость тела;
в) время;
г) площадь.
Ответ: б
1.02
. На рисунке ABCD – ромб. Тогда вектор
⃗
СВ
будет равен
вектору:
а)
⃗
AD
;
б)
⃗
DA
;
в)
⃗
ВC
;
г)
⃗
AВ.
Ответ: б
1.03
.Коллинеарные
сонаправленные векторы
изображены на рисунке:
а) б) в) г)
Ответ: б
1.04
. На рисунке ABCD – прямоугольник. Тогда вектор
⃗
B C
будет
равен вектору:
а)
⃗
AD
;
б)
⃗
DA
;
в)
⃗
CB
;
г)
⃗
AВ.
Ответ: а
1.05
. Длина вектора а, изображенного на рисунке равна ______.
Ответ: 5 ед.
1.06
. Векторной величиной является:
а) плотность вещества;
б) расстояние;
в) сила;
г) объём тела.
Ответ: в
1.07
. Коллинеарные противоположно направленные векторы
изображены на рисунке:
а) б) в) г)
Ответ: в
1.08
. На рисунке ABCD – параллелограмм. Тогда вектор
⃗
AD
будет
равен вектору:
а)
⃗
CB
;
б)
⃗
DA
;
в)
⃗
ВC
;
г)
⃗
AВ.
Ответ: в
1.09
. В четырехугольнике
ABCD
⃗
AВ
=
⃗
DС, точка
K - середина AB. Прямая
DK пересекает прямую ВС в точке N. Среди указанных пар
векторов не являются коллинеарными векторы:
а)
⃗
AD
и
⃗
NC
;
б)
⃗
AK
и
⃗
DC
;
в)
⃗
BK
и
⃗
DA
;
г)
⃗
ВN
и
⃗
DA
.
Ответ: в
1.10
. Нулевой вектор изображается _____________________:
Ответ: точкой
1.11
. Длина стороны квадрата ABCD равна 4 см. Тогда длина
вектора
⃗
BD
равна ___________.
Ответ: 4
√
2
см
1.12
. . На чертеже ABCD – параллелограмм, BM = MC,
⃗
a
=
⃗
AB
,
⃗
b
=
⃗
AD
. Тогда через векторы
⃗
a
и
⃗
b
вектор
⃗
c
=
⃗
DM
будет
выражаться как,
⃗
c
= ______________________.
Ответ:
⃗
a
-
1
2
⃗
b
1.13
. В четырехугольнике ABCD
⃗
AВ
=
⃗
DС. Через точку О
пересечения его диагоналей
проведена прямая, пересекающая
стороны BC и AD соответственно в точках N и M . Тогда среди
указанных пар векторов не являются коллинеарными векторы:
а)
⃗
AD
и
⃗
NC
;
б)
⃗
OM
и
⃗
BN
;
в)
⃗
AM
и
⃗
NB
;
г)
⃗
ON
и
⃗
NM
.
Ответ: б
1.14
. Вектор
⃗
BC
через векторы
⃗
BA
,
⃗
AD
и
⃗
CD
выражается
так:
⃗
BC
=______________.
Ответ:
⃗
BA
+
⃗
AD
-
⃗
CD
1.15
. В прямоугольнике ABCD стороны AB
и BC равны соответственно 5 м и 12 м. Тогда
длина вектора
⃗
DB
будет равна
_______________.
Ответ: 13 м
1.16
. На чертеже ABCD – параллелограмм,
BM =MC,
⃗
a
=
⃗
AB
,
⃗
b
=
⃗
AD
. Тогда
через векторы
⃗
a
и
⃗
b
вектор
⃗
c
=
⃗
MD
будет выражаться как,
⃗
c
=
______________.
Ответ:
1
2
⃗
b
-
⃗
a
1.17
. В четырёхугольнике ABCD
⃗
AB
=
⃗
DC
, точка К ̶
середина AD.
Прямая CK пересекает прямую BA в точке N. Среди указанных пар
векторов не являются коллинеарными векторы:
а)
⃗
AD и
⃗
NK
;
б)
⃗
AK и
⃗
BC
;
в)
⃗
AK
и
⃗
DA
;
г)
⃗
BN и
⃗
DC .
Ответ: а
1.18
. Вектор
⃗
AD
через векторы
⃗
AB ,
⃗
CB и
⃗
CD
выражается так:
⃗
AD
= ___________________
Ответ:
⃗
AB
̶
⃗
CB
+
⃗
CD
1.19
. Длина стороны квадрата ABCD равна 5
см. Тогда длина вектора
⃗
CA
равна:
___________________
Ответ:
5
√
2
см
2.20
. На чертеже ABCD ̶
параллелограмм, DM
= MC,
⃗
a
=
⃗
AB
,
⃗
b
=
⃗
AD
. Тогда через векторы
⃗
a и
⃗
b
вектор
⃗
c
=
⃗
BM
будет выражаться как
⃗
c
= ___________________
Ответ:
⃗
b
̶
1
2
⃗
a
2. Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число
2.01
. Равенство
⃗
a
+
⃗
b
=
⃗
b
+
⃗
a
называется:
а) переместительным законом;
б) сочетательным законом;
в) правилом параллелограмма;
г) правилом треугольника.
Ответ: а
2.02
. Вектор
⃗
c
является суммой векторов
⃗
a
и
⃗
b
на рисунке:
Ответ: в
2.03
. На рисунке изображены векторы. Вектором, равным вектору 2
⃗
a
, будет вектор:
а)
⃗
b
;
б)
⃗
c
;
в)
⃗
m
;
г)
⃗
n
.
Ответ: г
2.04
. Отрезок MN является средней линией треугольника ABC.
Число k, для которого
⃗
MA
= k*
⃗
AВ, равно:
а) 2 ;
б) -2 ;
в)
1
2
;
г)
−
1
2
.
Ответ: г
2.05
. ABCD – параллелограмм, O – точка пересечения его
диагоналей. Тогда верным будет равенство:
а)
⃗
AO
–
⃗
OD
=
⃗
AD
;
б)
⃗
AO
–
⃗
DO
=
⃗
AD
;
в)
⃗
AB
+
⃗
BO
=
⃗
OA
;
г)
⃗
AB
+
⃗
BO
=
⃗
AC
.
Ответ: б
2.06
. Вектор
⃗
AВ
через векторы
⃗
AD
,
⃗
СD
и
⃗
СВ
выражается так:
AB =
__________________________.
Ответ:
⃗
AВ
=
⃗
AD
−
⃗
СD
+
⃗
СВ
2.07
. Равенство
⃗
AB
+
⃗
BC
=
⃗
AC
, где A, B, C – произвольные
точки, называется:
а) переместительным законом;
б) сочетательным законом;
в) правилом параллелограмма;
г) правилом треугольника.
Ответ: г
2.08
. Вектор
⃗
c
является разностью векторов
⃗
а и
⃗
b
на рисунке:
Ответ: в
2.09
. На рисунке изображены векторы. Вектором, равным -3
⃗
a
,
будет вектор:
а)
⃗
b
;
б)
⃗
c
;
в)
⃗
m
;
г)
⃗
n
.
Ответ: б
2.10
. ABCD – трапеция, BC || AD, BC = 4 см, AD = 16 см. Число k,
для которого
⃗
AD
= k ∙
⃗
CB
, равно:
а) 4;
б) -4;
в)
1
4
;
г) -
1
4
.
Ответ: б
2.11
. ABCD – параллелограмм, О – точка пересечения его
диагоналей. Тогда верным будет равенство:
а)
⃗
AO
–
⃗
O B
=
⃗
AB
;
б)
⃗
AO
–
⃗
BO
=
⃗
AD
;
в)
⃗
AB
+
⃗
BO
=
⃗
AO
;
г)
⃗
CB
+
⃗
BO
=
⃗
АO
.
Ответ: в
2.12
. Равенство (⃗
b
+
⃗
c
⃗
a
+
⃗
b
¿+
⃗
c
=
⃗
a
+¿) называется:
а) переместительным законом;
б) сочетательным законом;
в) правилом параллелограмма;
г) правилом треугольника.
Ответ:б
2.13
. Вектор
⃗
c
является суммой векторов
⃗
а и
⃗
b
на рисунке:
Ответ: г
2.14
. На рисунке изображены векторы. Вектор равный вектору 3
⃗
a
,
будет вектор:
а)
⃗
b
;
б)
⃗
c
;
в)
⃗
m
;
г)
⃗
n
.
Ответ: б
2.15
. Отрезок MN является средней линией треугольника ABC.
Число k, для которого
⃗
AB
= k ∙
⃗
MA
, равно:
а) 2;
б) -2;
в)
1
2
;
г) -
1
2
.
Ответ: б
2.16
. ABCD ̶
параллелограмм, О ̶
точка пересечения его
диагоналей. Тогда верным будет равенство:
а)
⃗
AO
̶
⃗
OD
=
⃗
AD
;
б)
⃗
AO ̶
⃗
BO
=
⃗
AD
;
в)
⃗
AB
+
⃗
BO
=
⃗
AO
;
г)
⃗
AB
+
⃗
BO
=
⃗
AC
.
Ответ: в
2.17
. Правило построения суммы нескольких векторов называется:
а) правилом параллелограмма;
б) правилом многоугольника;
в) правилом трапеции;
г) правилом треугольника.
Ответ: б
2.18
. Вектор
⃗
c
является разностью векторов
⃗
b
и
⃗
а
на рисунке
Ответ: б
2.19
. На рисунке изображены векторы. Вектором, равным -2
⃗
a
,
будет вектор:
а)
⃗
b
;
б)
⃗
c
;
в)
⃗
m
;
г)
⃗
n
.
Ответ: б
2.20
. ABCD – трапеция,
BC || AD, BC = 4 см, AD = 16 см. Число k, для которого
⃗
CB
= k ∙
⃗
AD
, равно:
а) 4;
б) -4;
в)
1
4
;
г) -
1
4
.
Ответ: г
3. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
Скалярный квадрат. Скалярное произведение в координатах.
3.01
.В треугольнике, изображенном на
рисунке, косинус угла С равен
1
3
. Найдите
скалярное произведение векторов
⃗
CA
и
⃗
CB
.
а) 11;
б) 6;
в) 22;
г) 66.
Ответ: г
3.02
.Найдите скалярное произведение векторов
⃗
a
{2; -3} и
⃗
b
{4;
2}.
а) 5;
б) 2;
в) -6;
г) 8.
Ответ: б
3.03
.Треугольник МАВ – равнобедренный с основанием АВ, его
боковая сторона равна 6. Найдите косинус угла между векторами
⃗
MA
и
⃗
MB
, если
⃗
MA
·
⃗
MB
= 12.
а)
1
3
;
б) 2;
в)
1
2
;
г)
1
6
.
Ответ: а
3.04
.Какие из указанных векторов перпендикулярны?
а)
⃗
a
{2; 1} и
⃗
b
{-3; 4};
б)
⃗
m
{2; -3} и
⃗
n
{6; 4};
в)
⃗
c
{-2; 3} и
⃗
d
{4; 6};
г)
⃗
h
{4; -6} и
⃗
l
{4; 6}.
Ответ: б
3
.
05
. В треугольнике, изображенном на
рисунке, косинус угла A равен
2
3
.
Найдите скалярное произведение
векторов
⃗
AC
и
⃗
AB
.
а) 8;
б) 15;
в) 80;
г) 40.
Ответ: в
3.06
.Найдите скалярное произведение векторов
⃗
a
{3; 5} и
⃗
b
{-2;
1}.
а) 1;
б) -11;
в) 7;
г) -1.
Ответ: г
3.07
.Треугольник KBC – равнобедренный с основанием BC, его
боковая сторона равна 8. Найдите косинус угла между векторами
⃗
KB
и
⃗
KC
, если
⃗
KB
·
⃗
KC
= 16.
а)
1
2
;
б) 2;
в)
1
4
;
г) 4.
Ответ: в
3.08
.Какие из указанных векторов перпендикулярны?
а)
⃗
a
{2; 1} и
⃗
b
{-2; 1};
б)
⃗
m
{2; -3} и
⃗
n
{4; 6};
в)
⃗
c
{-2; 3} и
⃗
d
{-4; 6};
г)
⃗
h
{4; 3} и
⃗
l
{6; -8}.
Ответ: г
3.09
.В треугольнике, изображенном на
рисунке, косинус угла A равен
3
4
.
Найдите скалярное произведение
векторов
⃗
AC
и
⃗
AB
.
а) 63;
б) 21;
в) 12;
г) 7.
Ответ: а
3.10
.Найдите скалярное произведение векторов
⃗
a
{-2; 6} и
⃗
b
{5; 1}.
а) -7;
б) -4;
в) 10;
г) -17.
Ответ: б
3.11
.Треугольник PAE – равнобедренный с основанием AE, его
боковая сторона равна 6. Найдите косинус угла между векторами
⃗
PA
и
⃗
PE
, если
⃗
PA
·
⃗
PE
= 9.
а) 2;
б)
1
3
;
в)
3
4
;
г)
1
4
.
Ответ: г
3.12
.Какие из указанных векторов перпендикулярны?
а)
⃗
a
{-2; 1} и
⃗
b
{-3; 4};
б)
⃗
m
{1; -3} и
⃗
n
{2; -6};
в)
⃗
c
{-2; 8} и
⃗
d
{4; 1};
г)
⃗
h
{3; -6} и
⃗
l
{3; 6}.
Ответ: в
3.13
.В треугольнике, изображенном на рисунке, косинус угла C
равен
2
5
. Найдите скалярное
произведение векторов
⃗
CA
и
⃗
CB
.
а) 16;
б) 10;
в) 32;
г) 80.
Ответ: в
3.14
.Найдите скалярное произведение векторов
⃗
a
{2; -4} и
⃗
b
{6;
2}.
а) 4;
б) 6;
в) -2;
г) 20.
Ответ: а
3.15
.Треугольник MBC – равнобедренный с основанием BC, его
боковая сторона равна 4. Найдите косинус угла между векторами
⃗
MB
и
⃗
MC
, если
⃗
MB
·
⃗
MC
= 2.
а)
1
4
;
б)
1
8
;
в) 8;
г)
1
2
.
Ответ: б
3.16
.Какие из указанных векторов перпендикулярны?
а)
⃗
a
{2; -6} и
⃗
b
{1; -3};
б)
⃗
m
{3; 9} и
⃗
n
{6; -2};
в)
⃗
c
{-2; 3} и
⃗
d
{6; 9};
г)
⃗
h
{5; -6} и
⃗
l
{5; 6}.
Ответ: б
3.17
.Какую градусную меру имеет угол между векторами, если их
скалярное произведение равно 0?
а) 180
0
;
б) 90
0
;
в) 0
0
;
г) 360
0
.
Ответ: б
3.18
.Чему равно скалярное произведение векторов, если угол между
ними равен 90
0
?
а) 1;
б) -1;
в) 90;
г) 0.
Ответ: г
3.19
. Треугольник MBC – равнобедренный с основанием BC, его
боковая сторона равна 3. Найдите косинус угла между векторами
⃗
MB
и
⃗
MC
, если
⃗
MB
·
⃗
MC
= 1.
а)
1
9
;
б)
1
3
;
в) 9;
г) 1.
Ответ: а
3.20
. Какие из указанных векторов перпендикулярны?
а)
⃗
a
{2; -6} и
⃗
b
{9; -3};
б)
⃗
m
{-3; 9} и
⃗
n
{6; -2};
в)
⃗
c
{-2; 3} и
⃗
d
{6; 9};
г)
⃗
h
{5; -6} и
⃗
l
{5; 6}.
Ответ: а
4. Применение векторов к решению задач. Средняя линия
трапеции.
4.01
.Основания трапеции ABCD равны 10 см и 17 см. Средняя
линия трапеции равна...
1. 13 см;
2. 27 см;
3. 13,5 см;
4. 7,5 см.
Ответ: 3
4.02
. Основания трапеции ABCD равны 6 см и 12 см. Средняя
линия трапеции равна...
1. 18 см;
2. 9 см;
3. 8 см
4. 8,5 см
Ответ: 2
4.03
.Средняя линия трапеции равна 16, а одно из оснований 23.
Найдите другое основание трапеции.
1. 11;
2. 13;
3. 9;
4. 15.
Ответ: 3
4.04
.Средняя линия трапеции равна 19, а одно из оснований 7.
Найдите другое основание трапеции.
1. 19;
2. 31;
3. 21;
4. 12.
Ответ: 2
4.05
.Основания трапеции равны 5 и 12. Найдите больший из
отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей.
1. 6;
2. 2,5;
3. 8,5;
4. 5.
Ответ: 1
4.06
. Основания трапеции равны 37 и 40. Найдите больший из
отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей.
1. 38,5;
2. 18,5;
3. 20;
4. 27.
Ответ: 3
4.07
.Основания трапеции равны 5 и 12. Найдите меньший из
отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей.
1. 6;
2. 2,5;
3. 8,5;
4. 5.
Ответ: 2
4.08
. Основания трапеции равны 37 и 40. Найдите меньший из
отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей.
1. 38,5;
2. 18,5;
3. 20;
4. 27.
Ответ: 2
4.09
.Основания трапеции ABCD равны 14 см и 19 см. Средняя
линия трапеции равна...
1. 17 см;
2. 33 см;
3. 16,5 см;
4. 17,5 см.
Ответ: 3
4.10
. Основания трапеции ABCD равны 8 см и 14 см. Средняя
линия трапеции равна...
1. 22 см;
2. 11 см;
3. 9 см
4. 10,5 см
Ответ: 2
4.11
.Средняя линия трапеции равна 11, а одно из оснований 17.
Найдите другое основание трапеции.
1. 14;
2. 13;
3. 9;
4. 5.
Ответ: 4
4.12
.Средняя линия трапеции равна 15, а одно из оснований 6.
Найдите другое основание трапеции.
1. 10,5;
2. 21;
3. 24;
4. 12.
Ответ: 3
4.13
.Основания трапеции равны 17 и 12. Найдите больший из
отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей.
1. 17;
2. 14,5;
3. 8,5;
4. 6.
Ответ: 3
4.14
. Основания трапеции равны 37 и 30. Найдите больший из
отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей.
1. 37;
2. 18,5;
3. 15;
4. 33,5.
Ответ: 2
4.15
.Основания трапеции равны 15 и 12. Найдите меньший из
отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей.
1. 6;
2. 7,5;
3. 13,5;
4. 12.
Ответ: 1
4.16
. Основания трапеции равны 37 и 30. Найдите меньший из
отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей.
1. 30;
2. 33,5;
3. 18,5;
4. 15.
Ответ: 4
4.17
. Основания трапеции ABCD равны 24 см и 19 см. Средняя
линия трапеции равна...
1. 21 см;
2. 12 см;
3. 21,5 см;
4. 17,5 см.
Ответ: 3
4.18
. Основания трапеции ABCD равны 18 см и 14 см. Средняя
линия трапеции равна...
1. 32 см;
2. 12 см;
3. 9 см
4. 15,5 см
Ответ: 2
4.19
.Средняя линия трапеции равна 14, а одно из оснований 17.
Найдите другое основание трапеции.
1. 14;
2. 15,5;
3. 9;
4. 11.
Ответ: 4
4.20
.Средняя линия трапеции равна 12, а одно из оснований 9.
Найдите другое основание трапеции.
1. 15;
2. 13;
3. 10,5;
4. 12.
Ответ: 1
5. Координаты вектора. Простейшие задачи в координатах.
Координаты середины отрезка. Вычисление длины вектора по
его координатам. Расстояние между двумя точками.
5.01
. Точка D(-3;4) находится в:
а) I четверти;
б) II четверти;
в) III четверти;
г) IV четверти.
Ответ: б
5.02
. Координаты вектора
⃗
а
=3
⃗
i
- 2
⃗
j
равны:
а)
⃗
а
{-2; 3};
б)
⃗
а
{3; -2};
в)
⃗
а
{0; -2};
г)
⃗
а
{3; 0}.
Ответ: б
5.03
. Векторы
⃗
а
=2
⃗
i
+ 3
⃗
j
и
⃗
b
= –6
⃗
i
+ k
⃗
j
будут
коллинеарны, если число k равно:
а) 3;
б) 9;
в) -9;
г) -5.
Ответ: в
5.04
. Если А(3; 4) и В(-2; 5), то вектор
⃗
AB
имеет координаты:
а) {1; 9};
б) {5; -1};
в) {-5; 1};
г) {-5; 9}.
Ответ: в
5.05
. Длина вектора
⃗
MN
{-4; 3} равна ______________________.
Ответ: 5
5.06
. Даны точки A(2; 0), B(-1; 3), C(4; 6). Тогда вектор
⃗
a
=
⃗
BA
–
⃗
BC
имеет координаты ___________________.
Ответ:
{-2; -6}
5.07.
Точка А(2; 3) – один из концов отрезка АВ. С(2; 1) – середина
отрезка АВ. Тогда координаты точки В будут _____________.
Ответ: (2; -1)
5.08
. АВ – диаметр окружности. А(1; 4), В(-3; 7). Тогда координаты
центра данной окружности будут __________________.
Ответ: {-1; 5,5}
5.09
. Точка S(2; -4) находятся в:
а) 1 четверти;
б) 2 четверти;
в) 3 четверти;
г) 4 четверти;
Ответ: г
5.10
. Даны точки A(2; -3) и B(-1; 2). Векторы
⃗
AB
и
⃗
CA
равны.
Тогда координаты точки C будут равны:
а) С (5; -8)
б) C (-1; 2)
в) С (1; -2)
г) C (-1; -1)
Ответ: а
5.11
. Радиус-вектор точки M изображен на рисунке:
Ответ: в
5.12
. Расстояние от точки B (-8; 6) до оси ординат равно;
а) -8;
б) 6;
в) 10;
г) 8.
Ответ: г
5.13
. Если окружность задана уравнением (x-3)
2
+ (y+2)
2
=9,
то координаты ее центра M и радиус r равны:
а) M (3;2), r=9;
б) M (3;-2), r=3 ;
в) M (-3;2), r=3 ;
г) M (-3;-2), r=9 .
Ответ: б
5.14.
Координаты
вектора
⃗
a
, изображенного на рисунке, будут
равны__________________
Ответ: {4;-2}
5.15
.
Расстояние
между
точками A(2;6)
и B(4;8)
будет равно
_____________________
_
_____________________
_
__
Ответ:√8
5.16
. L(5;9), K(1;7). Тогда координаты точки C – середины отрезка
LK будут равны ______________________________________
Ответ: (3;8)
5.17
. Даны векторы
⃗
a
{4;-3},
⃗
b
{-2;6}. Тогда координаты вектора
⃗
c
= -3
⃗
a
+ 0,5
⃗
b
будут равны______________________________
Ответ: {-13;-6}
5.18
. Координаты вектора
⃗
a
=-3
⃗
i
+4
⃗
j
равны:
А) {-3;4}
Б) {4;-3}
В) {0;4}
Г) {-3;0}
Ответ: А
5.19
. Векторы
⃗
a
=-2
⃗
i
+4
⃗
j
и
⃗
b
=k
⃗
i
-8
⃗
j
будут коллинеарные,
если k равно:
А) -4
Б) 4
В) -1
Г) 1
Ответ: Б
5.20
. Если А(-2;4) и B(1;-3), то вектор
⃗
AB
имеет координаты:
А) {-1;1}
Б) {-3;7}
В) {3;-7}
Г) {3;-7}
Ответ: В
5.21
. Даны точки А(2;-3) и В(-1;2). Векторы
⃗
AB
и
⃗
AC
равны.
Тогда координаты точки С будут равны:
А) С (-3;5);
Б) С (-1;2);
В) С (1;-2);
Г) С (-1;-1);
Ответ: Б
5.22
. Даны точки А(2;4), В(-1;3), (0;5). Тогда вектор
⃗
a
=
⃗
AB
-
⃗
CA
имеет координаты:
Ответ: {-5;0)
5.23
. Координаты
из концов отрезка B(-1;1), С(2;1)- середина
отрезка АВ. Тогда координаты точки А будут:
Ответ: {5;1}
5.24. Даны точки А(-2;4) и В(3;8). Векторы
⃗
AB
и
⃗
CA
равны.
Тогда координаты точки С будут равны:
Ответ: (-7;0)
5.25.
5.26. Расстояние от точки B(-3;-4) до оси
абсцисс равно:
А) -4;
Б) 3;
В) 4;
Г) 5;
Ответ: В
5.27. Координаты вектора
⃗
a
, изображенного на рисунке, будут
равны:_________
Ответ:{3; 2}
5.28. Расстояние между точками А(1;5) и В(2;7) будет равно:
__________________________________________________
Ответ:√5
5.29. А(2;7), В(4;-1). Тогда координаты точки С - середины отрезка
АВ будут:_____________________________________
Ответ:(3; 3)
5.30. Координаты точки М(х,у) - середины отрезка АВ, где А(х
1
,у
1),
В(х
2
,у
2), будут:______________________________________
Ответ: х =
x 1
+
х 2
2
, у =
y 1
+
y 2
2
5.31. Даны векторы
⃗
a
{6;-9},
⃗
b
{1;-3}. Тогда координаты вектора
⃗
c
=
1
3
⃗
a
-2
⃗
b
будут равны:______________________________
Ответ: {0;3}
5.32. Даны 4 вектора (см. рис.) Какой из них имеет координаты
(-1;2)?
Варианты ответа:
1.
a
→
2.
b
→
3.
c
→
4.
d
→
5.
Ни один из векторов на рисунке
Ответ: 5
5.33. Даны 4 вектора (см. рис.) Один из них равен вектору
−
2
⃗
i
−
4
⃗
i
.
Запишите, какой.
Варианты ответа:
1.
a
→
2.
b
→
3.
c
→
4.
d
→
Ответ: 1
5.34. Даны векторы
a
→
=
i
→
−
2 j
→
;
b
→
=−
4 i
→
+
6 j
→
. Найдите координаты
вектора
a
→
+
3b
→
.
Варианты ответа:
1.
5 i
→
−
7 j
→
2.
−
11 i
→
+
16 j
→
3.
−
13 i
→
−
20 j
→
4.
11 i
→
−
18 j
→
5.
5 i
→
+
7 j
→
Ответ: 2
5.35. Найдите модуль вектора
a
→
+
b
→
, если
a
→
=
5 i
→
−
7 j
→
;
b
→
=−
i
→
+
10 j
→
.
Варианты ответа:
1.
1
2.
7
3.
3
4.
10
5.
5
Ответ: 5
5.36. Даны 4 вектора (см. рис.) Какой из них имеет координаты
(5;-3)?
Варианты ответа:
1.
a
→
2.
b
→
3.
c
→
4.
d
→
5.
Ни один из векторов на рисунке
Ответ: 2
5.37. Даны 4 вектора (см. рис.) Один из них равен вектору
−
2
⃗
i
+
4
⃗
i
.
Запишите, какой.
Варианты ответа:
1.
a
→
2.
b
→
3.
c
→
4.
d
→
5.
Ни один из векторов на рисунке
Ответ: 4
5.38. Даны векторы
a
→
=
3 i
→
+
j
→
;
b
→
=−
i
→
−
2 j
→
. Найдите координаты
вектора
2 a
→
+
b
→
.
Варианты ответа:
1.
5 i
→
2.
−
7 j
→
3.
2 i
→
−
j
→
4.
i
→
−
2 j
→
5.
−
3 i
→
−
j
→
Ответ: 1
5.39. Найдите модуль вектора
a
→
−
2 b
→
, если
a
→
=
8 i
→
−
2 j
→
;
b
→
=−
2 i
→
−
9 j
→
.
Варианты ответа:
1.
9
2.
10
3.
14
4.
20
5.
40
Ответ: 4
5.40. Найдите координаты вектора
⃗
a
=
2
⃗
i
−
1
2
⃗
j
.
Ответ: (2; -0.5)
5.41. Разложите вектор
⃗
b
(-3; 6) по координатным векторам.
Ответ:
⃗
b
=−
3
⃗
i
+
6
⃗
j
5.42. Найдите координаты вектора
⃗
a
+
3
⃗
b
−
1
2
⃗
c
, если
⃗
a
(4; 9),
⃗
b
(-
1; 2) и
⃗
c
(-6;8)
Ответ: (4; 11)
5.43. Найдите координаты вектора
⃗
m
=−
7
⃗
i
+
3
8
⃗
j
.
Ответ: (-7; 0.375)
5.44.Разложите вектор
⃗
c
(3; -7) по координатным векторам.
Ответ:
⃗
c
=
3
⃗
i
−
7
⃗
j
5.45.Найдите координаты вектора
⃗
a
−
4
⃗
b
+
1
3
⃗
c
, если
⃗
a
(4; 9),
⃗
b
(-1; 2) и
⃗
c
(-6;9)
Ответ: (6; 4)
5.46.
Найдите координаты вектора
⃗
k
=
1
7
⃗
i
−
⃗
j
Ответ: (1
7
; -1)
5.47.Разложите вектор
⃗
a
(0; -9) по координатным векторам.
Ответ:
⃗
a
=−
9
⃗
j
5.48.Найдите координаты вектора
2
⃗
a
−
⃗
b
+
1
4
⃗
c
, если
⃗
a
(2; 1),
⃗
b
(-5; 7) и
⃗
c
(8; -12)
Ответ: (11; -8)
5.49.
Найдите координаты вектора
⃗
a
=
−
2
5
⃗
i
+
6
⃗
j
Ответ: (-0.4; 6)
5.50.Разложите вектор
⃗
b
(3; 2) по координатным векторам.
Ответ:
⃗
b
=
3
⃗
i
+
2
⃗
j
5.51.Найдите координаты вектора
⃗
a
−
2
⃗
b
−
1
3
⃗
c
, если
⃗
a
(10; -3),
⃗
b
(2; -5) и
⃗
c
(12; -6)
Ответ: (2; 9)
5.52. Даны точки М(3;-1) и К(4;-3). Найдите координаты вектора
⃗
MK
.
1){-1;-2}
2){1;-2}
3){1;2}
4){-1;2}
Ответ:2
5.53.Найдите длину отрезка, изображенного на рисунке.
Ответ:10
1)
5.54.
;2}
2) {-5;2}
3) {5;-2}
4) {-5;-2}
Ответ:4
5.55. Найдите длину отрезка, изображенного на рисунке.
Ответ:13
5.56. Даны точки В(3 ;-4) и D(1;2). Найдите координаты вектора
⃗
BD
.
1) {-2;-6} 3) {-2;6}
2) {4;6} 4){2;-2}
Ответ:3
5.57.
Найдите длину отрезка,изображенного на рисунке.
Ответ:13
5.58. Даны точки О (5;1) и Р(3;-4). Найдите координаты вектора
⃗
OP
.
1) {-2;-5} 3)
{-2;5}
2) {2;-5} 4)
{2;-3}
Ответ:1
5.58. Найдите длину отрезка изображенного на рисунке.
Ответ:10
6. Уравнение прямой в прямоугольной системе координат.
Условие перпендикулярности ненулевых векторов. Вычисление
косинуса угла между ненулевыми векторами.
6.01
. Уравнением прямой, перпендикулярной оси абсцисс, будет
уравнение:
а) у = х;
б) у = - 4;
в) х = 3;
г) у + 1 = 0.
Ответ: в
6.02
. Управлением прямой, проходящей через точку C (2; 3),
будет уравнение:
а) 2x-3y-5=0;
б) x+2=0;
в) y+3=0;
г) x-4y+10=0.
Ответ: г
6.03
.Не является уравнением прямой уравнение линии под буквой:
а) y=4;
б) y
2
+x
2
=4;
в) x=0;
г) x-2y+3=0.
Ответ: б
6.04
. Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную
оси ординат и проходящую через точку А(-4;5).
1) х=-4
3) -4х+5у=0
2) у=5
4) у=-4х+5
Ответ: 1
6.05
.
Чему
равен
угловой
коэффициент
прямой,
заданной
уравнением у= -х + 2?
1) -2
2) 2
3) -1
4) -х
Ответ: 3
6.06
. Уравнение прямой перпендикулярной оси ординат, будет
уравнение:
1) y=x
2) y=-4
3) x=-3
4) x-4=0
Ответ: 2
6.07
. Не является уравнением прямой уравнение линии под буквой:
1) х = 4;
2) у + х
2
= -3;
3) у = 0;
4) 3х + у - 4 = 0;
Ответ: 2
6.08
. Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную
оси ординат и проходящую через точку А(-2;4).
1) х=-2
3) -2х+4у=0
2) у=4
4) у=-2х+4
Ответ: 1
6.09
. Чему равен угловой коэффициент прямой, заданной
уравнением у= х – 4?
1) -4
2) 4
3) 0
4) 1
Ответ: 4
6.10
. Какая из прямых,изображенных на рисунке,задается
уравнением y=2x-3 ?
1)a
3)m
2)b
4)n
Ответ:3
6.11
. Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную оси
ординат и проходящую через точку М(-2;6).
1) х=-2
3) -2х+6у=0
2) у=6
4) у=-2х+2
Ответ: 1
6.12
. Какая из прямых,изображенных на рисунке,задается
уравнением
У=-2х+3?
1)a
3)m
2)b
4)n
Ответ:2
6.13
. Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную
оси ординат и проходящую через точку М(-1;5).
1) х=-1
3) -х+5у=0
2) у=5
4) у= -х+4
Ответ: 1
6.14
. Какая из прямых, изображенных на рисунке, задается
уравнением
У=-2х-3?
1) a
3)m
2) b
4)n
Ответ: 1
6.15
.Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную оси
абсцисс и проходящую через точку М(-3;4).
1) -3х+4у=0 3) у=4
2) у=-3х+5
4) х=-3
Ответ: 3
6.16
. Какая из прямых,изображенных на рисунке,задается
уравнением
у=2х+3?
1) a
3)m
2) b
4)n
Ответ: 4
6.17
.Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную оси
абсцисс и проходящую через точку М(-2;3).
1) у=3
3) -2х+3у=0
2) х= -2
4) у= -2х-1
Ответ: 1
6.18
.Чему равен угловой коэффициент прямой, заданной
уравнением у=3х – 7?
1) -7
2) 3
3) -3
4) 7
Ответ: 2
6.19
.Какие координаты имеет точка пересечения прямой, заданной
уравнением у=3х – 7 и оси ординат?
1) (0;3)
2) (0;-7)
3) (3;-7)
4) (0;7)
Ответ: 2
6.20
. Какие координаты имеет точка пересечения прямой, заданной
уравнением у=-2х + 3 и оси ординат?
1) (0;3)
2) (0;-2)
3) (-2;3)
4) (0;-3)
Ответ: 1
6.21