«Квадрат и прямоугольник» - Площадь прямоугольника. Основополагающий вопрос. Измерение площадей других фигур. Как найти площадь комнаты? Площадь Площадь прямоугольника. Какое количество учеников может обучаться в различных кабинетах нашей школы? Умножьте длину (a) на ширину(b). Проблемные вопросы. В каких кабинетах может заниматься 11 класс (16 человек)?
«Квадрат суммы и квадрат разности» - Закрепление: VII. Рассмотрим две разности 16 – 36 и 25 – 45 Добавим, получим 16 – 36 + = 25 – 45 + , 4? - 2 4 + ()? = 5? - 2 5 + ()?, (4 –)? = (5 –)?, 4 – = 5 – , 4 = 5. Найди ошибку. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений. Учиться можно только весело. Урок для учителей на курсах повышения квалификации.
«Прямоугольник и квадрат» - Вычислить периметр прямоугольника. Прямоугольник, у которого все стороны равны называют квадратом. Периметр квадрата вычисляется по формуле: P=4a. Периметр квадрата равен 32 см, Найти сторону квадрата. S квадрата равна 81квсм.Чему равна Сторона квадрата? Назовите противоположные стороны? Сумму длин всех сторон прямоугольника называют периметром прямоугольника.
«Удивительные квадраты» - Все четыре стороны Одинаковой длины. Сказка: Птицы: Слон. Удивительный квадрат. Парусник. Уходя, сказал «Приятных Я тебе желаю снов! Остров находился очень далеко и был таким маленьким. Основы оригами-квадрат. Стоял без слов... Вот так месть! Лодочка. 5.Дом. Я же старше, я - квадрат». Бумажная сказка.
«Интерференция двух волн» - Светлые полосы – волны усиливали друг друга (максимальная амплитуда). Бритва удерживается на воде поверхностным натяжением нефтяной пленки. Причина? Опыт Томаса Юнга. Радиотелескоп-интерферометр, расположенный в Нью-Мексико, США. Мыльные пленки. Просветление оптики. Свету различных цветов соответствует разные интервалы длин волн.
«Разность квадратов» - Тема урока: "Разность квадратов". Математический диктант. Пример 1. Выполнить умножение: (3х – 2у)(3х + 2у). Не путайте термины «разность квадратов» и «квадрат разности». Разность квадратов. 4) Разность между числом m и удвоенным произведением чисел х и у. Формула разности квадратов, используется для быстрого счета.
45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей. Сколько конфет можно купить на 50 рублей?
Ответ: 75 конфет.
Решение. Пусть x - стоимость одной конфеты в рублях. Тогда 45x = 20/x , откуда x = 2/3. Тогда на 50 рублей можно купить 50/x = 75 конфет.
Критерии.
Верно составлено уравнение 45x = 20/x , но при его решении или в дальнейшем допущена арифметическая ошибка: 5 баллов.
В решении утверждается, что цена одной конфеты равна 2/3, проверяется, что такая стоимость подходит в условие задачи, и получен верный ответ: 4 балла.
Приведён только верный ответ: 1 балл.
Задание 2. (7 баллов)
Женя расставил по кругу числа от 1 до 10 в некотором порядке, а Дима в каждой промежуток между числами вписал их сумму. Могло ли так случиться, что все написанные Димой числа оказались различными?
Ответ: Могло.
Пример расстановки чисел изображён ниже.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Приведён только верный ответ или верный ответ и неправильный пример: 0 баллов.
Задание 3. (7 баллов)
Можно ли в некоторые клетки таблицы 8× 8 написать единицы, а в остальные - нули, так, чтобы во всех столбцах была разная сумма, а во всех строчках - одинаковая?
Ответ: можно.
Решение. Пусть сумма чисел в каждой строчке равна x . Тогда сумма всех чисел в таблице равна 8x , то есть общая сумма делится на 8. Заметим, что в столбцах может быть от 0 до 8 единиц. Сумма всех чисел от 0 до 8 равна 36. Чтобы получить кратное 8 число, нужно из 36 отнять 4. Поэтому в нашем примере не должно быть столбца, в котором ровно 4 единицы.
Пример изображён ниже (есть и другие примеры).
Критерии. Любой верный пример, даже без каких-либо пояснений: 7 баллов.
Доказано, что если во всех столбцах сумма ненулевая, то примера не существует: 4 балла.
Задание 4. (7 баллов)
Два квадрата имеют общую вершину. Найдите отношение отрезков AB и CD , показанных на рисунке.
Ответ:
Решение. Пусть точка O - общая вершина двух квадратов, а их стороны равны a и b . Диагонали квадратов равны и соответственно. Кроме того, ∠COD = ∠COB + ∠BOD = ∠COB + 45° = ∠COB + ∠AOC = ∠AOB . Треугольники AOB и COD подобны по общему углы и пропорциональным сторонам при этом угле.
Следовательно, AB : CD =
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Правильно посчитано отношение не AB к CD , а CD к AB (соответственно, ответ ): 7 баллов.
Доказано подобие треугольников AOB и COD , но дальнейший вывод отсутствует или нужное отношение найдено неверно: 6 баллов.
Доказано, что ∠AOB = ∠COD , но дальнейшие продвижения отсутствуют: 1 балл.
Рассмотрен только частный случай (например, когда квадраты имеют совпадающую сторону или когда угол между некоторыми сторонами двух квадратов равен 90°): 0 баллов.
Приведён только верный ответ: 0 баллов.
Задание 5. (7 баллов)
Числа a, b, c и d таковы, что a +b = c +d ≠ 0, ac = bd . Докажите, что a + c = b + d .
Решение. Если a ≠ 0, то подставим c = b·d/a , получим
Отсюда b = c и a + c = b + d .
Если же a = 0, то b ≠ 0 (иначе a + b = 0), поэтому d = 0 (из ac = bd ). Но тогда равенство a + b = c + d переписывается как b = c , откуда следует нужное равенство.
Возможны и другие решения.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
В верном решении рассматривается выражение вида bd a (или любое аналогичное), но не рассмотрен случай равенства знаменателя нулю: 5 баллов.
Доказано, что (a +c ) 2 = (b +d ) 2 , но при этом не разобран случай (a +c ) = — (b + d ): 3 балла.
Рассмотрен только случай конкретных числовых значений a , b , c , d : 0 баллов.
Задание 6. (7 баллов)
Вдоль трассы стоят 60 дорожных знаков. На каждом из них написана сумма расстояний до оставшихся 59 знаков. Возможно ли такое, что на знаках написаны 60 различных натуральных чисел? (Расстояния между знаками не обязательно целые.)
Ответ: Невозможно.
Решение. Занумеруем знаки последовательно числами от 1 до 60. Докажем, что числа, записанные на знаках с номерами 30 и 31, совпадают.
Разобьём оставшиеся знаки на пары вида k и k + 31: 1 и 32, 2 и 33, . . . , 29 и 60. Заметим, что сумма расстояний как от знака 30, так и от знака 31, до знаков одной пары k и k + 31 равна расстоянию между знаками k и k + 31. Поскольку число на знаках 30 и 31 равно сумме расстояний до знаков всех 29 пар и расстояния между знаками 30 и 31, то числа на знаках 30 и 31 совпадают.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Утверждается, но не доказывается, что равны числа, написанные на двух средних столбиках (на столбиках 30 и 31): 2 балла.
На примере частных случаев показано, что обязательно найдутся равные числа: 0 баллов.
Приведён только верный ответ: 0 баллов.
1. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.
2. В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O - середина хорды BD.
3. Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
4. Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
5. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
6. Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD ⊥ EF.
7. Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки АВ и СД равны.
8. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
9. Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, ипродолженийегосторон AC и BC заточки A и B соответственно. Докажите, чтопериметртреугольника ABC равен диаметру этой окружности.
10. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.
11. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
12. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
13. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
14. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ - параллелограмм.
15. В параллелограмме ABCD точка E - середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.
16. Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки и равны.
17. Середины сторон параллелограмма является вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.
18. В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD - ромб.
19. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.
20. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
21. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
22. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.
23. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
24. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12
Дано : ∆АВС и ∆А1В1С1 ; АВ =___; АС =___; ÐС =____=_____.
Доказать : ∆АВС =_____.
Доказательство:
На (АС ) отложим точку D так, что CD =AC . ∆ABC =∆BCD , так как:
1) _____ - общая сторона;
2) AC =CD - по построению;
3) ÐАСВ =_______ => по _____ признаку АВ =_____.
Аналогично для А1В1С1
________________________________________________________
Имеем, что:
1) АВ
2) BD =___, так как ________________________;
3) AD =___, так как ________________________;
Тогда по третьему признаку треугольников: ∆ABD =_____.
Таким образом, имеем в ∆АВС и ∆А1В1С1 :
АВ =___
АС =___ => ∆_____=∆______.
ÐА =___
Задание 8.
Заполните таблицу, если известно, что ∆АВС =∆А1В1С1 .
Задание 9.
Решите дополнительные задачи:
1. Равные отрезки AB и CD пересекаются посередине каждого из них. Докажите равенство углов ACB и DBC . Сделайте чертеж.
2. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане исходящей из одной вершины. Сделайте чертеж.
3. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана. Сделайте чертёж.
4. Точки A , B , C , D лежат на одной прямой (рис.3.7). Докажите, что если ∆АВЕ1 =∆АВЕ2 , то ∆CDE 1 =∆CDE 2 .
5. У равных треугольников АВС и А1В1С1 из вершин В и В1 проведены биссектрисы BD и B 1 D 1 . Докажите равенство треугольников CBD и C 1 B 1 D 1 . Сделайте чертеж. Решите задачу разными способами. Творчески оформите решение.
Задание 10.
Ниже приведена задача и схема с пятью ее решениями (1-5). Рассмотрите каждое решение (рис.3.8). Какие признаки равенства треугольников в них использованы? Составьте план одного из решений и творчески оформите его.
Треугольники АВС и BAD равны. Их стороны AD и BC пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОС и BOD тоже равны.
Схема решений:
§4. Дополнительные задачи
п1. Задачи с практическим содержанием
Во многих практических и теоретических случаях удобно использовать знакомые нам признаки равенства треугольников.
ЗАДАЧА 1 . От оконного стекла треугольной формы откололся один из его уголков. Можно ли по сохранившейся части заказать стекольщику вырезать отколовшийся кусок стекла? Какие следует снять размеры? Построить этот треугольник с помощью циркуля и линейки.
Учащиеся работают в группах. Каждая группа оформляет решение. Первая группа, которая решила задачу, защищает свое решение.
ЗАДАЧА 2 . Столяру нужно заделать отверстие треугольной формы. Сколько размеров и какие он должен снять, чтобы изготовить латку? Что он должен измерить, если отверстие имеет форму: а) прямоугольного треугольника, б) равностороннего треугольника, в) равнобедренного треугольника, г) разностороннего треугольника.
Всем учащимся раздаются 4 предложенных вида треугольника. Устно необходимо выяснить какие размеры необходимо снять, чтобы изготовить латку.
ЗАДАЧА 3. Мама купила 1 метр ткани шириной 1 метр на платок двум своим дочерям. Разделите этот кусок ткани на две равные части, сделайте так, чтобы дочери не поругались.(платки были равными) и докажите правильность своих действий.
Изменится ли что-нибудь, если кусок ткани будет иметь форму:
· Прямоугольника,
· Параллелограмма.
ЗАДАЧА 4. Три поселка В, С, Д расположены так, что С находится в 7 км к юго-западу от поселка В, а поселок Д – в 4 км к востоку от В. Три других поселка А, К, М расположены так, что поселок К находится в 4 км к северу от М, а поселок А – в 7 км к юго-востоку от М. Сделайте чертеж и докажите, что расстояние между пунктами С и Д такое же, как между пунктами К и А.
ЗАДАЧА 5. В школьной мастерской изготовлены из проволоки четыре стержня длиной 4,7,10,13 см. Соединяя концами три стержня из четырех, выясните, из каких трех стержней можно составить треугольник, а из каких нельзя. Объясните ваши выводы.
п2. Задачи на применение признаков равенства треугольников из текстов ГИА
Задача 1. В окружности с центром О проведены две равные хорды АВ и CD. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL соответственно (рис.4.1). Докажите, что ОК и OL равны.
DIV_ADBLOCK234">
https://pandia.ru/text/80/260/images/image061.png" width="316" height="152">
Задача 4. Середина М основания AD трапеции ABCD равноудалена от концов другого основания (рис.4.4). Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
Задача 5. Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба (рис.4.5). Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.
Задача 6. Середины сторон параллелограмма являются вершинами прямоугольника (рис.4.6). Докажите, что данный параллелограмм ‒ ромб.
Задача 7. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны (рис 4.7).
Задача 8 . В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов (рис.4.8). Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.