Lý thuyết xác suất là một nhánh độc lập khá rộng rãi của toán học. Trong khóa học ở trường, lý thuyết xác suất được thảo luận rất hời hợt, nhưng trong Kỳ thi Thống nhất và Học viện Khảo thí Nhà nước lại có vấn đề về chủ đề này. Tuy nhiên, việc giải các bài toán ở trường không quá khó (ít nhất là liên quan đến các phép tính số học) - ở đây bạn không cần phải tính đạo hàm, lấy tích phân và giải các phép biến đổi lượng giác phức tạp - điều chính là có thể xử lý các số nguyên tố và phân số.
Lý thuyết xác suất - thuật ngữ cơ bản
Các thuật ngữ chính của lý thuyết xác suất là kiểm tra, kết quả và sự kiện ngẫu nhiên. Bài kiểm tra lý thuyết xác suất là một thử nghiệm - tung đồng xu, rút bài, rút thăm - tất cả đều là bài kiểm tra. Kết quả của bài kiểm tra, như bạn có thể đoán, được gọi là kết quả.
Sự kiện ngẫu nhiên là gì? Trong lý thuyết xác suất, giả định rằng phép thử được thực hiện nhiều lần và có nhiều kết quả. Một sự kiện ngẫu nhiên là một tập hợp các kết quả của một phép thử. Ví dụ: nếu bạn tung một đồng xu, hai sự kiện ngẫu nhiên có thể xảy ra - mặt ngửa hoặc mặt sấp.
Đừng nhầm lẫn giữa khái niệm kết quả và sự kiện ngẫu nhiên. Một kết quả là một kết quả của một thử nghiệm. Một sự kiện ngẫu nhiên là một tập hợp các kết quả có thể xảy ra. Nhân tiện, có một thuật ngữ như một sự kiện không thể xảy ra. Ví dụ: sự kiện “lắc số 8” trên một viên xúc xắc tiêu chuẩn là không thể.
Làm thế nào để tìm xác suất?
Tất cả chúng ta đều hiểu đại khái xác suất là gì và thường sử dụng từ này trong vốn từ vựng của mình. Ngoài ra, chúng ta thậm chí có thể rút ra một số kết luận về khả năng xảy ra một sự kiện cụ thể, chẳng hạn như nếu có tuyết ngoài cửa sổ, rất có thể chúng ta có thể nói rằng đó không phải là mùa hè. Tuy nhiên, làm thế nào chúng ta có thể diễn đạt giả định này bằng số?
Để giới thiệu công thức tìm xác suất, chúng tôi đưa ra một khái niệm nữa - kết quả thuận lợi, tức là kết quả có lợi cho một sự kiện cụ thể. Tất nhiên, định nghĩa này khá mơ hồ, nhưng tùy theo điều kiện của vấn đề, luôn luôn rõ ràng kết quả nào là thuận lợi.
Ví dụ: Lớp có 25 người, trong đó có 3 người là Katya. Giáo viên giao nhiệm vụ cho Olya và cô ấy cần một người bạn đồng hành. Xác suất để Katya trở thành đối tác của bạn là bao nhiêu?
Trong ví dụ này, kết quả thuận lợi là đối tác Katya. Chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề này một lát sau. Nhưng trước tiên, bằng cách sử dụng một định nghĩa bổ sung, chúng tôi giới thiệu một công thức tìm xác suất.
- P = A/N, trong đó P là xác suất, A là số kết quả thuận lợi, N là tổng số kết quả.
Mọi vấn đề ở trường đều xoay quanh một công thức này và khó khăn chính thường nằm ở việc tìm ra kết quả. Đôi khi chúng rất dễ tìm thấy, đôi khi không nhiều.
Làm thế nào để giải quyết vấn đề xác suất?
Vấn đề 1
Vậy bây giờ hãy giải quyết vấn đề trên.
Số kết quả thuận lợi (giáo viên sẽ chọn Katya) là ba, vì trong lớp có ba Katya và tổng số kết quả là 24 (25-1, vì Olya đã được chọn). Khi đó xác suất là: P = 3/24=1/8=0,125. Như vậy, xác suất đối tác của Olya là Katya là 12,5%. Không khó phải không? Hãy nhìn vào một cái gì đó phức tạp hơn.
Vấn đề 2
Đồng xu được tung hai lần, xác suất để được một mặt ngửa và một mặt sấp là bao nhiêu?
Vì vậy, hãy xem xét các kết quả chung. Làm thế nào đồng xu có thể rơi xuống - mặt ngửa/ngửa, mặt sấp/súp, mặt ngửa/súp, mặt sấp/ngửa? Điều này có nghĩa là tổng số kết quả là 4. Có bao nhiêu kết quả thuận lợi? Hai - đầu/đuôi và đuôi/đầu. Do đó, xác suất để có được kết hợp ngửa/sấp là:
- P = 2/4 = 0,5 hoặc 50 phần trăm.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét vấn đề này. Masha có 6 đồng xu trong túi: hai đồng có mệnh giá 5 rúp và bốn đồng có mệnh giá 10 rúp. Masha chuyển 3 đồng xu sang túi khác. Xác suất để những đồng xu 5 rúp rơi vào các túi khác nhau là bao nhiêu?
Để đơn giản, hãy chỉ định các đồng xu theo số - 1,2 - đồng năm rúp, 3,4,5,6 - đồng mười rúp. Vì vậy, làm thế nào tiền có thể ở trong túi của bạn? Tổng cộng có 20 kết hợp:
- 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.
Thoạt nhìn, có vẻ như thiếu một số kết hợp, ví dụ: 231, nhưng trong trường hợp của chúng tôi, các kết hợp 123, 231 và 321 là tương đương.
Bây giờ chúng ta đếm xem chúng ta có bao nhiêu kết quả thuận lợi. Đối với chúng, chúng tôi lấy những kết hợp chứa số 1 hoặc số 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Như vậy, có 12 trong số đó. xác suất bằng:
- P = 12/20 = 0,6 hoặc 60%.
Các bài toán xác suất được trình bày ở đây khá đơn giản, nhưng bạn đừng nghĩ rằng xác suất là một nhánh đơn giản của toán học. Nếu bạn quyết định tiếp tục học tại một trường đại học (ngoại trừ nhân văn), bạn chắc chắn sẽ có các lớp học về toán cao hơn, trong đó bạn sẽ được làm quen với các thuật ngữ phức tạp hơn của lý thuyết này và các nhiệm vụ ở đó sẽ khó hơn nhiều. .
Dù muốn hay không, cuộc sống của chúng ta đầy rẫy những tai nạn, vừa dễ chịu vừa không dễ chịu. Vì vậy, sẽ không có hại gì cho mỗi chúng ta nếu biết cách tìm xác suất của một sự kiện cụ thể. Điều này sẽ giúp bạn đưa ra quyết định đúng đắn trong mọi trường hợp có sự không chắc chắn. Ví dụ, những kiến thức như vậy sẽ rất hữu ích khi lựa chọn các phương án đầu tư, đánh giá khả năng trúng cổ phiếu hoặc xổ số, xác định thực tế đạt được mục tiêu cá nhân, v.v., v.v.
Công thức lý thuyết xác suất
Về nguyên tắc, nghiên cứu chủ đề này không mất quá nhiều thời gian. Để có câu trả lời cho câu hỏi: “Làm thế nào để tìm xác suất của một hiện tượng?”, bạn cần hiểu các khái niệm chính và ghi nhớ các nguyên tắc cơ bản làm cơ sở cho phép tính. Như vậy, theo thống kê, các sự kiện đang nghiên cứu được ký hiệu là A1, A2,..., An. Mỗi trong số chúng đều có cả kết quả thuận lợi (m) và tổng số kết quả cơ bản. Ví dụ, chúng ta quan tâm đến việc làm thế nào để tìm xác suất để có một số điểm chẵn ở mặt trên của khối lập phương. Khi đó A là tung m - tung ra 2, 4 hoặc 6 điểm (ba phương án thuận lợi) và n là tất cả sáu phương án khả thi.
Bản thân công thức tính toán như sau:
Với một kết quả, mọi thứ đều cực kỳ dễ dàng. Nhưng làm thế nào để tìm được xác suất nếu các sự kiện xảy ra lần lượt? Hãy xem xét ví dụ này: một lá bài được lấy ra từ bộ bài (36 quân), sau đó nó được giấu trở lại bộ bài và sau khi xáo trộn, quân tiếp theo sẽ được rút ra. Làm thế nào để tìm xác suất để có ít nhất một trường hợp rút được quân hậu? Có một quy tắc sau: nếu một sự kiện phức tạp được xem xét, có thể được chia thành nhiều sự kiện đơn giản không tương thích, thì trước tiên bạn có thể tính kết quả cho từng sự kiện đó, sau đó cộng chúng lại với nhau. Trong trường hợp của chúng tôi, nó sẽ trông như thế này: 1/36 + 1/36 = 1/18. Nhưng điều gì xảy ra khi nhiều điều xảy ra đồng thời? Sau đó chúng tôi nhân kết quả! Ví dụ: xác suất khi tung hai đồng xu cùng lúc sẽ xuất hiện hai mặt ngửa là: ½ * ½ = 0,25.
Bây giờ hãy lấy một ví dụ thậm chí còn phức tạp hơn. Giả sử chúng ta tham gia một cuộc xổ số sách trong đó có mười trên ba mươi vé trúng thưởng. Bạn cần xác định:
- Xác suất cả hai sẽ là người chiến thắng.
- Ít nhất một trong số họ sẽ mang lại giải thưởng.
- Cả hai sẽ là người thua cuộc.
Vì vậy, hãy xem xét trường hợp đầu tiên. Nó có thể được chia thành hai sự kiện: tấm vé đầu tiên sẽ may mắn và tấm vé thứ hai cũng sẽ may mắn. Hãy lưu ý rằng các sự kiện đều phụ thuộc vào nhau, vì sau mỗi lần rút ra, tổng số tùy chọn sẽ giảm đi. Chúng tôi nhận được:
10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.
Trong trường hợp thứ hai, bạn sẽ cần xác định xác suất mất vé và tính đến việc đó có thể là vé thứ nhất hoặc thứ hai: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.
Cuối cùng, trường hợp thứ ba, khi bạn không thể nhận được dù chỉ một cuốn sách từ xổ số: 20/30 * 19/29 = 0,4368.
Tôi hiểu rằng mọi người đều muốn biết trước sự kiện thể thao sẽ kết thúc như thế nào, ai sẽ thắng và ai sẽ thua. Với thông tin này, bạn có thể đặt cược vào các sự kiện thể thao mà không cần lo lắng. Nhưng liệu điều đó có khả thi không, và nếu có thì làm thế nào để tính xác suất của một sự kiện?
Xác suất là một đại lượng tương đối nên không thể nói chắc chắn về bất kỳ sự kiện nào. Giá trị này cho phép bạn phân tích và đánh giá nhu cầu đặt cược vào một cuộc thi cụ thể. Xác định xác suất là cả một khoa học đòi hỏi sự nghiên cứu và hiểu biết cẩn thận.
Hệ số xác suất trong lý thuyết xác suất
Trong cá cược thể thao, có một số lựa chọn về kết quả của cuộc thi:
- chiến thắng của đội đầu tiên;
- chiến thắng của đội thứ hai;
- vẽ tranh;
- tổng cộng
Mỗi kết quả của cuộc thi có xác suất và tần suất riêng mà sự kiện này sẽ xảy ra, miễn là các đặc điểm ban đầu được duy trì. Như chúng tôi đã nói trước đó, không thể tính toán chính xác xác suất của bất kỳ sự kiện nào - nó có thể trùng khớp hoặc không. Vì vậy, đặt cược của bạn có thể thắng hoặc thua.
Không thể có dự đoán chính xác 100% về kết quả trận đấu, vì có nhiều yếu tố ảnh hưởng đến kết quả trận đấu. Đương nhiên, các nhà cái không biết trước kết quả trận đấu và chỉ giả định kết quả, đưa ra quyết định bằng cách sử dụng hệ thống phân tích của họ và đưa ra tỷ lệ cược nhất định.
Làm thế nào để tính xác suất của một sự kiện?
Giả sử tỷ lệ cược của nhà cái là 2,1/2 – chúng ta nhận được 50%. Thì ra hệ số 2 bằng xác suất 50%. Sử dụng nguyên tắc tương tự, bạn có thể nhận được hệ số xác suất hòa vốn - 1/xác suất.
Nhiều người chơi cho rằng sau nhiều lần thua liên tiếp thì chắc chắn sẽ có chiến thắng - đây là một quan điểm sai lầm. Xác suất thắng cược không phụ thuộc vào số lần thua. Ngay cả khi bạn lật nhiều mặt liên tiếp trong trò chơi xu, xác suất lật mặt vẫn giữ nguyên - 50%.
Biết cách ước tính khả năng xảy ra một sự kiện dựa trên tỷ lệ cược là điều cần thiết để chọn cược phù hợp. Nếu bạn không hiểu cách chuyển tỷ lệ cược của nhà cái thành xác suất thì bạn sẽ không bao giờ xác định được tỷ lệ cược của nhà cái so với tỷ lệ thực tế của sự kiện diễn ra như thế nào. Bạn nên hiểu rằng nếu xác suất của một sự kiện theo nhà cái thấp hơn xác suất của sự kiện đó theo phiên bản của bạn thì việc đặt cược vào sự kiện này sẽ có giá trị. Bạn có thể so sánh tỷ lệ cược cho các sự kiện khác nhau trên trang web Odds.ru.
1.1. Các loại tỷ lệ cược
Các nhà cái thường đưa ra ba loại tỷ lệ cược - thập phân, phân số và kiểu Mỹ. Chúng ta hãy xem xét từng giống.
1.2. Tỷ lệ cược thập phân
Tỷ lệ cược thập phân khi nhân với kích thước đặt cược cho phép bạn tính toán toàn bộ số tiền mà bạn sẽ nhận được trong tay nếu thắng. Ví dụ: nếu bạn đặt cược 1 đô la với tỷ lệ cược là 1,80, nếu bạn thắng, bạn sẽ nhận được 1,80 đô la (1 đô la là số tiền đặt cược được trả lại, 0,80 là tiền thắng cược, cũng là lợi nhuận ròng của bạn).
Tức là xác suất xảy ra kết quả theo nhà cái là 55%.
1.3. tỷ lệ cược phân số
Tỷ lệ cược phân số là loại tỷ lệ cược truyền thống nhất. Tử số cho thấy số tiền thắng ròng tiềm năng. Mẫu số là số tiền đặt cược cần thực hiện để có được chiến thắng này. Ví dụ: tỷ lệ cược 7/2 có nghĩa là để thắng được 7 đô la, bạn cần đặt cược 2 đô la.
Để tính xác suất của một sự kiện dựa trên hệ số thập phân, bạn nên thực hiện các phép tính đơn giản - chia mẫu số cho tổng của tử số và mẫu số. Với tỷ lệ cược 7/2 trên thì cách tính sẽ như sau:
2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22
Tức là xác suất xảy ra kết quả theo nhà cái là 22%.
1.4. tỷ lệ cá cược Mỹ
Loại tỷ lệ cược này phổ biến ở Bắc Mỹ. Thoạt nhìn, chúng có vẻ khá phức tạp và khó hiểu, nhưng đừng sợ. Hiểu tỷ lệ cược của Mỹ có thể hữu ích, chẳng hạn như khi chơi ở sòng bạc ở Mỹ, để hiểu các trích dẫn được hiển thị trên các chương trình phát sóng thể thao ở Bắc Mỹ. Hãy xem cách ước tính xác suất xảy ra kết quả dựa trên tỷ lệ cược kiểu Mỹ.
Trước hết, bạn cần hiểu rằng tỷ lệ kèo Mỹ có thể dương và âm. Hệ số âm của Mỹ luôn có định dạng, ví dụ: “-150”. Điều này có nghĩa là để nhận được 100 đô la lợi nhuận ròng (tiền thắng), bạn cần đặt cược 150 đô la.
Hệ số dương của Mỹ được tính ngược lại. Ví dụ: chúng ta có hệ số “+120”. Điều này có nghĩa là để nhận được 120 đô la lợi nhuận ròng (tiền thắng), bạn cần đặt cược 100 đô la.
Việc tính toán xác suất dựa trên tỷ lệ cược Mỹ âm được thực hiện bằng công thức sau:
(-(hệ số Mỹ âm)) / ((-(hệ số Mỹ âm)) + 100)
(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6
Nghĩa là, xác suất xảy ra một sự kiện có hệ số âm “-150” của Mỹ được đưa ra là 60%.
Bây giờ hãy xem xét các tính toán tương tự cho hệ số dương của Mỹ. Xác suất trong trường hợp này được tính bằng công thức sau:
100/(hệ số dương Mỹ +100)
100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45
Nghĩa là, xác suất xảy ra một sự kiện mà hệ số dương “+120” của Mỹ được đưa ra là 45%.
1.5. Làm cách nào để chuyển đổi tỷ lệ cược từ định dạng này sang định dạng khác?
Khả năng chuyển đổi tỷ lệ cược từ định dạng này sang định dạng khác có thể phục vụ tốt cho bạn sau này. Điều kỳ lạ là vẫn có những văn phòng không chuyển đổi tỷ lệ cược và chỉ hiển thị ở một định dạng, điều này không bình thường đối với chúng tôi. Hãy xem các ví dụ về cách thực hiện việc này. Nhưng trước tiên, chúng ta cần học cách tính xác suất của một kết quả dựa trên hệ số được cung cấp cho chúng ta.
1.6. Làm thế nào để tính tỷ lệ cược thập phân dựa trên xác suất?
Mọi thứ ở đây rất đơn giản. Cần phải chia 100 cho xác suất của sự kiện theo phần trăm. Nghĩa là, nếu xác suất ước tính của một sự kiện là 60%, bạn cần phải:
Với xác suất ước tính của một sự kiện là 60%, tỷ lệ cược thập phân sẽ là 1,66.
1.7. Làm thế nào để tính tỷ lệ cược phân số dựa trên xác suất?
Trong trường hợp này, bạn cần chia 100 cho xác suất của sự kiện và trừ đi một từ kết quả thu được. Ví dụ: xác suất của một sự kiện là 40%:
(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5
Nghĩa là, chúng ta nhận được hệ số phân số là 1,5/1 hoặc để dễ tính toán là 3/2.
1.8. Làm thế nào để tính hệ số Mỹ dựa trên kết quả có thể xảy ra?
Ở đây, phần lớn sẽ phụ thuộc vào xác suất của sự kiện - liệu nó sẽ lớn hơn 50% hay ít hơn. Nếu xác suất của một sự kiện lớn hơn 50% thì việc tính toán sẽ được thực hiện theo công thức sau:
- ((xác suất) / (100 - xác suất)) * 100
Ví dụ: nếu xác suất của một sự kiện là 80% thì:
— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)
Với xác suất ước tính xảy ra sự kiện là 80%, chúng tôi nhận được hệ số âm của Mỹ là “-400”.
Nếu xác suất của một sự kiện nhỏ hơn 50 phần trăm thì công thức sẽ là:
((100 - xác suất) / xác suất) * 100
Ví dụ: nếu xác suất của một sự kiện là 40% thì:
((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150
Với xác suất ước tính xảy ra sự kiện là 40%, chúng tôi nhận được hệ số dương của Mỹ là “+150”.
Những tính toán này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm cược và tỷ lệ cược, đồng thời tìm hiểu cách đánh giá giá trị thực của một cược cụ thể.
Hầu như không có nhiều người nghĩ đến việc liệu có thể tính toán các sự kiện ít nhiều ngẫu nhiên hay không. Nói một cách đơn giản, liệu có thể biết được cạnh nào của khối lập phương sẽ xuất hiện tiếp theo không? Đó là câu hỏi mà hai nhà khoa học vĩ đại đã tự hỏi mình, những người đã đặt nền móng cho một ngành khoa học như lý thuyết xác suất, trong đó xác suất của một sự kiện được nghiên cứu khá rộng rãi.
Nguồn gốc
Nếu bạn cố gắng định nghĩa một khái niệm như lý thuyết xác suất, bạn sẽ nhận được những điều sau: đây là một trong những nhánh toán học nghiên cứu tính không đổi của các sự kiện ngẫu nhiên. Tất nhiên, khái niệm này không thực sự bộc lộ toàn bộ bản chất nên cần phải xem xét nó chi tiết hơn.
Tôi muốn bắt đầu với những người tạo ra lý thuyết này. Như đã đề cập ở trên, có hai người trong số họ và họ là một trong những người đầu tiên cố gắng tính toán kết quả của sự kiện này hoặc sự kiện kia bằng cách sử dụng các công thức và phép tính toán học. Nhìn chung, sự khởi đầu của khoa học này xuất hiện từ thời Trung cổ. Vào thời điểm đó, nhiều nhà tư tưởng và nhà khoa học đã cố gắng phân tích các trò chơi cờ bạc, chẳng hạn như roulette, craps, v.v., từ đó thiết lập mô hình và tỷ lệ phần trăm của một con số cụ thể rơi ra. Nền tảng được đặt vào thế kỷ XVII bởi các nhà khoa học nói trên.
Lúc đầu, công trình của họ không thể được coi là thành tựu lớn trong lĩnh vực này, bởi tất cả những gì họ làm chỉ đơn giản là những dữ kiện thực nghiệm, và các thí nghiệm được thực hiện một cách trực quan, không sử dụng công thức. Theo thời gian, có thể đạt được kết quả tuyệt vời xuất hiện nhờ quan sát việc ném xúc xắc. Chính công cụ này đã giúp tạo ra những công thức dễ hiểu đầu tiên.
Những người cùng chí hướng
Không thể không nhắc đến một người như Christiaan Huygens trong quá trình nghiên cứu chủ đề “lý thuyết xác suất” (xác suất của một sự kiện được đề cập chính xác trong ngành khoa học này). Người này rất thú vị. Ông, giống như các nhà khoa học đã trình bày ở trên, đã cố gắng rút ra mô hình của các sự kiện ngẫu nhiên dưới dạng các công thức toán học. Đáng chú ý là ông đã không làm điều này cùng với Pascal và Fermat, tức là tất cả các tác phẩm của ông đều không giao thoa với những bộ óc này. Huygens đã suy luận
Một sự thật thú vị là công trình của ông ra đời rất lâu trước kết quả công trình của những người khám phá, hay nói đúng hơn là hai mươi năm trước đó. Trong số các khái niệm được xác định, nổi tiếng nhất là:
- khái niệm xác suất là giá trị của may rủi;
- kỳ vọng toán học cho các trường hợp rời rạc;
- định lý nhân và cộng xác suất.
Cũng không thể không nhớ ai cũng có đóng góp đáng kể cho việc nghiên cứu vấn đề này. Tiến hành các thử nghiệm của riêng mình, độc lập với bất kỳ ai, ông đã có thể đưa ra bằng chứng về luật số lớn. Đổi lại, các nhà khoa học Poisson và Laplace, những người làm việc vào đầu thế kỷ 19, đã có thể chứng minh các định lý ban đầu. Chính từ thời điểm này, lý thuyết xác suất bắt đầu được sử dụng để phân tích sai số trong các quan sát. Các nhà khoa học Nga, hay đúng hơn là Markov, Chebyshev và Dyapunov, không thể bỏ qua ngành khoa học này. Dựa trên công trình được thực hiện bởi những thiên tài vĩ đại, họ đã xác lập môn học này như một nhánh của toán học. Những con số này đã có tác dụng vào cuối thế kỷ 19 và nhờ sự đóng góp của chúng, các hiện tượng sau đã được chứng minh:
- luật số lớn;
- lý thuyết chuỗi Markov;
- định lý giới hạn trung tâm.
Như vậy, với lịch sử ra đời của khoa học và với những người chính chịu ảnh hưởng của nó thì mọi chuyện ít nhiều đã rõ ràng. Bây giờ đã đến lúc làm rõ mọi sự thật.
Khái niệm cơ bản
Trước khi đề cập đến các định luật và định lý, cần nghiên cứu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. Sự kiện này đóng một vai trò hàng đầu trong đó. Chủ đề này khá đồ sộ, nhưng nếu không có nó thì sẽ không thể hiểu được mọi thứ khác.
Một sự kiện trong lý thuyết xác suất là bất kỳ tập hợp kết quả nào của một thí nghiệm. Có khá nhiều khái niệm về hiện tượng này. Vì vậy, nhà khoa học Lotman, làm việc trong lĩnh vực này, nói rằng trong trường hợp này chúng ta đang nói về những gì “đã xảy ra, mặc dù nó có thể không xảy ra”.
Các sự kiện ngẫu nhiên (lý thuyết xác suất đặc biệt chú ý đến chúng) là một khái niệm bao hàm hoàn toàn bất kỳ hiện tượng nào có cơ hội xảy ra. Hoặc ngược lại, kịch bản này có thể không xảy ra nếu đáp ứng nhiều điều kiện. Cũng cần biết rằng chính những sự kiện ngẫu nhiên đã nắm bắt toàn bộ khối lượng các hiện tượng đã xảy ra. Lý thuyết xác suất chỉ ra rằng mọi điều kiện đều có thể được lặp lại liên tục. Hành vi của họ được gọi là “kinh nghiệm” hay “thử nghiệm”.
Một sự kiện đáng tin cậy là một hiện tượng có khả năng xảy ra một trăm phần trăm trong một thử nghiệm nhất định. Theo đó, biến cố không thể xảy ra là biến cố sẽ không xảy ra.
Sự kết hợp của một cặp hành động (có điều kiện, trường hợp A và trường hợp B) là hiện tượng xảy ra đồng thời. Chúng được chỉ định là AB.
Tổng các cặp sự kiện A và B là C, nói cách khác, nếu ít nhất một trong số chúng xảy ra (A hoặc B) thì sẽ thu được C. Công thức tính hiện tượng mô tả được viết như sau: C = A +. B.
Các sự kiện không tương thích trong lý thuyết xác suất ngụ ý rằng hai trường hợp loại trừ lẫn nhau. Trong mọi trường hợp chúng không thể xảy ra cùng một lúc. Các sự kiện chung trong lý thuyết xác suất là phản âm của chúng. Điều muốn nói ở đây là nếu A xảy ra thì nó không ngăn cản B dưới bất kỳ hình thức nào.
Các sự kiện đối nghịch (lý thuyết xác suất xem xét chúng rất chi tiết) rất dễ hiểu. Cách tốt nhất để hiểu chúng là so sánh. Chúng gần giống như những sự kiện không tương thích trong lý thuyết xác suất. Nhưng sự khác biệt của chúng nằm ở chỗ một trong nhiều hiện tượng phải xảy ra trong mọi trường hợp.
Các sự kiện có khả năng xảy ra như nhau là những hành động có số lần lặp lại như nhau. Để làm cho nó rõ ràng hơn, bạn có thể tưởng tượng việc tung một đồng xu: việc mất một mặt của nó cũng có khả năng rơi ra khỏi mặt kia như nhau.
Sẽ dễ dàng hơn khi xem xét một sự kiện tốt lành bằng một ví dụ. Giả sử có một tập B và một tập A. Đầu tiên là tung xúc xắc với một số lẻ xuất hiện, và thứ hai là xuất hiện số năm trên xúc xắc. Sau đó hóa ra A ủng hộ B.
Các sự kiện độc lập trong lý thuyết xác suất chỉ được chiếu lên hai hoặc nhiều trường hợp và ngụ ý sự độc lập của bất kỳ hành động nào với trường hợp khác. Ví dụ: A là mất mặt khi tung đồng xu và B là rút ra một con jack từ bộ bài. Chúng là những sự kiện độc lập trong lý thuyết xác suất. Lúc này mọi chuyện đã trở nên rõ ràng hơn.
Các sự kiện phụ thuộc trong lý thuyết xác suất cũng chỉ được phép đối với một tập hợp chúng. Chúng ngụ ý sự phụ thuộc của cái này vào cái kia, nghĩa là hiện tượng B chỉ có thể xảy ra nếu A đã xảy ra hoặc ngược lại, chưa xảy ra, khi đây là điều kiện chính cho B.
Kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên gồm một thành phần là các sự kiện cơ bản. Lý thuyết xác suất giải thích rằng đây là hiện tượng chỉ xảy ra một lần.
Công thức cơ bản
Vì vậy, các khái niệm về “sự kiện” và “lý thuyết xác suất” đã được thảo luận ở trên; định nghĩa về các thuật ngữ cơ bản của khoa học này cũng đã được đưa ra. Bây giờ là lúc làm quen trực tiếp với các công thức quan trọng. Những biểu thức này xác nhận về mặt toán học tất cả các khái niệm chính trong một chủ đề phức tạp như lý thuyết xác suất. Xác suất của một sự kiện cũng đóng một vai trò rất lớn ở đây.
Tốt hơn hết bạn nên bắt đầu với những cái cơ bản. Và trước khi bắt đầu với chúng, bạn nên xem xét chúng là gì.
Tổ hợp chủ yếu là một nhánh của toán học; nó liên quan đến việc nghiên cứu một số lượng lớn các số nguyên, cũng như các hoán vị khác nhau của cả các số và các phần tử của chúng, các dữ liệu khác nhau, v.v., dẫn đến sự xuất hiện của một số kết hợp. Ngoài lý thuyết xác suất, nhánh này còn quan trọng đối với thống kê, khoa học máy tính và mật mã.
Vì vậy, bây giờ chúng ta có thể chuyển sang phần trình bày các công thức và định nghĩa của chúng.
Đầu tiên trong số chúng sẽ là biểu thức cho số lượng hoán vị, nó trông như thế này:
P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
Phương trình chỉ được áp dụng nếu các phần tử chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp của chúng.
Bây giờ công thức vị trí sẽ được xem xét, nó trông như thế này:
A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!
Biểu thức này không chỉ áp dụng cho thứ tự vị trí của phần tử mà còn cho thành phần của nó.
Phương trình thứ ba của tổ hợp, và cũng là phương trình cuối cùng, được gọi là công thức tính số tổ hợp:
C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!
Sự kết hợp đề cập đến các lựa chọn không được sắp xếp tương ứng, quy tắc này áp dụng cho chúng.
Thật dễ dàng để hiểu các công thức tổ hợp; bây giờ bạn có thể chuyển sang định nghĩa cổ điển về xác suất. Biểu thức này trông như thế này:
Trong công thức này, m là số điều kiện thuận lợi cho sự kiện A, và n là số các kết quả cơ bản và hoàn toàn có thể xảy ra như nhau.
Có một số lượng lớn các biểu thức; bài viết sẽ không đề cập đến tất cả chúng, nhưng những biểu thức quan trọng nhất sẽ được đề cập đến, chẳng hạn như xác suất của tổng các sự kiện:
P(A + B) = P(A) + P(B) - định lý này chỉ dùng để cộng các sự kiện không tương thích;
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - và cái này chỉ dùng để thêm những cái tương thích.
Xác suất xảy ra sự kiện:
P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - định lý này áp dụng cho các sự kiện độc lập;
(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - và cái này dành cho người phụ thuộc.
Danh sách các sự kiện sẽ được hoàn thiện theo công thức sự kiện. Lý thuyết xác suất cho chúng ta biết về định lý Bayes như thế này:
P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., N
Trong công thức này H 1, H 2, ..., H n là một nhóm giả thuyết hoàn chỉnh.
Ví dụ
Nếu bạn nghiên cứu kỹ bất kỳ phần nào của toán học, nó sẽ không thể hoàn thiện nếu không có bài tập và lời giải mẫu. Lý thuyết xác suất cũng vậy: các sự kiện và ví dụ ở đây là thành phần không thể thiếu xác nhận các tính toán khoa học.
Công thức tính số hoán vị
Giả sử có ba mươi lá bài trong một bộ bài, bắt đầu bằng giá trị là một. Câu hỏi tiếp theo. Có bao nhiêu cách xếp bộ bài sao cho các quân bài có giá trị một và hai không nằm cạnh nhau?
Nhiệm vụ đã được đặt ra, bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải quyết nó. Trước tiên, bạn cần xác định số lượng hoán vị của ba mươi phần tử, để làm điều này, chúng tôi sử dụng công thức được trình bày ở trên, hóa ra P_30 = 30!.
Dựa trên quy tắc này, chúng ta tìm ra có bao nhiêu lựa chọn để gấp bộ bài theo nhiều cách khác nhau, nhưng chúng ta cần loại bỏ những lựa chọn trong đó quân bài thứ nhất và quân bài thứ hai nằm cạnh nhau. Để làm điều này, hãy bắt đầu với tùy chọn khi cái đầu tiên ở trên cái thứ hai. Hóa ra lá bài đầu tiên có thể chiếm 29 vị trí - từ vị trí đầu tiên đến vị trí thứ hai mươi chín, và lá bài thứ hai từ vị trí thứ hai đến vị trí thứ ba mươi, tạo nên tổng cộng hai mươi chín vị trí cho một cặp thẻ. Đổi lại, những người còn lại có thể chấp nhận hai mươi tám vị trí và theo bất kỳ thứ tự nào. Tức là, để sắp xếp lại 28 tấm thẻ, có 28 phương án P_28 = 28!
Kết quả là, nếu chúng ta xét giải pháp khi quân bài thứ nhất cao hơn quân bài thứ hai thì sẽ có thêm 29 ⋅ 28 khả năng! = 29!
Sử dụng phương pháp tương tự, bạn cần tính số phương án dự phòng cho trường hợp quân bài thứ nhất nằm dưới quân bài thứ hai. Hóa ra nó cũng là 29 ⋅ 28! = 29!
Từ đó suy ra rằng có 2 ⋅ 29 lựa chọn bổ sung!, trong khi số cách cần thiết để lắp ráp một bộ bài là 30! - 2 ⋅ 29!. Tất cả những gì còn lại là đếm.
30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28
Bây giờ bạn cần nhân tất cả các số từ một đến hai mươi chín, rồi cuối cùng nhân mọi số với 28. Câu trả lời là 2.4757335 ⋅〖10〗^32
Giải pháp ví dụ. Công thức tính số vị trí
Trong bài toán này, bạn cần tìm xem có bao nhiêu cách để xếp mười lăm tập trên một kệ nhưng với điều kiện là có tổng cộng ba mươi tập.
Giải pháp cho vấn đề này đơn giản hơn một chút so với vấn đề trước. Sử dụng công thức đã biết, cần tính tổng số lần sắp xếp của ba mươi tập mười lăm.
A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000
Câu trả lời theo đó sẽ bằng 202.843.204.931.727.360.000.
Bây giờ chúng ta hãy thực hiện một nhiệm vụ khó khăn hơn một chút. Bạn cần tìm xem có bao nhiêu cách sắp xếp ba mươi cuốn sách trên hai giá sách, biết rằng một giá chỉ chứa được mười lăm cuốn sách.
Trước khi bắt đầu giải pháp, tôi muốn làm rõ rằng một số vấn đề có thể được giải quyết theo nhiều cách và cách này có hai phương pháp, nhưng cả hai đều sử dụng cùng một công thức.
Trong bài toán này, bạn có thể lấy câu trả lời từ bài trước, vì ở đó chúng tôi đã tính số lần bạn có thể lấp đầy một kệ với mười lăm cuốn sách theo nhiều cách khác nhau. Hóa ra A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.
Chúng tôi sẽ tính toán kệ thứ hai bằng công thức hoán vị, vì có thể đặt mười lăm cuốn sách trong đó, trong khi chỉ còn lại mười lăm cuốn sách. Chúng tôi sử dụng công thức P_15 = 15!.
Hóa ra tổng sẽ là A_30^15 ⋅ P_15 cách, nhưng, ngoài ra, tích của tất cả các số từ ba mươi đến mười sáu sẽ cần phải được nhân với tích của các số từ một đến mười lăm, cuối cùng bạn sẽ nhận được tích của tất cả các số từ một đến ba mươi, tức là đáp án bằng 30!
Nhưng vấn đề này có thể được giải quyết theo cách khác - dễ dàng hơn. Để làm điều này, bạn có thể tưởng tượng rằng có một kệ chứa ba mươi cuốn sách. Tất cả chúng đều được đặt trên mặt phẳng này, nhưng vì điều kiện yêu cầu phải có hai kệ nên chúng tôi thấy một cái dài làm đôi, nên chúng tôi có hai trong số mười lăm. Từ đó suy ra có thể có P_30 = 30 phương án sắp xếp!.
Giải pháp ví dụ. Công thức tính số tổ hợp
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một dạng của bài toán thứ ba trong tổ hợp. Cần phải tìm ra có bao nhiêu cách để sắp xếp mười lăm cuốn sách, với điều kiện là bạn phải chọn từ ba mươi cuốn hoàn toàn giống nhau.
Tất nhiên, để giải quyết, công thức tính số tổ hợp sẽ được áp dụng. Từ điều kiện này, rõ ràng là thứ tự của mười lăm cuốn sách giống nhau là không quan trọng. Vì vậy, ban đầu bạn cần tìm ra tổng số tổ hợp của ba mươi cuốn mười lăm.
C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520
Thế thôi. Sử dụng công thức này, chúng tôi có thể giải quyết vấn đề này trong thời gian ngắn nhất; đáp án là 155.117.520.
Giải pháp ví dụ. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Sử dụng công thức trên, bạn có thể tìm thấy câu trả lời cho một vấn đề đơn giản. Nhưng điều này sẽ giúp nhìn rõ và theo dõi tiến trình của các hành động.
Bài toán phát biểu rằng có mười quả bóng hoàn toàn giống nhau trong bình. Trong số này, bốn màu vàng và sáu màu xanh. Một quả bóng được lấy từ bình. Bạn cần tìm ra xác suất nhận được màu xanh.
Để giải quyết vấn đề, cần chỉ định việc lấy được quả bóng xanh là sự kiện A. Thí nghiệm này có thể có mười kết quả, do đó, đều cơ bản và có thể xảy ra như nhau. Đồng thời, trong số 10 thì có 6 thuận lợi cho sự kiện A. Ta giải bằng công thức:
P(A) = 6: 10 = 0,6
Áp dụng công thức này ta biết xác suất để lấy được bi xanh là 0,6.
Giải pháp ví dụ. Xác suất của tổng các sự kiện
Bây giờ, một tùy chọn sẽ được trình bày và được giải quyết bằng công thức xác suất tổng các sự kiện. Vì vậy, điều kiện là có hai hộp, hộp thứ nhất chứa một quả bóng màu xám và năm quả bóng trắng, hộp thứ hai chứa tám quả bóng màu xám và bốn quả bóng trắng. Kết quả là họ lấy được một trong số chúng từ hộp thứ nhất và thứ hai. Bạn cần tìm hiểu xem khả năng những quả bóng bạn nhận được sẽ có màu xám và trắng là bao nhiêu.
Để giải quyết vấn đề này cần phải xác định các sự kiện.
- Vì vậy, A - lấy một quả bóng màu xám từ hộp đầu tiên: P(A) = 1/6.
- A’ - cũng lấy một quả bóng trắng từ ô đầu tiên: P(A”) = 5/6.
- B - một quả bóng màu xám được lấy ra khỏi hộp thứ hai: P(B) = 2/3.
- B’ - lấy một quả bóng màu xám từ hộp thứ hai: P(B”) = 1/3.
Tùy theo điều kiện của bài toán cần phải xảy ra một trong các hiện tượng: AB' hoặc A'B. Sử dụng công thức, chúng ta nhận được: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.
Bây giờ công thức nhân xác suất đã được sử dụng. Tiếp theo, để tìm ra đáp án, bạn cần áp dụng phương trình cộng của chúng:
P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.
Đây là cách bạn có thể giải quyết các vấn đề tương tự bằng cách sử dụng công thức.
Điểm mấu chốt
Bài báo trình bày những thông tin về chủ đề “Lý thuyết xác suất”, trong đó xác suất của một sự kiện đóng vai trò quan trọng. Tất nhiên, không phải mọi thứ đều được tính đến, nhưng, dựa trên văn bản được trình bày, về mặt lý thuyết, bạn có thể làm quen với phần toán học này. Khoa học được đề cập có thể hữu ích không chỉ trong các vấn đề chuyên môn mà còn trong cuộc sống hàng ngày. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể tính toán mọi khả năng của bất kỳ sự kiện nào.
Văn bản cũng đề cập đến những mốc thời gian quan trọng trong lịch sử hình thành lý thuyết xác suất với tư cách là một khoa học, cũng như tên của những người đã đầu tư công sức vào đó. Đây là lý do tại sao sự tò mò của con người đã dẫn đến việc con người học cách tính toán ngay cả những sự kiện ngẫu nhiên. Ngày xửa ngày xưa họ chỉ quan tâm đến điều này, nhưng ngày nay mọi người đều đã biết về nó. Và sẽ không ai nói điều gì đang chờ đợi chúng ta trong tương lai, những khám phá rực rỡ nào khác liên quan đến lý thuyết đang được xem xét sẽ được thực hiện. Nhưng có một điều chắc chắn - nghiên cứu không đứng yên!