Định nghĩa trình tự tiếp theo. Xác định dãy số

danh từ, Và., đã sử dụng so sánh thường

Hình thái: (không) cái gì? trình tự, Gì? trình tự, (thấy) cái gì? tiếp theo, Làm sao? sự liên tiếp, về cái gì? về trình tự; làm ơn. Cái gì? trình tự, (không) cái gì? trình tự, Gì? trình tự, (thấy) cái gì? trình tự, Làm sao? trình tự, về cái gì? về trình tự

1. tính nhất quánđược gọi là một hàng trong đó một phần tử nằm cạnh một phần tử khác.

Trình tự liên tục. | Trình tự thời gian. | Hãy nhớ trình tự các sự kiện. | Sự nhất quán trong lập luận. | Sự nhất quán trong hành động.

2. Trong toán học, khoa học máy tính sự liên tiếp gọi tên một dãy số, các phần tử thông tin thuộc một loại nhất định.

Chuỗi số vô hạn. | Giới hạn nhất quán | Cấu trúc là một đối tượng bao gồm một chuỗi các thành viên được đặt tên, mỗi thành viên có thể thuộc bất kỳ loại nào.

Từ điển giải thích tiếng Nga của Dmitriev.

D. V. Dmitriev.:

2003.

từ đồng nghĩa

Xem “trình tự” là gì trong các từ điển khác:

Dãy số là một tập hợp các phần tử của một tập hợp nhất định: với mỗi số tự nhiên, bạn có thể chỉ định một phần tử của tập hợp này; số này là số của phần tử và cho biết vị trí của phần tử này trong dãy; cho bất cứ ai... ... Wikipedia SAU ĐÓ. Trong bài viết “Thế kỷ 19” (1830) của I.V Kireevsky, chúng ta đọc: “Từ khi Đế chế La Mã sụp đổ cho đến thời đại chúng ta, sự khai sáng của Châu Âu xuất hiện trước mắt chúng ta trong sự phát triển dần dần và theo trình tự liên tục” (tập 1, tr. ... ... Lịch sử của từ

TRÌNH TỰ, trình tự, số nhiều. không, nữ (sách). bị phân tâm danh từ đến tuần tự. Một chuỗi các sự kiện. Sự nhất quán trong thủy triều thay đổi. Sự nhất quán trong lập luận. Từ điển giải thích của Ushakov.... ... Từ điển giải thích của Ushakov

TRÌNH TỰ, số hoặc phần tử được sắp xếp một cách có tổ chức. Dãy số có thể hữu hạn (có số phần tử giới hạn) hoặc vô hạn, chẳng hạn như dãy đầy đủ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 ....... ... Từ điển bách khoa khoa học kỹ thuật

SEQUENCE, một tập hợp các số (biểu thức toán học, v.v.; họ nói: các phần tử thuộc bất kỳ tính chất nào), được đánh số bằng số tự nhiên. Dãy số được viết là x1, x2,..., xn,... hoặc viết tắt là (xi)... Bách khoa toàn thư hiện đại

Một trong những khái niệm cơ bản của toán học. Dãy số được hình thành bởi các phần tử có tính chất bất kỳ, được đánh số bằng các số tự nhiên 1, 2, ..., n, ... và được viết là x1, x2, ..., xn, ... hoặc viết tắt là (xn). .. Từ điển bách khoa lớn

Tiếp theo- SEQUENCE, một tập hợp các số (biểu thức toán học, v.v.; người ta nói: các phần tử thuộc bất kỳ tính chất nào), được đánh số bằng số tự nhiên. Dãy số được viết dưới dạng x1, x2,..., xn,... hoặc viết tắt là (xi). ... Từ điển bách khoa minh họa

SEQUENCE, và, nữ. 1. Xem tuần tự. 2. Trong toán học: tập hợp số vô hạn có thứ tự. Từ điển giải thích của Ozhegov. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992… Từ điển giải thích của Ozhegov

Tiếng Anh sự kế thừa/trình tự; tiếng Đức Konsequenz. 1. Thứ tự nối tiếp nhau. 2. Một trong những khái niệm cơ bản của toán học. 3. Phẩm chất của tư duy logic đúng đắn, trong đó lý luận không có những mâu thuẫn nội tại giữa cái này và cái kia... ... Bách khoa toàn thư xã hội học

Tiếp theo- “hàm được xác định trên tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các giá trị của nó có thể bao gồm các phần tử có tính chất bất kỳ: số, điểm, hàm, vectơ, tập hợp, biến ngẫu nhiên, v.v., được đánh số bằng số tự nhiên.. . Từ điển kinh tế và toán học

Sách

Chúng tôi xây dựng một trình tự. Mèo con. 2-3 năm. Trò chơi "Mèo con". Chúng tôi xây dựng một trình tự. Cấp độ 1. Loạt bài "Giáo dục mầm non". Những chú mèo con vui vẻ quyết định tắm nắng trên bãi biển! Nhưng họ không thể phân chia địa điểm. Hãy giúp họ...

Xét dãy số tự nhiên: 1, 2, 3, , N – 1, N,  .

Nếu thay mọi số tự nhiên N trong chuỗi này theo một số nhất định Một N, tuân theo một định luật nào đó, ta có dãy số mới:

Một 1 , Một 2 , Một 3 , , Một N –1 , Một N , ,

được chỉ định và gọi ngắn gọn dãy số. Kích cỡ Một Nđược gọi là phần tử chung của dãy số. Thông thường dãy số được đưa ra bởi một số công thức Một N = f(N) cho phép bạn tìm bất kỳ phần tử nào của dãy theo số của nó N; công thức này được gọi là công thức số hạng tổng quát. Lưu ý rằng không phải lúc nào cũng có thể xác định được dãy số bằng công thức thuật ngữ tổng quát; đôi khi một chuỗi được xác định bằng cách mô tả các thành viên của nó.

Theo định nghĩa, một dãy luôn chứa vô số phần tử: bất kỳ hai phần tử khác nhau nào cũng khác nhau ít nhất về số lượng, trong đó có vô số phần tử.

Dãy số là trường hợp đặc biệt của hàm số. Dãy số là một hàm được xác định trên tập hợp số tự nhiên và lấy các giá trị trong tập hợp số thực, tức là hàm có dạng f : N  R.

Tiếp theo
gọi điện tăng dần(giảm dần), nếu vì bất kỳ N  N
Những chuỗi như vậy được gọi là hoàn toàn đơn điệu.

Đôi khi sẽ thuận tiện khi sử dụng không phải tất cả các số tự nhiên làm số mà chỉ sử dụng một số số trong số đó (ví dụ: các số tự nhiên bắt đầu từ một số tự nhiên nào đó). N 0). Để đánh số, cũng có thể sử dụng không chỉ các số tự nhiên mà còn các số khác, ví dụ: N= 0, 1, 2,  (ở đây số 0 được thêm dưới dạng một số khác vào tập hợp số tự nhiên). Trong những trường hợp như vậy, khi chỉ định trình tự, hãy chỉ ra những giá trị mà các số lấy N.

Nếu theo một trình tự nào đó cho bất kỳ N  N
sau đó trình tự được gọi không giảm(không tăng). Những chuỗi như vậy được gọi là đơn điệu.

Ví dụ 1 . Dãy số 1, 2, 3, 4, 5,... là dãy số tự nhiên và có một số hạng chung Một N = N.

Ví dụ 2 . Dãy số 2, 4, 6, 8, 10,... là dãy số chẵn và có chung một số hạng Một N = 2N.

Ví dụ 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,… – một dãy số có các giá trị gần đúng với độ chính xác ngày càng tăng.

Trong ví dụ cuối cùng, không thể đưa ra công thức cho số hạng tổng quát của dãy.

Ví dụ 4 . Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số sử dụng số hạng chung của nó
. Để tính toán Một 1 là cần thiết trong công thức cho số hạng tổng quát Một N thay vì N thay 1 để tính Một 2 − 2, v.v. Khi đó ta có:

Kiểm tra 6 . Phần tử chung của dãy 1, 2, 6, 24, 120,  là:

Kiểm tra 7 .
là:

Kiểm tra 8 . Thành viên chung của chuỗi
là:

Giới hạn dãy số

Xét một dãy số có thuật ngữ chung tiến tới một số nào đó MỘT khi số serial tăng lên N. Trong trường hợp này, dãy số được cho là có giới hạn. Khái niệm này có một định nghĩa chặt chẽ hơn.

Con số MỘT gọi là giới hạn của dãy số
:

(1)

nếu với bất kỳ  > 0 tồn tại số như vậy N 0 = N 0 (), tùy thuộc vào , mà
Tại N > N 0 .

Định nghĩa này có nghĩa là MỘT có giới hạn cho một dãy số nếu số hạng chung của nó tiến tới không có giới hạn MỘT với sự gia tăng N. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là với mọi  > 0 người ta có thể tìm được một số như vậy N 0 , bắt đầu từ N > N 0 , tất cả các thành viên của chuỗi đều nằm trong khoảng ( MỘT – , MỘT+ ). Dãy số có giới hạn được gọi là hội tụ; nếu không thì - khác nhau.

Một dãy số chỉ có thể có một giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn) của một dấu nhất định.

Ví dụ 5 . Chuỗi hài hòa có số giới hạn là 0. Thật vậy, với mọi khoảng (–; +) là một số N 0 có thể là bất kỳ số nguyên nào lớn hơn . Sau đó cho mọi người N > N 0 >chúng tôi có

Ví dụ 6 . Dãy số 2, 5, 2, 5,  là phân kỳ. Thật vậy, không có khoảng nào có độ dài nhỏ hơn, chẳng hạn như một, có thể chứa tất cả các phần tử của dãy, bắt đầu từ một số nhất định.

Trình tự được gọi là giới hạn, nếu số đó tồn tại M, Cái gì
cho mọi người N. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn. Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều có một giới hạn. Mỗi dãy hội tụ đều có một giới hạn duy nhất.

Ví dụ 7 . Tiếp theo
ngày càng tăng và hạn chế. Cô ấy có giới hạn
=e.

Con số e gọi điện số Euler và xấp xỉ bằng 2,718 28.

Kiểm tra 9 . Dãy số 1, 4, 9, 16,  là:

1) hội tụ;

2) phân kỳ;

3) hạn chế;

Kiểm tra 10 . Tiếp theo
là:

1) hội tụ;

2) phân kỳ;

3) hạn chế;

4) cấp số cộng;

5) tiến triển hình học.

Kiểm tra 11 . Tiếp theo không phải là:

1) hội tụ;

2) phân kỳ;

3) hạn chế;

4) hài hòa.

Bài kiểm tra 12 . Giới hạn của dãy cho bởi một số hạng chung
bình đẳng.

Tài liệu từ Wikipedia - bách khoa toàn thư miễn phí

Tiếp theo- Cái này bộ đồ phần tử của một tập hợp nào đó:

đối với mỗi số tự nhiên, bạn có thể chỉ định một phần tử của một tập hợp nhất định;
số này là số của phần tử và cho biết vị trí của phần tử này trong dãy;
Đối với bất kỳ phần tử (thành viên) nào của chuỗi, bạn có thể chỉ định phần tử tiếp theo của chuỗi.

Vậy trình tự hóa ra là kết quả nhất quán lựa chọn các phần tử của một tập hợp nhất định. Và, nếu bất kỳ tập hợp phần tử nào là hữu hạn và chúng ta nói về một mẫu có thể tích hữu hạn, thì chuỗi đó sẽ trở thành một mẫu có thể tích vô hạn.

Về bản chất, một chuỗi là một ánh xạ, vì vậy không nên nhầm lẫn nó với một tập hợp “chạy xuyên suốt” chuỗi.

Trong toán học, nhiều trình tự khác nhau được xem xét:

chuỗi thời gian có cả tính chất số và phi số;
dãy các phần tử của không gian mêtric
chuỗi các phần tử không gian chức năng
trình tự các trạng thái của hệ thống điều khiển và máy tự động.

Mục đích của việc nghiên cứu tất cả các chuỗi có thể là tìm kiếm các mẫu, dự đoán các trạng thái trong tương lai và tạo ra các chuỗi.

Sự định nghĩa

Hãy để một số bộ được đưa ra $X$ các yếu tố có tính chất tùy tiện. | Bất kỳ bản đồ nào $f\colon\mathbb(N)\to X$ tập hợp số tự nhiên $\mathbb(N)$ đến một tập hợp nhất định $X$ gọi điện sự liên tiếp(các phần tử của tập hợp $X$ ).

Hình ảnh của một số tự nhiên $N$ , cụ thể là phần tử $x_n=f(n)$ , gọi điện $N$ -th thành viên hoặc phần tử trình tự và số thứ tự của một thành viên trong dãy là chỉ số của nó.

Các định nghĩa liên quan

Tập hợp con $f\left[\mathbb(N)\right]$ bộ $X$ , được hình thành bởi các phần tử của dãy, được gọi là sóng mang trình tự: trong khi chỉ số chạy qua tập hợp số tự nhiên thì điểm “đại diện” cho dãy “di chuyển” dọc theo sóng mang.

Nếu lấy một dãy số tự nhiên tăng dần thì có thể coi nó là một dãy chỉ số của dãy số nào đó: nếu lấy các phần tử của dãy ban đầu có chỉ số tương ứng (lấy từ dãy số tự nhiên tăng dần) thì ta một lần nữa có thể nhận được một chuỗi gọi là tiếp theo trình tự đã cho.

Bình luận

Không trộn lẫn sóng mang trình tự và chính trình tự đó! Ví dụ, chấm $a\in X$ dưới dạng tập hợp con một điểm $$a$\tập hợp con X$ là sóng mang của một chuỗi dừng có dạng $a,a,a,\dấu chấm$ .

Bất kỳ ánh xạ tập hợp nào $\mathbb(N)$ vào chính nó cũng là một dãy.

Trong giải tích toán học, một khái niệm quan trọng là giới hạn của dãy số.

Chỉ định

Trình tự của biểu mẫu

$x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots$

Người ta thường viết gọn bằng dấu ngoặc đơn:

$(x_n)$ hoặc $(x_n)_(n=1)^(\infty)$

Niềng răng xoăn đôi khi được sử dụng:

$$x_n$_(n=1)^(\infty)$

Cho phép một số quyền tự do ngôn luận, chúng ta cũng có thể xem xét các chuỗi hữu hạn có dạng

$(x_n)_(n=1)^N$ ,

đại diện cho hình ảnh của đoạn đầu tiên của một chuỗi số tự nhiên.

Xem thêm

Viết bình luận về bài viết “Trình tự”

Ghi chú

Văn học

Dãy số // Từ điển bách khoa của các nhà toán học trẻ / Comp. A. P. Savin. - M.: Sư phạm, 1985. - Tr. 242-245. - 352 giây.

Trình tự và chuỗi

trình tự

Hàng, chính

Dãy số (hành động với dãy số)

Chuỗi chức năng

Các loại hàng khác

Dấu hiệu hội tụ

Đoạn mô tả trình tự

Trong số những người được chọn làm chủ đề của cuộc trò chuyện, công ty của Julie đã đến với gia đình Rostov.
Julie nói: “Họ nói công việc của họ rất tệ. - Và anh ta thật ngu ngốc - chính là bá tước. Gia đình Razumovsky muốn mua nhà và tài sản của ông gần Moscow, và tất cả những điều này vẫn kéo dài. Anh ấy được trân trọng.
“Không, có vẻ như việc mua bán sẽ diễn ra vào một ngày nào đó,” ai đó nói. – Mặc dù bây giờ việc mua bất cứ thứ gì ở Moscow thật điên rồ.
- Tại sao? – Julie nói. – Bạn có thực sự nghĩ rằng có mối nguy hiểm cho Moscow?
- Tại sao bạn lại đi?
- TÔI? Điều đó thật kỳ lạ. Tôi đi vì... à, bởi vì mọi người đều đi, và tôi không phải Joan of Arc hay Amazon.
- Vâng, vâng, cho tôi thêm ít giẻ lau.
“Nếu anh ấy hoàn thành công việc, anh ấy có thể trả hết nợ,” người dân quân tiếp tục nói về Rostov.
- Một ông già tốt, nhưng rất bẽn lẽn [xấu]. Và tại sao họ sống ở đây lâu như vậy? Họ đã muốn đến làng từ lâu. Bây giờ Natalie có vẻ khỏe không? – Julie hỏi Pierre, mỉm cười ranh mãnh.
Pierre nói: “Họ đang mong đợi một đứa con trai nhỏ”. “Anh ấy gia nhập đội Cossacks của Obolensky và đến Bila Tserkva. Một trung đoàn đang được thành lập ở đó. Và bây giờ họ đã chuyển anh ấy đến trung đoàn của tôi và đang chờ đợi anh ấy mỗi ngày. Bá tước đã muốn đi từ lâu, nhưng Nữ bá tước sẽ không bao giờ đồng ý rời Moscow cho đến khi con trai bà đến.
“Hôm nọ tôi đã nhìn thấy họ ở nhà Arkharov. Natalie trông xinh đẹp và vui vẻ trở lại. Cô ấy đã hát một câu chuyện tình lãng mạn. Thật dễ dàng đối với một số người!
- Chuyện gì đang xảy ra vậy? – Pierre khó chịu hỏi. Julie mỉm cười.
“Bá tước, ngài biết không, những hiệp sĩ như ngài chỉ tồn tại trong tiểu thuyết của Madame Suza.”
- Hiệp sĩ nào? Tại sao? – Pierre đỏ mặt hỏi.
- Thôi nào, Bá tước thân mến, c "est la fable de tout Moscou. Je vous khâm phục, ma parole d" honneur. [tất cả Moscow đều biết điều này. Thực sự, tôi rất ngạc nhiên về bạn.]
- Khỏe! Khỏe! - người dân quân nói.
- Được rồi. Bạn không thể nói cho tôi biết nó nhàm chán đến mức nào!
“Qu"est ce qui est la fable de tout Moscou? [Cả Matxcơva biết gì?] - Pierre giận dữ đứng dậy nói.
- Thôi nào, Bá tước. Bạn biết!
“Tôi không biết gì cả,” Pierre nói.
– Tôi biết bạn là bạn với Natalie, và đó là lý do tại sao... Không, tôi luôn thân thiện hơn với Vera. Cette chere Vera! [Vera ngọt ngào này!]
“Không, thưa bà,” Pierre tiếp tục với giọng không hài lòng. “Tôi hoàn toàn không đảm nhận vai trò hiệp sĩ của Rostova và tôi đã không ở cùng họ gần một tháng rồi.” Nhưng tôi không hiểu được sự tàn nhẫn...
“Qui s"excuse - s"acuse, [Ai xin lỗi, tự trách mình.] - Julie nói, mỉm cười và vẫy vẫy sợi vải, và để nói lời cuối cùng, cô lập tức chuyển cuộc trò chuyện. “Cái gì, hôm nay tôi mới biết: Marie Volkonskaya tội nghiệp đã đến Moscow ngày hôm qua. Bạn có nghe nói cô ấy đã mất cha mình không?
- Thật sự! Cô ấy ở đâu? Pierre nói: “Tôi rất muốn gặp cô ấy.
– Tôi đã dành buổi tối với cô ấy ngày hôm qua. Hôm nay hoặc sáng mai cô ấy sẽ đi vùng Moscow cùng với cháu trai của mình.
- Cô ấy thế nào rồi? - Pierre nói.
- Không có gì, tôi buồn. Nhưng bạn có biết ai đã cứu cô ấy không? Đây là cả một cuốn tiểu thuyết. Nicholas Rostov. Họ bao vây cô, muốn giết cô, làm bị thương người dân của cô. Anh lao vào cứu cô...
“Lại một cuốn tiểu thuyết nữa,” người dân quân nói. “Việc bỏ trốn chung này được thực hiện một cách dứt khoát để tất cả các cô dâu già kết hôn.” Catiche là một, Công chúa Bolkonskaya là một người khác.
“Bạn biết đấy, tôi thực sự nghĩ rằng cô ấy là un petit peu amoureuse du jeune homme.” [có một chút yêu một chàng trai trẻ.]
- Khỏe! Khỏe! Khỏe!
– Nhưng làm sao bạn có thể nói điều này bằng tiếng Nga?..

Khi Pierre trở về nhà, anh được tặng hai tấm áp phích Rastopchin được mang đến ngày hôm đó.
Người đầu tiên nói rằng tin đồn rằng Bá tước Rostopchin bị cấm rời khỏi Moscow là không công bằng và ngược lại, Bá tước Rostopchin rất vui khi các quý bà và vợ thương gia rời Moscow. “Ít sợ hãi hơn, ít tin tức hơn,” tấm áp phích viết, “nhưng tôi trả lời bằng mạng sống của mình rằng sẽ không có kẻ ác nào ở Moscow.” Những lời này lần đầu tiên cho Pierre thấy rõ ràng rằng người Pháp sẽ đến Moscow. Người đăng thứ hai nói rằng căn hộ chính của chúng tôi ở Vyazma, Bá tước Wittschstein đã đánh bại quân Pháp, nhưng vì nhiều cư dân muốn tự trang bị vũ khí nên có sẵn vũ khí cho họ trong kho vũ khí: kiếm, súng lục, súng mà cư dân có thể lấy được một mức giá rẻ. Giọng điệu của các tấm áp phích không còn vui tươi như những cuộc trò chuyện trước đây của Chigirin. Pierre nghĩ về những tấm áp phích này. Rõ ràng, đám mây giông khủng khiếp đó, thứ mà anh ta đã kêu gọi bằng tất cả sức mạnh của tâm hồn, đồng thời khơi dậy nỗi kinh hoàng vô tình trong anh ta - rõ ràng là đám mây này đang đến gần.

Tiếp theo- Cái này bộ đồ phần tử của một tập hợp nào đó:

đối với mỗi số tự nhiên, bạn có thể chỉ định một phần tử của một tập hợp nhất định;
số này là số của phần tử và cho biết vị trí của phần tử này trong dãy;
Đối với bất kỳ phần tử (thành viên) nào của chuỗi, bạn có thể chỉ định phần tử tiếp theo của chuỗi.

Về bản chất, một chuỗi là một ánh xạ, vì vậy không nên nhầm lẫn nó với một tập hợp “chạy xuyên suốt” chuỗi.

Trong toán học, nhiều trình tự khác nhau được xem xét:

chuỗi thời gian có cả tính chất số và phi số;
dãy các phần tử của không gian mêtric
chuỗi các phần tử không gian chức năng
trình tự các trạng thái của hệ thống điều khiển và máy móc.

Mục đích của việc nghiên cứu tất cả các chuỗi có thể là tìm kiếm các mẫu, dự đoán các trạng thái trong tương lai và tạo ra các chuỗi.

Sự định nghĩa

Cho một tập hợp các phần tử có tính chất tùy ý. | Mọi ánh xạ từ một tập hợp số tự nhiên tới một tập hợp cho trước đều được gọi là sự liên tiếp(các phần tử của tập hợp).

Ảnh của một số tự nhiên, cụ thể là phần tử, được gọi là - th thành viên hoặc phần tử trình tự và số thứ tự của một thành viên trong dãy là chỉ số của nó.

Các định nghĩa liên quan

Nếu lấy một dãy số tự nhiên tăng dần thì có thể coi nó là một dãy chỉ số của dãy số nào đó: nếu lấy các phần tử của dãy ban đầu có chỉ số tương ứng (lấy từ dãy số tự nhiên tăng dần) thì ta một lần nữa có thể nhận được một chuỗi gọi là tiếp theo trình tự đã cho.

Bình luận

Trong giải tích toán học, một khái niệm quan trọng là giới hạn của dãy số.

Chỉ định

Trình tự của biểu mẫu

Người ta thường viết gọn bằng dấu ngoặc đơn:

hoặc

Niềng răng xoăn đôi khi được sử dụng:

Cho phép một số quyền tự do ngôn luận, chúng ta cũng có thể xem xét các chuỗi hữu hạn có dạng

đại diện cho hình ảnh của đoạn đầu tiên của một chuỗi số tự nhiên.

Xem thêm

Quỹ Wikimedia.

D. V. Dmitriev.:

2010.

Xem “trình tự” là gì trong các từ điển khác:

Sách

Chúng tôi xây dựng một trình tự. Mèo con. 2-3 năm. Trò chơi "Mèo con". Chúng tôi xây dựng một trình tự. Cấp độ 1. Loạt bài "Giáo dục mầm non". Những chú mèo con vui vẻ quyết định tắm nắng trên bãi biển! Nhưng họ không thể phân chia địa điểm. Hãy giúp họ...

Xem “Trình tự” là gì trong các từ điển khác:
Sự định nghĩa . Dãy số (xn) 1, 2, 3, . . . một số x n nhất định được chỉ định.
Phần tử xn được gọi là phần tử thứ n hoặc phần tử của dãy.

Dãy số này được ký hiệu là số hạng thứ n được đặt trong dấu ngoặc nhọn: .
, , .

Các chỉ định sau đây cũng có thể: .

Chúng chỉ ra rõ ràng rằng chỉ số n thuộc về tập hợp các số tự nhiên và bản thân dãy số đó có vô số số hạng. Dưới đây là một số trình tự ví dụ:

Nói cách khác, dãy số là một hàm có miền định nghĩa là tập hợp các số tự nhiên. Số phần tử của dãy là vô hạn. Trong số các phần tử cũng có thể có những phần tử có ý nghĩa giống nhau. Ngoài ra, một dãy có thể được coi là một tập hợp các số được đánh số bao gồm vô số phần tử.

Chúng ta sẽ chủ yếu quan tâm đến câu hỏi các dãy hành xử như thế nào khi n tiến tới vô cùng: .

Tài liệu này được trình bày trong phần Giới hạn của dãy - các định lý và tính chất cơ bản. Ở đây chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ về trình tự.
.
Ví dụ về trình tự

Ví dụ về dãy tăng vô hạn
.
Hãy xem xét trình tự.

Thành viên chung của chuỗi này là .

Hãy viết ra một vài điều khoản đầu tiên:
.
Có thể thấy rằng khi số n tăng thì các phần tử tăng vô hạn về phía giá trị dương. Chúng ta có thể nói rằng chuỗi này có xu hướng: for . = 0 Bây giờ hãy xem xét một dãy có một số hạng chung. = 0 Đây là một số thành viên đầu tiên: > 0 Khi số n tăng lên, các phần tử của dãy này tăng vô hạn về giá trị tuyệt đối nhưng không có dấu hằng số. Nghĩa là, trình tự này có xu hướng: tại .

Tiếp theo, hãy xem xét trình tự.
.
Thành viên chung của cô ấy. = 0 Đây là một số thành viên đầu tiên của nó:
.
Trong chuỗi này, các số hạng chẵn đều bằng 0. Các số hạng có n lẻ thì bằng nhau. > 0 Do đó, khi n tăng thì giá trị của chúng tiến gần tới giá trị giới hạn a = 0 . = 0 Điều này cũng xuất phát từ thực tế là

Giống như trong ví dụ trước, chúng ta có thể chỉ định một lỗi nhỏ tùy ý ε

, nhờ đó có thể tìm được số N sao cho các phần tử có số lớn hơn N sẽ lệch khỏi giá trị giới hạn a

với số tiền không vượt quá sai số quy định. Do đó dãy này hội tụ về giá trị a

.
: Tại .
,
Ví dụ về trình tự phân kỳ 1 = 0 Hãy xem xét một chuỗi với thuật ngữ phổ biến sau:
,
Ví dụ về trình tự phân kỳ 2 = 2 Đây là những thành viên đầu tiên của nó:

Có thể thấy các số hạng có số chẵn:

hội tụ về giá trị a
.
.
.
Thành viên có số lẻ:

.
.

Bản thân dãy số, khi n tăng lên, không hội tụ về bất kỳ giá trị nào. (0; 1) Dãy số có phân bố trong khoảng (0;1) Bây giờ chúng ta hãy xem một trình tự thú vị hơn. Hãy lấy một đoạn trên trục số. Hãy chia nó làm đôi. Chúng tôi nhận được hai phân đoạn. Cho phép

Hãy chia mỗi đoạn một lần nữa. Chúng tôi nhận được bốn phân đoạn. Cho phép Hãy chia mỗi đoạn một lần nữa. Hãy lấy

Và vân vân. = 0 Kết quả là chúng ta thu được một dãy có các phần tử được phân bố trong một khoảng mở
.
= 0 .

. = 1 Dù chúng ta lấy điểm nào từ khoảng đóng
.
, chúng ta luôn có thể tìm được các thành viên của dãy sẽ ở gần điểm này hoặc trùng với điểm đó một cách tùy ý. = 1 .

Sau đó, từ dãy ban đầu, người ta có thể chọn một dãy con sẽ hội tụ đến một điểm tùy ý trong khoảng

.

Nghĩa là, khi số n tăng lên thì các phần tử của dãy con sẽ ngày càng tiến gần đến điểm đã chọn trước.

Ví dụ: đối với điểm a
,
bạn có thể chọn dãy sau:
Chúng ta cần gán mỗi số tự nhiên n cho một cặp số p và q sao cho bất kỳ cặp p và q nào cũng có trong dãy của chúng ta.

Để làm điều này, hãy vẽ trục p và q trên mặt phẳng. (0; 0) Chúng ta vẽ các đường lưới thông qua các giá trị nguyên của p và q. < 1 Khi đó mỗi nút của lưới c này sẽ tương ứng với một số hữu tỉ. Toàn bộ tập hợp số hữu tỷ sẽ được biểu diễn bằng một tập hợp các nút. Chúng ta cần tìm cách đánh số tất cả các nút để không bỏ sót nút nào. Điều này rất dễ thực hiện nếu bạn đánh số các nút theo hình vuông, tâm của chúng nằm ở điểm

(xem hình). Trong trường hợp này, phần dưới của hình vuông có q
.
chúng tôi không cần nó. Vì vậy chúng không được thể hiện trong hình.

.
Vì vậy, đối với cạnh trên của hình vuông đầu tiên, chúng ta có:

.
.

Tiếp theo, chúng ta đánh số phần trên cùng của hình vuông tiếp theo:

Chúng ta đánh số phần trên của hình vuông sau:

Bằng cách này, chúng ta thu được một dãy chứa tất cả các số hữu tỷ. Bạn có thể nhận thấy rằng bất kỳ số hữu tỷ nào cũng xuất hiện trong chuỗi này vô số lần. Thật vậy, cùng với nút , chuỗi này cũng sẽ bao gồm các nút , trong đó là số tự nhiên. Nhưng tất cả các nút này đều tương ứng với cùng một số hữu tỷ.

Sau đó, từ dãy đã xây dựng, chúng ta có thể chọn một dãy con (có vô số phần tử), tất cả các phần tử của dãy đó đều bằng một số hữu tỷ xác định trước. Vì chuỗi chúng ta xây dựng có các chuỗi con hội tụ về các số khác nhau nên chuỗi không hội tụ về bất kỳ số nào.