Trong bài viết này, phương pháp này được coi là phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính (SLAEs). Phương pháp này mang tính phân tích, nghĩa là nó cho phép bạn viết thuật toán giải ở dạng tổng quát, sau đó thay thế các giá trị từ các ví dụ cụ thể ở đó. Không giống như phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, bạn cũng có thể làm việc với những phương trình có vô số nghiệm. Hoặc họ không có nó chút nào.
Việc giải quyết bằng phương pháp Gaussian có ý nghĩa gì?
Đầu tiên, chúng ta cần viết hệ phương trình của mình dưới dạng Nó trông như thế này. Lấy hệ thống:
Các hệ số được viết dưới dạng bảng và các thuật ngữ tự do được viết trong một cột riêng bên phải. Cột có các thành viên tự do được tách ra để thuận tiện. Ma trận bao gồm cột này được gọi là mở rộng.
Tiếp theo, ma trận chính với các hệ số phải được rút gọn về dạng tam giác trên. Đây là điểm chính của việc giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian. Nói một cách đơn giản, sau một số thao tác nhất định, ma trận sẽ trông sao cho phần dưới bên trái của nó chỉ chứa các số 0:
Sau đó, nếu bạn viết lại ma trận mới dưới dạng hệ phương trình, bạn sẽ nhận thấy rằng hàng cuối cùng đã chứa giá trị của một trong các nghiệm, sau đó được thay thế vào phương trình trên, một nghiệm khác sẽ được tìm thấy, v.v.
Đây là mô tả lời giải bằng phương pháp Gaussian một cách tổng quát nhất. Điều gì xảy ra nếu đột nhiên hệ thống không có lời giải? Hoặc có vô số trong số họ? Để trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác, cần phải xem xét riêng tất cả các yếu tố được sử dụng để giải phương pháp Gaussian.
Ma trận, tính chất của chúng
Không có ý nghĩa ẩn trong ma trận. Đây chỉ đơn giản là một cách thuận tiện để ghi lại dữ liệu cho các hoạt động tiếp theo với nó. Ngay cả học sinh cũng không cần phải sợ chúng.
Ma trận luôn có hình chữ nhật, vì nó thuận tiện hơn. Ngay cả trong phương pháp Gauss, nơi mọi thứ đều bắt nguồn từ việc xây dựng một ma trận có dạng tam giác, một hình chữ nhật xuất hiện trong mục nhập, chỉ có số 0 ở nơi không có số. Số không có thể không được viết ra, nhưng chúng được ngụ ý.
Ma trận có kích thước. “Chiều rộng” của nó là số hàng (m), “chiều dài” là số cột (n). Khi đó kích thước của ma trận A (chữ Latin viết hoa thường được dùng để biểu thị chúng) sẽ được ký hiệu là A m×n. Nếu m=n thì ma trận này là hình vuông và m=n là thứ tự của nó. Theo đó, bất kỳ phần tử nào của ma trận A đều có thể được ký hiệu bằng số hàng và số cột: a xy ; x - số hàng, thay đổi, y - số cột, thay đổi.
B không phải là điểm chính của quyết định. Về nguyên tắc, tất cả các thao tác có thể được thực hiện trực tiếp với chính các phương trình, nhưng ký hiệu sẽ cồng kềnh hơn nhiều và sẽ dễ bị nhầm lẫn hơn nhiều.
yếu tố quyết định
Ma trận cũng có định thức. Đây là một đặc điểm rất quan trọng. Bây giờ không cần phải tìm hiểu ý nghĩa của nó; bạn có thể chỉ cần chỉ ra cách tính nó và sau đó cho biết nó xác định những thuộc tính nào của ma trận. Cách dễ nhất để tìm định thức là thông qua các đường chéo. Các đường chéo tưởng tượng được vẽ trong ma trận; các phần tử nằm trên mỗi phần tử được nhân lên và sau đó cộng các sản phẩm thu được: các đường chéo có độ dốc về bên phải - bằng dấu cộng, có độ dốc về bên trái - bằng dấu trừ.
Điều cực kỳ quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ có thể được tính cho ma trận vuông. Đối với ma trận hình chữ nhật, bạn có thể làm như sau: chọn giá trị nhỏ nhất từ số hàng và số cột (đặt là k), sau đó đánh dấu ngẫu nhiên k cột và k hàng trong ma trận. Các phần tử tại giao điểm của các cột và hàng đã chọn sẽ tạo thành một ma trận vuông mới. Nếu định thức của ma trận như vậy là số khác 0 thì gọi là ma trận cơ sở nhỏ của ma trận chữ nhật ban đầu.
Trước khi bạn bắt đầu giải hệ phương trình bằng phương pháp Gaussian, việc tính định thức sẽ không có hại gì. Nếu nó bằng 0 thì chúng ta có thể nói ngay rằng ma trận có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Trong trường hợp đáng buồn như vậy, bạn cần phải đi xa hơn và tìm hiểu về thứ hạng của ma trận.
Phân loại hệ thống
Có một thứ gọi là thứ hạng của một ma trận. Đây là bậc tối đa của định thức khác 0 của nó (nếu nhớ về cơ sở thứ, chúng ta có thể nói rằng hạng của ma trận là bậc của cơ sở thứ).
Dựa vào tình hình cấp bậc, SLAE có thể được chia thành:
- Chung. bạn Trong các hệ khớp, hạng của ma trận chính (chỉ gồm các hệ số) trùng với hạng của ma trận mở rộng (có cột các thuật ngữ tự do). Các hệ thống như vậy có một giải pháp, nhưng không nhất thiết phải có một giải pháp, do đó các hệ thống chung còn được chia thành:
- - chắc chắn- có một giải pháp duy nhất. Trong một số hệ thống nhất định, thứ hạng của ma trận và số ẩn số (hoặc số cột giống nhau) bằng nhau;
- - không xác định - với vô số giải pháp. Thứ hạng của ma trận trong các hệ thống như vậy nhỏ hơn số ẩn số.
- Không tương thích. bạn Trong các hệ thống như vậy, thứ hạng của ma trận chính và ma trận mở rộng không trùng nhau. Hệ thống không tương thích không có giải pháp.
Phương pháp Gauss là tốt vì trong quá trình giải, nó cho phép người ta thu được một bằng chứng rõ ràng về tính không nhất quán của hệ thống (không tính định thức của ma trận lớn) hoặc một giải pháp ở dạng tổng quát cho một hệ thống có vô số nghiệm.
Các phép biến đổi cơ bản
Trước khi trực tiếp giải hệ, bạn có thể làm cho nó bớt cồng kềnh và thuận tiện hơn cho việc tính toán. Điều này đạt được thông qua các phép biến đổi cơ bản - sao cho việc thực hiện chúng không làm thay đổi câu trả lời cuối cùng theo bất kỳ cách nào. Cần lưu ý rằng một số phép biến đổi cơ bản đã cho chỉ có giá trị đối với ma trận có nguồn gốc là SLAE. Dưới đây là danh sách các chuyển đổi này:
- Sắp xếp lại các dòng. Rõ ràng, nếu bạn thay đổi thứ tự của các phương trình trong bản ghi hệ thống, điều này sẽ không ảnh hưởng gì đến lời giải. Do đó, các hàng trong ma trận của hệ thống này cũng có thể được hoán đổi, tất nhiên không quên cột các thuật ngữ tự do.
- Nhân tất cả các phần tử của chuỗi với một hệ số nhất định. Rất hữu ích! Nó có thể được sử dụng để giảm số lượng lớn trong ma trận hoặc loại bỏ số không. Nhiều quyết định, như thường lệ, sẽ không thay đổi, nhưng các hoạt động tiếp theo sẽ trở nên thuận tiện hơn. Điều chính là hệ số không bằng 0.
- Loại bỏ các hàng có hệ số tỷ lệ. Điều này một phần tiếp theo từ đoạn trước. Nếu hai hoặc nhiều hàng trong một ma trận có hệ số tỷ lệ, thì khi nhân/chia một trong các hàng với hệ số tỷ lệ, sẽ thu được hai (hoặc, một lần nữa, nhiều hơn) các hàng hoàn toàn giống nhau và các hàng thừa có thể bị loại bỏ, để lại chỉ có một.
- Loại bỏ một dòng null. Nếu trong quá trình chuyển đổi, một hàng thu được ở đâu đó trong đó tất cả các phần tử, bao gồm cả phần tử tự do, đều bằng 0, thì hàng đó có thể được gọi là 0 và bị loại khỏi ma trận.
- Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử của hàng khác (trong các cột tương ứng), nhân với một hệ số nhất định. Sự chuyển đổi không rõ ràng nhất và quan trọng nhất trong tất cả. Nó đáng để xem xét nó chi tiết hơn.
Thêm một chuỗi nhân với một hệ số
Để dễ hiểu, nên chia nhỏ quá trình này ra từng bước. Hai hàng được lấy từ ma trận:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Giả sử bạn cần cộng số thứ nhất với số thứ hai, nhân với hệ số "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Sau đó, hàng thứ hai trong ma trận được thay thế bằng hàng mới và hàng đầu tiên không thay đổi.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Cần lưu ý rằng hệ số nhân có thể được chọn theo cách sao cho khi cộng hai hàng, một trong các phần tử của hàng mới bằng 0. Do đó, có thể thu được một phương trình trong một hệ trong đó sẽ có ít phương trình chưa biết hơn. Và nếu bạn nhận được hai phương trình như vậy, thì thao tác có thể được thực hiện lại và nhận được một phương trình chứa ít hơn hai ẩn số. Và nếu mỗi lần bạn biến một hệ số thành 0 cho tất cả các hàng nằm dưới hệ số ban đầu, thì bạn có thể, giống như cầu thang, đi xuống cuối ma trận và nhận được một phương trình với một ẩn số. Điều này được gọi là giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian.
Nói chung
Hãy để có một hệ thống. Nó có m phương trình và n nghiệm chưa biết. Bạn có thể viết nó như sau:
Ma trận chính được tổng hợp từ các hệ số của hệ thống. Một cột các thuật ngữ tự do được thêm vào ma trận mở rộng và để thuận tiện, được phân tách bằng một dòng.
- hàng đầu tiên của ma trận được nhân với hệ số k = (-a 21 /a 11);
- hàng sửa đổi đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận được thêm vào;
- thay vì hàng thứ hai, kết quả của phép cộng từ đoạn trước được chèn vào ma trận;
- bây giờ hệ số đầu tiên ở hàng thứ hai mới là a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Bây giờ, một loạt các phép biến đổi tương tự được thực hiện, chỉ liên quan đến hàng thứ nhất và thứ ba. Theo đó, ở mỗi bước của thuật toán, phần tử a 21 được thay thế bằng phần tử 31. Sau đó mọi thứ được lặp lại cho 41, ... a m1. Kết quả là một ma trận trong đó phần tử đầu tiên trong các hàng bằng 0. Bây giờ bạn cần quên dòng số một và thực hiện thuật toán tương tự, bắt đầu từ dòng hai:
- hệ số k = (-a 32 /a 22);
- dòng sửa đổi thứ hai được thêm vào dòng “hiện tại”;
- kết quả của phép cộng được thay thế vào dòng thứ ba, thứ tư, v.v., trong khi dòng thứ nhất và dòng thứ hai không thay đổi;
- trong các hàng của ma trận, hai phần tử đầu tiên đã bằng 0.
Thuật toán phải được lặp lại cho đến khi xuất hiện hệ số k = (-a m,m-1 /a mm). Điều này có nghĩa là lần cuối cùng thuật toán được thực thi chỉ dành cho phương trình thấp hơn. Bây giờ ma trận trông giống như một hình tam giác hoặc có dạng bậc thang. Ở dòng dưới cùng có đẳng thức a mn × x n = b m. Hệ số và số hạng tự do đã biết và nghiệm được biểu thị qua chúng: x n = b m /a mn. Căn nghiệm kết quả được thay thế vào dòng trên cùng để tìm x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))->a m-1,n-1. Và cứ thế tương tự: trong mỗi dòng tiếp theo có một gốc mới, và khi đạt đến “đỉnh” của hệ thống, bạn có thể tìm thấy nhiều giải pháp. Nó sẽ là duy nhất.
Khi không có giải pháp
Nếu ở một trong các hàng của ma trận, tất cả các phần tử ngoại trừ số hạng tự do đều bằng 0 thì phương trình tương ứng với hàng này có dạng 0 = b. Nó không có giải pháp. Và vì một phương trình như vậy được đưa vào hệ nên tập nghiệm của toàn hệ là rỗng, tức là nó suy biến.
Khi có vô số giải pháp
Có thể xảy ra trường hợp trong ma trận tam giác đã cho không có hàng nào có một phần tử hệ số của phương trình và một số hạng tự do. Chỉ có những dòng mà khi viết lại sẽ giống như một phương trình có hai biến trở lên. Điều này có nghĩa là hệ có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, câu trả lời có thể được đưa ra dưới dạng một giải pháp chung. Làm thế nào để làm điều này?
Tất cả các biến trong ma trận được chia thành cơ bản và miễn phí. Những cái cơ bản là những cái đứng “trên rìa” của các hàng trong ma trận bước. Phần còn lại là miễn phí. Trong giải pháp tổng quát, các biến cơ bản được viết thông qua các biến tự do.
Để thuận tiện, trước tiên ma trận được viết lại thành hệ phương trình. Sau đó, ở phần cuối cùng, nơi chính xác chỉ còn lại một biến cơ bản, nó vẫn ở một bên và mọi thứ khác được chuyển sang bên kia. Điều này được thực hiện cho mọi phương trình có một biến cơ bản. Sau đó, trong các phương trình còn lại, nếu có thể, biểu thức thu được của nó sẽ được thay thế thay cho biến cơ bản. Nếu kết quả lại là một biểu thức chỉ chứa một biến cơ bản, thì nó lại được biểu thị từ đó, v.v., cho đến khi mỗi biến cơ bản được viết dưới dạng biểu thức với các biến tự do. Đây là giải pháp chung của SLAE.
Bạn cũng có thể tìm giải pháp cơ bản của hệ thống - cung cấp bất kỳ giá trị nào cho các biến miễn phí, sau đó trong trường hợp cụ thể này, hãy tính giá trị của các biến cơ bản. Có vô số giải pháp cụ thể có thể được đưa ra.
Giải bằng ví dụ cụ thể
Đây là một hệ phương trình.
Để thuận tiện, tốt hơn là tạo ngay ma trận của nó
Được biết, khi giải bằng phương pháp Gaussian, phương trình tương ứng với hàng đầu tiên sẽ không thay đổi khi kết thúc các phép biến đổi. Do đó, sẽ có lợi hơn nếu phần tử phía trên bên trái của ma trận nhỏ nhất - khi đó phần tử đầu tiên của các hàng còn lại sau các phép toán sẽ chuyển về 0. Điều này có nghĩa là trong ma trận đã biên dịch, sẽ thuận lợi hơn nếu đặt hàng thứ hai thay cho hàng đầu tiên.
dòng thứ hai: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
dòng thứ ba: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Bây giờ, để không bị nhầm lẫn, bạn cần viết ra một ma trận với các kết quả trung gian của các phép biến đổi.
Rõ ràng, một ma trận như vậy có thể được tạo ra thuận tiện hơn cho việc nhận thức bằng cách sử dụng một số thao tác nhất định. Ví dụ: bạn có thể xóa tất cả “điểm trừ” khỏi dòng thứ hai bằng cách nhân từng phần tử với “-1”.
Điều đáng chú ý là ở dòng thứ ba, tất cả các phần tử đều là bội số của ba. Sau đó, bạn có thể rút ngắn chuỗi theo số này, nhân từng phần tử với "-1/3" (trừ - đồng thời, để loại bỏ các giá trị âm).
Trông đẹp hơn nhiều. Bây giờ chúng ta cần để nguyên dòng đầu tiên và làm việc với dòng thứ hai và thứ ba. Nhiệm vụ là cộng dòng thứ hai vào dòng thứ ba, nhân với hệ số sao cho phần tử a 32 bằng 0.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (nếu trong một số phép biến đổi, câu trả lời không phải là số nguyên, thì nên duy trì độ chính xác của các phép tính để lại nó “nguyên trạng”, ở dạng phân số thông thường và chỉ sau đó, khi nhận được câu trả lời, mới quyết định có làm tròn và chuyển sang dạng ghi khác hay không)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Ma trận được viết lại với các giá trị mới.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Như bạn có thể thấy, ma trận kết quả đã có dạng bậc thang. Do đó, không cần phải chuyển đổi thêm hệ thống bằng phương pháp Gaussian. Những gì bạn có thể làm ở đây là loại bỏ hệ số tổng thể "-1/7" khỏi dòng thứ ba.
Bây giờ mọi thứ đều đẹp. Tất cả những gì còn lại phải làm là viết lại ma trận dưới dạng hệ phương trình và tính nghiệm
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Thuật toán tìm được nghiệm bây giờ được gọi là bước đi ngược lại trong phương pháp Gaussian. Phương trình (3) chứa giá trị z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Và phương trình đầu tiên cho phép chúng ta tìm x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Chúng ta có quyền gọi một hệ thống như vậy là chung, và thậm chí là xác định, tức là có một giải pháp duy nhất. Câu trả lời được viết dưới dạng sau:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Ví dụ về hệ thống không chắc chắn
Biến thể của việc giải một hệ thống nhất định bằng phương pháp Gauss đã được phân tích; bây giờ cần xem xét trường hợp nếu hệ thống đó không chắc chắn, nghĩa là có thể tìm thấy vô số giải pháp cho nó.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Sự xuất hiện của hệ thống đã đáng báo động, bởi vì số lượng ẩn số là n = 5 và thứ hạng của ma trận hệ thống chính xác là nhỏ hơn con số này, bởi vì số lượng hàng là m = 4, nghĩa là bậc cao nhất của định thức-bình phương là 4. Điều này có nghĩa là có vô số nghiệm và bạn cần tìm hình thức tổng quát của nó. Phương pháp Gauss cho phương trình tuyến tính cho phép bạn thực hiện điều này.
Đầu tiên, như thường lệ, một ma trận mở rộng được biên dịch.
Dòng thứ hai: hệ số k = (-a 21 /a 11) = -3. Ở dòng thứ ba, phần tử đầu tiên nằm trước các phép biến đổi nên bạn không cần chạm vào bất cứ thứ gì mà chỉ cần để nguyên. Dòng thứ tư: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Bằng cách nhân lần lượt các phần tử của hàng đầu tiên với từng hệ số của chúng và cộng chúng vào các hàng cần tìm, chúng ta thu được ma trận có dạng sau:
Như bạn có thể thấy, hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư bao gồm các phần tử tỷ lệ với nhau. Dòng thứ hai và thứ tư nhìn chung giống hệt nhau, vì vậy một trong số chúng có thể bị loại bỏ ngay lập tức và dòng còn lại có thể được nhân với hệ số “-1” và nhận được dòng số 3. Và một lần nữa, trong hai dòng giống hệt nhau, hãy để lại một dòng.
Kết quả là một ma trận như thế này. Mặc dù hệ thống vẫn chưa được viết ra, nhưng cần phải xác định các biến cơ bản ở đây - những biến đứng ở hệ số a 11 = 1 và a 22 = 1, và các biến tự do - tất cả những biến còn lại.
Trong phương trình thứ hai chỉ có một biến cơ bản - x 2. Điều này có nghĩa là nó có thể được biểu diễn từ đó bằng cách viết nó thông qua các biến x 3 , x 4 , x 5 , là các biến tự do.
Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình đầu tiên.
Kết quả là một phương trình trong đó biến cơ bản duy nhất là x 1 . Hãy làm tương tự với nó như với x 2.
Tất cả các biến cơ bản, trong đó có hai biến, được biểu diễn dưới dạng ba biến tự do; bây giờ chúng ta có thể viết câu trả lời ở dạng tổng quát;
Bạn cũng có thể chỉ định một trong những giải pháp cụ thể của hệ thống. Đối với những trường hợp như vậy, số 0 thường được chọn làm giá trị cho các biến tự do. Khi đó câu trả lời sẽ là:
16, 23, 0, 0, 0.
Ví dụ về hệ thống không hợp tác
Giải các hệ phương trình không tương thích bằng phương pháp Gauss là nhanh nhất. Nó kết thúc ngay lập tức khi ở một trong các giai đoạn thu được một phương trình không có nghiệm. Tức là công đoạn tính toán gốc khá dài và tẻ nhạt đã được loại bỏ. Hệ thống sau đây được xem xét:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Như thường lệ, ma trận được biên dịch:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Và nó được rút gọn thành dạng từng bước:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Sau phép biến đổi đầu tiên, dòng thứ ba chứa phương trình có dạng
không có giải pháp. Do đó, hệ thống không nhất quán và đáp án sẽ là tập rỗng.
Ưu điểm và nhược điểm của phương pháp
Nếu bạn chọn phương pháp giải SLAE trên giấy bằng bút thì phương pháp được thảo luận trong bài viết này có vẻ hấp dẫn nhất. Việc nhầm lẫn trong các phép biến đổi cơ bản sẽ khó hơn nhiều so với việc bạn phải tìm kiếm định thức hoặc ma trận nghịch đảo phức tạp nào đó theo cách thủ công. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng các chương trình để làm việc với loại dữ liệu này, chẳng hạn như bảng tính, thì hóa ra các chương trình đó đã chứa các thuật toán để tính các tham số chính của ma trận - định thức, hàm phụ, nghịch đảo, v.v. Và nếu bạn chắc chắn rằng máy sẽ tự tính toán các giá trị này và không mắc lỗi, thì nên sử dụng phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, vì việc sử dụng chúng bắt đầu và kết thúc bằng việc tính các định thức và ma trận nghịch đảo.
Ứng dụng
Vì giải pháp Gaussian là một thuật toán và ma trận thực chất là một mảng hai chiều nên nó có thể được sử dụng trong lập trình. Nhưng vì bài viết tự coi mình là hướng dẫn “dành cho người chưa biết”, nên phải nói rằng nơi dễ dàng nhất để đưa phương pháp này vào là bảng tính, chẳng hạn như Excel. Một lần nữa, bất kỳ SLAE nào được nhập vào bảng dưới dạng ma trận sẽ được Excel coi là mảng hai chiều. Và để thực hiện các thao tác với chúng, có rất nhiều lệnh hay: phép cộng (bạn chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước!), nhân với một số, nhân ma trận (cũng có một số hạn chế nhất định), tìm ma trận nghịch đảo và ma trận chuyển vị và quan trọng nhất là , tính định thức. Nếu nhiệm vụ tốn thời gian này được thay thế bằng một lệnh duy nhất, thì có thể xác định thứ hạng của ma trận nhanh hơn nhiều và do đó thiết lập tính tương thích hoặc không tương thích của nó.
Cho hệ phương trình đại số tuyến tính cần giải (tìm các giá trị ẩn số xi sao cho mỗi phương trình của hệ thành một đẳng thức).
Chúng ta biết rằng một hệ phương trình đại số tuyến tính có thể:
1) Không có giải pháp (được không khớp).
2) Có vô số nghiệm.
3) Có một giải pháp duy nhất.
Như chúng ta đã nhớ, quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ thống có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Phương pháp Gauss – công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm nghiệm cho bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, cái mà trong mọi trường hợp sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Bản thân thuật toán phương pháp hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp. Nếu phương pháp Cramer và ma trận yêu cầu kiến thức về định thức, thì để áp dụng phương pháp Gauss, bạn chỉ cần kiến thức về các phép tính số học, điều này khiến ngay cả học sinh tiểu học cũng có thể tiếp cận được.
Các phép biến đổi ma trận tăng cường ( đây là ma trận của hệ - một ma trận chỉ gồm các hệ số của ẩn số, cộng với một cột các thuật ngữ tự do) hệ phương trình đại số tuyến tính trong phương pháp Gauss:
1) Với troki ma trận Có thể sắp xếp lạiở một số nơi.
2) nếu các hàng tỷ lệ (trong trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) xuất hiện (hoặc tồn tại) trong ma trận, thì bạn nên xóa bỏ Tất cả các hàng này đều từ ma trận ngoại trừ một hàng.
3) nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi thì nó cũng phải là xóa bỏ.
4) một hàng của ma trận có thể nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác 0.
5) vào một hàng của ma trận bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác 0.
Trong phương pháp Gauss, các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình.
Phương pháp Gauss bao gồm hai giai đoạn:
- “Di chuyển trực tiếp” - sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính về dạng bước “tam giác”: các phần tử của ma trận mở rộng nằm dưới đường chéo chính bằng 0 (di chuyển từ trên xuống). Ví dụ: với loại này:
Để thực hiện việc này, hãy thực hiện các bước sau:
1) Xét phương trình thứ nhất của hệ phương trình đại số tuyến tính và hệ số của x 1 bằng K. Phương trình thứ hai, thứ ba, v.v. chúng tôi biến đổi các phương trình như sau: chúng tôi chia từng phương trình (hệ số cho ẩn số, bao gồm cả số hạng tự do) cho hệ số của ẩn số x 1, có trong mỗi phương trình và nhân với K. Sau đó, chúng tôi trừ đi số đầu tiên từ số thứ hai phương trình (hệ số cho ẩn số và số hạng tự do). Đối với x 1 trong phương trình thứ hai, chúng ta thu được hệ số 0. Từ phương trình biến đổi thứ ba, chúng ta trừ phương trình thứ nhất cho đến khi tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình thứ nhất, đối với x 1 chưa biết, có hệ số 0.
2) Hãy chuyển sang phương trình tiếp theo. Gọi đây là phương trình thứ hai và hệ số của x 2 bằng M. Chúng ta tiến hành với tất cả các phương trình “thấp hơn” như mô tả ở trên. Do đó, “dưới” ẩn số x 2 sẽ có số 0 trong mọi phương trình.
3) Chuyển sang phương trình tiếp theo, v.v. cho đến phương trình cuối cùng chưa biết và số hạng tự do đã biến đổi vẫn còn.
- “Bước đi ngược lại” của phương pháp Gauss là thu được nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính (bước đi “từ dưới lên”).
Từ phương trình “thấp hơn” cuối cùng, chúng ta thu được một nghiệm đầu tiên - ẩn số x n. Để làm điều này, chúng ta giải phương trình cơ bản A * x n = B. Trong ví dụ đã cho ở trên, x 3 = 4. Chúng ta thay giá trị tìm được vào phương trình tiếp theo “trên” và giải nó theo ẩn số tiếp theo. Ví dụ: x 2 – 4 = 1, tức là x 2 = 5. Và cứ như vậy cho đến khi tìm được tất cả những ẩn số.
Ví dụ.
Hãy giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, như một số tác giả khuyên:
Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:
Chúng ta nhìn vào “bậc thang” phía trên bên trái. Chúng ta nên có một cái ở đó. Vấn đề là ở cột đầu tiên không có đơn vị nào cả nên việc sắp xếp lại các hàng sẽ không giải quyết được gì. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. Hãy làm điều này:
. Dòng đầu tiên chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với –1. Tức là chúng ta nhân dòng thứ hai với –1 rồi cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.
Bây giờ ở phía trên bên trái có "trừ một", khá phù hợp với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn nhận +1 đều có thể thực hiện một hành động bổ sung: nhân dòng đầu tiên với –1 (đổi dấu của nó).
Bước 2 . Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ hai Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ ba.
Bước 3 . Dòng đầu tiên được nhân với –1, về nguyên tắc là để cho đẹp. Dấu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển xuống vị trí thứ hai, sao cho ở “bước” thứ hai ta có đơn vị cần thiết.
Bước 4 . Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với 2.
Bước 5 . Dòng thứ ba được chia cho 3.
Dấu hiệu cho thấy có lỗi trong tính toán (hiếm gặp hơn là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta có một cái gì đó giống như (0 0 11 |23) bên dưới và theo đó, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, thì với khả năng cao là chúng ta có thể nói rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình học tiểu học. những biến đổi.
Hãy làm ngược lại; khi thiết kế các ví dụ, bản thân hệ thống thường không được viết lại mà các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi xin nhắc bạn rằng động tác ngược lại được thực hiện từ dưới lên. Trong ví dụ này, kết quả là một món quà:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, do đó x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Trả lời:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Hãy giải quyết hệ thống tương tự bằng thuật toán được đề xuất. chúng tôi nhận được
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Chia phương trình thứ hai cho 5 và phương trình thứ ba cho 3. Chúng ta nhận được:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Nhân phương trình thứ hai và thứ ba với 4, ta được:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai và thứ ba, ta có:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Chia phương trình thứ ba cho 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Nhân phương trình thứ ba với 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ ba, chúng ta thu được ma trận mở rộng “bậc”:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Do đó, do sai số tích lũy trong quá trình tính toán nên chúng ta thu được x 3 = 0,96 hoặc xấp xỉ 1.
x 2 = 3 và x 1 = –1.
Bằng cách giải theo cách này, bạn sẽ không bao giờ bị nhầm lẫn trong các phép tính và dù có sai số tính toán nhưng bạn sẽ nhận được kết quả.
Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính này dễ lập trình và không tính đến đặc điểm cụ thể của các hệ số đối với ẩn số, vì trong thực tế (trong tính toán kinh tế và kỹ thuật) người ta phải xử lý các hệ số không nguyên.
Tôi chúc bạn thành công! Hẹn gặp bạn ở lớp! Gia sư Dmitry Aistrakhanov.
website, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết tới nguồn gốc.
Kể từ đầu thế kỷ 16-18, các nhà toán học đã bắt đầu nghiên cứu chuyên sâu về các hàm số, nhờ đó mà cuộc sống của chúng ta đã thay đổi rất nhiều. Công nghệ máy tính đơn giản sẽ không tồn tại nếu không có kiến thức này. Nhiều khái niệm, định lý và kỹ thuật giải khác nhau đã được tạo ra để giải các bài toán phức tạp, phương trình tuyến tính và hàm số. Một trong những phương pháp và kỹ thuật phổ quát và hợp lý để giải các phương trình tuyến tính và hệ của chúng là phương pháp Gauss. Ma trận, thứ hạng, định thức của chúng - mọi thứ đều có thể được tính toán mà không cần sử dụng các phép toán phức tạp.
SLAU là gì
Trong toán học có khái niệm SLAE - hệ phương trình đại số tuyến tính. Cô ấy như thế nào? Đây là một tập hợp m phương trình với n đại lượng mong muốn chưa biết, thường được ký hiệu là x, y, z hoặc x 1, x 2 ... x n hoặc các ký hiệu khác. Giải một hệ đã cho bằng phương pháp Gaussian có nghĩa là tìm tất cả các ẩn chưa biết. Nếu một hệ có cùng số ẩn số và phương trình thì nó được gọi là hệ bậc n.
Các phương pháp phổ biến nhất để giải SLAE
Trong các cơ sở giáo dục trung học, nhiều phương pháp khác nhau để giải các hệ thống như vậy được nghiên cứu. Thông thường đây là những phương trình đơn giản bao gồm hai ẩn số, vì vậy bất kỳ phương pháp hiện có nào để tìm câu trả lời cho chúng sẽ không mất nhiều thời gian. Điều này có thể giống như một phương pháp thay thế, khi một phương trình khác được rút ra từ một phương trình và được thay thế vào phương trình ban đầu. Hoặc phương pháp trừ cộng theo từng số hạng. Nhưng phương pháp Gauss được coi là dễ nhất và phổ biến nhất. Nó giúp ta có thể giải các phương trình với bất kỳ số lượng ẩn số nào. Tại sao kỹ thuật đặc biệt này được coi là hợp lý? Nó đơn giản. Điểm hay của phương pháp ma trận là nó không yêu cầu phải viết lại nhiều lần các ký hiệu không cần thiết dưới dạng ẩn số; chỉ cần thực hiện các phép tính số học trên các hệ số là đủ - và bạn sẽ nhận được một kết quả đáng tin cậy.
SLAE được sử dụng ở đâu trong thực tế?
Giải pháp cho SLAE là giao điểm của các đường trên đồ thị hàm số. Trong thời đại máy tính công nghệ cao của chúng ta, những người gắn liền với sự phát triển của trò chơi và các chương trình khác cần biết cách giải quyết các hệ thống đó, ý nghĩa của chúng và cách kiểm tra tính chính xác của kết quả thu được. Thông thường, các lập trình viên phát triển các chương trình máy tính đại số tuyến tính đặc biệt, chương trình này cũng bao gồm một hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp Gauss cho phép bạn tính toán tất cả các giải pháp hiện có. Các công thức và kỹ thuật đơn giản hóa khác cũng được sử dụng.
Tiêu chí tương thích SLAU
Một hệ thống như vậy chỉ có thể được giải quyết nếu nó tương thích. Để rõ ràng, chúng ta hãy biểu thị SLAE ở dạng Ax=b. Nó có nghiệm nếu rang(A) bằng rang(A,b). Trong trường hợp này, (A,b) là ma trận dạng mở rộng có thể thu được từ ma trận A bằng cách viết lại nó với các số hạng tự do. Hóa ra việc giải phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gaussian khá dễ dàng.
Có lẽ một số ký hiệu không hoàn toàn rõ ràng, vì vậy cần phải xem xét mọi thứ bằng một ví dụ. Giả sử có một hệ thống: x+y=1; 2x-3y=6. Nó chỉ bao gồm hai phương trình, trong đó có 2 ẩn số. Hệ thống sẽ chỉ có nghiệm nếu hạng của ma trận của nó bằng hạng của ma trận mở rộng. Thứ hạng là gì? Đây là số dòng độc lập của hệ thống. Trong trường hợp của chúng tôi, hạng của ma trận là 2. Ma trận A sẽ bao gồm các hệ số nằm gần ẩn số và các hệ số nằm phía sau dấu “=” cũng phù hợp với ma trận mở rộng.
Tại sao SLAE có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận?
Dựa trên tiêu chí tương thích theo định lý Kronecker-Capelli đã được chứng minh, một hệ phương trình đại số tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận. Sử dụng phương pháp xếp tầng Gaussian, bạn có thể giải ma trận và nhận được một câu trả lời đáng tin cậy duy nhất cho toàn bộ hệ thống. Nếu hạng của ma trận thông thường bằng hạng của ma trận mở rộng của nó, nhưng nhỏ hơn số ẩn số thì hệ thống có vô số câu trả lời.
Phép biến đổi ma trận
Trước khi chuyển sang giải ma trận, bạn cần biết những hành động nào có thể được thực hiện trên các phần tử của chúng. Có một số phép biến đổi cơ bản:
- Bằng cách viết lại hệ dưới dạng ma trận và giải nó, bạn có thể nhân tất cả các phần tử của chuỗi với cùng một hệ số.
- Để chuyển đổi ma trận thành dạng chính tắc, bạn có thể hoán đổi hai hàng song song. Dạng chính tắc ngụ ý rằng tất cả các phần tử ma trận nằm dọc theo đường chéo chính sẽ trở thành số một và những phần tử còn lại trở thành số 0.
- Các phần tử tương ứng của các hàng song song của ma trận có thể được cộng với nhau.
Phương pháp Jordan-Gauss
Bản chất của việc giải hệ phương trình tuyến tính đồng nhất và không đồng nhất bằng phương pháp Gaussian là loại bỏ dần các ẩn số. Giả sử chúng ta có một hệ gồm hai phương trình trong đó có hai ẩn số. Để tìm thấy chúng, bạn cần kiểm tra tính tương thích của hệ thống. Phương trình được giải rất đơn giản bằng phương pháp Gauss. Cần viết các hệ số nằm gần mỗi ẩn số dưới dạng ma trận. Để giải hệ, bạn cần viết ra ma trận mở rộng. Nếu một trong các phương trình chứa số ẩn số nhỏ hơn thì phải đặt “0” vào vị trí của phần tử còn thiếu. Tất cả các phương pháp biến đổi đã biết đều được áp dụng cho ma trận: nhân, chia cho một số, cộng các phần tử tương ứng của chuỗi với nhau và các phương pháp khác. Hóa ra trong mỗi hàng cần phải để lại một biến có giá trị “1”, phần còn lại phải được đặt thành 0. Để hiểu chính xác hơn, cần xem xét phương pháp Gauss bằng các ví dụ.
Một ví dụ đơn giản về giải hệ 2x2
Để bắt đầu, chúng ta hãy lấy một hệ phương trình đại số đơn giản, trong đó sẽ có 2 ẩn số.
Hãy viết lại nó thành một ma trận mở rộng.
Để giải hệ phương trình tuyến tính này, chỉ cần hai thao tác. Chúng ta cần đưa ma trận về dạng chính tắc để có những ma trận dọc theo đường chéo chính. Vì vậy, chuyển từ dạng ma trận trở lại hệ, chúng ta thu được các phương trình: 1x+0y=b1 và 0x+1y=b2, trong đó b1 và b2 là kết quả thu được trong quá trình giải.
- Hành động đầu tiên khi giải ma trận mở rộng sẽ là: hàng đầu tiên phải được nhân với -7 và thêm các phần tử tương ứng vào hàng thứ hai để loại bỏ một ẩn số trong phương trình thứ hai.
- Vì việc giải phương trình bằng phương pháp Gauss liên quan đến việc rút gọn ma trận về dạng chính tắc, nên cần thực hiện các phép toán tương tự với phương trình thứ nhất và loại bỏ biến thứ hai. Để làm điều này, chúng tôi trừ dòng thứ hai khỏi dòng đầu tiên và nhận được câu trả lời cần thiết - giải pháp SLAE. Hoặc, như trong hình, chúng ta nhân hàng thứ hai với hệ số -1 và cộng các phần tử của hàng thứ hai vào hàng đầu tiên. Đó là điều tương tự.
Như chúng ta có thể thấy, hệ thống của chúng ta đã được giải bằng phương pháp Jordan-Gauss. Chúng ta viết lại nó ở dạng cần thiết: x=-5, y=7.
Một ví dụ về giải pháp SLAE 3x3
Giả sử chúng ta có một hệ phương trình tuyến tính phức tạp hơn. Phương pháp Gaussian giúp tính toán câu trả lời ngay cả đối với hệ thống có vẻ khó hiểu nhất. Do đó, để tìm hiểu sâu hơn về phương pháp tính toán, bạn có thể chuyển sang một ví dụ phức tạp hơn với ba ẩn số.
Như trong ví dụ trước, chúng ta viết lại hệ thống dưới dạng ma trận mở rộng và bắt đầu đưa nó về dạng chính tắc.
Để giải quyết hệ thống này, bạn sẽ cần thực hiện nhiều hành động hơn trong ví dụ trước.
- Trước tiên, bạn cần tạo cột đầu tiên một phần tử đơn vị và các số 0 còn lại. Để làm điều này, nhân phương trình đầu tiên với -1 và thêm phương trình thứ hai vào nó. Điều quan trọng cần nhớ là chúng ta viết lại dòng đầu tiên ở dạng ban đầu và dòng thứ hai ở dạng sửa đổi.
- Tiếp theo, chúng ta loại bỏ ẩn số đầu tiên này khỏi phương trình thứ ba. Để làm điều này, nhân các phần tử của hàng đầu tiên với -2 và thêm chúng vào hàng thứ ba. Bây giờ dòng đầu tiên và thứ hai được viết lại ở dạng ban đầu và dòng thứ ba - có thay đổi. Như bạn có thể thấy từ kết quả, chúng ta có số đầu tiên ở đầu đường chéo chính của ma trận và các số 0 còn lại. Một vài bước nữa là hệ phương trình theo phương pháp Gaussian sẽ được giải một cách đáng tin cậy.
- Bây giờ bạn cần thực hiện các thao tác trên các phần tử khác của hàng. Hành động thứ ba và thứ tư có thể được kết hợp thành một. Chúng ta cần chia dòng thứ hai và dòng thứ ba cho -1 để loại bỏ các điểm trừ trên đường chéo. Chúng tôi đã đưa dòng thứ ba về dạng yêu cầu.
- Tiếp theo chúng ta đưa dòng thứ hai về dạng chuẩn. Để làm điều này, nhân các phần tử của hàng thứ ba với -3 và cộng chúng vào hàng thứ hai của ma trận. Từ kết quả, rõ ràng dòng thứ hai cũng được rút gọn về dạng chúng ta cần. Vẫn còn phải thực hiện thêm một số thao tác và loại bỏ các hệ số chưa biết khỏi dòng đầu tiên.
- Để tạo 0 từ phần tử thứ hai của hàng, bạn cần nhân hàng thứ ba với -3 và thêm nó vào hàng đầu tiên.
- Bước quyết định tiếp theo sẽ là thêm các yếu tố cần thiết của hàng thứ hai vào hàng đầu tiên. Bằng cách này, chúng ta có được dạng chuẩn của ma trận và theo đó, câu trả lời.
Như bạn có thể thấy, việc giải phương trình bằng phương pháp Gauss khá đơn giản.
Ví dụ giải hệ phương trình 4x4
Một số hệ phương trình phức tạp hơn có thể được giải bằng phương pháp Gaussian bằng chương trình máy tính. Cần nhập các hệ số cho các ẩn số vào các ô trống hiện có và chính chương trình sẽ từng bước tính toán kết quả cần có, mô tả chi tiết từng hành động.
Hướng dẫn từng bước để giải một ví dụ như vậy được mô tả dưới đây.
Trong bước đầu tiên, các hệ số và số tự do chưa biết được nhập vào các ô trống. Vì vậy, chúng ta nhận được ma trận mở rộng tương tự mà chúng ta viết thủ công.
Và tất cả các phép tính số học cần thiết được thực hiện để đưa ma trận mở rộng về dạng chính tắc của nó. Cần phải hiểu rằng đáp số của hệ phương trình không phải lúc nào cũng là số nguyên. Đôi khi giải pháp có thể là từ các số phân số.
Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp
Phương pháp Jordan-Gauss cung cấp khả năng kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Để biết các hệ số có được tính toán chính xác hay không, bạn chỉ cần thay kết quả vào hệ phương trình ban đầu. Vế trái của phương trình phải khớp với vế phải đằng sau dấu bằng. Nếu các câu trả lời không khớp, thì bạn cần tính toán lại hệ thống hoặc thử áp dụng cho nó một phương pháp giải SLAE khác mà bạn đã biết, chẳng hạn như thay thế hoặc trừ và cộng theo từng số hạng. Xét cho cùng, toán học là một môn khoa học có rất nhiều phương pháp giải khác nhau. Nhưng hãy nhớ: kết quả phải luôn giống nhau, bất kể bạn sử dụng phương pháp giải nào.
Phương pháp Gauss: các lỗi thường gặp nhất khi giải SLAE
Khi giải hệ phương trình tuyến tính, các lỗi thường xảy ra nhất như chuyển sai hệ số sang dạng ma trận. Có những hệ thống trong đó một số ẩn số bị thiếu trong một trong các phương trình, khi truyền dữ liệu sang ma trận mở rộng, chúng có thể bị mất. Kết quả là khi giải hệ này, kết quả có thể không tương ứng với kết quả thực tế.
Một sai lầm lớn khác có thể là viết sai kết quả cuối cùng. Cần phải hiểu rõ ràng rằng hệ số đầu tiên sẽ tương ứng với ẩn số đầu tiên trong hệ thống, hệ số thứ hai - với hệ số thứ hai, v.v.
Phương pháp Gauss mô tả chi tiết cách giải các phương trình tuyến tính. Nhờ nó, bạn có thể dễ dàng thực hiện các thao tác cần thiết và tìm ra kết quả mong muốn. Ngoài ra, đây là một công cụ phổ biến để tìm câu trả lời đáng tin cậy cho các phương trình có độ phức tạp bất kỳ. Có lẽ đó là lý do tại sao nó thường được sử dụng khi giải SLAE.
Carl Friedrich Gauss, nhà toán học vĩ đại nhất, đã lưỡng lự rất lâu khi lựa chọn giữa triết học và toán học. Có lẽ chính tư duy này đã cho phép ông tạo nên một “di sản” đáng chú ý trong khoa học thế giới. Đặc biệt, bằng cách tạo ra "Phương pháp Gauss" ...
Trong gần 4 năm, các bài viết trên trang này đề cập đến giáo dục học đường, chủ yếu từ quan điểm triết học, những nguyên tắc hiểu biết (sai lầm) đã được đưa vào tâm trí trẻ em. Đã đến lúc cần có thêm những chi tiết cụ thể, ví dụ và phương pháp... Tôi tin rằng đây chính xác là cách tiếp cận những điều quen thuộc, khó hiểu và quan trọng lĩnh vực của cuộc sống mang lại kết quả tốt hơn.
Con người chúng ta được thiết kế theo cách mà dù chúng ta có nói về bao nhiêu đi chăng nữa tư duy trừu tượng, Nhưng sự hiểu biết Luôn luôn xảy ra thông qua các ví dụ. Nếu không có ví dụ thì không thể nắm bắt được nguyên lý... Cũng như không thể lên đỉnh núi nếu không đi bộ hết con dốc từ chân.
Tương tự với trường học: bây giờ câu chuyện sống Sẽ chưa đủ nếu chúng ta tiếp tục coi nó như một nơi mà trẻ em được dạy để hiểu theo bản năng.
Ví dụ, dạy phương pháp Gaussian...
Phương pháp Gauss ở lớp 5
Tôi sẽ đặt chỗ ngay: phương pháp Gauss có ứng dụng rộng hơn nhiều, chẳng hạn như khi giải hệ phương trình tuyến tính. Những gì chúng ta sẽ nói đến diễn ra vào năm lớp 5. Cái này bắt đầu, đã hiểu điều đó thì sẽ dễ hiểu hơn nhiều về các “tùy chọn nâng cao” hơn. Trong bài viết này chúng ta đang nói về Phương pháp (phương pháp) của Gauss để tìm tổng của một chuỗi
Đây là một ví dụ mà con trai út của tôi, đang học lớp 5 tại một nhà thi đấu ở Moscow, mang từ trường về.
Trường trình diễn phương pháp Gauss
Giáo viên dạy toán sử dụng bảng tương tác (phương pháp dạy học hiện đại) cho các em xem bài thuyết trình về lịch sử “sáng tạo ra phương pháp” của bé Gauss.
Giáo viên ở trường đánh bé Karl (một phương pháp lỗi thời, ngày nay không còn được sử dụng trong trường học) vì cậu bé
thay vì cộng các số từ 1 đến 100 theo thứ tự, hãy tìm tổng của chúng nhận thấy các cặp số cách đều nhau tính từ các cạnh của một cấp số cộng sẽ có cùng một số. ví dụ: 100 và 1, 99 và 2. Sau khi đếm số cặp như vậy, cậu bé Gauss gần như giải được ngay bài toán mà giáo viên đưa ra. Vì lý do đó mà anh ta đã bị xử tử trước sự kinh ngạc của công chúng. Vì vậy mà người khác sẽ nản lòng khi suy nghĩ.
Gauss bé nhỏ đã làm gì? đã phát triển ý nghĩa số? Thông báo một số tính năng dãy số có bước không đổi (tiến trình số học). VÀ đó chính xác là những gì sau này đã biến ông thành một nhà khoa học vĩ đại, những người biết cách để ý, có cảm giác, bản năng hiểu biết.
Đây là lý do vì sao toán học có giá trị, phát triển khả năng nhìn thấy nói chung nói riêng - tư duy trừu tượng. Vì vậy, hầu hết các bậc cha mẹ và người sử dụng lao động theo bản năng coi toán học là một môn học quan trọng ...
“Vậy thì bạn cần học toán, vì nó giúp trí óc bạn có trật tự.
M.V.Lomonosov".
Tuy nhiên, những người theo những kẻ dùng gậy đánh đập các thiên tài tương lai đã biến Phương pháp này thành một thứ hoàn toàn ngược lại. Như người giám sát của tôi đã nói cách đây 35 năm: “Câu hỏi đã được học”. Hay như con trai út của tôi ngày hôm qua đã nói về phương pháp của Gauss: “Có lẽ không đáng để tạo nên một khoa học lớn từ phương pháp này phải không?”
Hậu quả của sự sáng tạo của các “nhà khoa học” thể hiện rõ ở trình độ toán học phổ thông hiện nay, trình độ giảng dạy và sự hiểu biết về “Nữ hoàng khoa học” của đa số.
Tuy nhiên, hãy tiếp tục...
Các phương pháp giải thích phương pháp Gauss ở lớp 5
Một giáo viên toán tại một phòng tập thể dục ở Moscow, giải thích phương pháp Gauss theo Vilenkin, đã khiến nhiệm vụ trở nên phức tạp.
Điều gì sẽ xảy ra nếu hiệu (bước) của một cấp số cộng không phải là một mà là một số khác? Ví dụ: 20.
Bài toán thầy đưa ra cho học sinh lớp 5:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Trước khi làm quen với phương pháp tập thể dục, chúng ta cùng tìm hiểu trên Internet: giáo viên phổ thông và gia sư môn toán thực hiện như thế nào?..
Phương pháp Gaussian: giải thích số 1
Một gia sư nổi tiếng trên kênh YOUTUBE của mình đưa ra lý do như sau:
"hãy viết các số từ 1 đến 100 như sau:
đầu tiên là một dãy số từ 1 đến 50, và ngay bên dưới nó là một dãy số khác từ 50 đến 100, nhưng theo thứ tự ngược lại"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Xin lưu ý: tổng của mỗi cặp số ở hàng trên và dưới đều bằng nhau và bằng 101! Hãy đếm số cặp, nó là 50 và nhân tổng của một cặp với số cặp! Thì đấy: The câu trả lời đã sẵn sàng!"
“Nếu bạn không hiểu, đừng buồn!” Giáo viên lặp lại ba lần trong khi giải thích. "Bạn sẽ học phương pháp này vào năm lớp 9!"
Phương pháp Gaussian: giải thích số 2
Một gia sư khác ít tên tuổi hơn (đánh giá qua số lượt xem) lại có cách tiếp cận khoa học hơn, đưa ra thuật toán giải 5 điểm phải hoàn thành tuần tự.
Đối với những người chưa quen, 5 là một trong những con số Fibonacci theo truyền thống được coi là kỳ diệu. Ví dụ, phương pháp 5 bước luôn khoa học hơn phương pháp 6 bước. ...Và đây khó có thể là sự ngẫu nhiên, rất có thể Tác giả là người ngầm ủng hộ lý thuyết Fibonacci
Cho một cấp số cộng: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Thuật toán tìm tổng các số trong chuỗi bằng phương pháp Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Đồng thời, bạn cần nhớ cộng thêm một quy tắc : chúng ta phải thêm một vào thương số thu được: nếu không chúng ta sẽ nhận được kết quả nhỏ hơn một so với số cặp thực sự: 42 + 1 = 43.
Đây là tổng cần thiết của cấp số cộng từ 4 đến 256 với chênh lệch là 6!
Phương pháp Gauss: giải thích ở lớp 5 tại nhà thi đấu Moscow
Sau đây là cách giải bài toán tìm tổng của một chuỗi:
20+40+60+ ... +460+480+500
vào lớp 5 tại một nhà thi đấu ở Moscow, sách giáo khoa của Vilenkin (theo con trai tôi).
Sau khi trình chiếu, giáo viên dạy toán đưa ra một số ví dụ sử dụng phương pháp Gaussian và giao cho lớp nhiệm vụ tìm tổng các số trong một chuỗi với gia số là 20.
Điều này yêu cầu những điều sau đây:
Như bạn có thể thấy, đây là một kỹ thuật nhỏ gọn và hiệu quả hơn: số 3 cũng là một thành viên của dãy Fibonacci
Nhận xét của tôi về phiên bản trường học của phương pháp Gauss
Nhà toán học vĩ đại chắc chắn đã chọn triết học nếu ông đoán trước được “phương pháp” của mình sẽ được những người theo ông biến thành như thế nào giáo viên tiếng Đức, người đã dùng gậy đánh Karl. Anh ta hẳn đã nhìn thấy tính biểu tượng, vòng xoáy biện chứng và sự ngu xuẩn bất diệt của những “giáo viên”, cố gắng đo lường sự hài hòa giữa tư duy toán học sống động với đại số của sự hiểu lầm ....
Nhân tiện: bạn có biết không. rằng hệ thống giáo dục của chúng ta bắt nguồn từ trường học Đức thế kỷ 18 và 19?
Nhưng Gauss đã chọn toán học.
Bản chất của phương pháp của ông là gì?
TRONG sự đơn giản hóa. TRONG quan sát và nắm bắt các mẫu số đơn giản. TRONG biến số học khô khan thành hoạt động thú vị và hấp dẫn , kích hoạt trong não mong muốn tiếp tục thay vì ngăn chặn hoạt động tinh thần tốn kém.
Có thể sử dụng một trong những “sửa đổi của phương pháp Gauss” đã cho để tính tổng các số của một cấp số cộng gần như không? ngay lập tức? Theo “thuật toán”, cậu bé Karl sẽ được đảm bảo tránh bị đánh đòn, phát triển ác cảm với toán học và ngăn chặn sự thôi thúc sáng tạo của mình ngay từ trong trứng nước.
Tại sao gia sư lại kiên trì khuyên học sinh lớp 5 “đừng sợ hiểu sai” phương pháp, thuyết phục các em rằng các em sẽ giải được những bài toán “như vậy” ngay từ lớp 9? Hành động mù chữ về mặt tâm lý. Đó là một động thái tốt cần lưu ý: "Thấy bạn đã học lớp 5 bạn có thể giải quyết những vấn đề mà bạn sẽ chỉ hoàn thành sau 4 năm! Bạn quả là một người bạn tuyệt vời!”
Để sử dụng phương pháp Gaussian, mức độ lớp 3 là đủ, khi trẻ bình thường đã biết cộng, nhân, chia các số có 2-3 chữ số. Vấn đề nảy sinh do những giáo viên trưởng thành “mất liên lạc” không thể giải thích những điều đơn giản nhất bằng ngôn ngữ bình thường của con người, chưa kể đến toán học... Họ không thể khiến mọi người quan tâm đến toán học và hoàn toàn làm nản lòng ngay cả những người “ có khả năng."
Hoặc, như con trai tôi nhận xét: “tạo ra một khoa học lớn từ nó.”
Phương pháp Gauss, lời giải thích của tôi
Có vẻ như vợ tôi và tôi đã giải thích “phương pháp” này cho con mình ngay cả trước khi đi học…
Đơn giản thay vì phức tạp hay trò chơi hỏi đáp
"Nhìn này, đây là các số từ 1 đến 100. Bạn thấy gì?"
Vấn đề không phải chính xác là những gì đứa trẻ nhìn thấy. Bí quyết là làm cho anh ta nhìn.
"Làm thế nào bạn có thể đặt chúng lại với nhau?" Con trai nhận ra rằng những câu hỏi như vậy không được hỏi “cứ như vậy” và bạn cần nhìn vào câu hỏi “bằng cách nào đó, khác với những gì anh ấy thường làm”
Sẽ không có vấn đề gì nếu đứa trẻ nhìn thấy giải pháp ngay lập tức, điều đó khó xảy ra. Điều quan trọng là anh ấy không còn ngại nhìn nữa, hay như tôi nói: “chuyển nhiệm vụ”. Đây là sự khởi đầu của hành trình tìm hiểu
“Cái nào dễ hơn: ví dụ như cộng 5 và 6 hay 5 và 95?” Câu hỏi hàng đầu... Nhưng bất kỳ khóa đào tạo nào cũng nhằm mục đích “hướng dẫn” một người đi đến “câu trả lời” - theo bất kỳ cách nào mà anh ta có thể chấp nhận được.
Ở giai đoạn này, có thể đã nảy sinh những phỏng đoán về cách "tiết kiệm" các phép tính.
Tất cả những gì chúng tôi làm chỉ là gợi ý: phương pháp đếm “trực diện, tuyến tính” không phải là phương pháp duy nhất khả thi. Nếu trẻ hiểu được điều này thì sau này trẻ sẽ nghĩ ra nhiều phương pháp như vậy hơn, vì nó thú vị!!! Và bé chắc chắn sẽ tránh được việc “hiểu lầm” toán học và sẽ không cảm thấy chán ghét nó. Anh ấy đã giành chiến thắng!
Nếu như đứa trẻ được phát hiện việc cộng các cặp số có tổng đến một trăm là việc dễ dàng, thì "cấp số cộng chênh lệch 1"- một điều khá buồn tẻ và không thú vị đối với một đứa trẻ - đột nhiên đã tìm thấy cuộc sống cho anh ấy . Trật tự xuất hiện từ sự hỗn loạn và điều này luôn gây ra sự nhiệt tình: đó là cách chúng ta được tạo ra!
Một câu hỏi cần trả lời: tại sao, sau khi đứa trẻ đã nhận được cái nhìn sâu sắc, nó lại bị ép vào khuôn khổ của các thuật toán khô khan, những thuật toán này cũng vô dụng về mặt chức năng trong trường hợp này?!
Tại sao buộc phải viết lại ngu ngốc? số thứ tự trong một cuốn sổ: để ngay cả những người có năng lực cũng không có một cơ hội hiểu được? Tất nhiên là về mặt thống kê, nhưng giáo dục đại chúng hướng tới “thống kê”…
Số 0 đã đi đâu?
Chưa hết, việc cộng các số có tổng bằng 100 được tâm trí chấp nhận hơn nhiều so với các số có tổng bằng 101...
"Phương pháp trường Gauss" yêu cầu chính xác điều này: gấp một cách vô tâm các cặp số cách đều tâm của cấp số cộng, không có vấn đề gì.
Nếu bạn nhìn thì sao?
Tuy nhiên, số 0 là phát minh vĩ đại nhất của nhân loại, nó đã hơn 2.000 năm tuổi. Và giáo viên toán tiếp tục phớt lờ anh ta.
Việc chuyển đổi một chuỗi số bắt đầu bằng 1 thành một chuỗi bắt đầu bằng 0 sẽ dễ dàng hơn nhiều. Tổng sẽ không thay đổi phải không? Bạn cần ngừng việc “nghĩ trong sách giáo khoa” và bắt đầu tìm kiếm… Và hãy xem rằng các cặp có tổng bằng 101 có thể được thay thế hoàn toàn bằng các cặp có tổng bằng 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Làm thế nào để bãi bỏ “quy tắc cộng 1”?
Thành thật mà nói, lần đầu tiên tôi nghe về quy định này từ gia sư YouTube đó...
Tôi vẫn phải làm gì khi cần xác định số lượng thành viên của một bộ truyện?
Tôi nhìn vào trình tự:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
và khi bạn hoàn toàn mệt mỏi, hãy chuyển sang hàng đơn giản hơn:
1, 2, 3, 4, 5
và tôi nghĩ: nếu bạn trừ một từ 5, bạn sẽ có 4, nhưng tôi hoàn toàn rõ ràng tôi hiểu rồi 5 số! Vì vậy, bạn cần phải thêm một! Ý nghĩa số được phát triển ở trường tiểu học cho thấy: ngay cả khi có cả một Google gồm các thành viên của chuỗi (sức lũy thừa thứ 10 đến một trăm), mô hình sẽ vẫn giữ nguyên.
Quy tắc là cái quái gì vậy?..
Vậy là trong một vài năm nữa, bạn có thể lấp đầy khoảng trống giữa trán và sau đầu và ngừng suy nghĩ? Làm thế nào để kiếm được bánh mì và bơ của bạn? Suy cho cùng, chúng ta đang tiến vào kỷ nguyên của nền kinh tế kỹ thuật số!
Thông tin thêm về phương pháp trường học của Gauss: “tại sao lại tạo ra khoa học từ thứ này?…”
Không phải vô cớ mà tôi đã đăng ảnh chụp màn hình từ sổ ghi chép của con trai tôi...
"Chuyện gì đã xảy ra trong lớp vậy?"
“Ồ, tôi đếm ngay, giơ tay nhưng cô ấy không hỏi. Vì vậy, trong khi các bạn khác đang đếm, tôi bắt đầu làm bài tập bằng tiếng Nga để không lãng phí thời gian. Sau đó, khi các bạn khác viết xong (? ??), cô ấy gọi tôi lên bảng, tôi nói câu trả lời."
“Đúng rồi, hãy chỉ cho tôi cách bạn giải quyết nó,” giáo viên nói. Tôi đã cho nó xem. Cô nói: “Sai rồi, anh phải tính như em hướng dẫn nhé!”
“Thật tốt là cô ấy không cho điểm kém. Và cô ấy bắt tôi viết vào sổ tay của họ “quá trình giải quyết” theo cách riêng của họ. Tại sao lại tạo ra một vấn đề khoa học lớn về điều này?..”
Tội ác chính của giáo viên dạy toán
Hầu như không sau đó sự cố đó Carl Gauss có cảm giác rất tôn trọng giáo viên dạy toán ở trường của mình. Nhưng nếu anh ta biết cách người theo thầy đó sẽ bóp méo bản chất của phương pháp... anh ta sẽ gầm lên phẫn nộ và, thông qua Tổ chức Sở hữu Trí tuệ Thế giới WIPO, đạt được lệnh cấm sử dụng tên hay của anh ta trong sách giáo khoa ở trường!..
Trong cái gì sai lầm chính của phương pháp tiếp cận trường học? Hay như tôi đã nói, tội ác của giáo viên dạy toán ở trường đối với trẻ em?
Thuật toán hiểu lầm
Các nhà nghiên cứu phương pháp học ở trường học làm gì, đại đa số họ không biết suy nghĩ?
Họ tạo ra các phương pháp và thuật toán (xem). Cái này một phản ứng phòng thủ nhằm bảo vệ giáo viên khỏi những lời chỉ trích (“Mọi thứ được thực hiện theo…”) và bảo vệ trẻ khỏi sự hiểu biết. Và do đó - từ mong muốn chỉ trích giáo viên!(Đạo hàm thứ hai của “sự khôn ngoan” quan liêu, một cách tiếp cận vấn đề một cách khoa học). Một người không nắm bắt được ý nghĩa thà đổ lỗi cho sự hiểu lầm của chính mình còn hơn là sự ngu ngốc của hệ thống trường học.
Chuyện xảy ra như thế này: cha mẹ đổ lỗi cho con cái, và giáo viên... cũng làm như vậy với những đứa trẻ “không hiểu toán!”
Bạn có thông minh không?
Karl bé nhỏ đã làm gì?
Một cách tiếp cận hoàn toàn độc đáo đối với một nhiệm vụ mang tính công thức. Đây là bản chất của cách tiếp cận của Ngài. Cái này Điều quan trọng cần được dạy ở trường là suy nghĩ không phải bằng sách giáo khoa mà bằng cái đầu của bạn. Tất nhiên, cũng có một thành phần công cụ có thể được sử dụng... để tìm kiếm phương pháp đếm đơn giản và hiệu quả hơn.
Phương pháp Gauss theo Vilenkin
Ở trường người ta dạy rằng phương pháp của Gauss là
Cái gì, nếu số phần tử của chuỗi là số lẻ, như trong bài toán được giao cho con trai tôi?..
"Bắt" là trong trường hợp này bạn nên tìm một số "phụ" trong dãy và thêm nó vào tổng của các cặp. Trong ví dụ của chúng tôi con số này là 260.
Làm thế nào để phát hiện? Sao chép tất cả các cặp số vào sổ tay!(Đây là lý do tại sao giáo viên bắt bọn trẻ làm công việc ngu ngốc này là cố dạy "sự sáng tạo" bằng phương pháp Gaussian... Và đây là lý do tại sao "phương pháp" như vậy thực tế không thể áp dụng được cho chuỗi dữ liệu lớn, VÀ đây là lý do tại sao nó như vậy không phải phương pháp Gaussian.)
Một chút sáng tạo trong giờ học...
Người con trai đã hành động khác.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Không khó phải không?
Nhưng trên thực tế, điều đó thậm chí còn dễ dàng hơn, cho phép bạn dành 2-3 phút cho viễn thám bằng tiếng Nga, trong khi phần còn lại là "đếm". Ngoài ra, nó vẫn giữ nguyên số bước của phương pháp: 5, điều này không để phương pháp này bị chê là phản khoa học.
Rõ ràng cách tiếp cận này đơn giản hơn, nhanh hơn và phổ quát hơn, theo phong cách của Phương pháp. Nhưng… cô giáo không những không khen mà còn bắt tôi phải viết lại “đúng cách” (xem ảnh chụp màn hình). Tức là cô ấy đã cố gắng hết sức để kìm hãm động lực sáng tạo và khả năng hiểu toán học tận gốc rễ! Rõ ràng là để sau này cô ấy được thuê làm gia sư... Cô ấy đã tấn công nhầm người...
Mọi thứ mà tôi mô tả dài dòng và tẻ nhạt như vậy có thể được giải thích cho một đứa trẻ bình thường trong tối đa nửa giờ. Cùng với các ví dụ.
Và theo cách mà anh ấy sẽ không bao giờ quên nó.
Và nó sẽ là bước tới sự hiểu biết...không chỉ các nhà toán học.
Hãy thừa nhận đi: bạn đã cộng bao nhiêu lần trong đời bằng phương pháp Gaussian? Và tôi chưa bao giờ làm vậy!
Nhưng bản năng hiểu biết, phát triển (hoặc lụi tàn) trong quá trình nghiên cứu các phương pháp toán học ở trường... Ôi!.. Đây quả thực là một điều không thể thay thế được!
Đặc biệt trong thời đại số hóa toàn dân mà chúng ta đang âm thầm bước vào dưới sự lãnh đạo chặt chẽ của Đảng và Chính phủ.
Đôi lời bênh vực thầy cô...
Thật không công bằng và sai lầm khi đổ toàn bộ trách nhiệm về phong cách giảng dạy này cho giáo viên trong trường. Hệ thống đang có hiệu lực.
Một số giáo viên hiểu sự vô lý của những gì đang xảy ra, nhưng phải làm gì? Luật Giáo dục, Tiêu chuẩn giáo dục của Liên bang, phương pháp, giáo án... Mọi thứ phải được thực hiện “phù hợp và có cơ sở” và mọi thứ phải được ghi chép lại. Bước sang một bên - đứng xếp hàng để bị sa thải. Chúng ta đừng đạo đức giả: lương giáo viên ở Moscow rất cao... Nếu họ sa thải bạn thì đi đâu?..
Vì vậy trang web này không phải về giáo dục. Anh ấy về giáo dục cá nhân, cách duy nhất có thể để thoát khỏi đám đông thế hệ Z ...
Một trong những phương pháp phổ biến và hiệu quả để giải hệ đại số tuyến tính là phương pháp Gaussian , bao gồm việc loại bỏ tuần tự các ẩn số.
Hãy nhớ lại rằng hai hệ thống được gọi là tương đương (tương đương) nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau. Nói cách khác, các hệ thống là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngược lại. Hệ thống tương đương thu được khi các phép biến đổi cơ bản phương trình của hệ thống:
nhân cả hai vế của phương trình với một số khác 0;
thêm vào một số phương trình các phần tương ứng của một phương trình khác, nhân với một số khác 0;
sắp xếp lại hai phương trình.
Cho hệ phương trình
Quá trình giải hệ này bằng phương pháp Gaussian bao gồm hai giai đoạn. Ở giai đoạn đầu tiên (chuyển động trực tiếp), hệ thống, sử dụng các phép biến đổi cơ bản, được rút gọn thành từng bước , hoặc hình tam giác và ở giai đoạn thứ hai (ngược lại), có một tuần tự, bắt đầu từ số biến cuối cùng, xác định các ẩn số từ hệ thống bước kết quả.
Giả sử hệ số của hệ này 
, nếu không thì trong hệ thống, hàng đầu tiên có thể được hoán đổi với bất kỳ hàng nào khác sao cho hệ số tại 
đã khác với số không.
Hãy biến đổi hệ thống bằng cách loại bỏ những điều chưa biết 
trong tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên. Để làm điều này, nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 
và cộng từng số hạng với phương trình thứ hai của hệ. Sau đó nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 
và thêm nó vào phương trình thứ ba của hệ thống. Tiếp tục quá trình này ta thu được hệ tương đương
Đây 
– các giá trị mới của hệ số và số hạng tự do thu được sau bước đầu tiên.
Tương tự, xét yếu tố chính 
, loại trừ ẩn số 
từ tất cả các phương trình của hệ ngoại trừ phương trình thứ nhất và thứ hai. Hãy tiếp tục quá trình này càng lâu càng tốt và kết quả là chúng ta sẽ có được một hệ thống từng bước
,
Ở đâu 
,
,…,
- Các thành phần chính của hệ thống 
.
Nếu, trong quá trình chuyển hệ về dạng từng bước, xuất hiện các phương trình, tức là các đẳng thức có dạng 
, chúng bị loại bỏ vì chúng được thỏa mãn bởi bất kỳ bộ số nào 
. 
Nếu tại
Nếu một phương trình có dạng xuất hiện mà không có nghiệm, điều này cho thấy sự không tương thích của hệ thống. 
Trong hành trình ngược lại, ẩn số đầu tiên được biểu thị từ phương trình cuối cùng của hệ bước biến đổi 
thông qua tất cả những điều chưa biết khác được gọi là
.
miễn phí 
Khi đó biểu thức biến 
từ phương trình cuối cùng của hệ được thay thế vào phương trình áp chót và biến được biểu thị từ nó 
. Các biến được xác định tuần tự theo cách tương tự 
. Biến , được biểu diễn thông qua các biến tự do, được gọi là
(sự phụ thuộc). Kết quả là nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính.
Để tìm giải pháp riêng
hệ thống, miễn phí chưa biết 
trong lời giải tổng quát các giá trị tùy ý được gán và giá trị của các biến được tính toán 
.
Về mặt kỹ thuật, sẽ thuận tiện hơn khi áp dụng các phép biến đổi cơ bản không phải bản thân các phương trình của hệ mà là ma trận mở rộng của hệ.
.
Phương pháp Gauss là một phương pháp phổ quát cho phép bạn giải không chỉ các hệ hình vuông mà còn cả các hệ hình chữ nhật trong đó số lượng ẩn số 
không bằng số phương trình 
.
Ưu điểm của phương pháp này còn là trong quá trình giải chúng ta đồng thời kiểm tra tính tương thích của hệ thống, vì đã cho ma trận mở rộng 
dưới dạng từng bước, dễ dàng xác định được thứ hạng của ma trận 
và ma trận mở rộng 
và áp dụng Định lý Kronecker-Capelli
.
Ví dụ 2.1 Giải hệ bằng phương pháp Gauss
Giải pháp. Số phương trình 
và số lượng ẩn số 
.
Hãy tạo ma trận mở rộng của hệ bằng cách gán các hệ số bên phải ma trận 
cột thành viên miễn phí 
.
Hãy trình bày ma trận 
sang chế độ xem hình tam giác; Để làm điều này, chúng ta sẽ thu được “0” bên dưới các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.
Để có số "0" ở vị trí thứ hai của cột đầu tiên, hãy nhân hàng đầu tiên với (-1) và thêm nó vào hàng thứ hai.
Chúng ta viết phép biến đổi này dưới dạng số (-1) theo dòng đầu tiên và biểu thị nó bằng một mũi tên đi từ dòng đầu tiên đến dòng thứ hai.
Để có số "0" ở vị trí thứ ba của cột đầu tiên, hãy nhân hàng đầu tiên với (-3) rồi cộng với hàng thứ ba; Hãy thể hiện hành động này bằng cách sử dụng một mũi tên đi từ dòng đầu tiên đến dòng thứ ba.
.
Trong ma trận kết quả, được viết ở vị trí thứ hai trong chuỗi ma trận, chúng ta nhận được “0” ở cột thứ hai ở vị trí thứ ba. Để làm điều này, chúng tôi nhân dòng thứ hai với (-4) và thêm nó vào dòng thứ ba. Trong ma trận kết quả, nhân hàng thứ hai với (-1) và chia hàng thứ ba cho (-8). Tất cả các phần tử của ma trận này nằm dưới các phần tử đường chéo đều bằng 0.
Bởi vì , hệ thống được hợp tác và xác định.
Hệ phương trình tương ứng với ma trận cuối có dạng tam giác:
Từ phương trình (thứ ba) cuối cùng 
. Thay vào phương trình thứ hai và nhận được 
.
Hãy thay thế 
Và 
vào phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy 
.