Đạo hàm của hàm một biến.

Giới thiệu.

Những phát triển về phương pháp này dành cho sinh viên Khoa Kỹ thuật Công nghiệp và Xây dựng. Chúng được biên soạn liên quan đến chương trình môn toán trong phần “Phép vi phân hàm số một biến”.

Sự phát triển này thể hiện một hướng dẫn phương pháp duy nhất, bao gồm: thông tin lý thuyết ngắn gọn; các bài toán, bài tập “chuẩn” có lời giải và lời giải chi tiết; các lựa chọn thử nghiệm.

Cuối mỗi đoạn đều có bài tập bổ sung. Cấu trúc phát triển này làm cho chúng phù hợp để tự mình nắm vững phần này với sự hỗ trợ tối thiểu từ giáo viên.

§1. Định nghĩa đạo hàm.

Ý nghĩa cơ học và hình học

phái sinh.

Khái niệm đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất của phân tích toán học. Nó xuất hiện từ thế kỷ 17. Sự hình thành khái niệm đạo hàm về mặt lịch sử gắn liền với hai bài toán: bài toán tốc độ của chuyển động xen kẽ và bài toán tiếp tuyến của một đường cong.

Những bài toán này, mặc dù có nội dung khác nhau, nhưng lại dẫn đến cùng một phép toán phải được thực hiện trên một hàm. Phép toán này đã nhận được một cái tên đặc biệt trong toán học. Nó được gọi là phép tính vi phân của một hàm. Kết quả của phép tính vi phân được gọi là đạo hàm.

Vì vậy, đạo hàm của hàm y=f(x) tại điểm x0 là giới hạn (nếu nó tồn tại) của tỷ số giữa gia số của hàm và gia số của đối số
Tại
.

Đạo hàm thường được ký hiệu như sau:
.

Như vậy, theo định nghĩa

Các ký hiệu cũng được sử dụng để biểu thị các dẫn xuất
.

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

Nếu s=s(t) là định luật chuyển động thẳng của một chất điểm thì
là vận tốc của điểm này tại thời điểm t.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm , khi đó hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm
bằng
.

Ví dụ.

Tìm đạo hàm của hàm số
tại điểm =2:

1) Hãy cho nó một điểm =2 tăng
. Lưu ý rằng.

2) Tìm gia số của hàm số tại điểm =2:

3) Hãy tạo tỷ lệ giữa mức tăng của hàm và mức tăng của đối số:

Hãy tìm giới hạn của tỉ số tại
:

.

Như vậy,
.

§ 2. Đạo hàm của một số

những chức năng đơn giản nhất

Học sinh cần học cách tính đạo hàm của các hàm số cụ thể: y=x,y= và nói chung= .

Hãy tìm đạo hàm của hàm số y=x.

những thứ kia. (x)′=1.

Hãy tìm đạo hàm của hàm số

phái sinh

Cho phép
Sau đó

Dễ dàng nhận thấy một quy luật trong các biểu thức đạo hàm của hàm lũy thừa
với n=1,2,3.

Kể từ đây,

. (1)

Công thức này đúng với mọi n thực.

Cụ thể, áp dụng công thức (1), ta có:

;

.

Ví dụ.

Tìm đạo hàm của hàm số

.

.

Hàm này là trường hợp đặc biệt của hàm có dạng

Tại
.

Sử dụng công thức (1), chúng ta có

.

Đạo hàm của hàm số y=sin x và y=cos x.

Đặt y=sinx.

Chia cho ∆x, ta được

Chuyển đến giới hạn tại ∆x→0, ta có

Đặt y=cosx.

Chuyển đến giới hạn tại ∆x→0, ta thu được

;
. (2)

§3. Quy luật cơ bản của sự khác biệt.

Hãy xem xét các quy tắc phân biệt.

Định lý1 . Nếu các hàm u=u(x) và v=v(x) khả vi tại một điểmx cho trước, thì tại thời điểm này tổng của chúng cũng khả vi và đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm của các số hạng : (u+v)"=u"+v".(3 )

Chứng minh: Xét hàm số y=f(x)=u(x)+v(x).

Gia số ∆x của đối số x tương ứng với gia số ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) của các hàm u và v. Khi đó hàm y sẽ tăng

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Kể từ đây,

Vì vậy, (u+v)"=u"+v".

Định lý2. Nếu các hàm u=u(x) và v=v(x) khả vi tại một điểmx cho trước, thì tích của chúng khả vi tại cùng một điểm. Trong trường hợp này, đạo hàm của tích được tìm theo công thức sau: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Chứng minh: Cho y=uv, trong đó u và v là một số hàm khả vi của x. Hãy cho x mức tăng ∆x; sau đó u sẽ nhận được mức tăng ∆u, v sẽ nhận được mức tăng ∆v và y sẽ nhận được mức tăng ∆y.

Chúng ta có y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), hoặc

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Do đó, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Từ đây

Chuyển đến giới hạn tại ∆x→0 và xét rằng u và v không phụ thuộc vào ∆x, ta sẽ có

Định lý 3. Đạo hàm của thương của hai hàm số bằng một phân số, mẫu số của nó bằng bình phương của số chia, tử số là hiệu giữa tích đạo hàm của số bị chia với số chia và tích của cổ tức và đạo hàm của số chia, tức là

Nếu như
Cái đó
(5)

Định lý 4.Đạo hàm của một hằng số bằng 0, tức là nếu y=C, trong đó C=const thì y”=0.

Định lý 5. Hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của đạo hàm, tức là nếu y=Cu(x), trong đó C=const, thì y"=Cu"(x).

Ví dụ 1.

Tìm đạo hàm của hàm số

.

Hàm này có dạng
, trong đó=x,v=cosx. Áp dụng quy tắc đạo hàm (4), ta tìm được

.

Ví dụ 2.

Tìm đạo hàm của hàm số

.

Áp dụng công thức (5).

Đây
;
.

Nhiệm vụ.

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Tạo tỉ số và tính giới hạn.

Nó đến từ đâu? bảng đạo hàm và quy tắc đạo hàm? Nhờ giới hạn duy nhất. Nó có vẻ giống như một phép thuật, nhưng thực tế nó chỉ là sự khéo léo và không hề có sự lừa đảo. trong lớp Một dẫn xuất là gì? Tôi bắt đầu xem xét các ví dụ cụ thể trong đó, bằng cách sử dụng định nghĩa, tôi đã tìm thấy đạo hàm của hàm tuyến tính và hàm bậc hai. Với mục đích khởi động nhận thức, chúng tôi sẽ tiếp tục làm phiền bảng dẫn xuất, hoàn thiện thuật toán và giải pháp kỹ thuật:

Ví dụ 1

Về cơ bản, bạn cần chứng minh trường hợp đặc biệt của đạo hàm hàm lũy thừa, trường hợp này thường xuất hiện trong bảng: .

Giải phápđược chính thức hóa về mặt kỹ thuật theo hai cách. Hãy bắt đầu với cách tiếp cận đầu tiên, vốn đã quen thuộc: bậc thang bắt đầu bằng một tấm ván và hàm đạo hàm bắt đầu bằng đạo hàm tại một điểm.

Hãy xem xét một số(cụ thể) điểm thuộc về miền định nghĩa hàm trong đó có đạo hàm. Chúng ta hãy đặt mức tăng tại thời điểm này (tất nhiên là trong phạm vio/o -TÔI) và soạn phần tăng tương ứng của hàm:

Hãy tính giới hạn:

Độ không đảm bảo 0:0 được loại bỏ bằng một kỹ thuật tiêu chuẩn, được xem xét từ thế kỷ thứ nhất trước Công nguyên. Nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp :

Kỹ thuật giải giới hạn như vậy sẽ được thảo luận chi tiết trong bài học giới thiệu. về giới hạn của hàm.

Vì bạn có thể chọn BẤT KỲ điểm nào của khoảng làm chất lượng, nên bằng cách thay thế, chúng tôi nhận được:

Trả lời

Một lần nữa chúng ta hãy vui mừng với logarit:

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của hàm số bằng cách sử dụng định nghĩa đạo hàm

Giải pháp: Hãy xem xét một cách tiếp cận khác để thúc đẩy cùng một nhiệm vụ. Nó hoàn toàn giống nhau nhưng hợp lý hơn về mặt thiết kế. Ý tưởng là loại bỏ chỉ số dưới ở đầu lời giải và sử dụng chữ cái thay vì chữ cái.

Hãy xem xét tùy ýđiểm thuộc về miền định nghĩa hàm (khoảng) và đặt mức tăng trong đó. Nhưng ở đây, nhân tiện, như trong hầu hết các trường hợp, bạn có thể thực hiện mà không cần đặt trước, vì hàm logarit có khả vi tại bất kỳ điểm nào trong miền định nghĩa.

Khi đó mức tăng tương ứng của hàm là:

Hãy tìm đạo hàm:

Sự đơn giản của thiết kế được cân bằng bởi sự nhầm lẫn có thể nảy sinh đối với người mới bắt đầu (và không chỉ). Rốt cuộc, chúng ta đã quen với việc chữ “X” thay đổi trong giới hạn! Nhưng ở đây mọi thứ đều khác: - một bức tượng cổ, và - một du khách còn sống đang bước nhanh dọc hành lang bảo tàng. Nghĩa là, “x” là “giống như một hằng số”.

Tôi sẽ bình luận về việc loại bỏ sự không chắc chắn từng bước:

(1) Chúng tôi sử dụng tính chất của logarit .

(2) Trong ngoặc đơn, chia tử số cho số hạng mẫu số cho số hạng.

(3) Ở mẫu số, chúng ta nhân chia giả tạo cho “x” để tận dụng giới hạn đáng chú ý , trong khi như vô cùng nhỏ nổi bật.

Trả lời: theo định nghĩa đạo hàm:

Hay nói ngắn gọn là:

Tôi đề xuất tự mình xây dựng thêm hai công thức bảng:

Ví dụ 3

Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện hơn nếu giảm ngay số gia đã biên dịch xuống mẫu số chung. Mẫu bài tập gần đúng ở cuối bài (phương pháp đầu tiên).

Ví dụ 3:Giải pháp : xem xét một số điểm , thuộc miền định nghĩa của hàm số . Chúng ta hãy đặt mức tăng tại thời điểm này và soạn phần tăng tương ứng của hàm:

Hãy tìm đạo hàm tại điểm :


Vì với tư cách là một bạn có thể chọn bất kỳ điểm nào miền chức năng , Cái đó Và
Trả lời : theo định nghĩa đạo hàm

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm theo định nghĩa

Và ở đây mọi thứ cần được giảm xuống giới hạn tuyệt vời. Giải pháp được chính thức hóa theo cách thứ hai.

Một số khác dẫn xuất dạng bảng. Danh sách đầy đủ có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa của trường, hoặc, ví dụ, tập 1 của Fichtenholtz. Tôi không thấy có ích gì khi sao chép bằng chứng về các quy tắc vi phân từ sách - chúng cũng được tạo ra bởi công thức.

Ví dụ 4:Giải pháp , thuộc về và đặt mức tăng trong đó

Hãy tìm đạo hàm:

Sử dụng một giới hạn tuyệt vời

Trả lời : theo định nghĩa

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm của một hàm số , sử dụng định nghĩa đạo hàm

Giải pháp: chúng tôi sử dụng phong cách thiết kế đầu tiên. Hãy xem xét một số điểm thuộc về , và xác định mức tăng của đối số tại đó. Khi đó mức tăng tương ứng của hàm là:

Có lẽ một số độc giả vẫn chưa hiểu hết nguyên tắc cần phải tăng dần. Lấy một điểm (số) và tìm giá trị của hàm số trong đó: , tức là vào hàm thay vì"X" nên được thay thế. Bây giờ chúng ta cũng lấy một số rất cụ thể và thay thế nó vào hàm thay vì"iksa": . Chúng tôi viết ra sự khác biệt, và nó là cần thiết đặt hoàn toàn trong ngoặc.

Tăng hàm được biên dịch Việc đơn giản hóa ngay lập tức có thể có ích. Để làm gì? Tạo điều kiện thuận lợi và rút ngắn giải pháp đến một giới hạn hơn nữa.

Chúng tôi sử dụng công thức, mở ngoặc và rút ngắn mọi thứ có thể rút ngắn:

Gà tây rút ruột, nướng không vấn đề gì:

Kết quả là:

Vì chúng ta có thể chọn bất kỳ số thực nào làm giá trị nên chúng ta thực hiện thay thế và nhận được .

Trả lời: theo định nghĩa.

Với mục đích xác minh, hãy tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc và bảng phân biệt:

Việc biết trước câu trả lời chính xác luôn hữu ích và dễ chịu, vì vậy tốt hơn là bạn nên phân biệt chức năng được đề xuất một cách “nhanh chóng”, trong đầu hoặc trong bản nháp, ngay khi bắt đầu giải pháp.

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm của hàm số theo định nghĩa đạo hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Kết quả là hiển nhiên:

Ví dụ 6:Giải pháp : xem xét một số điểm , thuộc về và đặt mức tăng của đối số trong đó . Khi đó mức tăng tương ứng của hàm là:


Hãy tính đạo hàm:


Như vậy:
Bởi vì như bạn có thể chọn bất kỳ số thực nào, sau đó Và
Trả lời : theo định nghĩa.

Hãy quay lại phong cách # 2:

Ví dụ 7

Chúng ta hãy tìm hiểu ngay điều gì sẽ xảy ra. Qua quy tắc đạo hàm của hàm phức:

Giải pháp: xem xét một điểm tùy ý thuộc về , đặt mức tăng của đối số tại đó và tính mức tăng của hàm:

Hãy tìm đạo hàm:


(1) Sử dụng công thức lượng giác .

(2) Dưới sin chúng ta mở ngoặc, dưới cos chúng ta trình bày các thuật ngữ tương tự.

(3) Theo sin chúng ta rút gọn các số hạng, dưới cosin chúng ta chia tử số cho số hạng mẫu số cho số hạng.

(4) Do tính chất kỳ lạ của sin nên chúng ta bỏ “dấu trừ”. Theo cosin, chúng tôi chỉ ra rằng số hạng .

(5) Chúng ta thực hiện phép nhân nhân tạo ở mẫu số để sử dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Vì vậy, sự không chắc chắn đã được loại bỏ, hãy thu thập kết quả.

Trả lời: theo định nghĩa

Như bạn có thể thấy, khó khăn chính của vấn đề đang được xem xét nằm ở độ phức tạp của chính giới hạn + tính độc đáo nhỏ của bao bì. Trong thực tế, cả hai phương pháp thiết kế đều xảy ra, vì vậy tôi mô tả cả hai phương pháp càng chi tiết càng tốt. Chúng tương đương nhau, nhưng theo ấn tượng chủ quan của tôi, những người giả nên chọn phương án 1 với “X-zero” sẽ tốt hơn.

Ví dụ 8

Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của hàm số

Ví dụ 8:Giải pháp : xét một điểm tùy ý , thuộc về , chúng ta hãy đặt mức tăng trong đó và soạn phần tăng của hàm:

Hãy tìm đạo hàm:

Chúng tôi sử dụng công thức lượng giác và giới hạn đáng chú ý đầu tiên:

Trả lời : theo định nghĩa

Hãy xem xét một phiên bản hiếm hơn của vấn đề:

Ví dụ 9

Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm bằng cách sử dụng định nghĩa đạo hàm.

Đầu tiên, điểm mấu chốt nên là gì? Con số

Hãy tính đáp án theo cách chuẩn:

Giải pháp: từ quan điểm rõ ràng, nhiệm vụ này đơn giản hơn nhiều vì thay vào đó, công thức xem xét một giá trị cụ thể.

Hãy đặt mức tăng tại điểm và soạn mức tăng tương ứng của hàm:

Hãy tính đạo hàm tại điểm:

Chúng tôi sử dụng một công thức hiệu tiếp tuyến rất hiếm và một lần nữa chúng tôi giảm giải pháp xuống giới hạn tuyệt vời đầu tiên:

Trả lời: theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm.

Vấn đề không quá khó để giải quyết “nói chung” - chỉ cần thay thế hoặc đơn giản là tùy thuộc vào phương pháp thiết kế. Trong trường hợp này, rõ ràng kết quả sẽ không phải là số mà là hàm dẫn xuất.

Ví dụ 10

Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm (một trong số đó có thể là vô hạn), mà tôi đã mô tả một cách tổng quát về bài giảng lý thuyết về đạo hàm.

Một số hàm đã cho từng phần cũng khả vi tại các điểm “giao” của đồ thị, ví dụ: catdog có đạo hàm chung và một tiếp tuyến chung (trục x) tại điểm. Đường cong, nhưng có thể phân biệt bằng ! Những người quan tâm có thể tự mình xác minh điều này bằng cách sử dụng ví dụ vừa giải quyết.

©2015-2019 trang web