Theo yêu cầu của bạn.
6. Đơn giản hóa biểu thức:
Bởi vì đồng chức năng của các góc bù nhau tới 90° thì bằng nhau, thì chúng ta thay thế sin50° trong tử số của phân số bằng cos40° và áp dụng công thức tính sin của đối số kép cho tử số. Chúng ta nhận được 5sin80° ở tử số. Hãy thay sin80° bằng cos10°, điều này sẽ cho phép chúng ta rút gọn phân số.
Công thức được áp dụng: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.
7. Trong một cấp số cộng có hiệu là 12 và số hạng thứ tám là 54, hãy tìm số số hạng phủ định.
Kế hoạch giải pháp. Chúng ta hãy tạo một công thức cho số hạng tổng quát của tiến trình này và tìm hiểu xem sẽ thu được những giá trị nào của n số hạng âm. Để làm điều này, chúng ta sẽ cần tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Chúng ta có d=12, a 8 =54. Sử dụng công thức a n =a 1 +(n-1)∙d chúng ta viết:
a 8 = a 1 +7d. Hãy thay thế dữ liệu có sẵn. 54=a 1 +7∙12;
1 = -30. Thay thế giá trị này vào công thức a n =a 1 +(n-1)∙d
một n =-30+(n-1)∙12 hoặc một n =-30+12n-12. Hãy đơn giản hóa: a n = 12n-42.
Chúng ta đang tìm số hạng phủ định, vì vậy chúng ta cần giải bất đẳng thức:
MỘT<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;
12 giờ trưa<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.
8. Tìm phạm vi giá trị của hàm số sau: y=x-|x|.
Hãy mở dấu ngoặc mô-đun. Nếu x ≥0 thì y=x-x ⇒ y=0. Đồ thị sẽ là trục Ox ở bên phải điểm gốc. Nếu x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].
9. Tìm diện tích xung quanh của một hình nón tròn đứng nếu đường sinh của nó là 18 cm và diện tích đáy của nó là 36 cm 2 .
Cho trước là hình nón có tiết diện dọc trục MAV. Máy phát điện VM=18, S main. =36π. Chúng ta tính diện tích bề mặt bên của hình nón bằng công thức: cạnh S. =πRl, trong đó l là máy phát điện và theo điều kiện bằng 18 cm, R là bán kính đáy, ta sẽ tìm nó bằng công thức: S cr. = πR 2 . Chúng tôi có S cr. = S cơ bản = 36π. Do đó πR 2 =36π ⇒ R=6.
Sau đó là bên S. =π∙6∙18 ⇒ cạnh S. =108πcm2.
12. Giải phương trình logarit. Một phân số bằng 1 nếu tử số của nó bằng mẫu số của nó, tức là
log(x 2 +5x+4)=2logx cho logx≠0. Chúng ta áp dụng cho vế phải của đẳng thức tính chất lũy thừa của một số dưới dấu logarit: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2. Các logarit thập phân này bằng nhau nên các số bên dưới dấu logarit bằng nhau , Vì vậy:
x 2 +5x+4=x 2, do đó 5x=-4; chúng ta nhận được x=-0,8. Tuy nhiên, giá trị này không thể được lấy vì chỉ các số dương mới có thể nằm dưới dấu logarit, do đó phương trình này không có nghiệm. Ghi chú. Bạn không nên tìm ODZ ở đầu quyết định (lãng phí thời gian của bạn!), tốt hơn là nên kiểm tra (như chúng tôi đang làm) ở cuối.
13. Tìm giá trị của biểu thức (x o – y o), trong đó (x o; y o) là nghiệm của hệ phương trình:
14. Giải phương trình:
Nếu bạn chia cho 2 và tử số, mẫu số của phân số, bạn sẽ học công thức tính tiếp tuyến của một góc kép. Kết quả là một phương trình đơn giản: tg4x=1.
15. Tìm đạo hàm của hàm số: f(x)=(6x 2 -4x) 5.
Chúng ta được cung cấp một hàm phức tạp. Chúng tôi định nghĩa nó bằng một từ - đây là bằng cấp. Do đó, theo quy tắc đạo hàm của hàm số phức, ta tìm đạo hàm của bậc rồi nhân với đạo hàm của cơ số bậc này theo công thức:
(u n)' = n ∙ bạn -1 ∙ bạn'.
f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)’ = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .
16. Cần phải tìm f’(1) nếu hàm
17. Trong một tam giác đều, tổng các đường phân giác bằng 33√3 cm, tính diện tích tam giác.
Đường phân giác của một tam giác đều vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao. Vậy độ dài đường cao BD của tam giác này bằng
Hãy tìm cạnh AB của hình chữ nhật Δ ABD. Vì sin60° = BD : AB thì AB = BD : sin60°.
18. Một hình tròn nội tiếp một tam giác đều có chiều cao là 12 cm, tính diện tích hình tròn.
Đường tròn (O; OD) nội tiếp Δ ABC. Đường cao BD đồng thời là đường phân giác và đường trung tuyến và tâm của đường tròn, điểm O, nằm trên BD.
O – giao điểm của các đường cao, đường phân giác và đường trung tuyến chia đường trung tuyến BD theo tỉ lệ 2:1, tính từ đỉnh. Do đó, OD=(1/3)BD=12:3=4. Bán kính hình tròn R=OD=4 cm Diện tích hình tròn S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.
19. Các cạnh bên của một hình chóp tứ giác đều là 9 cm, cạnh đáy là 8 cm, tính chiều cao của hình chóp đó.
Đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông ABCD, đáy có chiều cao MO là tâm hình vuông.
20. Đơn giản hóa:
Trong tử số, bình phương của hiệu được gấp lại.
Chúng tôi phân tích mẫu số bằng phương pháp nhóm các số hạng.
21. Tính toán:
Để có thể trích xuất một căn bậc hai số học, biểu thức căn thức phải là một số chính phương hoàn hảo. Chúng ta hãy biểu diễn biểu thức dưới dấu căn dưới dạng hiệu bình phương của hai biểu thức bằng công thức:
a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, giả sử rằng a 2 +b 2 =10.
22. Giải bất đẳng thức:
Chúng ta hãy biểu diễn vế trái của bất đẳng thức dưới dạng tích. Tổng các sin của hai góc bằng hai lần tích của sin của nửa tổng các góc đó và cosin của nửa hiệu của các góc đó:
Chúng tôi nhận được:
Hãy giải bất đẳng thức này bằng đồ thị. Chúng tôi chọn những điểm của đồ thị y=cost nằm phía trên đường thẳng và xác định hoành độ của những điểm này (được thể hiện bằng cách tô bóng).
23. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số: h(x)=cos 2 x.
Hãy biến đổi hàm này, hạ bậc của nó bằng công thức:
1+cos2α=2cos 2 α. Chúng tôi nhận được chức năng:
24. Tìm tọa độ của vectơ
25. Chèn các dấu hiệu số học thay vì dấu hoa thị để bạn có được đẳng thức đúng: (3*3)*(4*4) = 31 – 6.
Chúng tôi lý do: số đó phải là 25 (31 – 6 = 25). Làm thế nào để có được con số này từ hai "ba" và hai "bốn" bằng cách sử dụng các dấu hiệu hành động?
Tất nhiên rồi :3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 = 9 + 16 = 25. Đáp án E).
Bài 1
Chủ thể: Lớp 11 (chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất)
Đơn giản hóa các biểu thức lượng giác.
Giải các phương trình lượng giác đơn giản. (2 giờ)
Bàn thắng:
- Hệ thống hóa, khái quát hóa, mở rộng kiến thức, kỹ năng cho học sinh liên quan đến việc sử dụng các công thức lượng giác và giải các phương trình lượng giác đơn giản.
Thiết bị cho bài học:
Cấu trúc bài học:
- Thời điểm tổ chức
- Thử nghiệm trên máy tính xách tay. Cuộc thảo luận về kết quả.
- Đơn giản hóa các biểu thức lượng giác
- Giải các phương trình lượng giác đơn giản
- Làm việc độc lập.
- Tom tăt bai học. Giải thích bài tập về nhà.
1. Thời điểm tổ chức. (2 phút.)
Giáo viên chào khán giả, thông báo chủ đề bài học, nhắc nhở học sinh trước đây được giao nhiệm vụ nhắc lại các công thức lượng giác và chuẩn bị cho học sinh làm bài kiểm tra.
2. Kiểm tra. (15 phút + 3 phút thảo luận)
Mục đích là kiểm tra kiến thức về các công thức lượng giác và khả năng áp dụng chúng. Mỗi học sinh có một máy tính xách tay trên bàn với một phiên bản của bài kiểm tra.
Có thể có bất kỳ tùy chọn nào, tôi sẽ đưa ra ví dụ về một trong số chúng:
Tôi tùy chọn.
Rút gọn biểu thức:
a) các đẳng thức lượng giác cơ bản
1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;
b) công thức cộng
3. sin5x - sin3x;
c) chuyển một sản phẩm thành một tổng
6. 2sin8y cos3y;
d) công thức góc đôi
7. 2sin5x cos5x;
e) công thức tính nửa góc
f) công thức ba góc
g) sự thay thế phổ quát
h) giảm mức độ
16. cos 2 (3x/7);
Học sinh xem câu trả lời của mình trên máy tính xách tay bên cạnh mỗi công thức.
Công việc được máy tính kiểm tra ngay lập tức. Kết quả được hiển thị trên màn hình lớn để mọi người cùng xem.
Ngoài ra, sau khi làm bài xong, câu trả lời đúng sẽ được hiển thị trên máy tính xách tay của học sinh. Mỗi học sinh xem mình đã mắc lỗi ở đâu và mình cần lặp lại những công thức nào.
3. Đơn giản hóa biểu thức lượng giác. (25 phút.)
Mục đích là lặp lại, thực hành và củng cố việc sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Giải bài B7 của Kỳ thi Thống nhất.
Ở giai đoạn này, nên chia lớp thành nhóm học sinh giỏi (làm việc độc lập với bài kiểm tra tiếp theo) và học sinh yếu làm việc cùng giáo viên.
Bài tập dành cho học sinh giỏi (được chuẩn bị trước trên giấy in). Điểm nhấn chính là các công thức rút gọn và góc kép, theo Kỳ thi Thống nhất năm 2011.
Rút gọn biểu thức (dành cho học sinh giỏi):
Đồng thời, giáo viên làm việc với học sinh yếu, thảo luận, giải quyết nhiệm vụ trên màn hình dưới sự đọc chính tả của học sinh.
Tính toán:
5) sin(270° - α) + cos (270° + α)
6) 
Đơn giản hóa:
Đã đến lúc thảo luận về kết quả làm việc của nhóm mạnh.
Các câu trả lời xuất hiện trên màn hình, đồng thời, bằng cách sử dụng máy quay video, bài làm của 5 học sinh khác nhau cũng được hiển thị (mỗi em một nhiệm vụ).
Nhóm yếu nhìn thấy điều kiện và phương pháp giải quyết. Cuộc thảo luận và phân tích đang được tiến hành. Với việc sử dụng các phương tiện kỹ thuật, điều này xảy ra nhanh chóng.
4. Giải các phương trình lượng giác đơn giản. (30 phút.)
Mục đích là lặp lại, hệ thống hóa và khái quát hóa cách giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất và ghi lại nghiệm của chúng. Giải bài toán B3.
Bất kỳ phương trình lượng giác nào, cho dù chúng ta giải nó như thế nào, đều dẫn đến phương trình đơn giản nhất.
Khi hoàn thành nhiệm vụ, học sinh chú ý viết nghiệm của các phương trình trường hợp đặc biệt, dạng tổng quát và chọn nghiệm của phương trình cuối cùng.
Giải phương trình:
Viết ra nghiệm dương nhỏ nhất làm câu trả lời của bạn.
5. Làm việc độc lập (10 phút)
Mục đích là để kiểm tra các kỹ năng đã học được, xác định các vấn đề, lỗi và cách loại bỏ chúng.
Công việc đa cấp được cung cấp cho sự lựa chọn của sinh viên.
Tùy chọn "3"
1) Tìm giá trị của biểu thức 
2) Rút gọn biểu thức 1 - sin 2 3α - cos 2 3α
3) Giải phương trình 
Tùy chọn cho "4"
1) Tìm giá trị của biểu thức
2) Giải phương trình 
Viết ra nghiệm dương nhỏ nhất trong câu trả lời của bạn.
Tùy chọn "5"
1) Tìm tanα nếu 
2) Tìm nghiệm của phương trình 
Viết ra nghiệm dương nhỏ nhất làm câu trả lời của bạn.
6. Tóm tắt bài học (5 phút)
Giáo viên tổng kết rằng trong giờ học các em đã nhắc lại, củng cố các công thức lượng giác và giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Bài tập về nhà được giao (chuẩn bị trước trên cơ sở in sẵn) với sự kiểm tra ngẫu nhiên ở bài học tiếp theo.
Giải phương trình:
9) 
10) 
Trong câu trả lời của bạn, hãy chỉ ra nghiệm dương nhỏ nhất.
Bài 2
Chủ thể: Lớp 11 (chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất)
Các phương pháp giải phương trình lượng giác. Lựa chọn gốc. (2 giờ)
Bàn thắng:
- Khái quát hóa, hệ thống hóa các kiến thức về giải các dạng phương trình lượng giác.
- Thúc đẩy sự phát triển tư duy toán học, khả năng quan sát, so sánh, khái quát hóa, phân loại của học sinh.
- Khuyến khích học sinh vượt qua khó khăn trong quá trình hoạt động tinh thần, tự chủ, tự xem xét hoạt động của mình.
Thiết bị cho bài học: KRMu, máy tính xách tay cho mỗi học sinh.
Cấu trúc bài học:
- Thời điểm tổ chức
- Thảo luận về d/z và bản thân. làm bài từ bài học trước
- Ôn lại các phương pháp giải phương trình lượng giác.
- Giải phương trình lượng giác
- Lựa chọn các nghiệm trong phương trình lượng giác.
- Làm việc độc lập.
- Tom tăt bai học. Bài tập về nhà.
1. Thời điểm tổ chức (2 phút)
Giáo viên chào khán giả, thông báo chủ đề bài học và kế hoạch làm việc.
2. a) Phân tích bài tập về nhà (5 phút)
Mục đích là để kiểm tra việc thực hiện. Một tác phẩm được hiển thị trên màn hình bằng máy quay phim, phần còn lại được thu thập có chọn lọc để giáo viên kiểm tra.
b) Phân tích công việc độc lập (3 phút)
Mục đích là để phân tích những sai lầm và chỉ ra cách khắc phục chúng.
Các câu trả lời và giải pháp đều hiển thị trên màn hình; học sinh được giao bài tập trước. Phân tích tiến hành nhanh chóng.
3. Ôn tập các phương pháp giải phương trình lượng giác (5 phút)
Mục đích là nhắc lại các phương pháp giải phương trình lượng giác.
Hỏi học sinh biết các phương pháp giải phương trình lượng giác. Nhấn mạnh rằng có những phương pháp được gọi là cơ bản (thường được sử dụng):
- thay thế biến,
- nhân tử hóa,
- phương trình đồng nhất,
và có các phương pháp được áp dụng:
- sử dụng các công thức chuyển tổng thành tích và tích thành tổng,
- theo công thức tính mức độ giảm dần
- thay thế lượng giác phổ quát
- giới thiệu góc phụ
- phép nhân với một hàm lượng giác nào đó.
Cũng cần nhắc lại rằng một phương trình có thể được giải theo nhiều cách khác nhau.
4. Giải phương trình lượng giác (30 phút)
Mục tiêu là khái quát, củng cố kiến thức, kỹ năng về chủ đề này, chuẩn bị cho giải C1 kỳ thi Thống nhất.
Tôi cho rằng nên giải phương trình cho từng phương pháp cùng với học sinh.
Học sinh đưa ra giải pháp, giáo viên viết ra máy tính bảng và toàn bộ quá trình được hiển thị trên màn hình. Điều này sẽ cho phép bạn nhớ lại nhanh chóng và hiệu quả những tài liệu đã được học trước đó trong bộ nhớ của mình.
Giải phương trình:
1) thay biến 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0
2) phân tích nhân tử 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0
3) phương trình thuần nhất sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0
4) chuyển đổi tổng thành tích cos5x + cos7x = cos(π + 6x)
5) chuyển tích thành tổng 2sinx sin2x + cos3x = 0
6) giảm bậc sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5
7) thay thế lượng giác phổ quát sinx + 5cosx + 5 = 0.
Khi giải phương trình này, cần lưu ý rằng việc sử dụng phương pháp này dẫn đến thu hẹp phạm vi định nghĩa, vì sin và cosin được thay thế bằng tg(x/2). Do đó, trước khi viết đáp án, bạn cần kiểm tra xem các số trong tập π + 2πn, n Z có phải là ngựa của phương trình này hay không.
8) giới thiệu góc phụ √3sinx + cosx - √2 = 0
9) nhân với một hàm lượng giác nào đó cosx cos2x cos4x = 1/8.
5. Lựa chọn nghiệm của phương trình lượng giác (20 phút)
Vì trong điều kiện cạnh tranh gay gắt khi vào đại học, chỉ giải phần đầu thôi là chưa đủ nên hầu hết học sinh nên chú ý đến nhiệm vụ của phần thứ hai (C1, C2, C3).
Vì vậy, mục tiêu của giai đoạn này của bài học là ghi nhớ nội dung đã học trước đó và chuẩn bị giải bài C1 của Kỳ thi Thống nhất năm 2011.
Có những phương trình lượng giác mà bạn cần chọn nghiệm khi viết đáp án. Điều này là do một số hạn chế, ví dụ: mẫu số của phân số không bằng 0, biểu thức dưới gốc chẵn là không âm, biểu thức dưới dấu logarit là dương, v.v.
Các phương trình như vậy được coi là phương trình có độ phức tạp tăng dần và trong phiên bản Kỳ thi Thống nhất, chúng được tìm thấy ở phần thứ hai, cụ thể là C1.
Giải phương trình:
Một phân số bằng 0 nếu khi đó 
sử dụng vòng tròn đơn vị chúng ta sẽ chọn các nghiệm (xem Hình 1)
Bức tranh 1.
ta được x = π + 2πn, n Z
Đáp án: π + 2πn, n Z
Trên màn hình, việc lựa chọn rễ được hiển thị trên một vòng tròn dưới dạng hình ảnh màu.
Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0 và cung không mất ý nghĩa. Sau đó
Sử dụng vòng tròn đơn vị, chúng ta chọn các nghiệm (xem Hình 2)
Video bài học “Đơn giản hóa biểu thức lượng giác” được thiết kế nhằm phát triển kỹ năng giải các bài toán lượng giác bằng cách sử dụng các đồng thức lượng giác cơ bản cho học sinh. Trong bài học video, các loại nhận dạng lượng giác và ví dụ giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng chúng sẽ được thảo luận. Bằng cách sử dụng các phương tiện trực quan, giáo viên sẽ dễ dàng đạt được mục tiêu bài học hơn. Trình bày sinh động của tài liệu giúp ghi nhớ những điểm quan trọng. Việc sử dụng hiệu ứng hoạt hình và lồng tiếng cho phép bạn thay thế hoàn toàn giáo viên ở giai đoạn giải thích tài liệu. Vì vậy, bằng cách sử dụng phương tiện trực quan này trong bài học toán, giáo viên có thể nâng cao hiệu quả giảng dạy.
Khi bắt đầu bài học video, chủ đề của nó được công bố. Sau đó chúng ta nhớ lại các đồng nhất thức lượng giác đã nghiên cứu trước đó. Màn hình hiển thị các đẳng thức sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, trong đó t≠π/2+πk với kϵZ, ctg t=cos t/sin t, đúng với t≠πk, trong đó kϵZ, tg t· ctg t=1, với t≠πk/2, trong đó kϵZ, được gọi là các đẳng thức lượng giác cơ bản. Cần lưu ý rằng những đồng nhất thức này thường được sử dụng để giải các bài toán cần chứng minh đẳng thức hoặc đơn giản hóa biểu thức.
Dưới đây chúng ta xem xét các ví dụ về việc áp dụng các đồng nhất thức này để giải quyết vấn đề. Đầu tiên, đề xuất xem xét giải bài toán đơn giản biểu thức. Trong ví dụ 1, cần đơn giản hóa biểu thức cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Để giải ví dụ này, trước tiên hãy lấy hệ số chung cos 2 t ra khỏi ngoặc. Kết quả của phép biến đổi trong ngoặc đơn này là thu được biểu thức 1- cos 2 t, giá trị của biểu thức này theo đồng nhất thức chính của lượng giác bằng sin 2 t. Sau khi biến đổi biểu thức, rõ ràng là có thể bỏ một thừa số chung sin 2 t ra khỏi ngoặc, sau đó biểu thức có dạng sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Từ cùng một đẳng thức cơ bản, chúng ta rút ra giá trị của biểu thức trong ngoặc bằng 1. Nhờ sự đơn giản hóa, chúng ta thu được cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.
Trong ví dụ 2, biểu thức cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) cần được đơn giản hóa. Vì tử số của cả hai phân số đều chứa giá biểu thức nên nó có thể được lấy ra khỏi ngoặc làm thừa số chung. Sau đó, các phân số trong ngoặc được rút gọn về mẫu số chung bằng cách nhân (1- sint)(1+ sint). Sau khi đưa các số hạng tương tự, tử số vẫn là 2 và mẫu số 1 - sin 2 t. Ở bên phải màn hình, đẳng thức lượng giác cơ bản sin 2 t+cos 2 t=1 được nhắc lại. Sử dụng nó, chúng ta tìm được mẫu số của phân số cos 2 t. Sau khi giảm phân số, chúng ta thu được dạng đơn giản của biểu thức cost/(1-sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.
Tiếp theo, chúng ta xem xét các ví dụ về chứng minh đồng nhất thức sử dụng kiến thức thu được về đồng nhất thức cơ bản của lượng giác. Ở ví dụ 3, cần chứng minh đẳng thức (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Phía bên phải của màn hình hiển thị ba danh tính cần thiết cho việc chứng minh - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t và tg t=sin t/cos t với các hạn chế. Để chứng minh đẳng thức, trước tiên hãy mở dấu ngoặc, sau đó tạo thành tích phản ánh biểu thức của đẳng thức lượng giác chính tg t·ctg t=1. Sau đó, theo đẳng thức từ định nghĩa cotang, ctg 2 t được biến đổi. Kết quả của các phép biến đổi là thu được biểu thức 1-cos 2 t. Sử dụng danh tính chính, chúng tôi tìm thấy ý nghĩa của biểu thức. Vì vậy, người ta đã chứng minh rằng (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.
Trong ví dụ 4, bạn cần tìm giá trị của biểu thức tg 2 t+ctg 2 t nếu tg t+ctg t=6. Để tính biểu thức, trước tiên hãy bình phương cạnh phải và cạnh trái của đẳng thức (tg t+ctg t) 2 =6 2. Công thức nhân rút gọn được gọi lại ở phía bên phải màn hình. Sau khi mở dấu ngoặc ở phía bên trái của biểu thức, tổng tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t được hình thành, để biến đổi mà bạn có thể áp dụng một trong các đẳng thức lượng giác tg t·ctg t=1 , hình thức của nó được gọi lại ở phía bên phải màn hình. Sau khi biến đổi, thu được đẳng thức tg 2 t+ctg 2 t=34. Vế trái của đẳng thức trùng với điều kiện của bài toán nên đáp án là 34. Bài toán đã được giải.
Nên sử dụng bài học video “Đơn giản hóa các biểu thức lượng giác” trong bài học toán truyền thống ở trường học. Tài liệu này cũng sẽ hữu ích cho các giáo viên cung cấp chương trình học từ xa. Nhằm phát triển kỹ năng giải các bài toán lượng giác.
GIẢI MÃ VĂN BẢN:
“Đơn giản hóa các biểu thức lượng giác.”
Bình đẳng
1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sin bình phương te cộng cosin bình phương te bằng một)
2)tgt =, với t ≠ + πk, kϵZ (tiếp tuyến te bằng tỉ số giữa sin te và cosin te với te không bằng pi hai cộng pi ka, ka thuộc zet)
3)ctgt = , với t ≠ πk, kϵZ (cotangent te bằng tỉ số giữa cosin te và sin te với te không bằng pi ka, ka thuộc zet).
4) tgt ∙ ctgt = 1 với t ≠ , kϵZ (tích của tiếp tuyến te với cotang te bằng 1 khi te không bằng đỉnh ka, chia cho hai, ka thuộc zet)
được gọi là các đồng nhất thức lượng giác cơ bản.
Chúng thường được sử dụng trong việc đơn giản hóa và chứng minh các biểu thức lượng giác.
Hãy xem các ví dụ về cách sử dụng các công thức này để đơn giản hóa các biểu thức lượng giác.
VÍ DỤ 1. Rút gọn biểu thức: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (biểu thức a cosin bình phương te trừ cosin cấp bốn te cộng sin cấp bốn te).
Giải pháp. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t
(chúng ta lấy ra thừa số chung cosin bình phương te, trong ngoặc chúng ta nhận được sự khác biệt giữa đơn vị và bình phương cosine te, bằng với sin bình phương te theo đẳng thức thứ nhất. Chúng ta nhận được tổng của sin te bậc bốn của tích cosin bình phương te và sin bình phương te. Ta lấy thừa số chung sin bình phương te ra ngoài ngoặc, trong ngoặc ta được tổng các bình phương của cosin và sin, mà theo đẳng thức lượng giác cơ bản thì bằng 1 . Kết quả là ta được bình phương của sin te).
VÍ DỤ 2. Rút gọn biểu thức: + .
(biểu thức là tổng của hai phân số ở tử số của cosin te thứ nhất ở mẫu số một trừ sin te, ở tử số của cosin te thứ hai ở mẫu số của cos thứ hai cộng sin te).
(Chúng ta hãy lấy thừa số chung cosin te ra khỏi ngoặc, và trong ngoặc chúng ta đưa nó về mẫu số chung, là tích của một trừ sin te với một cộng sin te.
Ở tử số ta được: một cộng sin te cộng một trừ sin te, ta cho các số giống nhau, tử số bằng hai sau khi đưa các số giống nhau.
Trong mẫu số, bạn có thể áp dụng công thức nhân viết tắt (chênh lệch bình phương) và nhận được sự khác biệt giữa đơn vị và bình phương của sin te, theo nhận thức lượng giác cơ bản
bằng bình phương cosin te. Sau khi giảm cosine te chúng ta có kết quả cuối cùng: hai chia cho cosine te).
Hãy xem các ví dụ về việc sử dụng các công thức này khi chứng minh biểu thức lượng giác.
VÍ DỤ 3. Chứng minh đẳng thức (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (tích của hiệu giữa bình phương tiếp tuyến te và sin te với bình phương cotang te bằng bình phương của sin te).
Bằng chứng.
Hãy biến đổi vế trái của đẳng thức:
(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t
(Chúng ta hãy mở ngoặc đơn; từ mối quan hệ thu được trước đó, ta biết rằng tích các bình phương của tiếp tuyến te với cotang te bằng 1. Chúng ta hãy nhớ lại rằng cotang te bằng tỷ số của cosine te với sin te, mà có nghĩa là bình phương cotang là tỉ số của bình phương cosin te với bình phương sin te.
Sau khi giảm đi sin bình phương te, chúng ta thu được hiệu giữa đơn vị và cos bình phương te, bằng sin bình phương te). Q.E.D.
VÍ DỤ 4. Tìm giá trị của biểu thức tg 2 t + ctg 2 t nếu tgt + ctgt = 6.
(tổng các bình phương của tiếp tuyến te và cotang te, nếu tổng của tiếp tuyến và cotang là sáu).
Giải pháp. (tgt + ctgt) 2 = 6 2
tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36
tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36
tg 2 t + ctg 2 t = 36-2
tg 2 t + ctg 2 t = 34
Bình phương cả hai vế của đẳng thức ban đầu:
(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (bình phương của tổng tiếp tuyến te và cotang te bằng sáu bình phương). Chúng ta hãy nhớ lại công thức nhân rút gọn: Bình phương của tổng hai đại lượng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng với bình phương của số thứ hai. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Ta được tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tiếp tuyến bình phương te cộng gấp đôi tích của tiếp tuyến te bằng cotang te cộng cotang bình phương te bằng ba mươi sáu) .
Vì tích của tiếp tuyến te và cotang te bằng một nên tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (tổng các bình phương của tiếp tuyến te và cotang te và hai bằng ba mươi sáu),